计 算 题（每题10分）
1、求解微分方程2
'22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程2y x dx
dy
+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+
-=的通解
4、求方程组dx dt y
dy
dt
x y ==+?????2的通解
5、求解微分方程
'24y xy x +=
6、试用逐次逼近法求方程2y x dx
dy
-=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程
''+-=-y y y e x '22的通解
8、求方程组dx
dt x y
dy
dt
x y =+=+?????234的通解
9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程
2y x dx
dy
-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解
12、求方程组dx
dt
x y dy
dt
x y =+=+?????2332的通解
13、求解微分方程
x y y e x (')-=
14、试用逐次逼近法求方程22x y dx
dy
+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解
16、求解方程
x e y y y -=-+''32 的通解
17、求方程组?????-+=-+=y
x dt dy
dt
dx x y dt dy dt dx
243452的通解 18、解微分方程2
2
(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程
2dy
x y dx
=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????.
20、利用逐次逼近法，求方程
22dy
y x dx
=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。
21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式：
1
0|()()|(1)!
n n n ML x x x x n ??+-≤-+。
22、求初值问题
22,(1)0dy
x y y dx
=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义
区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。
23、cos
cos 0y y x y dx x dy x x
??-+= ??? 24、2
221dy
y dx x y ??+= ?+-??
25、
21210dy x y dx x
-=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y
y y y y x
=
+-
28、22dy y x dx xy
-=
29、22
2()0xydx x y dy +-= 30、
3(ln )0y
dx y x dy x
++= 31
22
0ydx xdy
x y
-=
=+ 32、(1)10x x y
y
x e dx e dy y ??
++-
= ??
?
33、
213
dy x y dx x y -+=++ 34、4
4
3
()0x y dx xy dy +-=
35、()
22(2)0xy y dx y y x dy -+++= 36、3
"10y y += 37、"'"'0y y y y -+-= 38、"'2"3'100y y y y --+= 39、(4)0y y +=
40、(6)
(4)2"20y y y y --+= 41、(4)
"0y y -=
42、(4)
4"'8"8'30y y y y y -+-+= 43、(4)
4"'6"4'0y
y y y y -+-+=
44、"x
y y xe
-+=
45、2"3'4x
y y y e ++=-
解：对应齐次方程的特征方程为 2
2310λλ++=，特征根为 1211,2
λλ=-=-， 齐次方程的通解为 12
12x x
y C e
C e
--=+
由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如 1x
y A Be =+
的特解。将1x
y A Be =+代入已知方程，比较系数得 14,6
A B ==- 即 146x
y e =-，因而，所求通解为
12
121
46
x x
x y C e C e
e --=++-。
46、3"2'4(2)x
y y y x e -+=+
解：对应齐次方程的特征方程为 2
240λλ-+=， 特征根为 1,21λ=±，
齐次方程的通解为 12()x y e C C =+
由于3不是特征根，故已知方程有形如 31()x
y e Ax B =+
的特解。将31()x
y e Ax B =+代入已知方程，比较系数得 110
,749
A B =
=
即 31110749x
y e x ??
=+
???
，因此，已知方程的通解为
3121
10()7
49x x y e C C e x ??=+++ ???。
47、2
613(52)t
x x x e t t ++=-+ 48、t
x x e -= 49、2"2't
s as a s e ++= 50、2441t t
x x x e e -+=++ 51、"4'10y y ++=
52、"'3"3'(5)x
y y y y e x -+++=- 53、"3'2sin cos y y x x +=+ 54、2
2225sin (0)x kx k x k kt k ++=≠
55、"sin cos y y x x += 56、"2'2cos x y y y e
x --+=
解：对应齐次方程的特征方程为 2
220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，
齐次方程的通解为 ()12cos sin x
y e C x C x =+
由于1i -±不是特征根，故已知方程有形如 1(c o s s i n )x
y e A x
B x -=+ 的特解。将1(cos sin )x
y e A x B x -=+代入已知方程，得 11,88
A B ==-
因此，所求通解为
()121
cos sin (cos sin )8
x x y e C x C x e x x -=++-。
57、"2'10cos2x
y y y e x --+= 58、sin ,
0x x at a +=>
59、2
2"5'cos y y x += 60、"4sin 2y y x x += 61、"2'34sin 2y y x +=+ 62、"2'24cos x
y y y e x -+= 63、"918cos330sin3y y x x +=- 64、sin cos2x x t t +=- 65、22cos t x x x te t -+= 66、求微分方程22
"'01y y y
+
=-的通解。 67、求1
"'cos x y y xe x x
=
+的通解。 68、求微分方程2'"
"0y y y x x
-
+=的通解。 69、求微分方程2
"(')'0xyy x y yy +-=的通解。 70、求微分方程"3'2sin x
y y y e x -++=+的通解。
71、求微分方程221"4'4x
y y y e x
-+=
的通解。 72、求方程2"4'5csc x
y y y e x -+=的通解。 73、求微分方程2
"2'20x y xy y +-=的通解。
74、求微分方程2
2
"2'22x y xy y x +-=+的通解。
75、利用代换cos u y x
=
将方程 "cos 2'sin 3cos x
y x y x y x e -+= 化简，并求出原方程的
通解。
76、求下列线性微分方程组2244(1)
22(2)
t
dx x y e dt
dy x y dt
-?=-+???
