基于线性规划的灵敏度分析问题的研究
摘要：本文主要研究的是线性规划的灵敏度分析问题。讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。最后通过实例进行说明验证。
本文对线性规划的灵敏度分析问题进行研究，主要内容如下：
第一章主要是简单的介绍了线性规划的发展历程，在线性规划的灵敏度分析的含义，灵敏度分析在其他方面的应用。
第二章，技术系数矩阵A发生变化时，最优解的变化。举例验证，应用LINGO 软件，进行灵敏度分析，确定在什么范围内，最优解不变。
第三章，资源向量b发生变化时，讨论最优解的变化情况。并举例验证其理论知识，应用LINGO软件，确定在什么变化范围内，最优解不变。
第四章，价值系数C发生变化时，最优解的变化情况。举例验证其理论实施过程，应用LINGO软件，分析其灵敏度。
第五章，对本文研究内容进行总结，指出一些不足之处，并提出进一步研究的方向。
关键词：运筹学；线性规划；灵敏度分析；技术系数；资源向量；价值系数；LINGO
The inventory model under uncertain demand Abstract:
第一章 绪论
随着运筹学的发展，线性规划方面的知识也得到了逐步的完善，并广泛地运用到实际的生活中，尤其给经济管理和决策提供了强有力的理论根据．管理部门和企业在进行生产或投资决策时，一般通过建立数学模型和对模型的求解，做出具体的决策方案．在建立模型和求解的过程中，都是以价值系数j c 、资源系数j b 和消耗系数ij a 为基础的，这些数据不但难以确定，而且市场价格的变动、资源供应的波动、工人技术的提高、设备的改进等，都会使这些数据变动．本文讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。
线性规划发展史
1）1939年，前苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法。
2）美国学者希奇柯克（Hitchcock ，1941）独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题。
3）1947年，美国学者丹捷格（Dantzig ）提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展。
灵敏度分析的概念
研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
灵敏度分析的应用领域 线性规划中灵敏度分析
对于线性规划问题：
1
max
n
j j
j X c x ==∑公式
1
.1,2,0
1,2,
n
ij j
i
j j s t
a x
b i m x j n
=≤=≥=∑
这里max 表示求极大值，..s t 表示受约束于，X 是目标函数,j x 是决策变量。通常假定ij a ，i b 和j c 都是已知常数。但是实际上这些参数往往是一些根据估计或预测得到的数据，因而存在误差。同时，在实际过程中，这些参数还会发生不同程度的变化。例如，在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的j c 一般同市场条件等因素有关。当市场条件等因素发生变化时，j c 也会随之而变化。约束条件中的 ij a 随工艺条件等因素的变化而改变，i b 的值则同企业的能力等因素有关。线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是：当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。
投入产出法中灵敏度分析
可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10％对国民经济各部门商品价格的影响。研究的结果表明，在职工工资增加10％时，建筑业产品的价格将上涨7％，农产品的价格将上涨1.3％，其余各部门产品价格将上涨1.3～7％不等,生活费用将上升3.8％，职工的实际得益为6.2％。
方案评价中灵敏度分析
可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。
定货批量的灵敏度分析
在分析整批间隔进货模型中，经济订货批量Q 可用下式计算：i i i I WV
= 。式中D 为单位时间需求量，K 为每次订货的固定费用，h 为单位时间内每单位物资的保管费。它们一般都是根据统计资料估算的，与实际情况有所出入，需要进行灵敏度分析。用D1，K1，h1和Q 壒分别表示实际的需求量、订货量、保管费和调整
后的经济订货批量。ΔD ，ΔK, Δh 和ΔQ 分别代表需求量、订货量、保管费和经济订货批量的相对变化值，即：
1n
i i
i I WV ==∑
1/n
i i i n
I WV ==∑∑
1h h h h -=
***
1*Q Q Q Q -= 通过计算后可得：
*(1
Q +=
代入具体的数值后便可用上式说明 ΔD 、ΔK 和Δh 对订货批量的综合影响程度。
第二章 技术系数的变化改进目标函数值的原理
模型符号意义：
()12,,
,T
n X X X X =为决策向量；
()12,,
,n C C C C =为价值向量；
()12,,
,T
n b b b b =为资源向量；
()
*ij m n
A a =为系数矩阵;；
Z 为目标函数值( 不妨设为总利润) 。
设B 为原最优基，B X 为基变量向量，*
Z 为最优值，δ为检验数向量, 则有：
1*11,,B B C X B b Z C B b C C B A δ---===-
假设线性规划问题为
max ..(1)0
Z CX
AX b s t X =≤??
