概率论与数理统计试题 考试时间：120分钟 试卷总分100分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷
教师
一、填空题（满分15分）
1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=?B A P ,且A 与B 相互独立，则
=)(A P 。
2.设随机变量X 服从参数为二项分布，且2
1
}0{=
=X P ，则=p 。
3.设),3(~2σN X ,且1.0}0{= 4.已知DX=1，DY=2，且X 和Y 相互独立，则D(2X-Y)＝ 5.已知随机变量X 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2X 服从的分布是 。 二、选择题（满分15分） 1.抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是 。 装 订 线 （A ）0.125， （B ）0.25， （C ）0.375， （D ）0.5 2.有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。 （A ） γγn ! （B ）γγn C r n ! （C ）n n γ ! (D) n n n C γγ! 3.设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则c ＝ 。 （A ）－2 1 （B ）0 （C ）2 1 （D ）1 4.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）150 5.设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。 （A ）x 1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-n i i X n 1 2 11 （D ）x 三、计算题（满分60分） 1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N （40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（841 3.0)1(=Φ， 9772.0)2(=Φ） 3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于5 6 ”的概率。 4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概 率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X 的期望EX 和方差DX 。 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。 （)99.0)325.2(,98.0)055.2(=Φ=Φ 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（0301.2)35(025.0=t ，0281.2)36(025.0=t ） 四、证明题 1.设A ，B 是两个随机事件，0 ? ??=?? ? ??A B P A B P ，证明：A 与B 相互独立。 2.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X ,1是X 的简单随机样本，试证： () 22 1 S X +是λ的无偏估计。 参考答案 一、 填空题（满分15分） 1、 0.5 2、3 1 21-- 3、0.4 4、6 5、),1(n F 二、 填空题（满分15分） 1、C 2、D 3、C 4、B 5、D 三、 计算题 1、 应用贝叶斯公式，P ＝0.9523 2、 当原方程有实根时，解得2>k 或1- 3515 2=?dx . 3、?? ?<<=其它0 101)(x x f X ，?? ?<<=其它 1 01 )(y y f Y 由于X 与Y 相互独立，因此 ?? ?<<<<==其它 1 0,101 )()(),(y x y f x f y x f Y X ， 所以 ??= =? ????? <+-54054 0258),(54y dxdy y x f Y X P . 4、5 412)(1002==??dydx xy X E x ， 2 112)(1 003==??dydx xy XY E x . 5、{} ? ≥??? ? ??? ???????>-? ≥>9.05110729.070n n X P X P 6 .4129.15 1 9.051≥?≥?≥??? ??Φn n n ， 因此至少应取42=n . 6、设2206.1:=σH ，2216.1:≠σH ， 由于83.52=X ，所以 18.21925.111212 2 <=?? ? ??--=∑=X n X n S n i i ， 故拒绝0H ，即认为零件强度的方差较以往发生了变化。 四、 证明题 1、 证明： 由于 [] ) |()()()|()()() |()()()() |()()(A B P A P A P A B P A P A P A B P A P A P A P A B P A P AB P +=+==， [ ]) |()()()|()()()|()()|()()()()(A B P A P A P A B P A P A P A B P A P A B P A P A P B P A P +=+=， 及)()()(B P A P AB P =， 因此 ) |()()()|()()()()() ()() |()()()()|(A B P A P A P A B P A P A P B P A P A P A P A B P A P A P AB P A B P =-=-= . 2、()λ=X E ，()λ=2S E ， [] , )1()()1()()1(22 λλλ=-+=-+=-+∴a a s E a x aE s a x a E 命题得证。 06-07-1《概率论与数理统计》试题A 一、填空题（每题3分，共15分） 1. 设A ，B 相互独立，且 2 .0)(,8.0)(==A P B A P ，则 =)(B P __________. 2. 已知),2(~2σN X ，且 3.0}42{=< 4.设1 2 ,,,n X X X 是取自总体),(2 σμN 的样本， 则统计量2 2 1 1 ()n i i X μσ=-∑服从__________分布. 5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X ，且9 5}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________. 