向量的线性运算经典测试题附答案解析
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
2．四边形ABCD 中，若向量与
是平行向量，则四边形ABCD ( )
A ．是平行四边形
B ．是梯形
C ．是平行四边形或梯形
D ．不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题目中给的已知条件与
是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定
与
的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.
【详解】
根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与
的大小，所以有一组对边平行的四边
形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
3．如图，已知向量a r
，b r
，c r
,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r
r
r
B ．b c a +=r
r r
C ．a c b +=r
r r
D ．a c b +=-r r r
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r
， 即a c b +=-r r r 故选D ．
4．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a r r
+-=
B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r
C ．()
-=+-r r r r
a b a b
D ．()()++=++r r r r r r
a b c a b c
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】
解：A. ()0a a v
v v
+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
5．下列判断正确的是( )
A ．0a a -=r r
B ．如果a b =r r ，那么a b =r r
C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r
D ．对于非零向量b r
，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r
【答案】D 【解析】
【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】
A. -r r
a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；
B. 如果a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；
C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错
误；
D. 对于非零向量b r
，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r
，故D 正确.
故答案为D. 【点睛】
本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
6．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r r ，DC b =u u u r r
，则（ ）
A ．()
12BO a b =+u u u r r r ； B ．()
12BO a b =-u u u r r
r ； C ．()
12BO b a =-+u u u r r r
； D ．()
12
BO b a =
-u u u r r r ． 【答案】D 【解析】
1,.2
1(b-a)2
BCD BO BD BD DC CB CB BC
BO D
?==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r r r
在中，所以故选
7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r r
B ．00a ?=r
C ．()
a b b a -=--r
r r r
D ．km k m =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】
解：A. 0a a -=r
r r
，故本选项错误； B. 00a ?=r
r
，故本选项错误；
C. ()
a b b a -=--r
r r r ，故本选项正确；
D. km k m =?r r
，故本选项错误.
故选：C. 【点睛】
考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．
8．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．
①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．0个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】
解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；
②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】
此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.
9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝
B ．++＝0
C ．
+
＝
D ．
+
＝
【答案】C 【解析】 【分析】
由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】
由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,
+
＝
故选：B. 【点睛】
此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.
10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r r
B ．||3||a b =r
r
C ． 5a b =-r r
D ．2a b =r r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】
解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r
，故本选项不符合题意．
B 、由||3||a b =r r
只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相
同，故本选项符合题意．
C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r
的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意．
D 、由2a b =r r
可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．
故选：B ． 【点睛】
本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r
叫做平行向量．
11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r
，那么下列说法中，错误的是
（ ）
A ．//a b r r
B ．a b =r r
C ．7
2
BD =
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】
解：已知2a c v v
＝，2b c -v
v
＝，故a b v
v ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误， 故选C.
【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.
12．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r
的结果是（ ）．
A ．CA u u u r
B ．A
C u u u r C ．0r
D ．A
E u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】
解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r
AC =u u u r ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
13．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r
C ．a r 与b r
方向相同 D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴
3a b 2
=-r r ， ∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．已知5a b =r r
，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．50a b -=r r
B ．a r 与b r 方向相同
C ．//a b r r
D ．||5||a b =r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】
A 、50a b -=r r
r
，故该选项说法错误
B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r
的方向相同，故该选项说法正确， C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r
，故该选项说法正确，
D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
15．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．a r //c r ，b r //c r
B ．1,22
a c
b
c ==r r r r
C ．2a b =r r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r
，故本选项错误.
C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．
16．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r
，且0c ≠r r ，下列结论正确的是
A ．=a b r r
B ．20a b +=r r
C ．a r 与b r
方向相同
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】
解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，
计算得：-2a b =r r
（方向相反）.
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.
17．设e r
为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）
A ．2a e =r r
B ．a e a
=r
r r C ．2a e =r r
D ．112
a =±r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据e r
为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.
【详解】
解：∵e r
为单位向量，
∴1e =r
,
A 中忽视了向量的方向性,错误
B 中忽视了向量的方向性,错误
C 中,∵2a =r ,1e =r
, ∴2a e =r r
,正确,
D 中忽视了向量的方向性,错误
故选C. 【点睛】
本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.
18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r
可以用点P 的
坐标表示为：(,)OP m n u u u v
=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u r
B ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u r
C ．OG =u u u r ；(OH =u u u r
D ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】
解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】
本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.
