【例】以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.
解： 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-2
2
3y x ，
9)32(3
42
=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-
y x 【例】双曲线
22
24b
y x -=1(b ∈N)的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________。
解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y )，则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2)，即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2，
又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|，依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4， 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2，∴c 2＜3
17
, 又∵c 2=4+b 2＜
317
，∴b 2＜3
5，∴b 2=1。 【例】当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆2
2
916144x y +=相切，相交，相离？
解：
{
22916144y x m x y =++=…… … … ①②
①代入②得2
2
916()144x x m ++=化简得22
2532161440x mx m ++-=
222(32)425(16144)57614400m m m ?=-?-=-+
当0,?=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0?>，即55m -<<时，直线与椭圆相交；
当0?<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离。
【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=
3
10
4，试求椭圆的方程。 精讲精练
解：|MF |ma x =a +c ，|MF |min =a －c ，则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2，
∴b 2
=4，设椭圆方程为142
22
=+y a
x
①
设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m
② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0
③
设M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，M 1M 2的中点为(x 0，y 0)， 则x 0=21 (x 1+x 2)=224a m a +，y 0=－x 0+m =244a
m
+。 代入y =x ，得2
2
2444a
m a
m a +=
+，
由于
a
2
＞4，∴m =0，∴由③知
x 1+x 2=0，x 1x 2=－
2
244a a +，又
|M 1M 2|=3
10
44)(221221=
-+x x x x ， 代入x 1+x 2，x 1x 2可解a 2
=5，故所求椭圆方程为：4
52
2y x +
=1。 【例】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=
2
10
，求椭圆方程。 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)
由?????=++=1
12
2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0，Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0，即m +n －mn ＞0， 由OP ⊥OQ ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0，∴n
m n
n m n --+-2)1(2+1=0，∴m +n =2 ① 又2
)2
10()(4=+-+n m mn n m 2
，将m +n =2，代入得m ·n =43 ②
由①、②式得m =
21，n =2
3或m =23，n =21
故椭圆方程为22x +2
3y 2
=1或23x 2+21y 2=1。
【例】已知圆C 1的方程为()()
320
122
2
=-+-y x ，椭圆C 2的方程为12222=+b
y a x ()a b >>0，C 2的离心率为
2
2
，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。
解：由.,2,22,222
222c b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b
y b x
设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x 又
,12,
122
22
2
22
2
21
2
2
1
=+
=+
b
y b
x b
y b
x 两式相减，得
.022
2
2
212
22
21=-+
-b
y y b
x x
,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x
又.1.2.42
12
12121-=--=+=+x x y y y y x x 得)..2(1--=-∴x y AB 的方程为
直线即3+-=x y
将得代入
,1232
22
2=+
+-=b
y b
x x y .021812322=-+-b x x
.07224.22>-=?∴b C AB 相交与椭圆直线
由.3204)(22212
2121=
-+=-=
x x x x x x B A 得.3
203722422=-?b 解得 .82
=b 故所有椭圆方程.18
162
2=+y x
【例】过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2
2
的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =
2
1
x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程。
解法一：由e =22
=a c ，得21222=-a b a ，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上。
则x 12+2y 12=2b 2，x 22+2y 22=2b 2，两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0，
.)
