解三角形
亲爱的同学，太阳每天都是新的，你是否每天
都在努力。
（数学5必修）第一章：解三角形
[基础训练A 组]
一、选择题
1．在△ABC 中，若0
30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-
2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A ．A sin
B ．A cos
C ．A tan
D ．
A
tan 1
3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题
1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2
22_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20
_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=
AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题
1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a
A b
B c a b b a -=-
3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
4．在△ABC 中，设,3
,2π
=-=+C A b c a 求B sin 的值。
（数学5必修）第一章：解三角形
[综合训练B 组] 一、选择题
1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）
A ．1:2:3
B ．3:2:1
C ．1:3:2
D ．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）
A ．A b sin 2
B ．A b cos 2
C ．B b sin 2
D ．B b cos 2
4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150
6．在△ABC 中，若14
13
cos ,8,7=
==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．7
1- D ．81-
7．在△ABC 中，若tan 2A B a b
a b
--=
+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1．若在△ABC 中，0
60,1,3,ABC A b S ?∠===则
C
B A c
b a sin sin sin ++++=_______。
2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。 3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。 4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+=
==
A c b a 则2
2
6,2,3_________。 6．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
三、解答题
1． 在△ABC 中，0
120,,21,3ABC A c b a S =>==，求c b ,。
2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >??C B A 。
3． 在△ABC 中，求证：2
cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。
4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：
1=+++c
a b c b a 。
5．在△ABC 中，若2
23cos cos 222
C A b
a c +=
，则求证：2a c b +=
（数学5必修）第一章：解三角形
[提高训练C 组] 一、选择题
1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[-
2．在△ABC 中，若,900
=C 则三边的比
c
b
a +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2
sin 2B A + D ．2sin 2B
A -
3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）
A ．12
B ．2
21
C ．28
D ．36
4．在△ABC 中，090C ∠=，00450< A ．sin cos A A > B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B > 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150 6．在△ABC 中，若2 2 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 二、填空题 1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 2 2 2 =++C B A 则△ABC 的形状是______________。 3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。 4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+ -+C A C A C A sin sin 3 1 cos cos cos cos ______。 5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。 6．在△ABC 中，若ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。 三、解答题 1．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2 222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。 2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 22 2B b a C A R -=- 求△ABC 的面积的最大值。 3． 已知△ABC 的三边c b a >>且2 ,2π =-=+C A b c a ，求::a b c 4． 在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 33A C +=+，AB 边上的高为43，求角,,A B C 的 大小与边,,a b c 的长 （数学5必修）第一章 [基础训练A 组] 一、选择题 1.C 00tan 30,tan 3023,244,23b b a c b c b a =====-= 2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,,22A A B A B ππ=->-都是锐角，则,,222 A B A B C πππ ->+<> 4.D 作出图形 5.D 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A === =或0150 6.B 设中间角为θ，则22200005871 cos ,60,180601202582 θθ+-= ==-=??为所求 二、填空题 1.12 11sin sin sin cos sin 222 A B A A A ==≤ 2.0 120 22201c o s ,12022b c a A A bc +-==-= 3.26- 0 0sin 6215,,4sin 4sin154sin sin sin 4 a b b A A a A A B B -======? 4. 0120 a ∶b ∶c =s i n A ∶s i n B ∶s i n C =7∶8∶13， 令7,8,13a k b k c k === 22201 cos ,12022 a b c C C ab +-= =-= 5. 