一、选择题：
1、设X 、Y 为随机变量，则等式D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） （A ） E （X+Y ）=E （X ）+E （Y ） （B ） E （XY ）=E （X ）E （Y ）
（C ） X 、Y 独立 （D ） D （XY ）=D （X ）D （Y ）
2、对于任意2个随机变量X 与Y ，若E （XY ）=E （X ）E （Y ），则下列式中错误的是 ）。 (A) Cov(X,Y)=0； (B) D(X ＋Y)＝D(X)+D(Y)； (C) X 和Y 相互独立； (D) X 和Y 不相关。
3、、下面的数学期望与方差都存在，当随机变量ξ、η相互独立时，下列关系式中错误的
是( )。
( A ) E ( ξη ) = E(ξ) E(η) ( B ) D ( ξ ± η ) = D （ξ） + D （η）
( C ) D ( ξη ) = D(ξ) D(η) ( D ) cov ( ξ，η ) = 0
4、两个随机变量的协方差为C ov(ξ，η)=( )。
(A) ()()22
ξξηηE E E --
(B) ()()ηηξξE E E E -- (C)
()()22ηξξηE E E ?- (D) ()ηξξηE E E ?-
5 ）
( A ) 1≤XY ρ ( B ) 1)(0≤≤x f X ( C ))()(),(Y D X D Y X Cov ≤
( D ) 1)(0≤≤x F X
解：密度函数只要大于等于零即可！
6、设随机变量)2,1(~-N X ，2,1(~N Y ，而X 与Y 不相关.令Y aX U +=和
bY X V +=，且U 与V ）
( A )0==b a ， ( B ) 0≠=b a 0=+b a ( D ) 0=ab 解：由已知)2,1(~-N X ，)2,1(~N Y 得：
,
2)(,2)(,1)(,1)(===-=Y D X D Y E X E ,3)]([)()(22=+=?X E X D X E ,3)]([)()(22=+=?Y E Y D Y E 而X 与Y 不相关∴1)()()(0-==?=Y E X E XY E XY ρ ∵U 与V 也不相关，∴)()()(V E U E UV E =，
)1)(1(3)1(3)()()()()1()()])([()(22=+?+-+-=++-?=+++=++=b a b a b ab a V E U E Y bE XY E ab X aE bY X Y aX E UV E 二、填空题：
1．设X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=0 ，D （X ）=D （Y ）=1，
则])[(2Y X E +。
解：1)()}({)()(2
22==+=Y E X E X D X E ，
2)()()(2)(])[(222=++=+Y E Y E X E X E Y X E
2．X 服从参数为2的泊松分布，Y =3X －2 ，则E （Y ）；D （Y ）。 解：2)()(==X D X E ，42(3)23()(==-=E X E Y E
18)(9)23()(==-=X D X D Y D
3．随机变量X 的E （X ），D （X ）均存在，且D （X ）>0 , 则 )
()(X D X E X Y -=
的E （Y ） D （Y ）
解：0
)]()([)
(1))()((
)(=-=
-=X E X E X D X D X E X E Y E
1]
)([)())
()((
)(2
==
-=X D X D X D X E X D Y D
4．已知)3,2(~2
N X ，且3
2
-=
X Y
解：9)(,
2)()3,2(~==?X D X E N X
5.X 服从泊松分布，且D （X ）=2 ，则 E （X ），
解： 22
22!
22}2{--===e e X P 6.若随机变量X
的概率密度为()1
22
1
-+-=x x
e x
f π
解：由
()2
1)(,1)()21,1(~2
1211
212)1(1
222
=
=???
=
=
?--
-+-X D X E N X e
e x
f x x x
ππ
7. 设X ，Y 相互独立，且X 服从均值为1，标准差为2的正态分布,而Y
服从标准正态分布,则随机变量32+-=Y X Z 解：1)(,0)(,2)(,1)()1,0(~),2,1(~====?Y D Y E X D X E N Y N X ，
9
)(,5)()9,5())()(4,3)()(2(~32==?=++-+-=Z D Z E N Y D X D Y E X E N Y X Z ∴(
)92)5(2231?--
=
z e z f π
8.现有10张奖券，其中8张面值为贰元，2张为伍元，某人从中随机地无放回地抽取3
解：设抽取2元面值的张数为X, 则此人得奖金额为：)3(52X X Y -+= 又设()3,2,1
=i X i 为第i 次抽取2元面值的张数，则∑=++==
3
1
321i i X X X X X
??
?=元
次没有抽到面值第，
元；次抽到面值第202,1i i X i ，则
4.28.03)(8.0)E (X =?=?=X E i
8.72.7154.2315)(315)]3(52E[)(=-=?-=-=-+=X E X X Y E
三、解答题：
1、设ξ是离散型随机变量，5
2)(,5
3)(21=
==
=x P x P ξξ，且21x x <，又已知
5
7)(=
ξE ，25
6)(=
ξD ，求ξ的分布律。
解：,5
75253)(21=+=
x x E ξ
2
2
2221257256)]([)(5253)(??
