13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
01基础题
知识点1等边三角形的性质
1△．等边ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A)
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．如图△，过等边ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)
A．100°B．80°C．60°D．40°
3．如图△，ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°.
4．如图△，等边ABC的边长如图所示，那么y＝3．
5．如图所示△，ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．
6．如图所示△，等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.
证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE＝∠ABC＝30°.
∴∠E＝∠ACB＝30°.
1
2
又∵CE＝CD，
1
2
∴∠DBE＝∠E.
∴DB＝DE.
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF.
知识点2等边三角形的判定
7．下列推理错误的是(B)
A△．在ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形
B△．在ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形
C△．在ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形
D△．在ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形
8△．在ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°．
9．如图△，在ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°△.求证：ADC是等边三角形．
证明：∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
10．如图所示△，锐角ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：
△ABC是等边三角形．
证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
又∵∠BOE＝∠COD，
∴∠EBO＝∠DCO.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
02中档题
11．如图△，ABC是等边三角形，AD是角平分线△，ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为(A)
A．3B．2C．1D．0
12．如图，点A，B，C在一条直线上△，ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B)
A．45°B．60°C．75°D．90°
?AB ＝CB ，
13．如图，将边长为 5 cm 的等边△ABC ，沿 BC 向右平移 3 cm △，得到
DEF ，DE 交 AC 于 M ，则
△MEC 是等边三角形，DM ＝3cm .
14．如图△，等边 ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为 AD 上一点，以 BE 为一边且在 BE 下方作 等边△BEF ，连接 CF.
(1)求证：AE ＝CF ；
(2)求∠ACF 的度数．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝CB ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.
∵△BEF 是等边三角形，
∴EB ＝FB ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.
∴∠ABE ＝∠CBF.
在△ABE 和△CBF 中，
?
?∠ABE ＝∠CBF ， ??EB ＝FB ，
∴△ABE ≌△CBF(SAS)．∴AE ＝CF.
(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.
∵△ABE ≌△CBF ，
∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.
∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.
03
综合题
15．(泰安中考)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．
图1图2
解：(1)证明：过点D作BC的平行线交AC于点F.
∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠FDC＝∠DCE.
∴△ADF是等边三角形．
∴AD＝DF，∠AFD＝60°.
∴∠DFC＝180°－60°＝120°.
∵∠EBD＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠EBD.
∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，
∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.
∴△DBE≌△CFD(AAS)．
∴BE＝DF.∴BE＝AD.
(2)BE＝AD成立．理由如下：
过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.
同(1)可证△ADG是等边三角形，
∴AD＝DG，∠AGD＝60°.
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝∠AGD.
∵∠GDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，
∴∠GDC＝∠DEC，ED＝CD.
∴△DBE≌△CGD(AAS)．∴BE＝DG.∴BE＝AD.
等边三角形的判定和性质 (参考用时:30分钟) 1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A ) (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个 2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B ) (A)4 (B)6 (C)4(D)8 第2题图 3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°. 第3题图 4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且 PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .
第4题图 5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度. 第5题图 6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE. 证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°, AB=AC, 所以∠BAE=∠ACD=120°. 因为AE=CD, 所以△ABE≌△CAD. 所以AD=BE. 7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E. 在△MDF与△CEF中, 因为∠MFD=∠CFE, FD=FE,∠MDF=∠E, 所以△MDF≌△CEF, 所以DM=CE. 因为△ABC为等边三角形, 所以∠A=∠B=60°. 因为DM∥BE, 所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°, 所以△ADM为等边三角形, 所以DM=AD, 所以AD=CE. 8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c. 证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直
1.如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻店去配一块完 全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 2. 三角形三条高的交点一定在 （ ） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的内部或外部 D. 三角形的内部、外部或顶点 3．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ） A 、3cm ，5cm ，8cm B 、8cm ，8cm ，18cm C 、0.1cm ，0.1cm ，0.1cm D 、3cm ，40cm ，8cm 4、已知∠A ：∠B ：∠C=1:2:2，则△ABC 三个角度数分别是（ ） A ．40o、 80o、 80o B ．35o 、70o 、70o C ．30o、 60o、 60o D ．36o、 72o、 72o 5、三角形中，有一个外角是79o，则这个三角形的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定形状 6. 一个三角形的三个内角中（ ） A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90° C. 不可能有两个大于89° D. 不可能都小于60° 7.如图，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°， 则∠BOC 等于（ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 无法确定 8.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（ ） A.角平分线 B.中线 C.高 D. A 、B 、C 都可以 9.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 10.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 11．