【真题】15年上海市洋泾中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．102002．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．164．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．45．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．67．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-8．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S10．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(C ．()D ．)11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 414．已知正项数列{}n a *(1)()2n n n a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =15．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC 的面积为______．18．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=____________． 19．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .20．在平面内，已知直线12l l ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____． 21．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 22．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 23．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．25．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题26．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++.27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 28．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.29．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为a ． 30．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知222,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．D 12．A14．B15．B二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc求bc即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦18．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利19．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式20．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为621．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换22．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是23．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题24．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．B【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．A【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.4．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.5．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.7．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 9．D 解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+，所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列.又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零，所以n S 的最小值为7S ，故选D.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围．【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下： A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.11．D解析：D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D .【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．A解析：A【解析】【分析】【详解】 因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 13．D解析：D【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ，则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0，化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋， ∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0，∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013，本题选择D 选项.14．B解析：B【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．B解析：B【解析】【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121nn na a n++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n na a++，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.【详解】由已知()1121nn na a n++-=-，①得()121121nn na a n++++-=+，②由()1n⨯-+①②得()()()212121nn na a n n++=-⋅-++，取1,5,9n=及2,6,10n=，易得13572a a a a+=+=，248a a+=，6824a a+=，故81234836S a a a a a=++++⋅⋅⋅+=.故选：B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.二、填空题16．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理解析：6【解析】试题分析：274sin cos 222A B C +-=，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =． 