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A) 1 1 a a b -+-；(B) (1)()(1)a a a b a b -++-；(C) a a b +；(D) 2 a a b ? ? ?+?? . 2. 设随机变量X 的概率密度为()13 0, 其他 c x p x < ? 则方差D(X)= 【 】 (A) 2； (B) 12 ； (C) 3； (D) 13 . 3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】 ()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ． 4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则 X 的取值范围是【 】 ()A ??? ?? ?2, 0π； ()B []π,0； ()C ?? ? ???-2, 2 ππ ； ()D ?? ? ?? ? 23, ππ． 5. 设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ， 则~Y 【 】 ()A ()222, b a b a N +-σμ； ()B ()2 2 2 ,b a b a N -+σμ； ()C ()2 2, σμa b a N +； ()D ()2 2 ,σμa b a N -． 三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率. 四、（本题满分12分）设随机变量X 的密度函数为x x e e A x f -+=)(， 求： （1）常数A ； （2）}3ln 2 10{< 五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为 ()? ? ?<<-=其他,01 0),1(6x x x x f 求12+=X Y 的概率密度. 六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次 数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2） {}X Y P >. 七、（本题满分10分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ? ?>>=+-其他 ,00,0, ),()2(y x Ae y x f y x 求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。 八、（本题满分10分）设总体X 的密度函数为 ?????≤>=+1, 01 ,),(1 x x x x f βββ 其中未知参数1>β，n X X X ,,,21 为取自总体X 的简单随机样本，求参数β的矩估计量和极大似然估计量. 九、（本题满分10分）设总体()2,~σμN X ，其中且μ与2σ都未知，+∞<<∞-μ，02>σ．现从总体X 中抽取容量16=n 的样本 观测值()1621x x x ，，， ，算出 75 .50316116 1 ==∑=i i x x ， ()2022.615116 1 2=-=∑=i i x x s ，试在置信水平95.01=-α下，求μ的置 信区间． （已知： ()7531.11505.0=t ，()7459 .11605.0=t ， ()1315.215025.0=t ， ()1199.216025.0=t ） ． 07-08-1《概率论与数理统计》试题A 一．选择题（将正确的答案填在括号内，每小题4分，共20分） 1．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。设事件i A 表示“发现i 件次品” ()3,2,1,0=i 。用3210,,,A A A A 表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是（ ） (A)21A A ; (B)21A A +; (C) ()210A A A +; (D) ()213A A A +. 2．设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ; (C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =. 3．设随机变量()2,1~N X ，()4,2~N Y ，且X 与Y 相互独立，则（ ） (A)()1,0~2N Y X -; (B)()1,0~322N Y X -; (C)()9,1~12N Y X +-; (D)()1,0~3 212N Y X +-. 4．设总体()2,~σμN X ，2,σμ是未知参数，()n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ） (A) 2 221 1()~(1)1n i i S X X n n χ==---∑; (B) 221 1()~()n i i X X n n χ=-∑; (C)2 222 2 1 (1)1 ()~(1)n i i n S X X n χσ σ =-= --∑; (D) 22 2 1 1 ()~()n i i X X n χσ=-∑ 5．设总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，则2σ的无偏估计量是（ ） (A)()∑=--n i i X X n 1 2 11; (B) ()∑=-n i i X X n 12 1; (C)∑=n i i X n 1 21; (D) 2X . 二．填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分） 1．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则 ()=B P _________. 2．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 111 ,,543 ，则此密码被破译出的概率是 . 3．设随机变量X 的密度函数为()2, 01, 0, x x f x < ?其他 ，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件 ?? ?? ??≤21X 出现的次数，则 ()2P Y == . 4．设两个随机变量 X 和Y 相互独立，且同分布： ()()1 112P X P Y =-==-= ，()()1112 P X P Y ====，则()P X Y == . 