≥?
相应的最优单纯形表如表1 所示． 表1 线性规划问题（1）
第三章 资源向量b 的变化改进目标函数值的原理
定理1 当资源向量由b b b +?变化为时(()0,
,,
,0T
r b b ?=?)，那么必存
在区间r I ，当r r b I ?∈时，规划问题（1）的最优基不变（或者影子价格不变）。
证明：当b b b +?变化为时，要保持最优基不变，则必有()10B X B b b -=+?≥。由于()()1110,
,,
,0T
r B b b B b B b ---+?=+?，
令
()112210,
,,
,0r r
r
T
r r r r r
mr
mr r
a b a a b a B b b a a b -???=
=??，
则有
0,i ir ir i r r b a b a b b +?≥??≥-
其中1,2,,i m =。而当0ir a >时，i r ir b b a ?≥-
；当0ir a <时，i
r ir
b b a ?<-，于是
{}
{}
max |0min |0i ir ir r i ir ir r
b a a b b a a I ->≤?≤-<=。
所以这样的区间同样存在。
定理2是当资源向量中的单元素在一定的区间上变化时，最优基不变的判定定理．下面给出当资源向量多元素同时变化的判定方法，作为定理2 的推论。
推论1 资源向量b 中的多元素同时变化时，若这些变化量占可行增加或者是可行减少的百分率之和没有超过100％，则最优基（或者影子价格）不变。
第四章 资源向量b 的变化改进目标函数值的原理
定理2【1】 当价值向量由C 转化到C C +?(其中()0,0,
,,
,0i C c ?=?)，
那么必存在区间i I ，当i i c I ?∈时，规划问题（1）的最优解不变．其中1,2,
,i m =。
证明：当C 变化到C C +?时，，要使最优解保持不变，则必然有
()()10B B C C C C B A δ-=+?-+?≤
成立。
当i c 是非基变量i x 的系数时，有
10i i i B i c c C B p δ-=+?-≤，
所以有1i B i i c C B p c -?<-，故只要i c ?在区间()1,i B i i I C B p c -=-∞-变化时，问题的最优解不变。
当r c 是基变量r x 的系数时，
()()()
1111
120,
,,
,0,,
,B B B r r r rn
B r
C C B A C B A c B A C B A c a a a ----+?=+?=+?，
所以1rj j j B r c C B A c a δ-=--?，其中1,2,
,j n =。要使0j δ≤，需使
1rj rj j B r j r c C B A c a c a δ--≤??≤?。
而0rj a <时，rj r j c a δ?≤；0rj a >时，rj r j c a δ?≥， 所以
{}
{}
max |0min |0rj rj j r rj rj j r
a a c a a I δδ>≤?≤<=。
因此，存在这样的区间i I ，当i i c I ?∈时，规划问题（1）的最优解不变。 不妨假设(,)i i i I M N =-，可知,0i i M N >。
定义1 i I 的右端点Ni 称为i c 的可行增加，即当i c 的最大增量不超过i N 时，规划（1）的最优解不变．
定义2 i I 的左端点的绝对值i M 称为的i c 可行减少，既当i c 的最大减少量不超过i M 时，规划（1）的最优解不变．
定理1是当价值向量中的单元素在一定的区间上变化时最优解不变的判定定理．有了可行增加和可行减少的定义以后，现在给出当价值向量多元素同时变化的判定方法，作为定理1 的推论。
推论2【2】 价值向量中的多元素同时变化时，若其变化量占可行增加或者可行减少的百分率之和没有超过100％，则最优解不变。
第五章 总结
灵敏度分析是用来考察微观变化对建立模型的整体影响的，你也知道，数学建模没有明确的答案，不同的人因为假设条件的不同，建立出来的模型一般是不同的。因此，假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性。
参考文献：
[1] 沈荣芳． 运筹学[M] ． 北京： 机械工业出版社， 2004．53~67．
[2] Anderson D R ，Sweeney D J ，Williams T A ．数据、模型 与决策[M]．于淼译．北京：机械工业出版社，2003．1~48．
[3] 庞留勇,黄伟亮. 线性规划多变量系数变化的灵敏度分析. 天中学刊. 2005,
20(5).