?=-??
77、解下列微分方程组1
12222
3
322(1)
(2)2(3)
dy y y dx dy
y y dx dy y dx ?=-???=-+???=??
的通解。 78、5445dy
y z dx
dz y z dx ?=+???
?=+??
79、3452dx
x y dt
dy x y dt
?=+???
?=+??
80、254342x y y x x y x y
-=-??-=-?
计 算 题 答 案
１、解：对应的齐次方程y '+2xy=0的通解为y=ce -x
2
(41) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e -x 2
代入方程y 1+2xy=2xe -x 2
得
c 1(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (31）
所以原方程的通解为y=(x 2+c)e -x 2
(11)
２、解：按初始条件取 0()0y x ≡
2
2
1000()[()]2w
x y x y x y x dx =++=?
252
2010()[()]220w x x y x y x y x dx =++=+?
258112
3020()[()]2201604400
w x x x x y x y x y x dx =++=+++?
3、解：对应的齐次方程为"'-20y y y +=
特征方程为2
+20λλ-=解得 1,-2λ= 对应的齐次方程通解为
212x x Y c e x e -=+ （21）
设方程的一个特征解为y 1=Ae -x
则y 11=-Ae
-x
,y 21=Ae -x
代入解得A=-1/2
从而11y 2
x
e -=- （21）
故方程的通解为2 1121
2
x x
x y Y y c e c e
e --=+=+- （21） 4、解：它的系数矩阵是A =????
??0121
特征方程||A E -=--=λλλ
1
210
或为λ2-10λ+9=0 （21） 特征根λ1=1,λ2=9
原方程对应于λ1 =1的一个特解为y 1=e t ,x 1=-e t （21） 对应于λ2=9的一个特解为y 1=e 9t ,x 1=e 9t （21）
∴原方程组的通解为x c e c e y c e c e
t t
t t
=+=-+???--1221222 （21）
5、解：对应的齐次方程 y 1+2xy=0的通解为y=ce
-x 2 (41) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e -x 2
代入方程y 1+2xy=4x 得c 1(x)=4e x 2x 因此有c(x)=2e x 2
+c (31）
所以原方程的通解为y=(2e x 2+c)e -x 2
(11)
6、解：取120010
()0,()()[()]n n y x y x y x x y x dx -==+
-?
则2101y ()22
x
x x xdx ==
-? 22
53220111
y ()222062430x x x x x x x x dx ??????=-=-++--
???????
? 因此，第二次近似解为 532211y ()2062430
x x x x x =-++--。
7、解：对应的齐次方程为111
-20y y y +=
特征方程为2
+20λλ-=，得 1,-2λ=对应的齐次方程通解为
-212x x Y c e c e =+ （21）
设方程的一个特征解为-1x
y Ae = 则1- 1x y Ae =-,11-1x
y Ae =
代入解得-1A =，而-
1-x y e = （21）
故方程的通解为-2-112x x x
y Y y c e c e e =+=+- （21）
8、解：由方程解出y ，得y x x p x p =--2122， 代入dx p dy =1得dx x dp
p
=即p cx = 故通解为y c x c =--211
22()
9、解：方程化为y x
y x '-=223
对应的齐次方程y x
y '-=20 的通解为y=cx 2
(41) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x 2 代入方程得
c 1(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (31）
所以原方程的通解为y=(x 2+c)x 2
(11)
10、解：取200
10
()0,()()[()]x n n y x y x y x x y x dx -==+
-?
