当前位置：文档之家› 高考数学专题6.2平面向量的运算第二课时解析版

高考数学专题6.2平面向量的运算第二课时解析版

6.2 平面向量的运算（第二课时）

运用一向量的线性运算

【例1】（1）（2019·河北定州一中高一开学考试）化简

()()

112a 8b 4a 2b 32??

+--????

的结果是( ) A ．2a b - B ．2b a - C ．b a - D ．a b -

（2）．将1

[2(2a +8b )-4(4a -2b )]化简成最简形式为( ) A.2a -b B.2b -a

C.a -b

D.b -a

（3）

212

()(24)(213)5315

a b a b a b --+++等于（） A.2a B.2

b C.0

D.0

【答案】（1）B （2）B （3）C

【解析】（1）原式等于()1124a 42b a 2b 32????

?-++=-+ ???????

．故选：B ．（2）

()()()

111

22844241616812242121212

a b a b a b a b a b a b ????+--=+-+=-+=-+????.

故选B. （3）

2122224426

()(24)(213)0531555331515

a b a b a b a b a b a b --+++=---++= 故选C 【举一反三】

1．化简()()

323223a b b a ---=___________．【答案】1213a b -

【解析】由题意，可得()()

32322369461213a b b a a b b a a b ---=--+=-，故答案为1213a b -．

2．1(23)3()3

a b a b --+=________________。

【答案】7

a b --

【解析】

()()

127

233334333a b a b a b a b a b --+=---=-- 故答案为7

a b --

运用二共线定理

【例2-1】设,a b 是不共线的两个非零向量.

（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；

（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4±.（3）4

k =

. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-. 又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线.

（2）设()

82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=??

，

，解得42k λ=??=?，或42k λ=-??

=-?

，

，所以实数k 的值为4±.

（3）()()

2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.

从而存在实数μ使AC CD μ=，即()

322a b a kb μ-=-，

得322.k μμ=??-=-?，解得32

3k μ?

=????=??

，所以43k =.

【例2-2】（2019·湖南高三期末（理））如图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为__________．

【解析】根据条件：1AC AN y =

，1

AB AM x

=；又11

AG AB AC =

+；∴1133AG AM AN x y =+；又M ，G ，N 三点共线；∴

1133y x

+=1； ∵x ＞0，y ＞0；

∴3x +y ＝（3x +y ）（1133x y +）44333x y y x =++≥+=

3x +y 的最小值为43+．当且仅当3x y y x =时“=”成立．故答案为：43

+．

【举一反三】

1．（2017·天津市新华中学高一期末）已知a 与b 是两个不共线向量，且向量(

)a b λ+与()

3b a -共线，则

λ的值为____．

【答案】1

【解析】由向量共线可得：()

3a b k b a λ+=-，即3a b kb ka λ+=-

13k k

λ=-?∴?=?，解得：13λ=-本题正确结果：13-

2．已知向量,a b 为平面内所有向量的一组基底，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则

,,,A B C D 四点中一定共线的三点是_________.

【答案】,,A B D

【解析】()()()

5672222BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=，所以,,A B D 三点共线.故答案为

,,A B D

3．（2019·四川双流中学高二开学考试（文））已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ?，若正实数x 、y 满足42OP xOA yOB =+，则

x y

+的最小值为______.

【答案】

+ 【解析】

42OP xOA yOB =+，24

x y

OP OA OB ∴=

+，由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，所以124

x y

+=，

又0x >，0y >，由基本不等式得

1111324244x y x y x y x y y x ????+=++=++ ???????3344

+≥=，

当且仅当4y ==时，等号成立，

因此，11x y +的最小值为34+，故答案为：

+. 4．已知两个非零向量a b ，不共线，23OA a b OB a b OC a b =+=+=+，

，. （1）证明：A B C ，

，三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b +与a kb +共线. 【答案】（1）详见解析（2）1k =±

【解析】（1）因为23OA a b OB a b OC a b =+=+=+，，，所以2()AB OB OA a b a b b =-=+-+=，

3()2AC OC OA a b a b b =-=+-+=，

所以2AC AB =，即AC 与AB 共线.