5．设随机变量X 的分布函数为：()0,0sin ,021,2 x F x A x x x ππ? ? ? =≤≤ ?? ? >??，则 =A . 三．计算 1．（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。 2．（6分）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为： ()()12 1,233 P X P X ==== 求Y X Z +=的分布律。 3．（12分）设随机变量X 的密度函数为：()()+∞<<∞-=-x Ce x f x （1）试确定常数C ；（2）求()1 （3）求2X Y =的密度函数。 4．（20分）设二维连续型随机变量()Y X ,的联合概率密度为： ()1,1,1,4 xy x y f x y +?< =???其他 （1） 求随机变量X 和Y 的边缘概率密度； （2） 求EY EX ,和DY DX ,； （3） X 和Y 是否独立？求X 和Y 的相关系数()Y X R ,，并说明 X 和Y 是否相关？ （4） 求()1<+Y X P 。 5．（6分）设总体X 的分布律为()()() ,2,111=-==-x p p x X P x ， n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本。求参数p 的极大似然估 计。 6．（8分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g 。每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况。现抽得10罐，测得其重量（单位：g ）的平均值为498=x ，样本方差225.6=s 。假定罐头的重量()2,~σμN X ，试问机器的工作是否正常（显著性水平02.0=α）？（33.201.0=u ，()82.2901.0=t ， ()76.21001.0=t ） 08-09-1《概率论与数理统计》试题A 一、填空题（每题3分，共15分） 1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________． 2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P 3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为 若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为 。 4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _ 5、设1 2 ,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量 2 2 1 1 ()n i i X μσ =-∑服从__________分布. 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A) 1 1 a a b -+-； (B) (1)()(1)a a a b a b -++-； (C) a a b +； (D) 2 a a b ? ? ?+?? . 2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【 】 (A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ; (C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =. Y X 1 2 3 1 61 91 18 1 2 3 1 α β 3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布 ()1,0N 和()1,1N ，则【 】 (A)()2 10=≤+Y X P ； (B) ()2 11=≤+Y X P ； (C)()2 10=≤-Y X P ； (D)()2 11=≤-Y X P 。 4、 如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【 】 （A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX 5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【 】 (A)()()2 11,2 10====z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ； (C) ()()4 31,4 10====z P z P ；(D) ()()4 11,4 30====z P z P 。 三、（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率. 四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P >. 五、（本题满分12分）设随机变量()1,0~N X ，12+=X Y ，试求随机变量Y 的密度函数． 六、（10分）设X 的密度函数为),(,2 1)(∞+-∞∈= - x e x f x X 0 1 P 21 2 1 ① 求X 的数学期望()E X 和方差()D X ； ② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与 X 是否相 关？ 七、（本题满分10分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ? ?>>=+-其他 ,00,0, ),()2(y x Ae y x f y x 求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。 八、（本题满分12分） 设总体()2~σμ，N X ，其中μ是已知参数，02>σ是未知参数．()n X X X ，，， 21是从该总体中抽取的一个样本， ⑴. 求未知参数2σ的极大似然估计量2?σ ； ⑵. 判断2?σ 是否为未知参数2σ的无偏估计． 九、（本题满分8分）设总体()2,~σμN X ，其中且μ与2σ都未知，+∞<<∞-μ，02>σ．现从总体X 中抽取容量16=n 的样本观测 值 () 1621x x x ，，， ，算出 75 .50316116 1 ==∑=i i x x ，()2022.615116 1 2=-=∑=i i x x s ，试在置信水平95.01=-α下，求μ的置 信区间． （已知：()7531.11505.0=t ，()7459.11605.0=t ，()1315.215025.0=t ，()1199.216025.0=t ） ． 