19．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r r
C ．//a c r r
，//b c r r D ．2,2a c b c ==-r r r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r
，故本选项符合题意; B 、3a b =r r
说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意; C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r
，2b c =-r
r
说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
20．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r
不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
用心 爱心 专心 - 1 - 课题：3.1.1空间向量的线性运算 设计人： 审核人： 班级： 组名： 姓名： 日期： 典型例题 例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），以图中一对顶点构造向量，使 它们分别等于： ； ⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '2 1CC AD AB + +⑶ ．⑷ )'(3 1AA AD AB ++ (5)D D AB BC → → → '-+ 1(6)()2 A B A D D D B C → → → → '++ - (7)AB BC C C C D D A → → → → → '''''++++ 例3.已知平行六面ABCD-A1B1C1D1 ，求满足下列各式的x 的值。 11111 )3(2 )2(AC x AD AB AC AC x BD AD =++=-x C D A AB =++1111 )1( 1 C C ' D ' A ' B ' D A )(21,,.2→ →→+=BC AD MN CD AB ABCD N M 求证：的中点， 的棱分别是四面体例D C B A N M
用心 爱心 专心 - 2 - 四．当堂检测 １．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC 的中点，则MN 等于（ ） A ．11()2A C A B B B ++ B ．111111()2 B A B C C C ++ C ．11()2A C C B B B ++ D ．11()2 B B B A B C -- ２．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 （ ）①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++ ④AB CB CD AD -+- A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 3.在空间四边形ABCD 中,点M 、G 分别是BC 、CD 边的中点,化简 4. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1 BA CB +; （2）1 21AA CB AC + +; （3）CB AC AA --1 五．课后练习 1．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，,,AB a AD b AP c === ，E 为PC 中点， 则向量C E = _______________________； 2.已知长方体 1111 ABC D A B C D -，化简向量表达式 1CB AC AD AA +++= _____________； 3. 1(1) ()2 1(2) ()2 AB BC BD AG AB AC ++-+ a b AD c a ,b,c C D ,. ABC D AB BC AC BD == 空间四边形中，，＝，，试用来表示，
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
平面向量的概念及线性运算 【考点梳理】 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反 向量－b的和的 运算叫做a与b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向 量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的 方向与a的方向相同； λ(μa)＝ λμa； (λ＋μ)a＝λa
当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】 考点一、平面向量的有关概念 【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④ [答案] A [解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC → ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
空间向量及其线性运算 学习目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件。 学习重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 学习难点：空间向量的线性运算及其性质。 学习过程： 一、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则； 2、物体的受力情况分析（如右图）。 二、建构数学 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）空间的一个平移就是一个向量。 （2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体
O 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一 直线，也可能是平行直线。 5．共线向量定理及其推论 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ，其中向量a 叫做直线l 的 方向向量。 三、数学运用 1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）12 1 AA + +； （3）CB AC AA --1。 解：（1）11CA BA =+； （2）AM AA CB AC =+ +12 1 ； （3）11BA CB AC AA =--。
6.3 平面向量线性运算的应用 学习目标 考点学习目标核心素养 几何应用通过本节课学习理解向量 在处理有关平面几何问题 中的优越性并体会向量在 几何和现实生活中的意义 数学抽象、数学建模 物理应用运用向量的有关知识(向 量加减法与向量数量积的 运算法则等)解决简单的 物理问题 数学抽象、数学建模 自主预习 预习教材P168~170的内容,解决以下问题: 1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-1或2 2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于() A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为. 4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=. 课堂探究 一、向量在平面几何中的应用 例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=1 2 BC. 例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD. 求证:四边形AECF是平行四边形.
例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值. 跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,DC????? =1 4AB ????? ,BE ????? =2EC ????? ,且AE ????? =r AB ????? +s AD ????? ,则2r+3s=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、向量在物理中的应用 例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小. 跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,试用向量的减法来求水流的速度大小. 课堂练习 1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是() A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形 2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为() A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=1 4 AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形. 核心素养专练 1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为() A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D.|v1 v2 | 2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-7 3),B(1,1 3 ),C(-1 2 ,2),D(-7 2 ,-2),则四边形ABCD是()
向量的线性运算 【三维目标】： 一、知识与技能 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力； 3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 4.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 二、过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感、态度与价值观 通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点与难点】： 重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.学法指导 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
高中数学学案:平面向量的有关概念及其线性运算 1. 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算；理解其几何意义；理解向量共线定理. 3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义. 1. 阅读:必修4第59～73 页. 2. 解悟:①向量的相关概念；②向量的线性运算；③第71 页例4中两个不共线的向量OA →,OB →可 以表示平面内任意一向量吗？④第71页例4你能得到什么结论吗？ 3. 践习:在教材空白处,完成第72～73页习题第11、13、14、15、16题. 基础诊断 1. 给出下列命题:①若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线；②若AB →＝CD →,则AB →∥CD →；③若AB →＝CD →, 则BA →＝DC →；④若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线.其中,正确的命题是 ①②③④ .(填序号) 解析:①根据向量平行的定义可知,平行即共线,所以若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线正确；②根 据相等向量的定义可知,若AB →＝CD →,则AB →与CD →的方向相同,故AB →∥CD →正确；③若AB →＝CD →,则 －AB →＝－CD →,即BA →＝DC →,故③正确；④若均不为零向量,若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线显然成立.若有一个为零向量,则其中有两个点重合,三点共线依旧成立,故④正确.故选①②③④. 2. 化简:AB →－CB →＋EF →－EC →＝ AF → . 解析:原式＝AB →＋BC →＋EF →＋CE →＝AC →＋CF →＝AF →. 3. 若O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 的形状 是 直角三角形 . 解析:因为|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,所以|CB →|＝|AB →＋AC →|.以线段AB 和AC 为邻边画出 平行四边形ABDC,则AB →＋AC →＝AD →.因为|CB →|＝|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|,所以平行四边形的两条 对角线相等,所以平行四边形是矩形,所以∠BAC ＝90°,所以△ABC 是直角三角形.