又因为AC 与AB 有公共点A ，所以A B C ，

，三点共线. （2）因为a b ，为非零向量且不共线，所以0a kb +≠.

若ka b +与a kb +共线，则必存在唯一实数λ，使()ka b a kb λ+=+，整理是()(1)k a k b λλ-=-. 因此010k k λλ-=??

-=?，解得11k λ=??=?，或1

k λ=-??=-?，

即存在实数1λ=，使ka b +与a kb +共线，此时1k =；或存在实数1λ=-，使ka b +与a kb +共线，此时1k =-，因此1k =±都满足题意.

运用三数量积

【例3】（2019·湖南高二期末（文））已知,a b 是单位向量，且满足(2)0b a b ?+=，则a 与b 的夹角为（） A.6

π B.

π C.

π D.

π 【答案】D

【解析】设单位向量a ，b 的夹角为θ，(2)0b a b ?+=，22?0a b b ∴+=

即2211cos 10θ???+=，解得1cos 2θ=-，23

πθ=∴a 与b 夹角为23π

．故选：D ．

【举一反三】

1.已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )

A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 【答案】B 【解析】|a ＋2b |＝

a ＋2b

2＝

a 2＋4a ·

b ＋4b 2＝

|a |2＋4|a ||b |cos60°＋4|b |2＝

4＋4×2×1×1

＋4＝2 3.

2.向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝

，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.13 B.12 C.15 D.14 【答案】B

【解析】由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝1

3.已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝1

①求|b |；

②当a ·b ＝1

2时，求向量a 与b 的夹角θ的值．

【答案】见解析

【解析】①因为(a －b )·(a ＋b )＝12，即a 2－b 2＝12，所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝12，故|b |＝2

②因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝2

，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.

运用四投影

【例4】（1）（2019·江西高一期末）已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则a 在b 方向上的投影为( ) A.1-

B.1

C.1

（2）（2019·山西省静乐县第一中学）在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4

B ．3

C ．-4

D ．5

【答案】（1）C （2）C 【解析】（1）

()

a a

b ⊥+，()

0a a b ∴?+=，即20a a b +?=，1a b ?=-，

a ∴在

b 方向上的投影为1

2a b b

?=-，故选C.

（2）对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，

2222

22AB AC AB AC AB AC AB AC ++?=+-?，整理得，0AB AC ?=，则AB AC ⊥，

()

16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴?=-?=?-?=-=-，

设向量BC 与CA 的夹角为θ，

所以，BC 在CA 方向上的投影为16

cos 44

BC CA BC CA BC BC BC CA

θ??-?=?=

=-?，故选：C 。【举一反三】

1．（2019·江西）已知向量a ?，b ??满足a ??(a ?+b ??)=5且|a ?|=2,|b ??|=1，则向量a ?在向量b ??方向的投影为（） A.1

2 B.1

C.3

D.2

【答案】B

【解析】设向量a

?与向量b ??的夹角为θ，则向量a ?在向量b ??方向的投影为|a ?|cosθ，因为a ??(a ?+b

??)=5，|a ?|=2，|b ??|=1，所以a ??(a ?+b ??)=(a ?)2+a ??b ??=|a ?|2+|a ?||b ??|cosθ=5，即22+1?|a ?|cosθ=5，|a

?|cosθ=1，故选B 。

2．已知16a b ?=，若a 在b 方向上的投影为4，则b =___________. 【答案】4

【解析】设a 与b 的夹角为θ，∵16a b ?=，∴cos 16a b θ=. 又∵a 与b 方向上的投影为4，∴cos 4a θ=，∴4b =.故填：4. 3．已知9a b ?=-，a 在b 方向上的投影为3-，b 在a 方向上的投影为3

-，则a 与b 的夹角θ为________. 【答案】120?

【解析】∵cos 33

cos 2a b θθ?=-?

?=-??，，∴332a b b a b a ??=-?????=-??

，，即9

3932b a -?=-???-?=-??，，∴63.a b ?=??=??， ∴91

cos 632

a b a b

θ?-==

=-?.∵0180θ??，∴120θ?=.