则2
10y ()2x
x x xdx ==?
2
225
20y ()2220x x x x x x dx ??????=-=- ???????
?
因此，第三次近似解为 532
2
11y ()2062430
x x x x x =-++--
11、解：对应的齐次方程为y 11+y 1-2y=0
特征方程为λ2
+λ-2=0 解得λ=1,-2 对应的齐次方程通解为
Y=c 1e x +c 2e -2x （21）
设方程的一个特征解为y 1=Ae -x
则y 11=-Ae -x ,y 111=Ae -x
代入解得A=-2
从而y 1=-2e -x
（21）
故方程的通解为y=Y+y 1=c 1e x +c 2e -2x -2e -x
（21）
12、解：它的系数矩阵是A =????
??0121
特征方程||A E -=--=λλλ
1
210
或为λ2-4λ-5=0 （21） 特征根λ1=-1,λ2=5
原方程对应于λ1 =5的一个特解为y 1=e 5t ,x 1=e 5t （21） 对应于λ2=-1的一个特解为y 2= -e -t ,x 2=e -t （21）
∴原方程组的通解为x c e c e y c e c e
t t
t t
=+=-+???--1221222 （21）
13、解：方程化为y y x e x '-=
1 对应的齐次方程1 -0y y =的通解为 x y ce = (41)
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为
()x y c x e =
代入方程得1
1()c x x
=因此有()ln ||c x x c =+ (31）
所以原方程的通解为(ln ||) x
y e x c =+ (11)
14、解：取20010
()0,
()()[()]x
n n y x y x y x x y x dx -==+-?
则3
2
1
y ()3
x x x x dx ==?
23372
20y ()3363x
x x x x x dx ??????=+=+ ???????
?
因此，第三次近似解为
2371511732
302y ()363595352079633x
x x x x x x x x dx ??????=++=+++
???????
?
15、解：对应的齐次方程特征方程为2
+2=0λλ-解得λ=1,-2
对应的齐次方程通解为 -2
12x x Y c e c e =+ （21）
设方程的一个特征解为-1x
y Ae =代入解得32
A =-
从而-
13-2x y e
??= ???
（21）
故方程的通解为-2-
112-(3/2) x x x y Y y c e c e e =+=+
16、解：对应的齐次方程特征方程为λ2+λ-2=0 解得λ=1,-2
对应的齐次方程通解为 Y=c 1e x +c 2e -2x （21）
设方程的一个特征解为y 1=Ae -x 代入解得A=-3/2
从而y1=-(3/2)e -x （21）
故方程的通解为y=Y+y 1=c 1e x +c 2e -2x -(3/2)e -x （21）
17、解：化简有x x y
y x y
??=-=-?????232
它的系数矩阵是A =????
??0121
特征方程||A E -=--=λλλ
1
210
或为λ2-1=0 （21） 特征根λ1=±1
原方程对应于λ1 =-1的一个特解为y 1=e -t ,x 1=e -t （21） 对应于λ2=1的一个特解为y 2=e t ,x 2=3e t （21）
∴原方程组的通解为x c e c e y c e c e
t t
t t
=+=-+???--1221222 （21）
18、解：因M(x,y)=3x 2+6xy 2,N(x,y)=6x 2y 3+4y 3
????M y xy N
x
==12 所以为全微分方程
将其分组()()346602
3
2
2
x dx y dy xy dx yx dy +++= ∴原方程可写成d x y x y []3
4
2
2
30++=
∴方程的通解为 x y x y c 3422
3++=
19、解：0()(0)0x y ?==
2101
()0(0)2
x
x s ds x ?=+-=?
2
22520111()02220x x s s ds x x ???
??=+-=-?? ???????
?
2
252581130111111()02202201604400x x s s s ds x x x x ???
??=+--=-+-?? ??????
??
20、解：零次近似解为 0()(0)1x y ?==
一次近似解为 2310
1
()1(1)13
x
x s ds x x ?=+-=+-?
二次近似解为 2
322
45720
1121()111361563x x s s s ds x x x x x ?????=++--=++--+?? ???????
?