4 ,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC AB B A C B A C +===+A C B C + 2(62)(sin sin )4(62)sin cos 22 A B A B A B +-=-+=- max 4cos 4,()42 A B AC BC -=≤+= 三、解答题 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2 A π = 或2 B π = 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)c o s c o s (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2 A B π +> 即 02 2 A B π π >> -> ∴s i n s i n ()2 A B π >-，即s i n c o s A B >；同理s i n c o s B C >；s i n c o s C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴13sin cos 2224B A C -==，而0,22 B π <<∴13cos 24B =， ∴313sin 2sin cos 22244B B B ==??=8 39 参考答案（数学5必修）第一章 [综合训练B 组] 一、选择题 1.C 13 2 ,,,::sin :sin :sin : :1:3:2632222 A B C a b c A B C πππ====== 2.A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-= 3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 4.D sin sin lg lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A A B C B C B C === sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==，等腰三角形 5.B 22 ()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-= 2222 2 2 13,c o s ,60 22 b c a b c a bc A A bc +-+-==== 6.C 2 2 2 2c o s 9,3c a b a b C c =+-==，B 为最大角，1 c o s 7 B =- 7.D 2cos sin sin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22 A B A B A B a b A B A B A B a b A B +----===+-++， tan 2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---= =+，或tan 12A B += 所以A B =或2 A B π += 二、填空题 1. 3392 211 3 s i n 3,4,13,13 22 2ABC S bc A c c a a ?==?==== 13239 s i n s i n s i n s i n 3 32 a b c a A B C A ++= == ++ 2.> ,22A B A B ππ +>>-，即s i n () 2 t a n t a n ()2c o s ()2 B A B B π ππ->-=- c o s 1s i n t a n B B B ==，1 t a n ,t a n t a n 1 t a n A A B B >> 3. 2 s i n s i n t a n t a n c o s c o s B C B C B C +=+ s i n c o s c o s s i n s i n ()2s i n 1c o s c o s s i n s i n 2 B C B C B C A B C A A +++=== 4. 锐角三角形 C 为最大角，c o s 0,C C >为锐角 5. 060 222 843 23 3114cos 22 6222(31)222 b c a A bc ++ -+-+= ===+??+? 6．(5,13) 222 222 2222222 13,49,513,51394a b c c a c b c c c c b a c ??+>>??+>+><<<+>? ? 三、解答题 1.解：1 sin 3,4,2ABC S bc A bc ?= == 222 2c o s ,5a b c b A b c =+- +=，而c b > 所以4,1==c b 2. 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2 A B π +> 即 02 2 A B π π >> -> ∴s i n s i n ()2 A B π >-，即s i n c o s A B >；同理s i n c o s B C >；s i n c o s C A > ∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B C A B C A B C A B C >> ∴1tan tan tan >??C B A 3. 证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()22A B A B A B C A B +-++=++ 2s i n c o s 2s i n c o s 22 22A B A B A B A B +-++=+ 2s i n (c o s c o s )222 A B A B A B + -+=+ 2c o s 2c o s c o s 222C A B =? 4c o s c o s c o s 2 22 A B C = ∴2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++ 4．证明：要证1=+++c a b c b a ，只要证 2221a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222a b c ab +-= 而∵0 120,A B +=∴060C = 2222 220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab +-=+-== ∴原式成立。 5．证明：∵2 23cos cos 222C A b a c += ∴1c o s 1c o s 3s i n s i n s i n 222 C A B A C ++?+?= 即s i n s i n c o s s i n s i n c o s A A C C C A B +++= ∴s i n s i n s i n ()3s A C A C B +++= 即s i n s i n 2s i n A C B +=，∴2a c b += 参考答案（数学5必修）第一章 [提高训练C 组] 一、选择题 1.C s i n c o s 2s i n (), 4 A A A π += + 而520,sin()144424 A A A ππππ π<<<+< ?-<+≤ 2.B s i n s i n s i n s i n s i n a b A B A B c C ++==+ 2s i n c o s 2c o s 222A B A B A B +--== 3.D 011 cos ,60,sin 6322 ABC A A S bc A ==== 4.D 090A B +=则s i n c o s ,s i n c o A B B A ==，00045,A << s i n c o s A A <，0 4590,sin cos B B B <<> 5.C 2222220 1 ,,c o s ,120 2 a c b b c b c a b c A A -=++-=-=-= 6.B 2 2s i n c o s s i n c o s s i n ,,s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n A B A B A A A B B A B B A B ?=== s i n 2s i n 2,2222A B A B A B π==+=或 二、填空题 1. 对 ,s i n s i n B A >则22a b a b A B R R >?>?> 2. 