第四章 数字特征
一．主要内容
随机变量的数学期望 方差 协方差和相关系数
二．课堂练习
1．一台设备由三大部件构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率分别 为0.10.2和,假设各部件的状态相互独立, 以X 表示同时需要调整的部件数, 试求X 的数学期望和方差.
()()2
22:X :P(X 0)0.504,P(X 1)0.398
P(X 2)0.092,P(X 3)0.006
E(X)00.50410.39820.09230.0060.6E(X )0.820,D X E(X )E(X)0.46=========?+?+?+?===-=解法一先求出的分布律则
i 1231231231231,i ,
:X i 1,2,3,
0,i ,X X X X ,X ,X ,X ,
E(X)E(X )E(X )E(X )0.10.20.30.6,D(X)D(X )D(X )D(X )0.46
?==??
=++==++=++===++=第个部件需要调整解法二设第个部件不需要调整且相互独立
2X 2.X ~U(0,1),(1)Y e ;(2)Cov(X,Y)=设求的概率密度求
2
Y X X 1,1y e ,
11112y
f (y)f (ln y)(ln y)f (ln y)2222y 0,.
?<
?其它
12X
2x 2012X
2x 202211(2)E(X),E(Y)E(e )e dx (e 1)
22
1E(XY)E(Xe )xe dx (e 1),
4
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)
111
(e 1)(e 1).
442
====-===+=-?=+--=??则
3.(X,Y)1,|y |x,0x 1,
f (x,y):E(X),E(Y),Cov(X,Y)
0,,<<
设随机变量的概率密度为
求其它 1x 0x 1x
0x 1
x
x
2E(X)xf (x,y)dxdy xdx dy ,
3
E(Y)yf (x,y)dxdy dx ydy 0,E(Y)yf (x,y)dxdy dx ydy 0,
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0
+∞
+∞
-∞-∞-+∞
+∞
-∞
-∞-+∞
+∞
-∞-∞
-=========∴=-?=?
?
????
????
??
E(X),E(Y)X,Y 求时，也可以先求的边缘密度，再用一个随机变量的数学期望公式求。
12341232344.,,,,,X ,Y ,:X Y ξξξξ=ξ+ξ+ξ=ξ+ξ+ξ设相互独立同分布且方差有限令试求与的相关系数
2i i 222222212323422
XY E(),D(),i 1,2,3,4
E(X)3,E(Y)3,D(X)3,D(Y)3,
E(XY)E()()72()92Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)2.2.
3ξ=μξ=σ==μ=μ=σ=σ=ξ+ξ+ξξ+ξ+ξ=μ+σ+μ=μ+σ∴=-?=σρ=
=
=设则 222
i i j 2
i j E(),i j
E()E()E(),i j
?ξ=σ+μ=?ξξ=?ξξ=μ≠??注 2X 5.X ~N(,),E |X |;(2)E(e ).μσ-μ设求:(1)
22
(x )2(1)E |X ||x |
dx -μ-
+∞
σ-∞
-μ=-μ?
22x t t t 2
2
|t dt te
dt .-μ
=σ
-
-
+∞
∞-∞
=
σσ=
=
?
?令
2(x )2
t 2
2222212
2
2
t
x X
x
(t )(2)E(e )e
dx(t)e
dt
e
dt e
-μσσσ+∞
+∞-
-+σ-μμ
σ
-∞
-∞
+∞
μ+
-+σμ+
-∞
====
=???令
6.设随机变量X ，Y 相互独立，都服从1
N 02
（，）分布，求：
1（）E|X-Y|;(2)D|X-Y|.
22
21
X Y N(0)X Y N(01).