致谢
本研究及学位论文是在我的导师孙士国老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深的感染和激励着我。孙老师不仅治学严谨而且为人师表，教给我们的不仅是书本上的知识，还有为人处世的积极态度，这些宝贵知识将积极影响我今后的学习和工作，在此谨向孙老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文的同学们，正是因为有了你们的帮助，才让我不仅学到了本次课题所涉及的新知识，更让我得到了知识以外的东西，就是团结和友谊。虽然毕业在即,我们各自心中通过这次实习更加的增进了友谊,心中更加多了一份不舍,使我们更加珍惜这段晚来的友谊。
在老师和同学们的帮助下，我的专业知识得到了进一步的提高，在整个设计过程中我也体会到了坚持的重要性，对待任何困难都要有坚持不懈的心理和斗志，才能在学习的过程中取得更多的知识和经验。
知识是人类进步的阶梯，而传授知识的各位老师则是我们登上阶梯的领路人。没有各位老师的辛勤教育，便不会有我们今天的累累果实。在这里，我要感谢那些曾经孜孜不倦传授我们知识的各位恩师，衷心祝愿你们桃李满天下。
最后还要感谢我的母校---华北科技学院四年来对我的培养。她使我从一个不谙世事的丫头变成一个有理想，有抱负的青年，她教给我的不仅是进入社会后生存的本领，更重要的是艰苦朴实，求实进取的精神力量，遇到困难不懈不馁，多一份坚持少一份浮躁，这将鼓舞我在人生的道路上不断前进。我还要感谢含辛茹苦培养我的父母，谢谢你们！
题目 如何利用EXC E L求解线性规划 问题及其灵敏度分析 第 8 组 姓名学号 乐俊松 090960125 孙然 090960122 徐正超 090960121 崔凯 090960120王炜垚 090960118 蔡淼 090960117南京航空航天大学（贸易经济）系 2011年（5）月（3）日
摘要 线性规划是运筹学的重要组成部分，在工业、军事、经济计划等领域有着广泛的应用，但其手工求解方法的计算步骤繁琐复杂。本文以实际生产计划投资组合最优化问题为例详细介绍了Excel软件的”规划求解”和“solvertable”功能辅助求解线性规划模型的具体步骤，并对其进行了灵敏度分析。
目录 引言 (4) 软件的使用步骤 (4) 结果分析 (9) 结论与展望 (10) 参考文献 (11)
1. 引言 对于整个运筹学来说，线性规划(Linear Programming)是形成最早、最成熟的一个分支，是优化理论最基础的部分，也是运筹学最核心的内容之一。它是应用分析、量化的方法，在一定的约束条件下，对管理系统中的有限资源进行统筹规划，为决策者提供最优方案，以便产生最大的经济和社会效益。因此，将线性规划方法用于企业的产、销、研等过程成为了现代科学管理的重要手段之一。[1] Excel中的线性规划求解和solvertable功能并不作为命令直接显示在菜单中，因此，使用前需首先加载该模块。具体操作过程为：在Excel的菜单栏中选择“工具／加载宏”，然后在弹出的对话框中选择“规划求解”和“solvertable”，并用鼠标左键单击“确定”。加载成功后，在菜单栏中选择“工具／规划求解”，便会弹出“规划求解参数”对话框。在开始求解之前，需先在对话框中设置好各种参数，包括目标单元格、问题类型(求最大值还是最小值)、可变单元格以及约束条件等。 2 软件的使用步骤 “规划求解”可以解决数学、财务、金融、经济、统计等诸多实 际问题，在此我们只举一个简单的应用实例，说明其具体的操作 方法。 某人有一笔资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%。问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？（不同的投资方式的具体参数如下表。）
线性规划在运输问题中的应用 【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。 【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法 引言： 随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。 1．线性规划简介 线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。 最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。 2.线性规划在运输中的应用 在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。 3.运输问题的特征 运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有
淮北师范大学 2011届学士学位论文 线性规划灵敏度分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向运筹学 学生姓名陈红 学号20071101008 指导教师姓名张发明 指导教师职称副教授 2011年4月10日
线性规划的灵敏度分析 陈 红 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。 关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数
Sensitivity Analysis of Linear Programming Chen Hong (School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000) Abstract This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient …j c ?, the variety of technology coefficient …ij a ?, the variety of the resources condition…i b ?and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition…i b ?in the economic management …shadow price problem?. Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resources condition ，cost coefficient