21、证：由0
0()(,())x x x y f s s ds ??=+
?
及迭代列
001()(0),()(,())1,2,
x n n x x y x y f s s ds
n ???-==+=?
得 0
00|()()||(,())|||x x x x f s s ds M x x ???-≤
≤-?
设 1
|()()|||
(1)!
k
k k ML x x x x k ??+-≤-+ 则 0
1|()
()||(,())(,())|
x k k x x x f s s f s s ds ????+-≤-?
1
0||(1)!k x k x ML s x ds k +≤-+? 20||(2)!
k k ML x x k +≤-+ 由归纳法知，对任意n 次近似解，估计式（1）成立。
22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定义区间为 0|1|x h +≤
其中220(,)|1|min(,),max ||4x y R b
x h a M x y M
∈+≤==-=。这里1,1a b ==，从而
014h =，即得解的定义区间为 1|1|4
x +≤。
2）求初值问题的二次近似解 0()(1)0y x y ≡-=
32
2
1011
()[()]33
x
x y x s y s ds -=-=+?
则二次近似解为
23374222
2111111()[()]3336318942x
x
s x x x x y x s y s ds s ds --??????=-=-+=---+
???????
?? 3）由误差估计公式 1
0|()()|(1)!
n n n ML y x y x x x n +-≤-+
其中L 是李普希兹常数。因为
|2|2f
y y
?=≤?，可取2L =，则有 3
224211
|()()|3!424y x y x ???-≤= ?
?? 即第二次近似解在存在区间上的误差不超过1
24
。
23、解：方程可化为 1
c o s
d y y y d x x x
=-
作变换y u x =，代入方程得到1cos du u x u dx u +=-
进一步化简，得 c o s dx
udu x =- 两边积分得 s i n l n ||u x C =-+ 代回原变量，得原放通解 sin ln ||y
x C x
=-+
24、解：令2,3v y u x =+=-，代入原方程得 2
2d v v d u u v ??
=
?+??
这是齐次方程，再作变换v z u =，则方程化为 2
21dz z z u du z ??
+= ?+??
将变量分离，得 22(1)(0)(1)z du
dz z z z u
+=-≠+
两边积分得 ln ||2arctan ln ||zu z C =-+ 代回原变量，得通解 2
2a r c t a n
3
2y x y c e +--+=
此外，0z =即2y =-也是解，它包含在上述通解中。
25、解：首先求线性齐次方程
2120dy x y dx x
-+= 的通解。 分离变量，得 221dy x dx y x
-=， 两边积分得 1
2x
y C x e = 设原方程通解为 12
()x
y C x x e =， 代入原方程，得到 121'()
x
C x e x
-
=? 两边积分得 1
()x
C x C e
-=+
于是，所求方程的通解为 122
x
y Cx e x =+。
26、解：若对调x 与y 的地位，即可把方程化为
1ln dx x dy y y y
=-+ 这是以x 为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程
0ln dx x dy y y
+= 的通解。分离变量，得 1ln dx dy x y y =-， 两边积分得 ln C x y
= 为求得原方程通解，设 ()ln C y x y =，代入原方程，得 1
'()l n C y y y
=
两边积分得 2(l n )
()2y C y C =+
所以，所求方程的通解为 ln ln 2
C y x y =+。
27、解：若对调x 与y 的地位，即可把方程化为
12l n d x x
y d y y
=-++ 这是以x 为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 d x x
d y y
=- 的通解。 分离变量，得 dx dy x y =-， 两边积分得 C x y
= 令 ()
C y x y =，代入原方程，得 '()2l n
C y y y y =+ 两边积分得 2
()l n C y C
y y
=+
所以，所求方程的通解为 ln C
x y y y
=+。
28、解：原方程为
122dy y dx x y
=-， 令2
z y =，代入上式得 1dz z
dx x =- （1） 上式两边同乘1x ，并整理得 '
1z x x ??
=- ???
， 两边积分得 ln ||z C x x =-
这样，得到线性方程（1）的通解为 ln ||z Cx x x =-
代回原变量，得原方程通解 2
ln ||y Cx x x =- 此外，y 出现在分母位置，不可取0。
29、解：因为2
2
(,)2,(,)()M x y xy N x y x y ==-，所以有
(,)(,)
2M x y N x y x y x
??==?? 因此方程为全微分方程。取000,0x y ==，得
3
2
2
2
00(,)0()3x
x
y u x y dx x y dy x y =+-=-??