2222cos c a b ab C =+-，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--，()223c a b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===． 考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理． 17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积．【详解】∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinB cosB， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ， ∴cosB （sinA cosA +sinB cosB ）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinB cosAcosB +=﹣2sinC ， ∴cosB•()sin A B cosAcosB +=sinC cosA =﹣2sinC ， 解得cosA=﹣12，A=23π；∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ，∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=1922⨯⨯4，． 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．18．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利解析：2018【解析】【分析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出．【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=，∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2．∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2()122n n +=⨯=n （n +1）． ∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦＝2018． 故答案为：2018．【点睛】 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式解析：21n -【解析】【分析】【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==， 而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==， 即3418a q a ==，所以2q ，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式. 20．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析：6【解析】【分析】【详解】如图所示，设BF x =，由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x =,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632x x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.21．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析：92【解析】【分析】 先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a b a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 22．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是 解析：-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.【详解】 根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷=故得到2019 2.a =-故答案为：-2.【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项. 23．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析：1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+，而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-.【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题. 24．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析：3【解析】分析：详解：设,3AC x AD x ==，在直角ACD ∆中，得CD =，所以sin 3CD CAD AD ∠==， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅ 由于2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，23=23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-三、解答题26．（1）32n a n =+；（2）6226n n T n =⨯+-【解析】【分析】（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求解.(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解.【详解】（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，11011016037a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩解得110532a a =⎧⎨=⎩ 3253101d -∴==-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n n b a ==⋅+，()()()12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+ ()122324223212n n n n +-=⨯++++=⨯+- 13262n n +=⨯-+6226n n =⨯+-.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高.27．（1）12n n a ；（2）21122n n n -++- 【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．【详解】（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①，当1n =时，1121a S =+，∴11a =，当2n ≥时，203m/s B B BF m g a m μ-==② ①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠， ∴12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴11122n n n a --=⨯=．（2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=+=+， 所以()12121111n n n T b b b n n a a a =+++=+++++ ()()1111211211212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 28． （1）32n a n =-，2n n b =，*n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈. 