2013高考数学二轮复习精品资料专题06 平面向量教学案（教师
版）
【2013考纲解读】
1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【知识网络构建】
【重点知识整合】 1．平面向量的基本概念 2．共线向量定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λ·a .如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1或者x 1y 2－x 2y 1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x 2x 1＝y 2
y 1
，即对应坐标的比值相等．
3．平面向量基本定理
对于任意a ，若以不共线的向量e 1，e 2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使
a ＝λe 1＋μe 2.
4．向量的坐标运算
a ＝(x 1，y 1)，
b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa
＝(λx 1，λy 1)．
5．数量积
(1)已知a ，b 的夹角为〈a ，b 〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a ·b ＝|a |·|b |cos θ，其中|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c ；
(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；
(3)两非零向量a ，b 的夹角公式为cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 2
2
； (4)|a |2
＝a ·a .
(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零． 【高频考点突破】
考点一 向量的有关概念和运算
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为a
|a |.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． 例1、已知关于x 的方程：·x 2
＋
·2x ＋＝0(x ∈R)，其中点C 为直线AB 上一点，
O 是直线AB 外一点，则下列结论正确的是 ( )
A ．点C 在线段A
B 上
B ．点
C 在线段AB 的延长线上且点B 为线段AC 的中点 C ．点C 在线段AB 的反向延长线上且点A 为线段BC 的中点
D ．以上情况均有可能
【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点
(1)正确理解向量的基本概念；
(2)正确理解平面向量的基本运算律，a ＋b ＝b ＋a ，a·b ＝b·a ，
λa·b ＝λ(a·b )与a (b·c )≠(a·b )c ；
(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中 一定要重视，如有遗漏，则会出现错误.
考点二 平面向量的数量积
1． 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角
的余弦的乘积，
其符号由夹角的余弦值确定．
2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a |·|b |先求出夹角的余弦值，
然后求夹角；向量a 在向量b 方向上的投影为
a·b
|b |
.
【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝
a·b
|a ||b |
及向量模的公式|a |＝a·a .
(2)在涉及数量积时，向量运算应注意： ①a·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0； ②|a·b |≤|a ||b |；
③a (b·c )与(a·b )c 不一定相等. 考点三 平面向量与三角函数的综合应用
通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．
例3.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π
4
，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．
[解] (1)法一：由已知得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2
＝(cos β－1)2
＋sin 2
β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2
≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |max ＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.
法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.
当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.
【难点探究】
难点一 平面向量的概念及线性运算
例1、 (1)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，
C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ1＝λ2＝－1
B ．λ1＝λ2＝1
C ．λ1·λ2＋1＝0
D ．λ1λ2－1＝0
(2) 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4
→
＝μA 1A 2→
(μ∈R)，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)
调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点
B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C 、
D 可能同时在线段AB 上
D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上
【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →
，则A ，
B ，
C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.
【变式探究】(1)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线
AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
(m ，n >0)，则1m ＋4
n
的最小值为( )
A ．2
B ．4 C.9
2
D ．9
(2) 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
【答案】(1)C (2)(－4，－2)
【解析】 (1)MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC →
2－1m AB →＝? ??
??12－1m AB →＋12AC →
，
同理NO →＝? ????12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故? ????12－1m AB →＋12AC →
＝λ??????? ??
??12－1n AC →＋12AB →，
即? ????12－1m －λ2AB →＋? ??
??12－λ2＋λn AC →
＝0.
难点二 平面向量的数量积
例2 如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA →＝a ，OB →
＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP →
＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )
A ．5
B ．3 C.52 D.3
2
【答案】C
【解析】 设AB 中点为D ，c ＝OP →＝OD →＋DP →，所以c ·(a －b )＝(OD →＋DP →)·BA →＝OD →·BA →
＋
DP →·BA →＝OD →·BA →＝1
2(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52
.
【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．
【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p 1：|a ＋b |＞1?θ∈?
??
?
??
0，2π3； p 2：|a ＋b |＞1?θ∈?
???
?2π3，π； p 3：|a －b |＞1?θ∈?
???
??
0，π3
；
p 4：|a －b |＞1?θ∈? ??
??π3
，π.