于是方程的通解为 32
3
y x y C -=。
30、解：这里 3(,),(,)ln y
M x y N x y y x x
=
=+，于是
(,)1(,)M x y N x y y x x ??==?? 因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到 3
ln 0y dx xdy y dy x ??++= ???
即 4(l n )04y d y x d += 所以，方程的通解为 4
ln 4
y y x C +
=
31、解：这里
22(,)y M x y x y =
+
+，22(,)x
N x y x y =++ 于是 3
2222
222
22
(,)(,)12(1)()
M x y N x y y xy x y y x x y x y -??==-+++-??++
因此这是一个全微分方程。即 arctan 0y d d x ??-= ??
?
所以，方程的通解为 arctan y C x
=。
32、解：这里(,)1,x y
M x y e =+ (,)1x y
x N x y e y ??
=-
?
??
，经计算知(,)(,)M x y N x y y x ??=?? 这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到
0x x x
y y y x
dx e dx e dy e dy y ??++-= ? ???
即 0x y
d x d y
e ??+= ? ???
， 所以，方程的通解为 x
y x ye C +=。
33、解：将方程改写为 2
(1)(3)0x y dx x y dy -+-++=
这里 2
(,)1,(,)(3)M x y x y N x y x y =-+=-++
所以
(,)(,)
1M x y N x y y x
??==-?? 这是一个全微分方程。取000,0x y ==，得
00
(,)(,)(,)x y u x y M x y dx N x y dy =+??20
(1)(3)x y
x dx x y dy =++-++??
23323
x y x xy y =+--- 于是方程的通解为 23
323
x y x xy y C +---=。 34、解：443
(,),(,)M x y x y N x y xy =+=-， 334,M N y y y x
??==-?? 所以 33345M N
y y y x N xy x ??-+??==--，这样，方程有积分因子 5
51()dx x
x e x μ-?==
原方程两端乘以51
x
，得到全微分方程
43540dx y y dx dy x x x +-= 即 44(l n ||)04y d x d x ??-= ???
，原方程的通解为
4
4l n ||4y x C x -=。 35、解：22
(,)2,(,)M x y xy y N x y y y x =-=++， 41,1M N xy y x
??=-=?? 于是得到然
2(21)2(21)M N
xy y x M y xy y
??-
-??==----， 所以，方程有积分因子
2
21
()dy
y y e
y
μ-?==
于是原方程可化为 211210x x dx dy y y y ????-
+++= ? ????? 即 2
()(l n ||)0
x d x d d y d y y ??
-++
=
???
， 因而，方程的通解为 2
l n ||x
x y y C y -
++= 36、解：令 'y p =，则 "dp y p dy =，代入方程得 31
p d p d y
y
=-
两边积分得 2
2
2
1Cy p y += ，从而将方程降为一阶方程 dy dx =将变量分离，易求得其通解为 22
11()Cy Cx C +=+。
37、解：特征方程为
3210λλλ-+-=， 因式分解为 2(1)(1)0λλ
-+= 特征根为12,31,i λλ==±，故所求通解为 123c o s s i n
x
y C e C x C x =++。
38、解：特征方程为 32
23100λλλ--+=， 因式分解为 2(2)(45)0λλ
λ+-+= 特征根为12,32,2i λλ=-=±，故所求通解为
22123(cos sin )x x y C e e C x C x -=++。
39、解：特征方程为
410λ+=， 特征根为1,23,4,2222
λλ=
±=±， 故所求通解为
1234cos sin cos sin 2222y C x C x e C x C x ????
=+++ ? ? ? ?????
。
40、解：特征方程为 642
220λλλ---=， 因式分解为
2(1)(1)0λλλλ-+-+=
特征根为12345,61,1,i λλλλλ=
===-=±，故所求通解为
123456cos sin x x y C C e C e C e C x C x -=+++++.
41、解：特征方程为 42
0λλ-=，
特征根为12,33,41,1,0λλλ=-==（二重），故所求通解为
1234x x y C C x C e C e -=+++.
42、解：特征方程为 432
48830λλλλ-+-+=，因式分解为
2
2
(1)(23)0λλλ--+=
特征根为1,21λ=-（二重），3,41λ=±，故所求通解为
1234()()x x y e C C x e C C =+++.