直角三角形 21 (1c o s 21c o s 2)c o s ()1, 2A B A B +++++= 21 (cos 2cos 2)cos ()0,2 A B A B +++= 2cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++= cos cos cos 0A B C = 3. z y x << ,,s i n c o s ,s i n c o s , 22 A B A B A B B A y z π π +< < -<<< ,s i n s i n s i n ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<< 4．1 s i n s i n 2s i n ,2s i n c o s 4s i n c o s 2222 A C A C A C A C A C B +-+++== cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222A C A C A C A C -+== 则221sin sin 4sin sin 322 A C A C = 1 cos cos cos cos sin sin 3 A C A C A C +-+ 22(1cos )(1cos )14sin sin 22 A C A C =---++ 22222sin 2sin 4sin sin 112222 A C A C =-?++= 5. )2,3[ππ 2tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1 A C B A C B A C A C +==-+=- 2 t a n t a n t a n t a n ()t a n 1 A C B A C B +=-+=- 3tan tan tan tan 2tan tan 2tan B B A C A C B -=+≥= 3tan 3tan ,tan 0tan 33 B B B B B π ≥>?≥?≥ 6．1 22 ,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2c o s c o s )c o s (++- 2cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++- cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++- cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++ cos()cos 11A C B =+++= 三、解答题 1. 解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- c o s s i n ,s i n 2s i n 2,222c o s s i n B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 2. 解：2sin sin 2sin sin (2)sin ,R A A R C C a b B ?-?=- 222sin sin (2)sin ,2,a A c C a b B a c ab b -=--=- 2222 2 2 22,cos ,4522 a b c a b c ab C C ab +-+-==== 2222,2sin 2,22,sin c R c R C R a b R ab C ===+-= 2222 2222,22 R R ab a b ab ab +=+≥≤- 2 1222sin ,24422 R S ab C ab ==≤?-2max 212R S += 另法：122 sin 2sin 2sin 244S ab C ab R A R B == =?? 222sin 2sin 2sin sin 4 R A R B R A B =??= 21 2[cos()cos()]2R A B A B =??--+ 2212 2[cos()] 2222(1) 22 R A B R =??-+≤?+ 2 max 212 S R +∴= 此时A B =取得等号 3. 解：sin sin 2sin ,2sin cos 4sin cos 2222 A C A C A C A C A C B +-+++== 12147sin cos ,cos ,sin 2sin cos 222424224 B A C B B B B -===== 3,,,24242B B A C A C B A C ππππ-=+=-=-=- 33371 sin sin()sin cos cos sin 4444A B B B πππ+=-=-= 71 sin sin()sin cos cos sin 4444 C B B B πππ-=-=-= ::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-+ 4. 解：22201 ()()3,,cos ,602 a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-=== t a n t a n 33 t a n (),3, 1t a n t a n 1t a n t a n A C A C A C A C +++=-=-- t a n t a n 23A C =+，联合t a n t a n 33A C +=+ 得tan 1tan 23tan 1tan 23A A C C =??=+????==+????或，即0000 75454575 A A C C ??==? ???==????或 当00 75,45A C ==时，434(326),8(31),8sin b c a A = =-=-= 当00 45,75A C ==时，4346,4(31),8sin b c a A = ==+= ∴当000 75,60,45A B C ===时，8,4(326),8(31),a b c ==-=- 当0 45,60,75A B C ===时，8,46,4(31)a b c ===+。 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。 类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决 例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值. 解：由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ，从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时，sin sin A B +的最大值是3 变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解：根据题意得： 2019高二数学解三角形公式总结 解三角形问题是历年高二数学考试考查的重点，属必考内容，掌握好高二数学三角函数的公式必不可少。下面是本人给大家带来的高二数学解三角形公式总结，希望对你有帮助。 高二数学解三角形公式 高二数学学习方法 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现 问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养 自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。 积累考试经验 本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次，抓住这些机会，积累一定的考试经验，掌握一定的考试技巧，使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实，考试是单兵作战，它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。 高二数学学习技巧 专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 【经典例题】 例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中， ， 解三角形练习 题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3 C. 3 D. 3 2 题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝ 2c b，则C ＝(). A．