2
E |X Y |,D |X Y |E[(X Y)][E |X Y |]22
D(X-Y)[E(X Y)]1X Y --=-=---=+--=-
ππ
-因与相互独立，都服从，分布，则服从，分布注：将作为一个正态随机变量求期望方便。
a ,.例题1.在长为的线段上任取两点求两点间距离的数学期望和方差
2
x y a a
D
00
2
2
2
D
2
X Y,X Y [0,a].1
,0x a,0y a
f (x,y)f (x)f (y)a 0, a
E |X Y ||X Y |f (x,y)dxdy |X Y |f (x,y)dxdy 3
a E(|X Y |)(X Y)f (x,y)dxdy 6D |X Y |E |X Y |E |X ?≤≤≤≤?=?=???-=-=-=
-=-=
-=--??????设两点的坐标分别为和则和相互独立且都服从上的均匀分布其它
则（2
2
a Y |18
-=
）
|X Y ||X Y |--注：（1）求的数字特征可不必求出的分布。
（2）这题中将|X-Y|看作X 和Y 两个随机变量的函数。
例题2.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X （公斤）服从N （50，）, 问：最多装多少水泥使总重量超过2000的概率不大于
212n n
n
2i i i 1
i 1
n
i i 1n n
2
2
2i i i i i 1
i 1
X ,X ,
,X ,N(50,2.5)n P{X 2000}0.05,X ~N(50n,2.5n),P{X 2000}0.95n 39.48,n 39.
X nX ,nX ~N(50n,n 2.5),X ~N(50n,n2.5).
=====>=≤=≈=≠∑∑∑∑∑独立同分布都服从分布，
求使得而，取注：而
XY A B E P(A)0,P(B)0,1,1,A B X,Y :X Y 0,0,A B :0,X Y .
>>??==??
??ρ=例题3.设，是随机试验的两个随机事件，且若发生若发生
并定义随机变量如下若不发生若不发生
证明若则与必定独立
XY P(X i,Y j)P(X i)P(Y j)i,j 0,10Cov X Y 0E(XY)E(X)E(Y)
P(X 1,Y 1)P(X 1)P(Y 1)P(AB)P(A)P(B),A,B ,A B,A B,A B ,P(X 1,Y 0)P(X 1)P(Y 0)P(X 1,Y 0)P(X 1)P(Y 0)P(X 1,Y 0)P(X 1)P(======ρ=======================即要证由，可得（，），则，相互独立则与与与也相互独立故
，Y 0)P(X 1,Y 0)P(X 1)P(Y 0)
P(X 1,Y 0)P(X 1)P(Y 0)P(X 0,Y 1)P(X 0)P(Y 1)P(X 0,Y 0)P(X 0)P(Y 0)X Y .
=====================，，，所以与相互独立
第五章 极限定理
一．主要内容： 大数定律 中心极限定理 二．课堂练习
1.2005%90%设某单位有台电话机，每台电话机有的时间需要使用外线通话。若每台电话机是否使用外线是相互独立的。问该单位总机至少需要安装多少条外线才能以以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用？
i n n i i 1
n n n n 1,;
X i 1,2,
,200
0,X (n 200).k ,P{0k}0.9.Y p 0.05,n 200P{0k}Y =?==??η==≤η≤≥===≤η≤=≤≤
∑第i 台电话机使用外线 设第i 台电话机不使用外线
则表示同时使用外线的电话机总数求值使令则
0.9
1.30,k 14
(0)
≈Φ-Φ≈Φ≥≥≥Φ≈则
2 装配工人装配某种零件，每只需要2分钟，但若装配不合格就需要重装， 再要用2分钟，且一定能装好。设每个零件的装配是相互独立的，每个零件需 要重装的概率为。若每个工人每天的实际工作时间是8小时，任务是装配 180个零件，求工人每天完不成任务的概率的近近似值。
i i i i i i X i 12180P(X 2)0.7,P(X 4)0.3E(X ) 2.6D(X )0.84
=======i 设第个零件的装配时间为，X 相互独立同服从两点分布，
，，，，，则
180
180
i i i 1
i 1
180
i P{X 480}1P{X 480}
X 180 2.6
11(0.9759)0.166
==>=-≤-?=-≤
≈-Φ=∑∑∑
i 180
180
i i i 1
i 1
180
i
1i X i 1,2,
,180
i P{X 60}1P{0X 60}
X
1800.3
11(0.9757)0.166
==?==??>=-≤≤-?=-≤
≤
≈-Φ=∑∑∑又考虑需重装的零件数，
第个零件需要重装
设0第个零件不需要重装