(2212
12121y y x x x x y y ++-=--
设AB 中点为(x 0，y 0)，则k AB =－
02y x ，又(x 0，y 0)在直线y =21x 上，y 0=21
x 0，于是－002y x =－1，
k AB =－1，
设l 的方程为y =－x +1。右焦点(b ，0)关于l 的对称点设为(x ′，y ′)，
???-='='???????++'-='=-''
b y x b x y b
x y 11 1
22
1解得则
由点(1，1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2，b 2=
8
9
,1692=a 。 ∴所求椭圆C 的方程为2
29
1698y x + =1，l 的方程为y =－x +1。
解法二：由e =21,22222=
-=a b a a c 得，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2
，l 的方程为y =k (x －1)，
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0， 则x 1+x 2=
2
2214k k +，y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－
2
212k
k +。
直线l ：y =21x 过AB 的中点(2,
22121y y x x ++)，则2
2
22122121k k k k +?=+-，解得k =0，或k =－1。 若k =0，则l 的方程为y =0，焦点F (c ，0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1)，即y =－x +1，以下同解法一。
解法三：设椭圆方程为
)1()0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x
直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2
1
=
中点矛盾。故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为
整理得：
消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2
2222212b a k a k x x +=
+知： 代入上式得：又k x x k y y 2)(2121-+=+
21221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，21
22=--∴ka
b k k ，22=e 又
122)
(2222
222
2-=+-=--
=-
=∴e a
c a a
b k ，x y l -=∴1的方程为直线，
222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b
3
3
>
∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，
则b y x b x y b x y -=-?????
???+-==-11212
100000
，， 得：
在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3
3
43>
=∴b ， 1692=
∴b ， 8
9
2=a 所以所求的椭圆方程为：116
9892
2=+y x
【例】如图，已知△P 1OP 2的面积为4
27
，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为
2
13
的双曲线方程。
解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系。 设双曲线方程为
2
22
2b y a x -
=1(a ＞0，b ＞0)，由e 2
=
2222
)213()(1=+=a b a
c ，得23=a b 。 ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－2
3
x 设点P 1(x 1，
23x 1)，P 2(x 2，－2
3
x 2)(x 1＞0，x 2＞0)， 则由点P 分21P P 所成的比λ=
2
1PP P
P =2，得P 点坐标为(22,322121x x x x -+)，
高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ） S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ） 椭圆、双曲线、抛物线 专题训练 一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 2．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线 段AF 交C 于点B .若FA ＝3FB ，则|AF |＝ ( ) A. 2 B ．2 C.3 D ．3 3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝ 3 2 |MN |，则∠NMF ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 4．过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠ F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A. 22 B.3 3 C.12 D.13 5．双曲线x 24－y 2 5＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，若线段PF 1的 中点在y 轴上，那么点P 到双曲线左准线的距离是( ) A.133 B.53 C.154 D.94 6．(精选考题·皖南八校模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (7 2 ，4)，则|PA |＋d 的最小值是( ) A.7 2 B ．4 C.9 2 D ．5 二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±1 3 x 的双曲线的方程为________． 8．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M (0,1)任作一条直线交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1·x 2＝－2，则抛物线C 的方程为________． 9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10．(本小题满分15分)(精选考题·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1 2， 且椭圆经过点N (2，－3)． (1)求椭圆C 的方程； (2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 11．(本小题满分15分)(2009·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 3，过右 焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 22 . (1)求a ，b 的值； (2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ＝OA ＋OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 12．(本小题满分16分)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2 a 2－ y 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)交于A 、B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b a x 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程． 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴 的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ） 的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2 （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到 0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为2 22t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= 双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+- 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ） 专题十五 椭圆双曲线抛物线 1．(2013年新课标理数全国卷1) 已知双曲线C:x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离 心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A 、y =±14x （B ）y =±1 3 x （C ）y =±1 2 x （D ）y =±x 2．(2013年新课标理数全国卷1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)， 过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x 245＋y 2 36 ＝1 B 、 x 236 ＋ y 2 27 ＝1 C 、 x 227 ＋ y 218 ＝1 D 、 x 218 ＋y 2 9 ＝1 3．