【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；（2）用错位相减法求和．【详解】（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q ，∴2nn b =， {}n a 的公差为d ，首项是1a ，则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，②①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯ 1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，∴14(32)83n n n T +-+=． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．29．（1）3π ； （2） 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +3π），结合范围A ∈（0，π），即可计算求解A 的值；（2）利用等差数列的性质可得b ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值．【详解】（1）∵asinB=bsin （A+3π）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3π）． ∵sinB≠0，∴sinA=sin （A+3π）． ∵A ∈（0，π），可得：A +A+3π=π， ∴A=3π．（2）∵b ，c 成等差数列，∴，∵△ABC 的面积为S △ABC =12，∴123bc sin π⨯⨯bc=8， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π=（b+c ）2﹣3bc=）2﹣24，∴解得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．30．（12 【解析】【分析】（1）由2223b c abc a +-=，利用余弦定理可得2cos 3bc A abc =,结合3A π=可得结果；（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =，由三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由题意，得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.∴2cos bc A =,∵π3A = ，∴a A ==（2）∵a =由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π6B =, ∴ππ2C A B =--=.∴1sin 22ABC S ab C ∆== 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 30,45,60。

2015 年高考真题理科数学（解析版） 卷
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科） 一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．设全集U R ，若集合 A 1, 2,3, 4， B x 2 x 3，则
A ðU B _________。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为
_______。
7．方程 log2 9x1 5 log2 3x1 2 2 的解为___________。2
8．在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
（A）充分非必要条件
（C）充要条件
（B）必要非充分条件
（D）既非充分又非必要条件

16．已知点 A 的坐标为 4 3,1，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ，则点 3
33 B 的纵坐标为（ ） （A）
2
13
（D）
2
17．记方程①： x2 a1x 1 0 ，方程②： x2 a2 x 2 0 ，方程③：
f T 4 。⑴验证 h x x sin x 是以 6 为周期的余弦周期函数；⑵设 a b ，证明
3
对任意 c f a, f b ，存在 x0 a,b，使得
f x0 c ；⑶证明：“ u0 为方程 cos f x 1在
0,T 上得解”的充要条件是“ u0 为方程
x2 a3x 4 0 ，其中 a1, a2 , a3 是正实数。当 a1, a2 , a3 成等比数列时，下列选项中，能推

上海中学2015学年第一学期高三数学(理科)期中考试答题纸一、填空题(每题4分，共56分)1.____________2.____________.3.__________4.__________5.____________6.___________.7.____________8.____________9.__________10.___________.11._________.12___________. 13.__________.14.___________.二、选择题((每题5分，共20分)15._______16.______.17._______.18______.三．解答题19. (本题满分12分）20. (本题满分12分）(1)(2)21. (本题满分16分）(1)(2)22. (本题满分16分）(1)(2) 23.(本题满分18分）(1)(2)(3)上海中学2015学年第一学期期中考试数 学 试 题（理科）2015.11.06一．填空题(每题4分，共56分）1. 已知f(x)=⎩⎨⎧>≤+,0,2,0,12x x x x 若f(x)=10,则x=_________.2. 已知函数a x f x++=131)(为奇函数，则方程41)(=x f 的解是_________. 3. 已知钝角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A(x A ,53),则sin 2α=_________.4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 满足f(x+2)=f(x),当0<x<1时，f(x)=1-x 2,则f(-23)+f(1)=_______ .5. 已知cos(x-)43,2(,102)4πππ∈=x ,则cos2x=__________.6．若函数y=ax 与y=xb-在(0,+∞)上都是减函数，则函数y=ax 2+bx 在(0，+∞)上是单调递_______函数.7. 在∆ABC 中，若12tan 2tan =+BA ,则tan 2C 的最小值为__________.8. 设函数f(x)=xx+12,区间M=[a,b],(a<b),集合N={y M x x f y ∈=),(},则使得M=N 的实数对(a,b)有________对.9. 若关于x 的方程2x|x|-a|x|=1有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是___________ .10. 当x ∈[0,2π],满足方程2log 3(tanx)=log 2(sinx)的所有解是__________ . 11. 设f 0(x)=|x|-2015,f n (x)=|f n-1(x)|-1(,n ∈N*),则函数y=f 2015(x)的零点个数为______. 12. 对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若存在实常数k 和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域D 上的任何实数x 分别满足：f(x)≥kx+b 和g(x)≤kx+b,则称直线L:y=kx+b 为f(x)和g(x)的“隔离直线”。