其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4
(2)在△OAB 中，设OA →＝a ，OB →
＝b ，则OA 边上的高等于________．
难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用
例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，
椭圆的离心率为e ＝1
2
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →
的取值范围；
(3)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且AH →2＝MH →·HN →
，求证：直线l 恒过定点．
【解答】 (1)由已知得c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，又A (－2,0)，F 1(－1,0)， ∴PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 2
0＝14
x 20＋3x 0＋5.
由于P (x 0，y 0)在椭圆上，∴－2≤x 0≤2，可知f (x 0)＝14x 2
0＋3x 0＋5在区间[－2,2]上单
调递增，∴当x 0＝－2时，f (x 0)取最小值为0；当x 0＝2时，f (x 0)取最大值为12，∴PF 1→·PA →
的取值范围是[0,12]．
(3)由?????
y ＝kx ＋m ，x 24＋y
2
3
＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0，
由Δ>0得4k 2
＋3>m 2
.
【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM →·AN →
＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k ，m 的方程，确定k ，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．
【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝4
3x ，
右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：x ＝9
5
交于M 、N 两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：FM →·FN →
为定值．
【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，则
?????
b a ＝43，
c ＝5，c 2
＝a 2
＋b
2
??
??
??
a ＝3，
b ＝4，∴所求双曲线方程为x 29－y 2
16
＝1.
(2)A 1(－3,0)、A 2(3,0)、F (5,0)，
设P (x ，y )，M ? ????95，y 0，A 1P →＝(x ＋3，y )，A 1M →＝? ????245，y 0，
∵A 1、P 、M 三点共线，∴(x ＋3)y 0－24
5y ＝0，
∴y 0＝
24y 5
x ＋3，即M ? ????9
5，24y 5
x ＋3. 同理得N ? ??
??9
5
，－6y 5x －3.
∴FM →＝? ????－16
5，24y 5x ＋3，FN →＝?
??
??－165，－6y 5
x －3，
∴FM →·FN →＝25625－144
25·y 2
x 2－9. ∵x 2
9－y 2
16＝1，∴y 2
x 2－9＝169
，
∴FM →·FN →＝25625－14425·169＝25625－25625＝0，即FM →·FN →
＝0为定值．
【历届高考真题】 【20XX 年高考试题】
1.【2012高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且
c b c a //,⊥，则b a +
（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10
2.【2012高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa
D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
3.【2012高考真题四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||
a b
a b =
成立的充分条件是（ ）
A 、a b =-
B 、
//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b = 【答案】C 【解析】A.可以推得
|
||
|b a -
=为既不充分也不必要条件；B.可以推得
||||
a b
a b =
或
|
||
|b b a a -
=为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.
4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是
(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b
5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段
CD 的中点，则
22
2
PA PB PC
+=
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10 【答案】D
【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设
0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则)2,2(b a D ，)4,4(b
a P ,所以1616)4()4(22222
b a b a PC +=
+=，16
916)4()4(222
22b a b b a PB +
=-+=，
16
169)4()4(2222
2
b a b a a PA +
=+-=，所以
2
2222222
2
10)1616(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以102
2
2
=+PC
PB PA ，选D.
6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =. A.3 B.7 C.22 D.23
7.【2012高考真题广东理3】若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =
A ．（-2,-4）
B ． (3,4)
C ． (6,10)
D ． (-6,-10) 【答案】A
【解析】)4,2()7,4()3,2(--=-=-=CA BA BC ．故选A ．
8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义
β
ββαβα??= ．若平面向量a ，b 满足|a|≥|b|＞0，a 与b 的夹角)4,0(π
θ∈，且b a 和a
b 都在集合}|2{Z n n
∈中，则b a =
A ．12 B.1 C. 32 D. 52
【答案】C 【
解
析
】
因
为
22
cos cos |
|||>
≥=??=θθb a b b b a b a ，
1cos cos |
|<≤=?=θθa a a a b ，
且b a 和a b 都在集合}|2{Z n n ∈中，所以21cos ||==θa b a b ，θcos 21|
|=
a b ，所以2cos 2cos |
|2<==θθb b a
，因为)4,0(π
θ∈，所以21<
选C ．
9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转
34
π
后，得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） ()A (72,2)--()B (72,2)- ()C (46,2)--()D (46,2)-
10.【2012高考真题天津理7】已知ABC ?为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，
AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若2
3
-
=?CP BQ ，则λ= （A ）
2
1
（B ）221±
（C ）2101± （D ）2
2
23±-
【答案】A
11.【2012高考真题新课标理13】已知向量,a b 夹角为45?，且1,210a a b =-=；则
_____b =
12.【2012高考真题浙江理15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ?=________.