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现 （龙少波李东阳罗添元） 一、问题的提出： 某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲 料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需 要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲 料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超 过52kg，才能满足动物生长需要。 A1 A2 A3 A4 A5 营养最 低 要求蛋白质(g) 0.3 2 1 0.6 1.8 60 矿物质(g) 0.1 0.05 0.02 0.2 0.05 3 维生素(mg) 0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 8 成本（元/ kg）0.2 0.7 0.4 0.3 0.5 问题： 1．求使得总成本最低的饲料配方？ 2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位， 但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所 值不值得接受？ 3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克， 问是否要改变饲料配方？ 二、建立线性规划数学模型 解答： （1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线 性规划数学模型如下： 目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5 约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=60 0.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3 005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8
Lingo12软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。 例1 一个简单的线性规划问题 0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z ! 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100; 2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分 当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets : r1/1..3/:a; r2 : b; r3 : c; link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data : ALPHA = ; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddata
例2 运输问题 解： 设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8. 设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。 于是形成如下规划问题： n j m i x n j d x m i s x x c ij j n i ij i m j ij m i n j ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1, ,...,2,1, st. z min 11 11==>=<==<==∑∑∑∑==== 把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下： ! 源程序
线性规划练习题 1、用单纯形表求解以下线性规划问题 (1) max z= x1-2x2+x3 s.t. x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≤ 6 -x1+3x2≤9 x1, x2, x3≥0 (2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4 s.t x1+2x2+4x3-x4≤ 6 2x1+3x2-x3+x4≤12 x1+x3+x4≤ 4 x1, x2, x3, x4≥0 (3) min z= 3x1-x2 s.t. -x1-3x2≥-3 -2x1+3x2≥-6 2x1+x2≤8 4x1-x2≤16 x1, x2≥0 二、配料问题 某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni）的含量（%），这四种原料的单价以及新的不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示： 表错误！文档中没有指定样式的文字。-1 设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤不锈钢G，应选用原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，使成本最小。 灵敏度分析练习题 一、已知以下线性规划问题
max z= 2x1+x2-x3 s.t. x1+2x2+x3≤8 -x1+x2-2x3≤4 x1, x2, x3≥0 及其最优单纯形表如下： z x1 x6 （1）求使最优基保持不变的c2=1的变化范围。如果c2从1变成5，最优基是否变化，如果变化，求出新的最优基和最优解。 （2）对c1=2进行灵敏度分析，求出c1由2变为4时的最优基和最优解。 （3）对变量x3在第二个约束中的系数a23=-2进行灵敏度分析，求出a23从-2变为1时新的最优基和最优解。 （4）增加一个新的变量x6，它在目标函数中的系数c6=4，在约束条件中的系数向量为a6 1 2 = ? ? ? ? ? ?， 求新的最优基和最优解。 （5）增加一个新的约束x2+x3≥2，求新的最优基和最优解。 （6）设变量x1在约束条件中的系数向量由 1 1 - ? ? ? ? ? ?变为 -? ? ? ? ? ? 1 2 ，求出新的最优基和最优解。 二、某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料 的数量如下表所示: （1）求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量。 （2）求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化。 （3）求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本，并解释最优生产计划中有的产品不安排生产的原因。 （4）在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺?如果甲原料增加120吨，这时紧缺程度是否有变化?