06-07-1《概率论与数理统计》试题A 参考答案 一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4. 2()n χ；5. 27 19 二、1、 (C)；2、 (D)；3．()B ；4、()A ；5、()D 三、解：设A 表示事件“甲命中目标”，B 表示事件“乙命中目标”，则B A 表示“目标被命中”，且 ()()()()P A B P A P B P AB =+- ()()()()P A P B P A P B =+- 7.04.05.04.05.0=?-+= 所求概率为[()](/)() P B A B P B A B P A B = ()0.4 0.57()0.7 P B P A B = =≈ 四、解：（1）由?∞ +∞ -=1)(dx x f ，即 12 arctan )(12== ?=+?=+∞+∞ -∞+∞-∞ +∞--??A e A dx e e A dx e e A x x x x x π 所以π 2=A . （2）dx e e e e dx X P x x x x ??+?=+?=??????<<-3ln 2 1 02 3ln 21 0)(1223ln 210ππ 6 1 432arctan 23ln 21 =??? ??-= ?=ππππx e （3）分布函数x x t t x e e e dt dt t f x F arctan 2 2)()(ππ=+?==??∞--∞ - 五、解：{}(){}21Y F y P Y y P X y =≤=+≤ 1 2 1()2y X y P X f x dx --∞ -??=≤=???? ? 当02 1≤-y 即1≤y 时，0)(=y F Y ； 当12 1 0≤- 0y y dx x x y F y Y --=-=?-； 当12 1>-y 即3>y 时，1)1(6)(10=-=?dx x x y F Y ； 即 ?? ??? >≤<--≤=3,131),4()1(4 1 1,0)(2y y y y y y F Y 所以 ?? ???<<--=其他,03 1),3)(1(4 3 )(y y y y f Y 六、解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且 {}81213,03 =??? ??===Y X P ， {}8321211,12 1 3 =?? ? ????? ??===C Y X P ， {}8 3 21211,22 23 =??? ????? ??===C Y X P ， {}81213,33=?? ? ??===Y X P . 于是，（1）（X ，Y ）的联合分布为 Y X 1 3 0 0 8 1 1 83 0 2 8 3 0 3 8 1 （2）{}{}8 13,0====>Y X P X Y P . 七、解：（1）由????∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==00) 2(),(1dxdy Ae dxdy y x f y x A dy e dx e A y x 2 1 002= =??∞+∞ +-- 所以2=A . （2）X 的边缘密度函数：?∞ +∞ -=dy y x f x f X ),()(?? ?>=-其他, 00 x e x . Y 的边缘密度函数：?∞+∞-=dx y x f y f Y ),()(? ??>=-其他,00 22y e y . （3）因)()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X ，Y 是独立的. 八、解：1)()(11 -=?==??∞++∞+∞-ββ ββdx x x dx x xf X E 令X EX =，即X =-1 ββ，得参数β的矩估计量为1?-=X X β 似然函数为??? ????=>? ?? ?? ==+==∏∏ 其他,0),,2,1(1,),()(1 11 n i x x x f L i n i i n n i i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ， ∑=+-=n i i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ 0ln )(ln 1 =-=∑=n i i x n d L d βββ 得参数β的极大似然估计值为 ∑==n i i x n 1 ln ?β 九、解：由于正态总体()2,σμN 中期望μ与方差2σ都未知，所 以所求置信区间为 ()()??? ? ??-+--1,122n t n S X n t n S X αα． 由05.0=α，16=n ，得025.02 =α．查表，得()1315.215025.0=t ． 由样本观测值，得75 .50316116 1==∑=i i x x ， ()2022.6151161 2 =-=∑=i i x x s ． 所以， ()445.5001315.216 2022.675.50312=?-=--n t n s x α， ()055.5071315.216 2022.675.50312=?+=-+n t n s x α， 因此所求置信区间为()055.507,445.500 07-08-1《概率论与数理统计》试题A 参考答案 一．1．B ；2D ．；3．B ；4．C ；5．A. 二．1．()p B P -=1；2．5 3；3．64 9；4．2 1；5．1. 三．1．解：设用i A 表示：“第一次比赛取出的两个球中有i 个新球”，2,1,0=i ； B 表示：“第二次取出的两个球都是新球”。则 ()451 2102 20==C C A P ；()4528210280==C C A B P ()451621018121==C C C A P ；()452121027 1==C C A B P ()4528 210282==C C A P ；()45 152102 62==C C A B P 则()()()()()()()387.02025 784 221100≈=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P 2．解：Y X Z +=的可能取值为2，3，4，则 ()()9 131311,12=?=====Y X P Z P ()()()9 43 13 23 23 11,22,13=?+?===+====Y X P Y X P Z P ()()9 432322,24=?= ====Y X P Z P 所以Y X Z +=的分布律为： Z 2 3 4 P 9 1 9 4 9 4 3．