2014-2015学年上海中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，总分56分）1．（2014秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x|1≤x≤4}，B=Z为整数集，则A∩B={1，2，3，4}．．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集的运算得答案．解答：解：∵集合A={x|1≤x≤4}，B=Z为整数集，∴A∩B={x|1≤x≤4}∩Z={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}．点评：本题考查了交集及其运算，是基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y===，其中θ=arctan2．再利用周期性公式即可得出．解答：解：y===，其中θ=arctan2．∴最小正周期为．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出．3．（2014秋•徐汇区校级期中）函数y=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数是y=﹣（x＞0）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣1（x＜﹣1），解得，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣1（x＜﹣1），解得，把x与y互换可得y=﹣（x＞0）．∴函数y=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数是y=﹣（x＞0）．故答案为：y=﹣（x＞0）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．4．（2014秋•徐汇区校级期中）若函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，则实数a ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，得出x2+|x+2a﹣1|+a=x2+|﹣x+2a﹣1|+a，化简得出2a﹣1=0即看求解．解答：解：∵函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，∴f（x）=f（﹣x），即x2+|x+2a﹣1|+a=x2+|﹣x+2a﹣1|+a，|x+2a﹣1|=|x﹣2a+1|，2a﹣1=0a=，故答案为：点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，属于容易题，难度不大．5．（2014秋•徐汇区校级期中）已知log a b=﹣1，则a+2b的最小值是2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由于log a b=﹣1，则b=，即有ab=1（a＞0，且a≠1），则a+2b=a+，运用基本不等式，即可得到最小值．解答：解：由于log a b=﹣1，则b=，即有ab=1（a＞0，且a≠1），则a+2b=a+≥2=2，当且仅当a=时，取得最小值2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等，同时考查对数的定义，属于基础题．6．（2014秋•徐汇区校级期中）幂函数f（x）=（m2﹣m+1）x m的图象与y轴没有交点，则m= 0 ．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义，求出m的值，再验证m是否满足题意即可．解答：解：根据幂函数的定义，得；m2﹣m+1=1，解得m=0或m=1；当m=0时，f（x）=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；当m=1时，f（x）=x，图象与y轴有交点，不满足题意；综上，m=0．故答案为：0．点评：本题考查了幂函数的定义及其应用的问题，解题时应根据幂函数的定义，结合函数的图象与性质进行解答，是基础题．7．（2014秋•徐汇区校级期中）偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，若f （2x﹣1）＜0，则实数x的取值范围是（﹣1，2）．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，化f（2x﹣1）＜0为﹣3＜2x﹣1＜3，从而求解．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，∴f（2x﹣1）＜0可化为﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．8．（2014秋•徐汇区校级期中）不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣2，2）．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题；转化思想；演绎法．分析：本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y=这个函数的单调性转化．转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可．解答：解：由题意，考察y=，是一个减函数∵恒成立∴x2+ax＞2x+a﹣2恒成立∴x2+（a﹣2）x﹣a+2＞0恒成立∴△=（a﹣2）2﹣4（﹣a+2）＜0即（a﹣2）（a﹣2+4）＜0即（a﹣2）（a+2）＜0故有﹣2＜a＜2，即a的取值范围是（﹣2，2）故答案为（﹣2，2）点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查利用单调性解不等式，本题是一个恒成立的问题，此类问题求解的方法就是通过相关的知识进行等价、灵活地转化，变成关于参数的不等式求参数的范围，这是此类题求解的固定规律，题后应好好总结本题的解题思路及其中蕴含的知识规律与技巧规律．9．（2014•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．考点：复合三角函数的单调性．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．解答：解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．10．（2014秋•徐汇区校级期中）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，对于任意实数x1，x2∈[﹣2，2]，且x1≠x2时，恒有，＞0，则f（x）的最大值为1，则满足方程f（log2x）=1的解为 4 ．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意得出f（x）在[﹣2，2]上是单调递增数，f（2）=1，即可得出log2x=2，求解就简单多了．解答：解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，对于任意实数x1，x2∈[﹣2，2]，且x1≠x2时，恒有，＞0，∴f（x）在[﹣2，2]上是单调递增数，∵f（x）的最大值为1，∴f（2）=1∵f（log2x）=1，∴log2x=2，x=4故答案为：4点评：本题考查了运用函数的单调性解方程，关键是根据数学语言判断函数的性质，属于中档题．11．（2014秋•徐汇区校级期中）设函数f（x）=x2+log a（bx+），若f（2）=4.7，则f（﹣2） 3.3 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（2）=4+log a（2b+）=4.7，解得log a（2b+）=0.7，由此能求出f（﹣2）=4+log a（﹣2b+）=4﹣log a（2b+）=3.3．解答：解：∵f（x）=x2+log a（bx+），f（2）=4.7，∴f（2）=4+log a（2b+）=4.7，解得log a（2b+）=0.7，∴f（﹣2）=4+log a（﹣2b+）=4﹣log a（2b+）=4﹣0.7=3.3．故答案为：3.3．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．（2014秋•徐汇区校级期中）已知AB=2，∠B=60°，AC=b，若b∈M时△ABC能唯一确定，则集合M= [2，+∞）∪{} ．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入表示出b，根据C的范围求出sinC的范围，即可确定出b的范围．