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．13 C ．17或22 D ．22 12、适合条件C B A ∠=∠=∠2 1的三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 13.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3; ③∠A=90°－∠B; ④∠A=∠B=1 2 ∠C,能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．在△ABC 中，∠A=60°，∠C=2∠B ，则∠C=_____. 15．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是 _____________ 16．四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，?以其中任意三条线段为边可以构成________个三角形． 17.若三角形三个内角度数的比为2:3:4,则相应的外角比是 . 18.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形是_____边形。 19．等腰三角形的一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是__________ , 若一边长等于5，一边长等于10，它的周长是_______________ 20.在△ABC 中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B 的度数是___________ 21.已知不等边三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，如果第三边的长为整数， 那么第三边的长为_____________ 22、如图所示： （1）在△ABC 中，BC 边上的高是 ； （2）在△AEC 中，AE 边上的高是 ； 23. 如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 _______________ 图1
初中数学-八年级下册三角形几何证明 的两个内角的和. 2. ______________________________________________________ 在△ ABC 中，若/ A :/ B :/ C=1 : 2: 3,则/ C= _______________________________________ 3. _____________________________________________________________________ 在△ ABC 中，/ B=45 °，/ C=72。，那么与/ A 相邻的一个外角等于 _________________________ 4. 如图1所示，△ ABC 中，D , E 分别是 AC , BD 上的点， 且/ A=65 °，/ ABD= / DCE=30? °，则/ BEC 的度数是 _____________ 5?按第4题图所示，请你直接写出/ A , / BEC ，/ EDC 之间的大小关系，用“ 55 °或70° D .以上答案都不对 9. 若三角形的三个外角的度数之比为 2: 3: 4,则与之对应的三个内角的度数之比为（ ） A . 4: 3: 2 B . 3: 2: 4 C . 5: 3: 1 D . 3: 1: 5 10. 满足下列条件的△ ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A . / B+ / A= / C B . / A : / B : / C=2 : 3: 5 C ./ A=2 / B=3 / C D .一个外角等于和它相邻的一个内角 11. 如图3所示，在△ ABC 中，/ ABC 与/ BAC 的平分线相交于点 O ,若/ BOC=120 ° , 则/ A 为（） A . 30° B . 60° C . 80° D . 100 ° 1三角形的一个外角等于 (1)
13．3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点) 2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的性质 【类型一】利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE ＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ， 垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可． 证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝1 2 ×60°＝30°，∠ ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°， ∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM . 方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，
第十章三角形提升训练 时间：45分钟 总分：100分 一、相信你的选择（每小题4分，共24分） 1．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 2．已知一个三角形三个内角度数之比为1：5：6，则其最大角度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．120° 3．如图1，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠且与BC 相交于点D ，∠B = 40°，∠BAD = 30°，则C ∠的度数是（ ） A ．70° B ．80° C ．100° D ．110° 4．如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法判断 5．如图2，已知∠A=∠30°，∠BEF=105°，∠B=20°，则∠D=( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．30° 6．能把一个三角形的面积等分的三角形中的线段是 （ ） A ．中线 B ．高线 C ．角平分线 D ．某边的中垂线 二、试试你的身手（每小题4分，共24分） 7．在△ABC 中，∠A+∠B=90°，∠C=3∠B ，则∠A= ，∠B= ，∠C= ． 8．如图3，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD ∥AC ，则∠CBD 的度数是 °． 9．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图4中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性． 10．如图5 O ，则∠AOB+∠DOC=_________． 11．工人师傅常用直角尺平分一个任意角，做法如下：如图6，∠是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON 尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，这种做法 （填“是”或“不是”）合 理的，依据是 ． 12．如图7，是国旗上的一颗五角星的，它的一个角的度数是_______． 三、挑战你的技能（ 13、14题各8分，15题10分，16、17题各13分） 13．（8分）如图8两根长度为15米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面上，那么 在地面的固定点到旗杆底部的距离相等吗？聪明的你一定能想出准确的答案来．好好动动脑筋！ 14．（8分）已知，如图9，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE ，BF ＝CE ．那么：∠A 与∠ D 有怎样的关系？你能说出理由吗？ 15．（10分）如图10，已知∠ABC=∠ADC=90°，E 是AC 上一点， AB=AD ，聪明的同学们你能说明EB 为什么等于ED 吗？ 16．（13分）已知：如图11，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分 线，OA OC OB OD ==，． 那么AB CD =吗？请说明理由． A B C D 图1 图4 B 图5A C B D 图3 图7 B A C O D P 图11 图8 B C 图10 C E D 图9 C A F B D E 图
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300° 2．下列说法正确的是（） A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B． 30°C．45°D． 60° 5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点， 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（） A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15° 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm 第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题） 9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度． 10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm． 11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形． 12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ 13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________．