24.7向量的线性运算（1） 一、教学目标 1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合． 二、教学重点及难点 线性运算的意义，线性组合的概念； 线性组合的简单应用. 三、教学用具准备 三角尺、多媒体演示设备 四、学情分析 本节内容是前面所学向量知识的整理和运用.通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念． 六、教学过程设计 （一） 新课导入 我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （二）探索新知 例题1 已知两个不平行的向量.,b a 求作：23+，2-. 解:略
例题2 已知两个不平行的向量.,b a 求作：).22 7()(--+ 揭示概念 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如23+，2-、)5(3+等，都是向量的线性运算. 如果,是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么y x +叫做,线性组合.如,两个不平行的向量，向量,23b a OE +=，这时就说OE 可由.,b a 的线性组合表示. 例题3 如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点.设CA =a ，b CB =，试用.,b a 的线性组合表示向量CM （三）巩固练习 书本P49 练习24.7（1） （四）课堂小结 （五）作业布置 练习册24.7（1） _ C _ E →a → a →b
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
2.2 平面向量的线性运算 知识梳理 一、向量加法 1.向量加法的定义 如图2-2-1，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC. 图2-2-1 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b=b+a. (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 二、向量减法的定义 与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a. 求两个向量差的运算叫做向量的减法：a-b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b 的相反向量-b. 三、向量数乘 1.向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反； (3)当λ=0时，λa=0. 2.向量数乘的运算律 设λ、μ是实数，则有： (1)λ(μa)=(λμ)a； (结合律) (2)(λ+μ)a=λa+μa； (第一分配律) (3)λ(a+b)=λa+λb. (第二分配律) 知识导学 要学好本节内容，可从数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，从而顺理成章地接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量.通过探究类比数的运算性质，理解向量的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律.
《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟
§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终 点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB →)． 3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )
2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算 （第三课时）示范教案 新人教A 版必修4 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性 运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向 量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进 而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤 其是定理的前提条件：向量a 是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行 等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实 数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律． 2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行． 3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能 力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条 件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基 础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看 成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算． 思路 2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a ，那么在同一方向上3 秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a ，试一试作出a ＋a ＋a 和－a ＋－a ＋－a ②你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？ ③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向 量平行？与两直线平行有什么异同？ 活动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进 行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学 生特别注意0·a ＝0，而不是0·a ＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但 又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的 关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向 量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形 式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相 等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个 实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何 中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段． 对问题①，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，
高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算教案理（含解析）新人教A版 第1讲平面向量的概念及其线性运算 基础知识整合 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有□01方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的□02模． (2)零向量：长度为□030的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于□041个单位的向量． 05相反的非零向量，又叫共线向量． (4)平行向量：方向相同或□ 规定：0与任一向量共线． 06相同的向量． (5)相等向量：长度相等且方向□ 07相反的向量． (6)相反向量：长度相等且方向□ 2．向量的线性运算
3．共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n → .特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB → )． 3.OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，所以a ∥b ；当a ∥b 时，不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b
＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．故选A. 2．(2019·嘉兴学科基础测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM → ＝( ) A.1 2a －b B.1 2a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12 b 答案 A 解析 AM →＝CM →－CA →＝12CB →－CA →＝1 2 a － b .故选A. 3．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝b C ．a 与b 共线反向 D ．存在正实数λ，使a ＝λb 答案 D 解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确． 4．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD → ＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数 m ，n 应该满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1 答案 C 解析 由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD → ，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此? ?? ?? λn ＝1， λ＝m ，即有mn ＝1. 5．(2019·大同模拟)△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB → ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP → ，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝2 3 . 核心考向突破 考向一 平面向量的概念
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量 零向量 单位向量 平行向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫 做向量的长度(或称模) 长度为零的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 平面向量是自由向量 记作0 a 非零向量a的单位向量为±|a| 方向相同或相反的非零向量又叫做共0与任一向量平行或共线共线向量 相等向量 相反向量 线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. 求两个向量和 加法(2)结合律： 的运算 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的 相反向量 减法－b的和的 运算叫做 a与b的差 求实数λ与向 数乘量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的 方向与a的方向相 同；当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相 反；当λ＝0时，λa ＝0 a－b＝a＋(－b) λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa． 高频考点一平面向量的概念 例1、给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； →→ ③若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC，则ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 答案③ 解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．