解答：解：∵△ABC中，∠ABC=60°，AC=b，AB=2，∴由正弦定理==，得：=，即b=，∵0°＜C＜120°，∴0＜sinC≤1，且b≥2，则b的取值范围为M=[2，+∞）∪{}．故答案为：[2，+∞）∪{}．点评：此题考查了正弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（2014•徐州三模）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为﹣．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由条件求得cos（）的值，可得cosθ 的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值．解答：解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=﹣，∴，∴cosθ=﹣．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，属于基础题．14．（2014秋•徐汇区校级期中）若定义在R上的函数f（x）是奇函数，f（x﹣2）是偶函数，且当0＜x≤2时，f（x）=，则方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根之和是24 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可得f（x+8）=f（x），f（2﹣x）=f（2+x），可得周期为8，x=2为对称轴，根据周期，与对称性求出方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根即可．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（x﹣2）是偶函数，∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），f（2﹣x）=f（2+x），即f（x）=f（4﹣x），f（x+4）=﹣f（x），∴f（x+8）=f（x），可得周期为8，x=2为对称轴，∵f（x）=f（3），∴x1=1，x2=3，x3=9，x4=11，x5=17，x6=19，∵在区间（0，16）上的所有实数根之和，∴x1+x2+x3+x4=1+3+9+11=24，故答案为：24点评：本题考查了函数的性质，运用性质求解方程的根，属于中档题．二、选择题（每小题5分，总分20分）15．（2014秋•徐汇区校级期中）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B． f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数C．f（x）是周期函数D． f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据函数的奇偶性、单调性、周期性去判断函数是否具有奇偶性、单调性、周期性，再研究函数的值域情况不，从而得到本题结论．解答：解：选项A，∵函数，∴f（1）=14+12=2，f（﹣1）=cos（﹣1）=cos1≠2．∴f（﹣x）=f（x）．∴f（x）不是偶函数；选项B，当x=﹣2π时，f（﹣2π）=cos（﹣2π）=1，当x=﹣π时，f（﹣π）=cos（﹣π）=﹣1，∵﹣2π＜﹣π，f（﹣2π＞f（﹣π），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上不是增函数；选项C，∵f（x）在（0，+∞）是增函数；∴f（x）不是周期函数；选项D，当x＞0时，y=x4+x2＞0，当x≤0时，y=cosx∈[﹣1，1]，∴f（x）的值域为[﹣1，+∞）．故选D．点评：本题考查了奇偶性、单调性、周期性，本题难度不大，属于基础题．16．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．解答：解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D．点评：本小题主要考查充要条件相关知识．17．（2014秋•徐汇区校级期中）若M={（x，y）||tanπy|+sin2πx=0}，N={（x，y）|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）A． 4 B． 5 C．8 D．9考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题设知集合M={（x，y）||tanπy|+sin2πx=0}是整数点的集合，N={（x，y）|x2+y2≤2}表示圆心为（0，0），半径为的圆，由此能求出M∩N的元素个数．解答：解：∵M={（x，y）||tanπy|+sin2πx=0}，∴集合M是整数点的集合，∵N={（x，y）|x2+y2≤2}表示圆心为（0，0），半径为的圆面，∴M∩N={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），（1，1），（1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）}，∴M∩N的元素个数是9个．故选D．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．18．（2014秋•徐汇区校级期中）已知f（x）=3x2﹣x+4，f[g（x）]=3x4+18x3+50x2+69x+48，那么整系数多项式函数g（x）的各项系数和为（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：先设出g（x）的表达式，将g（x）代入f（x），利用系数相等，求出g（x）的系数，从而得到答案．解答：解：由题意得g（x）的表达式是二次式，设g（x）=ax2+bx+c，∴f[g（x）]=3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4=3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4=3x4+18x3+50x2+69x+48，∴，解得：，∴a+b+c=8，故选：A．点评：本题考查了求函数的解析式问题，待定系数法是常用的方法之一，必要属于基础题．三、解答题（总分74分）19．（2014秋•徐汇区校级期中）设函数sgn（x）=，求函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点即方程f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0的根，讨论求根即可．解答：解：①当lnx＞0，即x＞1时，f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为：1﹣ln2x=0，解得，x=e；②当lnx=0，即x=1时，f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为0﹣ln21=0，显然成立；③当lnx＜0，即0＜x＜1时，f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为：﹣1﹣ln2x=0，无解；综上所述，x=e或x=1．点评：本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．20．（2014秋•徐汇区校级期中）解下列不等式：（1）|x﹣1|+|x﹣2|＜2；（2）0＜x﹣＜1．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用数轴上0.5与2.5到1与2的距离均为2，即可求得|x﹣1|+|x﹣2|＜2的解集；（2）将不等式0＜x﹣＜1转化为不等式组分别解得①②的解，取其交集即可．解答：解：（1）∵数轴上0.5与2.5到1与2的距离均为2，∴由|x﹣1|+|x﹣2|＜2，得＜x＜，∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．（2）∵0＜x﹣＜1，∴解①得：﹣1＜x＜0或x＞1；解②得：x＜或0＜x＜；综合①②得，﹣1＜x＜或1＜x＜．点评：本题考查绝对值不等式与分式不等式的解法，着重考查绝对值不等式的几何意义与解不等式组的能力，考查转化思想．21．