线性规划模型的应用与灵敏度分析 第一章线性规划问题 1.线性规划简介及发展 线性规划（Linear Programming）是运筹学中研究最早、发展最快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写为LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，为合理利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划及其通用解法——单纯形法是由美国G.B.Dantzig在1947年研究空军军事规划提出来的。法国数学家傅里叶和瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视[1]。1947年美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力[2]。1951年美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年莱姆基提出对偶单纯形法，1954年加斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年塔克提出互补松弛定理，1960年丹齐克和沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究[3]。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。1979年苏联数学家提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。建立线性规
实验二___线性规划灵敏度分析
实验二线性规划模型及灵敏度分析 （一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。 （二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。 （三）实例操作： （1）建立电子表格模型； （2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”； （3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法； （4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。 案例1 市场调查问题 某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了以下要求： （1）共对500个家庭进行调查；
（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭； （3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查； （4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查； （5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。 对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示： 市场调查费用表 家庭类型调查费用（元） 问卷式书面调查口头调查 有孩子的家庭50 30 没有孩子的家庭40 25 问：市场调查公司应如何进行调查，使得在
满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？ 案例2 经理会议建议的分析 某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表所示： 生产三种产品的有关数据 资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量 设备B1(min) 1 2 1 430 设备B2(min) 3 0 2 460 原料C1(kg) 1 4 0 420 原料C2(kg) 1 1 1 300 每件利润(元) 30 20 50
线性规划在运输问题中的 应用 Newly compiled on November 23, 2020
线性规划在运输问题中的应用 【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。 【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法 引言： 随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。 1．线性规划简介 线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。 最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。 2.线性规划在运输中的应用 在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。 3.运输问题的特征 运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足成本假设。从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系。因此，这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。运输问题所需要的数据仅仅是供应量、需求量和单位成本，这些就是模型参数。如果一个问题可以完全描述成
2013届学士学位毕业论文线性规划在运输问题中的应用 学号：09404323 姓名：李勇 班级：信息0901 指导教师：董建新 专业：信息与计算科学 系别：数学系 完成时间：2013年6月
学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文《线性规划在运输问题中的应用》是我个人在导师董建新指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：日期： 指导教师声明书 本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名：时间
摘要 随着我国市场经济的不断完善，同地区、不同地区、甚至跨国间的企业交易更加的频繁。因此，在运输中如何降低运输费用、减少运输路线等问题，已经成为交易活动的重点，而随着社会分工的细化，物流和运输业不断的发展，运输问题也就变的越来越复杂，运输量有时候非常巨大，所以科学的组织运输显得十分重要。线性规划主要应用于解决最优化问题，而运输问题可以看作是一类特殊的线性规划问题。本文结合案例，分析了运输问题的基本特征及解决策略，并通过实例对运输问题进行了优化分析建立了线性规划的数学模型，并借助计算机进行求解，在本篇文章中主要应用的是excel求解，能快速准确的得到最优化方案，提高了实际运输工作中的经济效益。 关键词：线性规划；运输问题；excel