? ??+=+=+=X E D x x E ξξ
???==2121x x 或???
????==545
921x x (不合题意，舍去) ξ的分布律为：
2、设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数,已知每次射中目标的概率为0.4. 求数学期望为)(2X E 。
解：设i X 为第i 次射击中命中目标的次数,则∑==
10
1
i i X X ，1021,,,X X X Λ相互独立，
??
?=次没有击中目标。
第，
次射击击中目标；第i i X i 0,
1
()24.04.04.0)(4.0)(,4.0)(2
2
=-=?==i i i X D X E X E ，4)()(10
1
==∑=i i X E X E
4.2)()(10
1
==∑=i i X D X D ，4.1844.2
)}({)()(222=+=+=X E X D X E
3. 随机变量X 的分布函数为??
???<≥-= , 0 , 1)(33
a x a
x x
a x F ，求E （X ） ，D （X ）。 解：?????<≥='= ,
0 ,
3)()(4-3a x a x x a x F x f
a x a
dx x
a dx x xf X E a
a
2
32
33)()(2
3
3
3=-===∞+-∞
+-∞
+∞
-?
?
； 232
3
22
3133)()(a x a dx x a dx x f x X E a
a
=??? ??
-===∞
+∞
+-∞+∞
-?
?
；
22
243233)(a a a X D =??
?
??-=
4。已知二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为
??
???<<<<+=其他
,0;20,10,
3
1
),(2y x xy x y x f 令Y X 2Z += 求)(),(Z D Z E 。
解：（1）由数学期望的运算性质有
????∞+∞-∞
+∞
-=+
+=+=18
53
)31)(2(),()2()(2
2
10
dy xy x y x dx dxdy y x f y x Z E 01.10)3
1
()2(),()2()(2
221
22≈+
+=
+=
????∞+∞-∞
+∞
-dy xy x y x dx dxdy y x f y x Z E 3.1185301.10)(2
≈??
?
??-=Z D
5、已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布)3,1(2N 和)4,0(2N ，且X 与Y 的相关系数为
21-=XY ρ，设2
3Y
X Z +=
，求（1）)(Z E 与)(Z D ；（2）X 与Z 的相关系数XZ ρ, (3)问X 与Z 是否独立？为什么？
解：（1）9)(,1)()3,1(~2==?X D X E N X ，16)(,0)()4,0(~2==?Y D Y E N Y 由数学期望的运算性质有
3
1
2)(3)()(=+=
Y E X E Z E ，
)2
,3(2)2()3()23(
)(Y X Cov Y D X D Y X D Z D ++=+=),(21312)(41)(91Y X Cov Y D X D ??++=
)()(3
1
41Y D X D XY ρ++= 343)2
1
(315=??-+
= （2）因为),(2
1
),(31)23,
(),(Y X Cov X X Cov Y X X Cov Z X Cov +=+= )()(21)(31Y D X D X D XY ρ+=
03343)2
1
(21931=-=??-+?=，所以 0=XZ ρ （3）因X,Y 均为正态，故X,Y 的线性组合Z 也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由0=XZ ρ知，X 与Z 相互独立.
四、证明题：
1
【证】:)()}({)()}({)()(22Y D Y E X D X E Y D X D ++
}
)]([)({)]([})]([)({)]([}
)]([)(}{)]([)({2222222222X E X E Y E Y E Y E X E Y E Y E X E X E -+-+--=)()]([)()]([)]([)()(2222222XY D XY E Y X E Y E X E Y E X E =-=-=,证毕。
2、设X 与Y 的相关系数为ρ，求证;bX a X +=*
与dY c Y +=*的相关系数为±ρ；
其中a,b,c,d 均为常数，且b,d 不为零。
【证】: Cov(X*,Y*)= E[a +b X-E(a+b X)][c+d Y-E(c +d Y)]
= E[b X-b EX][ d Y-d EY] = E[b (X-EX)d (Y-EY)] = bd E[(X-EX)(Y-EY)]=bd Cov(X, Y)
又因为)()(2X D b X D =*，)()(2Y D d Y D =* 所以， )
()(),()
()(*)*,(Y D X D d
b Y X bdCov Y D X D Y X Cov Y X =
=
*
*
**ρρρ±=±=XY
3.证明：0)(2=X E 的充分必要条件是1}0{==X P [提示：利用方差的性质] 【证】:
1)0(==X P
(X D Θ
4.设X为连续型随机变量，若X的密度函数
)
(x
f在x<0时恒为0，且E(X)存在，证明：对于任意
常数a>0,有
X
E
a
X
P
)
(
}
{≤
>
【证】
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征 习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解： 由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不 大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此
第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2
则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。 三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。 四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为 证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。
习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律
(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<
概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？ 解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1） 解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P
第四章 随机变量的数字特征 I 教学基本要求 1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望； 2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差； 3、了解切比雪夫不等式及应用； 4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念； 5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理； 6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用. II 习题解答 A 组 1、离散型随机变量X 的概率分布为 求()E X 、(35)E X +、2 ()E X ？ 解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-?+?+?=-； (35)3()5 4.4E X E X +=+=； 2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-?+?+?=. 2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？ 解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为 则()80.1898100.80889.61E X =?+?≈(元). 3、设随机变量X 的分布函数为0 0()/40414x F x x x x ≤?? =<≤??>? .求()E X ？
解：由分布函数知X 的密度函数为 1/404 ()0 x f x <≤?=? ?其它 则4 ()()24 x E X xf x dx dx +∞ -∞ = ==? ? . 4、设随机变量X 服从几何分布，即1 ()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k =L ，其中 01p <<是常数.求()E X ？ 解：1 11 1 ()(1) (1)k k k k E X kp p p k p +∞ +∞ --=== -=-∑∑ 由级数 21 2 1123(1) k x x kx x -=+++++-L L (||1)x <，知 211 ()[1(1)]E X p p p =? =--. 5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即 ()! k p X k e k λλ-== (0,1,2,)k =L 求()E X 、2 ()E X ？ 解：1 00 ()!(1)!k k k k E X k e e e e k k λ λ λλλλλλλ-+∞ +∞ --- === ===-∑∑； 12 2 010 (1)()[]! (1)!!k k k k k k k k E X k e e e k k k λ λ λ λλλλλ-+∞ +∞ +∞ ---===+===-∑∑∑ 1 21 []()(1)! ! k k k k e e e e k k λ λλλλλλλλλλλ-+∞ +∞ --===+=+=+-∑ ∑ . 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布 (1) 求该工程队完成此项工程的平均时间； (2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？ 解：(1) ()100.4110.3120.2130.111E X =?+?+?+?=(月)；