43、解：特征方程为 432
46410λλλλ-+-+=， 即 4(1)0λ-=
特征根为1λ=（四重），故所求通解为
231234()x y e C C x C x C x =+++.
44、解：对应齐次方程的特征方程为
210λ+=， 特征根为 1,2i λ=±，
齐次方程的通解为 12cos sin y C x C x =+
由于1-不是特征根，故已知方程有形如 1()x
y Ax B e -=+
的特解。将1()x
y Ax B e -=+代入已知方程，比较系数得 11,22
A B =
= 即 11(1)2
x
y x e
-=
+，因此，已知方程的通解为 121
cos sin (1)2
x y C x C x x e -=+++。
45、解：对应齐次方程的特征方程为 2
2310λλ++=，特征根为 1211,2
λλ=-=-
， 齐次方程的通解为 12
12x x
y C e
C e
--=+
由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如 1x
y A Be =+
的特解。将1x
y A Be =+代入已知方程，比较系数得 14,6
A B ==- 即 146x
y e =-，因而，所求通解为
12
121
46
x x
x y C e C e
e --=++-。
46、解：对应齐次方程的特征方程为 2
240λλ-+=， 特征根为
1,21λ=，
齐次方程的通解为 12()x y e C C =+
由于3不是特征根，故已知方程有形如 31()x
y e Ax B =+
的特解。将31()x
y e Ax B =+代入已知方程，比较系数得 110,749
A B =
= 即 31110749x
y e x ??
=+
???
，因此，已知方程的通解为
3121
10()7
49x x y e C C e x ??=+++ ???。
47、解：对应齐次方程的特征方程为 2
6130
λλ++=， 特征根为 1,232i λ=-±， 齐次方程的通解为 312(cos 2sin 2)t
y e C t C t -=+
由于1不是特征根，故已知方程有形如 21()t
x At Bt C e =++ （1） 的特解。求出 21[(2)()]t
x At A B t B C e =++++ （2）
21[(4)(22)]t x At A B t A B C e =+++++ （3）
将（1）、（2）、（3）代入已知方程，比较系数得 129211
,,201001000
A B C ===
即 2
1129211201001000t x t t e ??=-+ ???
，因此，已知方程的通解为 32121
29211(cos 2sin 2)20
1001000t t x e C t C t e t t -??=++-+ ???。
48、解：对应齐次方程的特征方程为 3
10λ-=，特征根为 12,311,22
λλ==-
±，
故通解为 1
2
123sin 22t t
x C e C C e -??=++ ? ??
? 由于1是一重特征根，所以已知非齐次方程有形如 1t
x Ate =
的特解。将1t
x Ate =代入已知方程，得 13
A =
即 113
t
x t e =，因此，所求通解为
12
1231cos sin 223t t t x C e C C e te -??=+++ ? ??
?。
49、解：对应齐次方程的特征方程为 22
20a a λλ++=，特征根为 1,2a λ=-（二重）。
① 若1a ≠-，此时齐次方程的通解为过 12()at
s C C t e -=+
由于1不是特征根，故已知方程有形如 1t
s A e = 的特解。
将1t
s Ae =代入已知方程，得 21(1)A a =
+， 即 12
1(1)
t
s e a =+ 所以，1a ≠-时已知方程的通解为 122
1()(1)
at t
s C C t e e a -=+++。
② 若1a =-，此时齐次方程的通解为过 12()t
s C C t e =+
由于1是二重特征根，故已知非齐次方程有形如 22t
s A t e = 的特解。
将22t
s At e =代入已知方程，得 1
2
A =
， 即 2212t s t e =
所以，1a =-时已知方程的通解为 2121()2
t
s C C t t e =++
50、解：对应齐次方程的特征方程为 2
440λλ-+=，
特征根为
2λ=（二重）
，故齐次方程的通解为 212()t
x C C t e =+ 由于2是二重特征根，1和0不是特征根，故已知非齐次方程有形如
221t t
x A Be Ct e =++
的特解。将221t t
x A Be Ct e =++代入已知方程，得 11,1,42
A B C =
== 即 2211142
t t
x e t e =
++，因此，所求通解为 221211
()42
t t t x C C t e e t e =++++。
51、解：对应齐次方程的特征方程为 2
40λλ+=，特征根为 120,4λλ==-，
齐次方程的通解为 412x
y C C e -=+
因为0是一重特征根，故已知非齐次方程有形如 1y Ax = 的特解。将1y Ax =代入已知方程，得 14
A =- 所以，所求通解为 41214
x
y C C e
x -=+-。
52、解：对应齐次方程的特征方程为 32
3310λλλ+++=，特征根为
1λ=-（三重）
， 故通解为 2123()x
y C C x C x e -=++
由于1-是三重特征根，所以已知非齐次方程有形如 31()x
y x A Bx e -=+ 的特解。将31()x
y x A Bx e -=+代入已知方程，得 51,624
A B =-=
即 3
151()624
x y x x e -=-
+，因此，所求通解为 23
1231()(20)24
x x y C C x C x e x x e --=+++-。
53、解：对应齐次方程的特征方程为
230λλ+=，特征根为 120,3λλ==-，
所以对应齐次方程的通解为 312x
y C C e -=+
由于i ±不是特征根，所以已知方程有形如 1cos sin y A x B x =+ 的特解。将1cos sin y A x B x =+代入已知方程，得 71,1010
A B =-= 因此，所求通解为
31271
cos sin 1010
x y C C e x x -=+-
+。