运用五三角形相关问题

【例5】（1）（2018·四川高考模拟（文））已知G 为ABC ?的重心，过点G 的直线与边,AB AC 分别相交于点,P Q ，若3

AP AB =

,则ABC ?与APQ ?的面积之比为_____. （2）（2018·上饶中学高三期中）已知P 是三角形ABC 所在平面内的任意一点，且满足230,PA PB PC ++=则APC

S :ABC

=______

【答案】（1）

（2）1:3 【解析】（1）

设AQ x AC =，

,,P G Q 三点共线，

∴可设()1AG AP AQ λλ=+-，

()315

AG AB xAC λ

λ∴=

+-， G 为ABC ?的重心，

()

3AG AB AC ∴=

+， ()1131335AB AC AB xAC λλ∴+=+-， ()1335113

x λλ?=??∴??=-??，解得5934x λ?=????=

??，

4AQ AC ∴=

， 1

sin 20219sin 2

ABC

APQ

AB AC A

S S AP AQ A ??==，故答案为20

9. （2）取D ，E 分别为AC ，BC 的中点，则PA PC +=2PD ，PB PC +=2PE ． ∵230PA PB PC ++=，∴（()

)20PA PC PB PC +++=+2（PB PC +）0=， ∴20PD PE +=，

∴

P 是DE 上靠近E 的三等分点， ∴13

PAC

ABC

S ，

= 故答案为：1:3．

【举一反三】

1．（2019·浙江高二月考）点P 在ABC ?所在平面上，且满足2PA PB PC AB ++=，则

PAB

ABC

S S ??=（）

【答案】B

【解析】因为22()PA PB PC AB PB PA ++==-,所以3PA PB PC CB =-=,所以,PA CB 共线，且

3PA CB =，所以

PAB ABC S S ??=.故选B. 4．（2019·江西玉山一中高一期中（理））如图所示，设P 为ΔABC 所在平面内的一点，并且AP ????? =14AB ????? +12AC ????? ，则ΔBPC 与ΔABC 的面积之比等于（）

A.2

5 B.3

C.3

D.1

【答案】D

【解析】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以CP

????? =mCA ????? +nCD ????? (m +n =1)，设CD ????? =kCB ????? 代入可得CP

????? =mCA ????? +nkCB ????? 即AP

????? ?AC ????? =?mAC ????? +nk(AB ????? ?AC ????? )?AP ????? =(1?m ?nk)AC ????? +nkAB ????? 又因为AP ????? =14AB ????? +12AC ????? ，即nk =14,1?m ?nk =12，且m +n =1 解得m =1

4,n =3

所以CP ????? =14CA ????? +34

CD ????? 可得AD ????? =4PD ????? 因为ΔBPC 与ΔABC 有相同的底边，所以面积之比就等于|DP ????? |与|AD ????? |之比所以ΔBPC 与ΔABC 的面积之比为1

4 故选D

运用六求参数

【例6】（2019·黑龙江哈师大附中）在ABC ?中，点D 满足3

BD BC =

，当

E 点在线段AD （不包含端点）

上移动时，若AE AB AC λμ=+，则3

λμ

的取值范围是（）

．[

+∞ B ．[2,)+∞ C ．17

(

,)4

+∞ D ．(2,)+∞

【答案】C

【解析】如图所示， △ABC 中，3

BD BC =

， ∴3344AD AB BD AB BC AB =+=+

=+（AC AB -）13

AB AC =+，又点E 在线段AD （不含端点）上移动，设AE =k AD ，0＜k ＜1， ∴344

k k

AE AB AC =

+，又AE AB AC λμ=+，

∴434k k λμ?=????=??