实验报告 课程名称：运筹学 实验项目名称：应用Excel对线性规划进行灵敏度分析班级与班级代码： 实验室名称（或课室）： 专业： 任课教师： 学号： 姓名： 实验日期：2010 年10 月18 日 广东商学院教务处制
姓名实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。
实验二应用Excel对线性规划的灵敏度分析 一、实验目的与要求 1.了解线性规划模型中各参数的变化对最优解的影响。 2.会用Excel中提供的敏感性报告对目标函数系数进行灵敏度分析。 3.会用Excel中提供的敏感性报告对约束条件右端值的灵敏度分析。 二、实验步骤与方法 1.可以在电子表格中采取试验的方法，不断增加或减少的 c值，直到最优 j 解发生改变，以找到最优解发生变化时对应的 c值.但是，这样计算太 j 麻烦了。 2.在Excel求得最优解之后，在其右边列出了它可以提供的三个报告。 选择第二项敏感性报告的选项，就可以得到灵敏度的分析报告，它显示在模型的工作表之前。 3.当几个价值系数同时变动时，注意使用百分之百法则。 4.对约束条件限定数的灵敏度分析同上：选择第二项“敏感性报告”的 选项，就可以得到灵敏度的分析报告，其中“约束”表即是。 5.若几个约束限定数同时变动，也要注意使用百分之百法则。 三、实验内容 第1题． 医院放射科目前可以开展X线平片检查和CT检查业务，现拟购买磁共振仪，以增A 设磁共振检查业务。为此A医院收集了有关信息，从医院获取最大利润角度出发，问是否应购买磁共振仪？经过资料收集，A医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次。平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表 放射科业务 项目X线平片检查CT检查磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次）0.1 0.25 0.5 每月机器实际可使用时间（小时）300 120 120 平均每人次检查利润（元/次）20 60 10
用线性规划方法求解运输问题 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 运输问题的提出及其数学模型：现在人们生产活动中，不可避免的要进行物资调运工作，如某时期内将生产基地的蔬菜，粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区。如何根据各地的生产量和需求量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输量费用最小，这类的问题称
为运输问题。假设有m 个产地，记为A 1、A 2….A m ,生产某种物资，可供应的产量分别为a 1,a 2….a m ,有n 个销地，记为B 1、B 2…B n ,其需求量分别为b 1、b 2…b n ,假设在供需平衡的情况下，即∑=m i ai 1=∑=n j bj 1 ，从第i 个产地到j 个销地的单位物资的运费为c ij ，在满足各地需求的前提下，求运费最小的方案。 设x ij （i=1、2…m,j=1、2…n ）为第i 个产地到第j 个销地的运量，则运输问题的数学模型为 Min Z = ∑=m i 1∑=n j cijxij 1
基于线性规划的灵敏度分析问题的研究 摘要：本文主要研究的是线性规划的灵敏度分析问题。讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。最后通过实例进行说明验证。 本文对线性规划的灵敏度分析问题进行研究，主要内容如下： 第一章主要是简单的介绍了线性规划的发展历程，在线性规划的灵敏度分析的含义，灵敏度分析在其他方面的应用。 第二章，技术系数矩阵A发生变化时，最优解的变化。举例验证，应用LINGO 软件，进行灵敏度分析，确定在什么范围内，最优解不变。 第三章，资源向量b发生变化时，讨论最优解的变化情况。并举例验证其理论知识，应用LINGO软件，确定在什么变化范围内，最优解不变。 第四章，价值系数C发生变化时，最优解的变化情况。举例验证其理论实施过程，应用LINGO软件，分析其灵敏度。 第五章，对本文研究内容进行总结，指出一些不足之处，并提出进一步研究的方向。 关键词：运筹学；线性规划；灵敏度分析；技术系数；资源向量；价值系数；LINGO
The inventory model under uncertain demand Abstract:
第一章 绪论 随着运筹学的发展，线性规划方面的知识也得到了逐步的完善，并广泛地运用到实际的生活中，尤其给经济管理和决策提供了强有力的理论根据．管理部门和企业在进行生产或投资决策时，一般通过建立数学模型和对模型的求解，做出具体的决策方案．在建立模型和求解的过程中，都是以价值系数j c 、资源系数j b 和消耗系数ij a 为基础的，这些数据不但难以确定，而且市场价格的变动、资源供应的波动、工人技术的提高、设备的改进等，都会使这些数据变动．本文讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。 线性规划发展史 1）1939年，前苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法。 2）美国学者希奇柯克（Hitchcock ，1941）独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题。 3）1947年，美国学者丹捷格（Dantzig ）提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展。 灵敏度分析的概念 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 灵敏度分析的应用领域 线性规划中灵敏度分析 对于线性规划问题： 1 max n j j j X c x ==∑公式