《概率论与数理统计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿
省电子技术学校继续教育部二O一O年四月
练习一 一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 （A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有 （A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（） （A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是 （A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。 二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2 7． 已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(； （2）P （1 )(2)-=ξ。 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?， （,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???， （,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0 概率论第四章习题解答 1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。 “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y （3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。 解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所 以 151115()234988884 E X =?+?+?+?=。 （2）因为Y 的取值为2,3，4，9 当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故 1 21 {2}3015 C P Y == =； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 112314673 ()234915215103015 E Y =? +?+?+?== 。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12； 若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。） 解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率 因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为 Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2 ）一次检验中不需要调整设备的概率 则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律 习 题 三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>． ２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１） 确定常数k ． （２）求3}Y 1,P{X <<． （３）求 1.5}P{X <． （４）求4}Y P{X ≤+． ３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度． ４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律． ５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度． ６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度. 7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求 （１） 两周的需求量的概率密度． （２） 三周的需求量的概率密度． A . P(A B) =P(A) B . P AB 二 P A 概率论与数理统计习题 、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中) 1. 设 X~N(1.5,4)，且：?：」(1.25) =0.8944，.:」(1.75) = 0.9599，贝U P{-2 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解：() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?= = = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解： () ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =， 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求： （1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） () P B A 。解：（1）()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= 5、为了防止意外，在矿同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”, ()()() 0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===, ()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ?=+-=+=+= ()()()()()()()()()()() 0.070.080.152.0.8290.07P AB P B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---?= ==== 6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4 15 ，刮风（记作事件B ）的概率为 715，既刮风又下雨的概率为110 ，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ?。 解：()()()1 3 10(1)714 15 P AB P A B P B ===； 第3章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1．设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()m i n ,Z X Y =的 分布函数是（ ） (A) ()()()max ,Z X Y F z F z F z =???? (B) ()()()min ,Z X Y F z F z F z =???? (C) ()()()111Z X Y F z F z F z =---???????? (D) ()()Z Y F z F y = 2．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1)，则 （A ）2 1)0(=≤+Y X P （B ）2 1)1(=≤+Y X P （C ）2 1)0(=≤-Y X P （D ）2 1)1(=≤-Y X P 3．设二维随机变量(),X Y 服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（ ） (A) ,X Y 一定相互独立 (B) ,X Y 的任意线性组合12l X l Y +服从于一维正态分布 (C) ,X Y 分别服从于一维正态分布 (D) 当参数0ρ=时，,X Y 相互独立 4．,ξη相互独立且在[]0,1上服从均匀分布，则使方程220x x ξη++=有实根的概率为（ ） (A) 1 (B) 12 (C) 0.4930 (D) 4 5．设随机变量,X Y 都服从正态分布，则（ ） (A) X Y +一定服从正态分布 (B) ,X Y 不相关与独立等价 (C) (),X Y 一定服从正态分布 (D) (),X Y -未必服从正态分布 6．设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布),0(21σN ，Y 服从正态分布),0(22σN ，则 概率)1|(|<-Y X P （A ）随1σ与2σ的减少而减少 （B ）随1σ与2σ的增加而减少 （C ）随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加 （D ）随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少 7．设),(Y X 的联合概率密度为： ?? ?<+=, , 0; 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （A ） 独立同分布 （B ）独立不同分布 （C ）不独立同分布 （D ）不独立不同分布 8．设X i ~ N (0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。概率论第三章题库
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