（14分）（2014秋•徐汇区校级期中）定义：若对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）≤成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数．已知凹函数具有如下性质：对任意的x i∈（a，b）（i=1，2，…，n），必有f（）≤成立，其中等号当且仅当x1=x2=…=x n时成立．（1）试判断y=x2是否为R上的凹函数，并说明理由；（2）若x、y、z∈R，且x+y+2z=8，试求x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）利用凹函数的定义，即可得出结论；（2）利用题中条件：“x+y+2z=8”构造柯西不等式：（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64这个条件进行计算即可．解答：解：（1）f（）=（）2，=≥=（）2，∴对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）≤成立，∴y=x2是R上的凹函数；（2）∵（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64，∴x2+y2+2z2≥16，当且仅当x=y=z时取等号，∵x+y+2z=8，∴x=y=4（+1），z=4+2．∴x2+y2+2z2的最小值为16，此时x=y=4（+1），z=4+2．点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64．22．（2014秋•徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g（x）=，且a＞0．（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当b＞0时，判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）根据函数g（x）为奇函数可得b=0，得到f（x）=ax2+1，结合二次函数的性质可得答案；（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得△=b2﹣4a2＞0，即＞1或＜﹣1，再结合二次函数的性质即可判断函数f（x）的单调性；（3）由题意可得，设α为x1与x2中的一个数，则有，即有．再分a＞0与a＜0两种情况讨论，进而结合等式与不等式得到关于a的不等式，进而求出a的范围得到答案．解答：解：（1）因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），又函数g（x）=，则=﹣，化简可得b=0，所以f（x）=ax2+1，定义域为R，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）；（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，所以△=b2﹣4a2＞0，即||＞1，即＞1或＜﹣1，又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=﹣，并且a＞0，所以当﹣＜﹣1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数；当﹣＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由可得，设α为x1与x2中的一个数，则有，因为x3+x4=﹣，x3x4=，所以有．当a＞0时有，所以结合两式可得（a﹣a2）α2＜0，解得：a＞1或a＜0（舍去）．当a＜0时有，所以所以结合两式可得（a﹣a2）α2＞0，解得：0＜a＜1（舍去）．综上可得a的取值范围为（1，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，此题综合性比较强，考查了数学上一个重要的思想方法即分类讨论的思想方法，此题属于难题．23．（2014秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≤b≤c，（1）若b2=ac，求角B的取值范围；（2）求证：以为长的线段能构成锐角三角形；（3）当0≤x≤1时，以a x、b x、c x为长的线段是否一定能构成三角形？写出你的结论，并说明理由．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用余弦定理求得cos B≥，可得B的范围．（2）由a≤b≤c，得到≤≤，即所对的角最大，设为α，由余弦定理求得cosα＞0，即α为锐角，可得以为长的线段能构成锐角三角形．（3）当0≤x≤1时，由a≤b≤c，可得a x ≤b x ≤c x，利用指数函数的单调性求得 a x+b x﹣c x≥c x•（+﹣1）＞0，可得较小的两边之和大于较大的一边，故以a x、b x、c x为长的线段一定能构成三角形．解答：解：（1）∵在△ABC中，b2=ac，∴由余弦定理得：cosB==≥=，则B的范围为（0，60°]．（2）由a≤b≤c，得到≤≤，即所对的角最大，设为α，由余弦定理得：cosα==，∵a，b，c为△ABC的三边，∴a+b＞c，即a+b﹣c＞0，2＞0，∴cosα＞0，即α为锐角，则以为长的线段能构成锐角三角形．（3）当0≤x≤1时，由a≤b≤c，可得a x ≤b x ≤c x，∵a x+b x﹣c x=c x•[+﹣1]≥c x•（+﹣1）=c x•＞0，故较小的两边之和大于较大的一边，故以a x、b x、c x为长的线段一定能构成三角形．点评：本题主要考查余弦定理、基本不等式、指数函数的单调性，属于基础题．。

2015届高三上学期期中数学理科试卷（附答案）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（▲）A．B．C．D．2.设函数是偶函数，且在上单调递增，则（▲）A.B.C.D.3．“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（▲）A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．已知为第二象限角，，则（▲）A．B．C．D．5．若m．n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是(▲)A．若∥，m⊥，则m⊥．若，n与、所成的角相等，则m⊥nC．若m∥，m⊥，则⊥．若m∥n，m⊥，则n⊥6.设实数列分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（▲）A．B．C．D．7．若，则向量与的夹角为（▲）A．B.C.D.8．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（▲）A．B．C．D．9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（▲）A.B.C.D.10.已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是(▲)A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为▲12．设为定义在上的奇函数，当时，则▲．13．设变量满足，若目标函数的最小值为0，则的值等于▲14.已知实数,且,那么的最大值为▲15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为▲16．若数列满足（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积__▲____ 17．对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）18．（本小题满分14分）已知函数．设时取到最大值．（1）求的最大值及的值；（2）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．19．（本小题满分14分）数列的前项和是，且.⑴求数列的通项公式；⑵记，数列的前项和为，若不等式，对任意的正整数恒成立，求的取值范围。

问题中并作答．
22．数列 an 中， a1 1， an1 an 2n 1. （1）求 an 的通项公式；
（2）设 bn
1 4an
1
，求出数列
bn
的前
n
项和.