【答案】-16
【解析】法一此题最适合的方法是特例法．
假设?ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，
AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34．
cos∠BAC ＝34341008
23417
+-=-?．AB AC ?＝cos 16AB AC BAC ?∠=-
法
二：
163104
1
41)21()21(2222-=+?-=+-=+?+-=?AM BC AM BC AM BC AC AB .
13.【2012高考真题上海理12】在平行四边形ABCD 中，3
π
=∠A ，边AB 、AD 的
长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|
||
|CD CN BC BM =
，则AN
AM ?的取值范围是。
14.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心
位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.
【答案】)2cos 1,2sin 2(--
【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角
2=∠PCA ,
,则
2
2π
-
=∠PCA ,所以
2cos )22sin(-=-
=π
PB ，2sin )2
2cos(=-=π
CB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP 。
15.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为______。
16.【2012高考真题安徽理14】若平面向量,a b
满足：23
a b
-≤，则a
b的最小值是_____。
【答案】
9
8
-
【解析】
22
22
23494
9
444944
8
a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
-≤?+≤+
+≥≥-?+≥-?≥-
17.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD中，22
AB BC
==
，，点E为BC 的中点，点F在边CD上，若2
AB AF=，则AE BF的值是▲ ．【答案】2。
【20XX年高考试题】
1. (20XX年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BA CD EF
++=( )
(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D
解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.
2. (20XX 年高考全国卷理科12)设向量a b c 、、满足|a |=|b |=1, a b ?1
=2
-,，,a c b c <-->=060，则c 的最大值等于
(A)2 (B)3 (c)2 (D)1 【答案】A
【解析】如图，构造AB =a , AD =b , AC =c ,
120,60BAD BCD ∠=∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，
可知当线段AC 为直径时，c 最大，最大值为2. 二、填空题:
1.(20XX 年高考浙江卷理科14)若平面向量α，β满足1α=，1β≤，且以向量α，
β为邻边的平行四边形的面积为1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是。
【答案】5[,]66
ππ
【解析】111
2sin ,1,1,sin 222
αβθαβθ?==≤∴≥
又，又
[0,],θπ∈5[,]66
ππ
θ∴∈
2.(20XX 年高考安徽卷理科13)已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，
2b =，则a 与b 的夹角为.
B
D
C
3.(20XX 年高考重庆卷理科12)已知单位向量,i j c c 的夹角为60，则2i j c c -=
解
析
：
3
。
()
2
2
2
2244414cos603i j i
j
i j i j c c c c c c c c -=
-=+-=+-?=
4.(20XX 年高考安徽卷江苏10)已知→
→
21,e e 是夹角为
π3
2
的两个单位向量，,,22121→→→→→→
+=-=e e k b e e a 若0=?→
→b a ，则k 的值为.
【答案】54
【
解
析
】
a b →→
?=1212(2)()e e k e e →→→→
-+=2
2
1122(12)2k e k e e e →→
+-?-=2(12)cos
23
k k π
+--=0,解得54
k =
. 【20XX 年高考试题】
（2010全国卷2理数）（8）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，
CA b =，1a =，2b =，则CD =
（A ）1
233a b +
（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355
a b +
6.（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等
于
(A)222|||()|a b a b - (B) 222|||()|a b a b + (C)
2221|||()2|a b a b - (D) 2221
|||()2
|a b a b + 【答案】C
【解析】三角形的面积S=
1
2
|a||b|sin
||||1cos ,||||sin ,22
a b a b a b a b -<>=<>
7.（2010重庆理数）(2) 已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ?===，则2a b -= A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 解析：2a b -=22844)2(222==+?-=-b b a a b a
8.（2010四川理数）（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=
（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1
9.（2010江西理数）13.已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，则a b -=
【答案】3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知
识，如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-=，由余弦定理得：3a b -=
10.（2010广东理数）10.若向量a =（1,1,x ）, b =(1,2,1), c =(1,1,1),满足条件
()(2)c a b -?=-2,则x = .
解析：
(0,0,1)c a x -=-，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2c a b x x -?=-?=-=-，解得2x =．
11.（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； 设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
解析：（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则
(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=
所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-= 故所求的两条对角线的长分别为42、210。
13.（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；