30°B．45° C．45°或135°D．60° 题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________． 题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小. 题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________． 题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列. 题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港 口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． 题八：如图，在△ABC中，已知B＝π 3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的 周长的最大值为________． 题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5 13，cos∠ADC＝ 3 5. (1)求sin∠ABD的值； (2)求BD的长． 题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是(). A．锐角三角形B．直角三角形 三角形最值问题 课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（ 2 1，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 解三角形最值或范围1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a -c b =cos C cos B ，b =2．（1）求B ； （2）求△ABC 的面积的最大值． 【解】（1）由2a -c b =cos C cos B ，结合正弦定理可得（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ， ∴2sin A cos B ﹣sin C cos B =sin B cos C ， ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （B +C ）=sin A ，得cos B =12 ，∵B ∈（0,π），∴B =π3 ；（2）若b =2，由余弦定理得：4=a 2+c 2-2ac ?cos π3 ，即a 2+c 2﹣ac =4， 又a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac =ac ，即ac ≤4．∴△ABC 的面积的最大值为S =12 ac ?sin B =12 ×4×3 2 =3 ．2.在锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin B -3 2 b =0．（1）求角A 的大小； （2）若a =4，求△ABC 面积的最大值．【解】（1）因为a sin B -3 2 b =0，所以sin A sin B -3 2 sin B =0，又sin B ≠0，所以sin A =3 2 ，即A =60°．（2）因为a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ，A =60°，a =4， 所以16=b 2+c 2-2bc ×12 =b 2+c 2-bc ，所以16≥2bc ﹣bc =bc ，即bc ≤16（当且仅当b =c =4时取等号），故S △ABC =12 bc sin A ≤12 ×16×sin60°=43 ．△ABC 面积的最大值：43 ． 3.在△ABC 中，a =2，2cos2A +3=4cos A ． （1）求角A 的大小 （2）求△ABC 的周长L 的取值范围 【解】（1）因为2cos2A +3=4cos A ， 所以2cos 2A +12 =2cos A ，所以4cos 2A ﹣4cos A +1=0，所以cos A =12 ，又因为0 高二数学解三角形单元测试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形 2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（ ） A B ． C D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ） A ．4 1- B ． 4 1 C ．3 2- D ． 3 2 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．2 39 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 7.关于x 的方程02 cos cos cos 2 2 =-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜6 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.45° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 2 2 sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 二、填空题（每小题4分，满分16分） 13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④ sin sin sin a b c A B C += +. 其中恒成立的等式序号为______________ 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。 15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________. 16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4 222c b a S -+=，则角C=____________． 高二数学必修五解三角形知 识点公式 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 １、三角形三角关系：A ＋B+C=180°；C=1８0°—（A+B ）； 2、三角形三边关系:ａ+ｂ〉c; ａ—ｂ〈ｃ 3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,2222 A B C A B C ++== 4、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b c R C ===A B 。 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =,sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角....文档交流 仅供参考... ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角．（对于已知两边 和其中一边所对的角的题型要注意解的情况...文档交流 仅供参考... 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B 。=2Ｒ2ｓi ｎAsin Ｂsin Ｃ=R abc 4 ８、余弦定理：在 C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-。 9、余弦定理的推论： 222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=。 