，

∴3

4k k

λμ

+． ∵

4k k

+在（0，1）上单调递减， ∴λ3

的取值范围为（

，+∞），故选：C ．

【举一反三】

1．（2018·河南）在ΔABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →

=2DC →

，点O 在线段CD 上（与点C ，D 不重合）若AO →

xAB →+(1?x )AC →

，则x 的取值范围是（） A.(0,1) B.(2

,1) C.(0,1

)

D.(13,2

) 【答案】C

【解析】

∵AO ??????=xAB →+(1?x )AC →=x(AB →?AC →)+AC →

，即CO ??????=x ?CB ??????. ∴|CO

??????||CB ??????|

=x ，

∵BD →

=2DC →

,即BC ??????=3DC →

, ∴0

|CD

??????||CB

??????|=1

，

∴x 的取值范围是(0,1

3)，故选：C.

2．（2019·吉林高二期末（理））在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若

OG OA xOB yOC =++，且G ，M ，N 三点共线，则x y +=

A ．13-

B ．13

C ．23

D ．2

【答案】B

【解析】若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得(1)OG ON OM λλ=+-1222

OA OB OC λλλ

-=++成立，所以

1123λ-=，可得1

3λ=，所以16x y ==，可得13

x y +=.故选：B

1．（2019·湖南师大附中高一期中）对3个非零平面向量,,a b c ，下列选项中正确的是（） A.若0a b λμ+=，则0λμ== B.若a b a c ?=?，则b c =

C.若()

()a b c a c b ?=?，则b c = D.,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D

【解析】(1) a 与b 在同一条直线上，故A 错（2）a 可能为0向量，故B 错

（3）向量运算不满足交换律，所以C 错

（4）,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角，如都为120故选：D

2．（2019·吉林长春外国语学校高一期中）有4个式子：①0?a ?=0??；②0?a ?=0；③0???AB ????? =BA ????? ；④|a ??b ??|=|a ?||b

??|；其中正确的个数为( ) A.4 B.3

C.2

D.1

【答案】C

【解析】由向量乘以实数仍然为向量，所以0?a ?=0??，故①正确，②错误；由AB ????? +BA ????? =AA ????? =0? ，所以0???AB

????? =BA ????? ，即③正确；由|a ??b ??|=|a ?||b ??||cos θ|，得|a ??b ??|=|a ?||b ??|不一定成立，故④错误.故选C 3．（2019·江西高一月考）如图，在ABC ?中，23

AD AC =，1

3BP PD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ

+的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】由题意得：()

1131

4444

AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+

=+-=+ 31231

44346

AB AC AB AC =

+?=+ 又AP AB AC λμ=+，可知：3111

4612

λμ+=

+=本题正确选项：A 4（2019·重庆市大学城第一中学校高一月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（）

（1）0·a =0 （2） a ·b =b ·a （3）2

2a a = （4）()()a b c a b c ??=?? （5）a b a b ?≤?

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】（1）因为数与向量相乘为向量，所以0·a =0错误（2）向量的数量积运算满足交换律，所以a ·b =b ·a 正确（3）根据数量积的定义知2

2||||cos0||a a a a ==，所以2

2a a =，正确（4）根据数量积的定义知，数量积为一实数，所以 ()

a b c ?? 为mc ，而()a b c ??为na ，所以()()

a b c a b c ??=?? 错误（5）因为a b a b cos α?=，a b a b cos α?=，所以a b a b ?≤?错误.故选C. 5．（2019·广东高一期末）已知22a =，3b =，a ，b 的夹角为

，如图所示，若52AB a b =+，3AC a b =-，且D 为BC 中点，则AD 的长度为( )

152

C.7

D.8

【答案】A

【解析】根据条件：()()()

11115,23632222

AD AB AC a a b b a b a b =

+=+-=-=-； 2

221115AD 393721842a b a a b b ?

?∴=-=-?+=-= ??．

故选：A ．

6．（2019·黑龙江大庆实验中学高一期末）在三角形ABC ?中，若点P 满足

1231

,3344

AP AB AC AQ AB AC =

+=+，则APQ ?与ABC ?的面积之比为（） A ．1:3 B ．5:12

C ．3:4

D ．9:16

【答案】B

【解析】因为1233AP AB AC =

+，所以12

()()33

AP AB AC AP -=-，即2BP PC =，得点P 为线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+，所以31

()()44

AQ AB AC AQ -=-，即3BQ QC =，

得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以5

PQ BC =

，所以APQ ?与ABC ?的面积之比为5

APQ ABC

S PQ S

BC =

=，选择B 7．（2019·山东高三期末（理））已知2a b ==，且0a b ?=，()

c a b =+，2

d c -=，则d 的取值范围是(

) A ．0,??