4题图 B D C 三角形检测题（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（ ）． A ．1 B ．9 C ．3 D ．10 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．13 3．适合条件∠A= 12∠B=1 3 ∠C 的△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ） A ．30° B ．75° C ．105° D ．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．一个三角形的三个内角中 （ ） （ ） A 、至少有一个钝角 B 、至少有一个直角 C 、至多有一个锐角 D 、 至少有两个锐角 7.如图7-6，下列说法中错误的是（ ）． A ．∠1不是三角形ABC 的外角 B ．∠B <∠1＋∠2 C ．∠AC D 是三角形ABC 的外角 D ．∠ACD >∠A +∠B 8、如图4，若∠A=15°，∠B=65°，∠D=25°，则∠CEH 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 9.多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）． A ．7条 B ．8条 C ．9条 D ．10条 10．如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A=∠1+∠2 C ．3∠A=2∠1+∠2 D ．3∠A=2（∠1+∠2） (10题) (13题) （16题） 二、填空题（每题3分，共30分） 11．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是________． 12．四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，?以其中任意三条线段为边可以构成___个三角形． 13．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于________． 14．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形． 15．n 边形的每个外角都等于45°，则n=________． 16如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC 的度数是_____． 17.P 为?ABC 中BC 边延长线上的一点，∠A=50°，∠B=80°，则∠ACP=_____ 18.从八边形的一个顶点出发，可以引______对角线，把八边形分成______个三角形. 19.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角是_________. 20.在四边形ABCD 中，若∠A+∠B=∠C+∠D ，∠C=2∠D ，则∠C=___________. 三、解答题(每题8分) 1.一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数。 第7题
H P G F E D C B A 三角形、 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 3. 几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于___°。②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； ②直角三角形斜边上的中线等 高 ） 于斜边的一半。③s=21ab(a 、b 分别为两直角边）或S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的高 ）
A C 第 8 题 C D B A 第 14 题 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 的度数 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度） ②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______. ⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ， ∠C = 。BD=______,CD=________ ⑨如图（第１４题），AB = AC ，BC ⊥ AD ，若BC = 6，则BD = 。 ⑩画一画 如图，在△ABC 中： （1）.画出∠C 的平分线CD （2）.画出BC 边上的中线AE （3）.画出△ABC 的边AC 上的高BF 例3： (提高) ①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B= B A Ｃ
八年级数学第11章三角形 一、选择题 1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）．A．3 B．4 C．5 D．6 2．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（） 3．（2008年??福州市）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（） A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．属于哪一类不能确定 5．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C 第5（∠C除外）相等的角的个数是（）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O， 则∠AOC+∠DOB=（） 第6题图 A、900 B、1200 C、1600 D、1800 7．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 8．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9．如图，一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。
第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN就是线段AB 的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将原命题的已知和结论交换； 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“ (5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完整. 3、用反证法证明几何命题的步骤： (1)假设命题的结论不成立. (2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾. (3)从而判断假设错误,原命题成立
H P G F E D C B A 三角形、 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 3. 几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个_____角相等；②等腰三角形_______、_____中线和______是同一条线段，三线合一；这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 （2）等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于___°。②三线合一 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； ②直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半。③s=21ab(a 、b 分别为两直角边）或S △ = 2 1 a h （ h 是a 边上的高 ） 4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 21 a h （ h 是a 边上的高 ）
A C 第 8 题 D B A 第 14 题 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 的度数 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度） ②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______. ⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ， ∠C = 。BD=______,CD=________ ⑨如图（第１４题），AB = AC ，BC ⊥ AD ，若BC = 6，则BD = 。 ⑩画一画 如图，在△ABC 中： （1）.画出∠C 的平分线CD （2）.画出BC 边上的中线AE （3）.画出△ABC 的边AC 上的高BF 例3： (提高) ①△ABC 中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B= B A Ｃ
D D D D D C B A C C C C B B B B A A A A A 第8题图C A 八年级数学第十一章三角形测试题（新课标） （时限：100分钟 总分：100分） 一、选择题：将下列各题正确答案的代号的选项填在下表中。（每小题2分，共24分。） 1.如图，△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（ ） A. 360° B. 180° C. 255° D. 145° 2.若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数， 那么由a ，b ，c 为边组成的三角形共有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 无数多个 D. 无法确定 3.有四条线段，它们的长分别为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ， 从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（ A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 4.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上都不对 5.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.不能确定 6.在下列各图形中，分别画出了△ABC 中BC 边上的高AD ，其中正确的是（ ） 7.下列图形中具有稳定性的是（ ） A. 直角三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 8.如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝40°.D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥ BC ，则∠AED 的度数是（ ） A.40° B.60° C.80° 9.已知△ABC 中，∠A ＝80°，∠B 、∠C 的平分线的夹角是（ A. 130° B. 60° C. 130°或50° D. 60°或120 10.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线， 则它是（ ） A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