23．已知数列 an 的首项
a1
2 3
，且当
n
2
时，满足
a1
a2
a3
（1）求数列 an 的通项公式；
an1
1
3 2
an
．
（2）若 bn
19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗
产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A ， B 两点间的
距离，现在珊瑚群岛上取两点 C ， D ，测得 CD 80 ， ADB 135 ， BDC DCA 15 ， ACB 120 ，则 A ， B 两点的距离为________．
简变形用基本不等式即可求解。 【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由
3x y 6 0
x
y
2
0
得点
B
坐标为
B（4,6）.由图可知当直线 z ax by 经过点 B（4,6）时，Z 取最大值。因为目标函数 z ax by (a 0,b 0) 的最大值为 12，所以 4a 6b 12, 即 2a 3b 6,
1= an-1（an-1+1）②，①-②可得 an= an（an+1）- an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵an＞0，∴an-an-1-1=0 即 an-an-1=1∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；∴an=1+（n-1）×1=n 即 an=n 所以

上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B=．2．（4分）函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程．4．（4分）已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=．5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．6．（4分）函数y=cos2x的单调增区间为．7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．8．（4分）设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长．9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为．11．（4分）数列{a n}中，且a1=2，则数列{a n}前2015项的积等于．12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则=．13．（4分）在极坐标系中，动点M从M0（1，0）出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的极坐标方程．14．（4分）记符号min{c1，c2，…，c n}表示集合{c1，c2，…，c n}中最小的数．已知无穷项的正整数数列{a n}满足a i≤a i+1（i∈N*），令b k=min{n|a n≥k}，（k∈N*），若a20=14，则a1+a2+…+a20+b1+b2+…+b14=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．317．（5分）已知P为椭圆+y2=1的左顶点，如果存在过点M（x0，0）（x0＞0）的直线交椭圆于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围是（）A．（1，] B．上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，则A∩B={x|1≤x＜2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由集合A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故答案为：{x|1≤x＜2}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．考点：反函数．专题：导数的概念及应用．分析：直接利用反函数的定义求解即可．解答：解：函数f（x）=x2，（x＜﹣2），则y＞4．可得x=，所以函数的反函数为：．故答案为：．点评：本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．3．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程x﹣2y﹣1=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于﹣1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程．解答：解：方法一，直线2x+y=0的斜率是﹣2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是，∴过点（1，0）且与直线2x+y=0垂直的直线方程为y﹣0=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0；方法二，设与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+a=0，且该垂线过过点（1，0），∴1×1﹣2×0+a=0，解得a=﹣1，∴这条垂线的直线方程为x﹣2y﹣1=0．故答案为：x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．4．（4分）已知数列{a n}为等比数列，前n项和为S n，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=3．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，∴两式相减可得a6﹣a5=2（S5﹣S4），∴a6﹣a5=2a5，∴a6=3a5，∴公比q==3故答案为：3．点评：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题．5．（4分）如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的几何意义，直接求解即可．解答：解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．点评：本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力．6．（4分）函数y=cos2x的单调增区间为（k∈Z）．考点：二倍角的余弦；余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由二倍角的余弦函数公式可得y=cos2x+，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得单调增区间．解答：解：∵y=cos2x=cos2x+，∴由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得单调增区间为：（k∈Z），故答案为：（k∈Z）点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦函数的单调性，属于基本知识的考查．7．（4分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．解答：解：由题意得M21=（﹣1）3=2×2+1×k=﹣10解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长24．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长．解答：解：双曲线x2﹣=1的a=1，c==5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的定义知，x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24．故答案为：24．点评：本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．9．（4分）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=1，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的倍，结合ABCD的对角线的一半，满足勾股定理，求出R即可求球的体积．解答：解：设球的半径为R，由题意可得∴R=，∴球的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案．解答：解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是，故答案为：．点评：本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点11．（4分）数列{a n}中，且a1=2，则数列{a n}前2015项的积等于3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．