B ．[]

0,2

C ．0,2????

D ．[]

0,1

【答案】A

【解析】如图所示：a OA b OB ==，，且OA OB ⊥，又()

c a b =

+，取AB 中点为C ，可得c OC =, ∵2d c -=

∴

d 的终点D 在以C 为半径的圆上运动，当D 点在O 点时，d 的最小值为0；

当D 点在OC

的延长线时，d 的最大值为

∴d 的取值范围是0,22???

故选：A

8．（2019·石嘴山市第三中学高考模拟（文））已知ABC ?中，10AB =，6AC =，8,BC M =为AB 边上的中点，则CM CA CM CB ?+?= ( ) A.0 B.25

C.50

D.100

【答案】C

【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM

为斜边上的中线，所以5CM =，

原式=()

·222550CM CA CB CM CM +==?=.故选C. 9．（2018·四川省眉山第一中学高一月考）下列命题正确的是（） A.()()a b c a b c ?=? B.若a b b c ?=?，则a c = C.()a c b c a b c ?-?=-? D.若0,=0a b a ?=或0b =

【答案】C

【解析】A.因为向量之积的计算涉及到向量的夹角，故错误，B.向量的运算不满足除法法则故错误，D.两向量之积为0，也可以为当两向量垂直时，故错误，所以选C.

10．（2019·吉林延边二中高一月考）已知,a b 为非零不共线向量，向量8a kb -与ka b -+共线，则k =（）

A ．

B ．-

C ．±

D ．8

【答案】C 【解析】

向量8a kb -与ka b -+共线，

∴存在实数λ，使得8()a kb ka b λ-=-+，即8a kb k a b λλ-=-+

又

,a b 为非零不共线向量，

∴8k

k λ

=-??-=? ，解得：k =±，故答案选C

11．向量a 的模为10，它与x 轴正方向的夹角为150?，则它在x 轴正方向上的投影为（）

A ．-

B ．5

C ．5-

D ．

【答案】A

【解析】a 在x 轴正方向上的投影为cos150a ?

?=-.故选A.

12．（2019·湖南高一期末）已知b 的模为1．且b 在a a 与b 的夹角为（） A ．30? B ．60?

C ．120?

D ．150?

【答案】A

【解析】由题意，1b =，则b 在a

方向上的投影为cos 1cos b θθ=

，解得cos 2

θ=，又因为[0,180]θ∈，所以a 与b 的夹角为30θ=，故选：A ．

13．设单位向量1e 、2e 的夹角为23

，122a e e =+，1223b e e =-，则b 在a 方向上的投影为（

） A.

－

【答案】A

【解析】依题意得1221

11cos 32

e e π?=??=-，(

)

12122443a e e e e e e =+=++?=，

()()

121212129

223262

b e e e e e e e e ?=+?-=-+?=-，

因此b 在a 方向上的投影为

a b a

-?=

= A.

14．设点O 在ABC ?的内部，且2340OA OB OC ++=，若ABC ?的面积是27，则AOC ?的面积为（） A ．9 B ．8

C ．

D ．7

【答案】A 【解析】

延长OC 到D ，使得OD=2OC, 因为2340OA OB OC ++=，所以3

202

OA OB OC +

+=，

以OA ，OD 为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE 交AC 于H, 因为2OD OC =, 所以32

OE OB =-, 因为OC:AE=1:2, 所以OH:HE=1:2, 所以31

3,22

OH OB OH OB =-∴=-, 所以1

OH BH =

, 所以AOC ?的面积是ABC ?面积的13

，所以AOC ?的面积为9. 故选：A

15．给出下列结论：①0a ≠，0a b ?=，则0b =；②若a b b c ?=?，则a c =；③若()0a λλ=∈R ，则

0λ=或0a =；④22a b =，则a b =或a b =-；⑤()()

a a c

b b

c ?=?；⑥()()

0b b a a c c a ????-?=??