(2013年新课标理数全国卷2)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为( ) （A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x 4．(2014年新课标理数全国卷1)．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A B ．3 C D ．3m 5．(2014年新课标理数全国卷1).已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF =( ) A ． 72 B ．3 C ． 5 2 D ．2 6．(2014年新课标理数全国卷2).设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾 斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.9 4 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1设双曲线22 12 y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ). D 2椭圆22 1167 x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数a 、b 的等差中项是5 2 ，，则椭圆22221x y a b +=的离 心率为（ ） A 4设1F 、2F 是双曲线2 2 124 y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 31||PF =42||PF ， 则12PF F ?的面积为（ ） A B 5 P 是双曲线22 916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和 22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则 ||||PA PM +的最小值为（ ） 1 2 1 2 7 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双 曲线的离心率为（ ） D 2 9抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ） A 35,24?? ??? B (1,1) C 39,24 ?? ??? D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b c a +的取值范围（ ） A (1,)+∞ B )+∞ C D 11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ） 12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ） A 12 a B 12 p C 112 2a p + D 12a －12 p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题 B C D A 椭圆、双曲线、抛物线专题训练（一）（2012年2月27日） 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52 3．在抛物线y 2＝4x 上有点M ，它到直线y ＝x 的距离为42，如果点M 的坐标为(m ，n )且 m >0，n >0，则m n 的值为( ) A.12 B ．1 C.2 D ．2 4．设椭圆 C 1的离心率为513 ，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2 122＝1 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 6．(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴 上，离心率为22 .过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 8．(2011·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12 )作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 9．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 三、解答题(共计40分) 10．(15分)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． 11．(15分)如图4，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） y2x 1设双曲线1的一个焦点为（0, 2），则双曲线的离心率为（）. m 2 A .2 B 2 C .6 D 2 2 2 2 X y 1右焦点分别为F 1,F2 ，一直线经过F1交椭圆于A、B两点，贝U 16 7 ABF?的周长为（) A 32 B 16 C 8 D 4 5 3两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是,6，则椭圆 2 2 x y 1 的离心率为（） 2 a2b2 A - B 远 C D .13 2 3 3 4设F1、F2是双曲线X2 2 佥1的两个焦点， P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|, 则PF1F2的面积为( ) A 4、. 2 B 8、. 3 C 24 D 48 2 5 P是双曲线— 2 y=1 的右支上一点，M N分别是圆（X 2 2 5) y 1 和(x 5)2 y2=4 9 16 上的点，贝U | PM | |PN 1的最大值为（) A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线x2 4y上的动点P在x轴上的射影为点M，点A（3, 2），则| PA| | PM |的 最小值为（) A 1 B 2 C -.10 1 D JO 2 7 一动圆与两圆2 2 x y 1 和 x2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 2 8若双曲线务 a 2 T T 1(a b 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（） \ 3 C ,5 D 2 (1, ) B G.2, ) C 1 （m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动 弦， 且 | AB | a （a 2p ），则AB 的中点M 到y 轴 的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题5分 ，共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点， P 是双曲线上一点，且 RPF 2=60o ， S p F 1 F 2 =1^/3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 ________________ 2 2 2 2 14已知椭圆—丄 1与双曲线—工 m n p q 三 解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： A 35 B 2,4 (1,1) C 3 9 2, 4 D (2,4) 2 x 10已知c 是椭圆 2 a 2 y b 2 1 (a b 0）的半焦距，则 b C 的取值范围（ a ) 9抛物线y 0距离最近的点的坐标 ) x 2上到直线2x y 11 方程 mx ny 2 o 与 mx 2 ny 2 1 (m, n, p,q R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ---------- 15已知抛物线x 2 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 16已知双曲线 2 x 2 a 2的两条渐近线的夹角为 —，则双曲线的离心率为 3 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 【要点提炼】 考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2 ，b 2 ，p 的值． 【热点突破】 【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为3 5，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 2 16＋y 2 25＝1 B.x 225＋y 2 9＝1 C.x 2 9＋y 2 25＝1 D.x 2 25＋y 2 16 ＝1 【答案】 D 【解析】 椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可 得2a ＋2c ＝16， 椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得 c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 2 25＋ y 2 16＝1. (2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△ PF 1F 2的面积为( )椭圆、双曲线、抛物线综合测试题
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