不定积分的运算法则，包含如下两个性质（注意性质适用条件）：1、设函数f(x)的原函数存在（即f(x)可积，下同），k是常数，则：（1）
（k≠0）
（2）
（k=0）
2、设f(x)，g(x)两个函数存在原函数，则：
3、常见积分几种运算法
换元积分法：
①设f(u)具有原函数F(u) ，如果u是中间变量：u=
(x),且
(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有
dF=[
(x)]=f[
(x)]
'(x)dx，从而根据不定积分的定义就得：
若要求
，若
可化为
的形式，那么：
这种方法称为第一类换元法。
②利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。下面简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式
，可直接令 t =
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：被积函数含根式
，令
被积函数含根式
，令
；被积函数含根式
，令
。
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
（3）倒代换（即令
）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m>1时，用倒代换可望成功
（4）指数代换：适用于被积函数由指数
所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令
，则：
分部积分法：
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则其乘积的导数为：
，移项得：
对两边求不定积分，得：
也可写为：
如果求
有困难，而求
比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。
·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??
不定积分的运算法则，包含如下两个性质（注意性质适用条件）： 1、设函数f(x)的原函数存在（即f(x)可积，下同），k是常数，则： （1） ?? （k≠0） （2） ?? （k=0） 2、设f(x)，g(x)两个函数存在原函数，则： 3、常见积分几种运算法 换元积分法： ①设f(u)具有原函数F(u) ，如果u是中间变量：u= ?? (x),且 ?? (x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 dF=[ ?? (x)]=f[ ?? (x)] ?? '(x)dx，从而根据不定积分的定义就得： 若要求 ?? ，若 ?? 可化为 ?? 的形式，那么： 这种方法称为第一类换元法。 ②利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们
设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。下面简单介绍第二类换元法中常用的方法： （1）根式代换：被积函数中带有根式 ?? ，可直接令t = ? （2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：被积函数含根式 ?? ，令 ?? 被积函数含根式 ?? ，令 ?? ；被积函数含根式 ?? ，令 ?? 。 注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。 （3）倒代换（即令 ?? ）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当n-m>1时，用倒代换可望成功 （4）指数代换：适用于被积函数由指数 ?? 所构成的代数式； （5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 ?? ，则： 分部积分法： 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则其乘积的导数为：
?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.（1） AdX （ 2） XdX _ 1 丄+ 彳 解：（1 ） . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 （2 ）.XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式，然后应用幕函
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式，然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx
arccos求导目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1 基本概念、定理及公式 2 2 直接积分法易犯错误举例剖析 3 2.1 运算中漏掉“”、“” 3 2.2 自创运算法则致误 3 2.3 对公式的错误运用 4 2.4 对公式的错误运用 4 3 第一换元积分法应注意问题 5 3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 注意解的不同表示方法 6 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6 5 分部积分法应注意事项 8 6 计算某类特殊积分注意事项 9 6.1 有理函数的不定积分 9 6.2 分段函数的不定积分 10 参考文献 12 致谢 13
计算不定积分应该注意的几个问题 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution 引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识. 定义1 设函数与在区间上有定义.若 则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作 其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. 注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视. 定理2 设是在区间上的一个原函数，则 也是在上的原函数，其中为任意常量函数； 在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则 上也存在原函数，且
积分运算法则 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
不定积分的运算法则，包含如下两个性质（注意性质适用条件）： 1、设函数f(x)的原函数存在（即f(x)可积，下同），k是常数，则： （1） （k≠0） （2） （k=0） 2、设f(x)，g(x)两个函数存在原函数，则： 3、常见积分几种运算法 换元积分法： ①设f(u)具有原函数F(u) ，如果u是中间变量：u= (x),且 (x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 dF=[ (x)]=f[ (x)] '(x)dx，从而根据不定积分的定义就得： 若要求 ，若 可化为 的形式，那么： 这种方法称为第一类换元法。 ②利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。下面简单介绍第二类换元法中常用的方法： （1）根式代换：被积函数中带有根式 ，可直接令 t = （2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：被积函数含根式 ，令 被积函数含根式 ，令 ；被积函数含根式 ，令 。 注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。 （3）倒代换（即令
）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m>1时，用倒代换可望成功 （4）指数代换：适用于被积函数由指数 所构成的代数式； （5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 ，则： 分部积分法： 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则其乘积的导数为： ，移项得： 对两边求不定积分，得： 也可写为： 如果求 有困难，而求 比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。
-复习1原函数的定义。2 不定积分的定义。3不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分?（1）Adx （2）X I xdx .1 -2 + . 解：（1）. 2dx =x'dx =兰C---亠C X -2 - 1 x 3 2 5 （2）.x、xdx = x2dx =2x2 C ' 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为数的积分公式求积分。X〉的形式，然后应用幕函
不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (x) — g (x)]dx 二 f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = 0) 3 x 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 x =x x —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-x 4 ^e x C) = 2x 3 ? 1 - e x ，所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数('XFX-1 化为和式，然后再逐项积分得 vx （、x 1）（ x 1 积分运算法则 The latest revision on November 22, 2020 不定积分的运算法则，包含如下两个性质（注意性质适用条件）： 1、设函数f(x)的原函数存在（即f(x)可积，下同），k是常数，则： （1） （k≠0） （2） （k=0） 2、设f(x)，g(x)两个函数存在原函数，则： 3、常见积分几种运算法 换元积分法： ①设f(u)具有原函数F(u) ，如果u是中间变量：u= (x),且 (x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 dF=[ (x)]=f[ (x)] '(x)dx，从而根据不定积分的定义就得： 若要求 ，若 可化为 的形式，那么： 这种方法称为第一类换元法。 ②利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。下面简单介绍第二类换元法中常用的方法： （1）根式代换：被积函数中带有根式 ，可直接令 t = （2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：被积函数含根式 ，令 被积函数含根式 ，令 ；被积函数含根式 ，令 。 注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。 （3）倒代换（即令 ）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m>1时，用倒代换可望成功 （4）指数代换：适用于被积函数由指数 所构成的代数式； （5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 ，则： 分部积分法： 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则其乘积的导数为： ，移项得： 对两边求不定积分，得： 也可写为： 如果求 有困难，而求 比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。积分运算法则
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