..其

中正确结论的序号是________________.（写出所有正确结论的序号）【答案】③⑥

【解析】因为两个非零向量a ，b 垂直时，0a b ?=，故①不正确；当0a b c =⊥，时，0b b a c ?=?=，但

不能得出a c =，故②不正确；③显然正确；若22

a b =，则a b =，故④不正确；向量()

a b c ?与c 共线，

()

a b c ?与a 共线，故⑤不正确；⑥正确，()()()()()()

0a b a c c a b a b a c a c a b ???-?=??-??=??

16．（2019·上海市七宝中学高二月考）已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC AM BD λμ=+，则

λμ+=________

【答案】

【解析】令,,AB a AD b ==则1

,,=2

AC a b AM a b BD b a =+=+-，

有∵AC AM BD λμ=+，∴11+=+22

a b a b b a a b λ

μλμλμ+=+--（）（）()+()，

∴=11

+=12λμλμ-????? 解得：4=3

1=3

λμ??????? ∴5

λμ 17．（2019·浙江高一期中）已知点M 是ABC ?所在平面内的一点，若满足620AM AB AC --=，且

ABC ABM S S λ??=，则实数λ的值是______.

【答案】3

【解析】记2AM AN =

AN AB AN AC -+-=220

2BN NC ∴=，ABC ABN S S ??=3

又ABM ABN S S ??=1

ABC ABM S S ??∴=3，从而有3λ=.

18．（2019·上海复旦附中高考模拟）△ABC 所在平面上一点P 满足PA PC mAB +=（0m >，m 为常数），若△ABP 的面积为6，则△ABC 的面积为_____. 【答案】12

【解析】取AC 的中点O ，则

PA PC mAB +=（0m >，m 为常数）

， 2mAB PO ∴=，

C ∴到直线AB 的距离等于P 到直线AB 的距离的2倍，

故S △ABC =2S △ABP =12. 故答案为：12.

19．（2019·北京一零一中学双榆树校区高一期末）已知点O 为△ABC 内一点，OA ????? +2OB ????? +3OC ????? =0??

，则

S ΔABC S ΔAOC

=_________。

【答案】3

【解析】如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；

OA →+2OB →+3OC →=(OA →+OC →)+2(OB →+OC →

) =2OE →+4OD →

=0→

∴OE →=?2OD →

；

∴D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线； ∴DE =3

2OE ，AB ＝2DE ； ∴AB ＝3OE ； ∴S △ABC

△AOC

=3．

故答案为：3．

20．（2011·辽宁高二期末（理））如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若,AB mAM AC nAN ==,则m +n 的值为．

【答案】2

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（Ａ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9）设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10）设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2．在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______．考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八平面向量 1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可．由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ，所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________．【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ，下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ，由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ．一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

2020高考数学专题复习-解析几何专题

《曲线的方程和性质》专题一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23

2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为（） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点 P 到右准线的距离是（）

高考数学平面向量及其应用习题及答案

一、多选题 1．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()1 2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

(完整版)《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9．圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示 3、多边形法则原理已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示运算律交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

(完整版)高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（）（A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（）（A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝－5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （）（A ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（B ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（）（A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）

2020年高考数学试题分类汇编平面向量

九、平面向量一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D

人教版高考数学专题复习：解析几何专题

高考数学专题复习：解析几何专题【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==．故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.

20高考数学平面向量的解题技巧

20高考数学平面向量的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5

文档之家

高考数学专题6.2平面向量的运算第二课时解析版

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量试题汇编

高三数学解析几何专题

2019高考数学真题汇编平面向量

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

2020高考数学专题复习-解析几何专题

高考数学平面向量及其应用习题及答案

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

(完整版)《平面向量》测试题及答案

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

20高考数学平面向量的解题技巧

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

(完整版)高中数学平面向量测试题及答案

2020年高考数学试题分类汇编 平面向量

人教版高考数学专题复习：解析几何专题

20高考数学平面向量的解题技巧

2020年高考数学试题分类汇编平面向量