解（1）()1220====???+∞ -+∞ ∞--+∞ ∞-C dx e C dx Ce dx x f x x 得：2 1=C ()()+∞<<∞-= ∴-x e x f x 2 1 （2）()e dx e dx e X P x x 112111 011-=== （3）当0 当0≥y 时， ()()( ) 20 12y y x x y F y P X y P y X y e dx e dx --- =≤=-≤≤ ==? ? ()()?? ???≥<='=∴-0 ,20,0y y e y y F y f y 4．解（1）当1 ()()1 111 ,42 X xy f x f x y dy dy +∞-∞ -+===? ? ， 则 ()?????<=其他 , 01, 2 1 x x f X 同理()?????<=其他 ,01 ,2 1 y y f Y （2）()02 11===??-+∞∞-dx x dx x xf EX X 同理：()0==?+∞ ∞-dy y yf EY Y () ()3 1 21 122 2 ===??-∞ +∞-dx x dx x f x X E X 同理：()()3 122==?+∞ ∞-dy y f y Y E Y ()()3 103122=-=-=EX X E DX 同理：()()3 122=-=EY Y E DY （3）由于()()()y f x f y x f Y X ≠ ,，所以X 和Y 不独立。 ()()9 14 1,1 11 1 =?? ??????? ? ? +?==????--∞+∞-∞ +∞-dx xy xy dy dxdy y x xyf XY E ()()031 3 10 91 ,≠=-=?-=DY DX EY EX XY E Y X R 所以X 和Y 相关。 （4）()()??<+=<+1 ,1y x dxdy y x f Y X P 0111110111179 342496x dx xydy dx xydy ----????=?++?+= ?? ????????? 5．解：似然函数为： ()()() ()n x n n i x n i i i n i i p p p p x X P p L -=-=∑-=-====∏∏1 1111 1 1 ()()p n x p n p L n i i -??? ? ??-+=∑=1ln ln ln 1 令()01ln 1 =--- =∑=p n x p n dp p L d n i i 得参数p 的极大似然估计为：X p 1?= 6．解：假设500:0=μH ，500:1≠μH 选择统计量：()9~10 t S X T μ-= 统计量的样本值：97.010 5.6500498-≈-=T 由于()82.2997.001.0=<=t T ，接受原假设0H 。所以在显著性 水平02.0=α下，可以认为自动装罐机工作正常。 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线） 使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中） （本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B. 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 《概率论与数理统计》作业集及答案 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 考试时间120分钟班级姓名学号 .则 . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是 = . 3. 设随机变量2 (,) Xμσ N，X Y e =，则Y的分布密度函数为. 4. 设随机变量2 (,) Xμσ N，且二次方程240 y y X ++=无实根的概率等于0.5，则 μ=. 5. 设()16,()25 D X D Y ==，0.3 X Y ρ=，则() D X Y +=. 6. 掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为. 7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）. 8. 设 125 ,, X X X是来自总体(0,1) X N的简单随机样本，统计量 12 ()~() C X X t n +，则常数C= ,自由度n=. 二（共50分） 1.（10分）设袋中有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中 任取一只硬币，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？ 2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密 度函数为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求{1} P Y≥. 3.（10分）设二维随机变量(,) X Y在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求： (1) 求随机变量X,Y的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度 | (|) X Y f x y. 4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2 (160,20) N分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）. 5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,) a b服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学 期望. 三. （10分）设 12 ,, n X X X是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为其中,0 μθ>是未知参数， 12 ,,, n x x x是一组样本值，求： 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54). (5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19概率论与数理统计试题与答案
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