2222222222cos ,2cos ,2cos a b c ab C b c a bc A a c b ac B +-=+-=+-=10、余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 11、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式 解三角形 （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 0_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ． 解三角形测试题 一、选择题： 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中，有（） A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA A ． )sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβ α-?a C ． )sin(cos sin αββα-a D ．) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ） A ．a (km) B ．3a(km) C ．2a(km) D ．2a (km) 二、填空题： 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2－c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题： 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =－ B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C ○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 最值范围题 8.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,,且BC 边上的高为a 63 ,则c b b c + 的最大值是( ) A .8 B . 6 C .23 D .4 4、在 中， 分别是角 的对边，已知 ，且 ，则 的最小值是_________． 1、在 中，角 所对的边分别为 ，若， ，且 的面积的最大值为 ， 则此时的形状为_________． 5、已知中， 的对边分别为 ，若 ， 则的周长的取值范围是_________． 三角形中的最值范围题（设定未知角） 1．如图，正三角形ABC 的边长为4，D E F ，，分别在三边AB BC CA ，，上，且D 为AB 的中点，()90090 EDF BDE θθ∠=∠=<<， （1）若60θ=，求DEF ?的面积； （2）求DEF ?的面积S 的最小值，及使得S 取得最小值时θ的值. 2．如图，已知ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，线段MN 经过ABC 的中心G ，设23 3MGA π παα??∠=≤≤ ???． （1）分别记AGM ?，AGN ?的面积为1S ，2S ， 试将1S ，2S 表示为α的函数． ○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… （2）求2212 11y S S = +的最大值与最小值． 3．如图，半圆O 的直径2MN =，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作正三角形ABC ．当点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？最大面积是多少？ 4．如图，在边长为10的正三角形纸片ABC 的边AB AC ，上分别取D E ，两点，使沿线段DE 折叠三角形纸片后，顶点A 正好落在边BC 上(设为P )，在这种情况下，求AD 的最小值． 5．某校把一块边长为2a 的正三角形ABC 的边角地辟为生物园，D 为AB 上的动点，图中DE 把生物园恰分成面积相等的两部分． （1）设(),AD x x a ED y =≥=，试求用x 表示y 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管的位置，为了节约，希望它最短， D 、E 的位置应该在哪里？如果是参观线路，希望它最长， 位置又该在哪里？ 6．杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD 的休闲?观光及科普宣教的平台，如图所示，其中4DC =百米，2DA =百米，ABC 为正三角形.建成后BCD 将作为人们旅游观光?休闲娱乐的区域，ABD △将作为科普宣教湿地功能利用?弘扬湿地文化的区域. （1）当3 ADC π ∠= 时，求旅游观光?休闲娱乐的区域BCD 的面积； 2008山东省莱州一中解三角形单元测试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C D 等腰三角形 2. 在△ABC 中，3c=3，B=300，则a 等于（ ） A 3 B ．3 C 3或3 D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cos C 的值为 （ ） A ．41- B ．41 C ．3 2 - D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3 39 2 C ．338 D ．2 39 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 7.关于x 的方程02 cos cos cos 2 2 =-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) ＜m ＜3 ＜m ＜3 ＜m ＜4 ＜m ＜6 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) ° ° °或120° ° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) °＜A ＜30° °＜A ≤45° °＜A ＜90° °＜A ＜ 60° 解三角形解答题专题训练 2017.12 1．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ； ，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ?的面积. 因为sin 0A ≠，解得 （Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则 ABC ?的面积 若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =． 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==． ABC ?的面积 综上，ABC ?的面积为 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5， (Ⅰ) 求角C 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180 整理，得 01cos 4cos 42=+-C C ∵ ∴C=60° （Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ， 故 所以 的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ? 三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1 ）求角C 的值； （2）若4,7c a b =+=，求 ABC S ?的值. 解：（1 得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 又sin sin()2sin cos C A B C C =+=， （2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-， ∴11ab =，∴4．在ABC ?中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值； （2）若2=c ，且ABC ?的面积为，求b a ,. 解：（1 ?<
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