word版初中数学 初中数学典型题思路分析之三角形 一、重点及易错题型思路方法归纳 二、三角形的线段和角典型题 三、全等三角形典型题 四、全章复习巩固练习 一、重点及易错题型思路方法归纳 注：例题均为★★至★★★难度. （一）解题知识要点 1.三角形三边的关系：要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形的重要线段： （1）三角形的高：线段 要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：线段 要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线 要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 3.三角形的稳定性要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形
D E C B A A B C D 第6题 第7题 第8题 第13题 第二学期八年级数学《三角形的证明》试卷A 满分120分 时间120分钟 班级 姓名 得分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点. A. 三个内角平分线 B. 三边垂直平分线 C. 三条中线 D. 三条高 2．已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积 是（ ） A.24cm 2 B.30cm 2 C.40cm 2 D.48cm 2 3．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝ 4. 面积相等的两个三角形（ ） A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对 5．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ， 则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 8．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论 ①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每题3分，共24分） 9.“等边对等角”的逆命题是______________________________． 10．已知⊿ABC 中，∠A = 090，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = . 11.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度. 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是 。 13.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC= . 14．Rt ⊿ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，则AC 与AB 两边的关系是 ， 15．在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 16．在△ABC 中，∠A=40°，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 与D ，则∠DBC 的度数为 ． 三.基础题（每题6分，共36分） 17.如图，在△ABD 和△ACD 中，已知AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：AD 是∠BAC 的平分线． 18.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 新|课 | 标|第 | 一| 网 19.如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB =AD ，求证：CD=CB . 20．如图，DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 21.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. 22.如图，ABC ?中，DE A AC AB ，，ο50=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。
八年级数学三角形测试 题 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）
A 八年级数学第十一章三角形测试题（新课标） （时限：100分钟总分：100分） 一、选择题：将下列各题正确答案的代号的选项填在下表中。（每小题 2分，共24分。） 1.如 图，△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝（） A.360°B.180°C.255°D.145° 2.若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数， 那么由a ，b ，c 为边组成的三角形共有（） A.1个 B.3个 C.无数多个 D.无法确定 3.有四条线段，它们的长分别为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ， 从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（） A.1种B.2种C.3种D.4种 4.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（） A.中线B.高线C.角平分线D.以上都不对
D D D D D C B A C C C C B B B B A A A A 第8题图 C A 5.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 6.在下列 各 图形 中，分别 画出了△ABC 中BC 边上的高AD ，其中正确的是（） 7.下列图形中具有稳定性的是（） A.直角三角形 B.正方形 C.长方形 D.平行四边形 8.如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝40°.D 、E 分别是AB 、AC 上 的点，且DE ∥BC ，则∠AED 的度数是（） A.40°B.60°C.80°D.120° 9.已知△ABC 中，∠A ＝80°，∠B 、∠C 的平分线的夹角是（） A.130° B.60° C.130°或50° D.60°或120° 10.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线， 则它是（） A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
4题图E B D A C H 三角形检测题（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（ ）． A ．1 B ．9 C ．3 D ．10 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．13 3．适合条件∠A= 1 2 ∠B=13∠C 的△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（ ） A ．30° B ．75° C ．105° D ．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．一个三角形的三个内角中 （ ） （ ） A 、至少有一个钝角 B 、至少有一个直角 C 、至多有一个锐角 D 、 至少有两个锐角 7.如图7-6，下列说法中错误的是（ ）． A ．∠1不是三角形ABC 的外角 B ．∠B <∠1＋∠2 C ．∠AC D 是三角形ABC 的外角 D ．∠ACD >∠A +∠B 8、如图4，若∠A=15°，∠B=65°，∠D=25°，则∠CEH 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 9.多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）． A ．7条 B ．8条 C ．9条 D ．10条 10．如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A=∠1+∠2 C ．3∠A=2∠1+∠2 D ．3∠A=2（∠1+∠2） (10题) (13题) （16题） 二、填空题（每题3分，共30分） 11．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是________． 12．四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，?以其中任意三条线段为边可以构成___个三角形． 13．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于________． 14．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形． 15．n 边形的每个外角都等于45°，则n=________． 16如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC 的度数是_____． 17.P 为?ABC 中BC 边延长线上的一点，∠A=50°，∠B=80°，则∠ACP=_____ 18.从八边形的一个顶点出发，可以引______对角线，把八边形分成______个三角形. 19.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角是_________. 20.在四边形ABCD 中，若∠A+∠B=∠C+∠D ，∠C=2∠D ，则∠C=___________. 三、解答题(每题8分) 1.一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数。 第7题