54、解：对应齐次方程的特征方程为 22
220k k λλ++=，特征根为 1,2k ki λ=-±，
齐次方程的通解为 ()12cos sin kt x e C kt C kt -=+
由于k i ±不是特征根，所以已知方程有形如 1cos sin x A kt B kt =+ 的特解。将1cos sin x A kt B kt =+代入已知方程，得 2,1A B =-= 因此，所求通解为
()12cos sin 2cos sin kt x e C kt C kt kt kt -=+-+。
55、解：对应齐次方程的特征方程为 2
10λ+=，特征根为 1,2i λ=±，
齐次方程的通解为 12cos sin y C x C x =+ 因为 1
s i n c o s s i n
22
x x x = 由于2i ±不是特征根，故已知方程有形如 1cos 2sin 2y A x B x =+
的特解。将1cos 2sin 2y A x B x =+代入已知方程，得 1
0,6
A B ==-
因此，所求通解为
121
cos sin sin 26
y C x C x x =+-。
56、解：对应齐次方程的特征方程为 2
220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，
齐次方程的通解为 ()12cos sin x
y e C x C x =+
由于1i -±不是特征根，故已知方程有形如 1(c o s s i n )x
y e A x B x -=+
的特解。将1(cos sin )x
y e A x B x -=+代入已知方程，得 11,88
A B =
=- 因此，所求通解为
()121
cos sin (cos sin )8
x x y e C x C x e x x -=++-。
57、解：对应齐次方程的特征方程为
22100λλ-+=，特征根为 1,213i λ=±，
齐次方程的通解为 ()12cos3sin3x
y e C x C x =+ 由于2i ±不是特征根，所以已知非齐次方程有形如
1()cos2()sin 2y Ax B x Cx D x =+++
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012 =++λλ， 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分） 凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为
常微分方程习题集（3） （三）、计算题 1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ； 2. 解方程： 024=++xy xy dx dy ； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：； 6. 解方程： x y x y y x tan =-'； 7. 解方程： ； 8. 解方程：y y x e y ' ='； 9. 解方程：xy x y y x dx dy 3225423++-=； 10. 解方程：y x y y xy dx dy 22 ++-=； 11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='； 13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程： x x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3 432842y xy x y y x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程： ； 18. 解方程：04)4(=+x x ； 19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程： ； 22. 解方程：6244x y y x =+' ； 23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程： ； 25. 解方程：021 212 2=++'x y y ； 26. 解方程：04)3() 5(=-x x ；
常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
常微分方程练习题及答案(复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+ -=的通解 4、求方程组dx dt y dy dt x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程 '24y xy x += 6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程 ''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程 x y y e x (')-= 14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解
17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解 18、解微分方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式： 1 0|()()|(1)! n n n ML x x x x n ??+-≤-+。 22、求初值问题 22,(1)0dy x y y dx =--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义 区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。 23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ??-+= ??? 24、2 221dy y dx x y ??+= ?+-?? 25、 21210dy x y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x = +- 28、22dy y x dx xy -=