运用线性规划对运输问题研究 班级：金融103班姓名：王纬福学号：5400210132摘要：由于企业选择运输路线或运输工具不合理而导致物流运输成本不能最小化的问题普遍存在而管理运筹学却能很好的解决此问题。通过科学的方法对问题进行具体化再建立数学模型并求解，就能找到运输成本最小的运输组合。 关键词：物流运输成本、输成本、管理运筹学、WinQSB2.0、线性规划 一、引言 日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输。如何判定科学的运输方案，使运输所需的总费用最少，就是管理运筹学在运输问题上的运用需要解决的问题。 运输问题是一类应用广泛的特殊的线性规划问题，在线性规划的一般理论和单纯形法出现以前，康托洛维奇（L.V.Kant）和希奇柯克（F.L.Hitchcock）已经研究了运输问题。所以，运输问题又有“康-希问题”之称。对于运输问题（Transportation Problem TP）当然可用前面所讲的单纯形法求解，但由于该问题本身的特殊性，我们可以找到比标准单纯形法更简单有效的专门方法，从而节约计算时间和费用。主要是因为它们的约束方程组的系数矩阵具有特殊结构，使得这类问题的求解方法比常规的单纯形法要更为简便。 一、研究现状 运输问题的研究较多，并且几乎所有的线性规划书中都有论述。遗憾的是一些书中所建立的数学模型都不够全面和系统的。但是也有一些模型是严谨的没有漏洞和缺陷，并且很容易在此基础上修改或添加一些其他约束条件便于在实际工程中进行应用。管理运筹学在运输问题上的研究较为深入、全面、系统。对于计算机软件的引用也很前言，winQSB2.0对于普通甚至深入研究运输问题就已经是简单而又使用、耐用、好用的了。现在相关的杂志、期刊都越来越多关于管理运筹学，关于运输问题的文章论文初版，越来越得到重视。 二、文献回顾 随着物流行业和企业对物流运输要求的不断提高，企业的面临着更大的市场竞争，其运输活动在企业不断发展过程中，面临着越来越大难度的运输组合的选择决策问题。如何正确解决这个问题，是企业能够持续经营和发展不可忽视和必须面对的。这个问题同时也引起了企业界、学术界等社会各界的广泛关注。运输问题的实质是企业与运输组合的经济性问题，成功的企业通常都会面临如何选取最佳运输组合或运输路线这样一个重要问题，即以企业运输成本最小化作为确定最佳运输组合或运输路线的原落脚点。 四、案例分析 例：某公司下设生产同类产品的加工厂A1、A2、A3，生产的产品由4个销售点B1、B2、B3、B4出售。各工厂的生产量、各销售点的销量以及各工厂到各销售点的单位运价如下表：
实验一 线性规划问题及灵敏度分析 实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容， 掌握操作命令。用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和 参数分析的操作方法。 实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容： 一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法： 操作步骤： 1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。 2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。 3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动 生成在系统程序中。 4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。 5．求解线性规划。启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。 6．学习例题 点击 Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中 的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。用图解法求解，显示可行域， 点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的 比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。 下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。 用WinQSB 软件求解下列线性规划问题： 1234 max 657Z x x x x =+++ s.t. 12341 2341231234 312342692608521507300 01020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤??-+-≥??++=?-≥??-≥?≤≤??≥?无约束 解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先 线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于 不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。 （1）启动线性规划（LP ）和整数规划（ILP ）程序 点击开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，显示线性规划和整数规 划工作界面（注意菜单栏、工具栏和格式栏随主窗口内容变化而变化）。这一程序解决线性 规划（LP ）以及整数线性规划（ILP ）问题。
摘要 线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。 关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法
ABSTRCT Linear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method
lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析 注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。 一、用lingo 软件求解线性规划 例1： m a x 23..4310 3512,0 z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥ 在模型窗口输入： model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12; ! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示： 运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）： Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值） Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2（迭代次数）
Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545 例2： 12123124125m a x 54.. 390280450 z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥ 在模型窗口输入： model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end 运行（solve ）结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000 例3