解答：解：∵且a1=2，∴a2===﹣3，a3===﹣，a4===，a5===2，不难发现数列{a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，∴数列{a n}前2015项的积为：=3，故答案为：3．点评：本题考查求数列的前n项的乘积，找出其周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（4分）若，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则=（﹣，﹣）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），则可推得==（，），=（﹣，﹣），问题得以解决．解答：解：，，均为平面单位向量，且+﹣=（，），∵（）2+（）2=1，∴（，）是一个单位向量，∵=+﹣（﹣），=+﹣（），∴==（，），=（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查了向量的坐标运算和单位向量，属于基础题．13．（4分）在极坐标系中，动点M从M0（1，0）出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的极坐标方程ρ=1+θ．考点：极坐标刻画点的位置．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意可得：ρ=1+3t，θ=2t，消去t即可得出．解答：解：由题意可得：ρ=1+3t，θ=2t，∴，故答案为：．点评：本题考查了极坐标方程、速度与时间的关系，考查了计算能力，属于基础题．14．（4分）记符号min{c1，c2，…，c n}表示集合{c1，c2，…，c n}中最小的数．已知无穷项的正整数数列{a n}满足a i≤a i+1（i∈N*），令b k=min{n|a n≥k}，（k∈N*），若a20=14，则a1+a2+…+a20+b1+b2+…+b14=294．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用特殊值法，即令数列{a n}前20项每项的值均为14计算即可．解答：解：不妨令a1=a2=…=a20=14，则b1=b2=…=b14=1，∴所求值为14×20+14×1=294，故答案为：294．点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．解答：解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．点评：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．（5分）用符号（x]表示不小于x的最小整数，如（π]=4，（﹣1.2]=﹣1．则方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义分别讨论x的取值范围，解方程即可．解答：解：若1＜x≤2，则（x]=2，由（x]﹣x=得2﹣x=，即x=，若2＜x≤3，则（x]=3，由（x]﹣x=得3﹣x=，即x=，若3＜x＜4，则（x]=4，由（x]﹣x=得4﹣x=，即x=，故方程（x]﹣x=在（1，4）上实数解的个数为3个，故选：D．点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据定义利用分类讨论是解决本题的关键．17．（5分）已知P为椭圆+y2=1的左顶点，如果存在过点M（x0，0）（x0＞0）的直线交椭圆于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOP，则x0的取值范围是（）A．（1，] B．③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点代入解得b，可得=2，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，可得tan2θ，可得sin2θ，即可判断出正误；④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y2=2px，把点代入解出即可．解答：解：①∵点M是母线的中点，∴截面圆的半径r=2，因此面积=π×22=4π，正确；②椭圆的长轴长==，因此正确；③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点代入可得：=1，解得b=2，∴=2，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，∴tan2θ==﹣，∴sin2θ=，因此双曲线两渐近线的夹角为arcsin，因此不正确；④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y2=2px，把点代入可得：，解得p=，∴抛物线中焦点到准线的距离p为，不正确．故选：B．点评：本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．（1）求证：CD⊥平面AED；（2）设异面直线CB与DE所成的角为且AE=1，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）通过证明CD⊥ED，CD⊥AE，然后证明CD⊥平面AED．（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．解答：解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以，即CD⊥ED…2分又因为AE垂直于圆面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成角为，且CB∥DA，所以，…7分又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，，DA=2…9分在Rt△CDE中，CD=DA=2，，所以…10分所以该几何体的体积…12分．点评：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．（14分）如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL，其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心）（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE=CD）（图1），此时边长为多少？（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时∠DOE为多少？（用反三角函数表示）考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得边长；（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N，求出面积，即可得出结论．解答：解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得，…5分所以，边长…6分（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM=θ，则OM=5cosθ，DM=5sinθ．∴ON=CN=5sinθ，NM=5cosθ﹣5sinθ．…8分∴“十字形”的面积为S=（2OM）2﹣4（NM）2=100cos2θ﹣100（cosθ﹣sinθ）2=（其中或） (10)分∴当时，…12分此时，或…14分．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）对任意x∈R，都有f（2x）=a•f（x），其中a为常数．当x∈ (6)分（2）由于；且（0，1]⊇（0，a2]⊇（0，a4]⊇…⊇（0，a2k]⊇…10分当n为奇数时，f（x）在…14分．点评：本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法，由于所以n=k+1时命题也成立，所以即存在常数，使a2n＜p＜a2n+1对任意正整数n都成立．…16分．点评：本题考查数列的判断，数列与不等式的综合应用，数学归纳法的应用，数列与函数综合，考查分析问题解决问题的能力．23．（18分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，建立直角坐标系，（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹；（2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用到直线AD、BC的距离之积为1，建立方程，即可求出动点P的轨迹；（2）•=4，化简可得结论；（3）同时从几何和代数角度进行分析，即可得出结论．解答：解：（1）设P（x，y），则|y﹣1||y+1|=1…2分化简得y=±或y=0．故动点P的轨迹为三条平行线；…4分（2）•=4，化简得对称性：关于原点、x、y轴对称；…6分顶点：（2，0），（﹣2，0），（0，0）；…8分范围：|x|≤2，|y|≤1…10分（3）同时从几何和代数角度进行分析当y＜﹣1时，y=﹣1﹣，…12分当﹣1≤y≤1时，x=±2或x=0，…14分当y＞1时，y=1+，…16分作轨迹大致如图．分三个区域给分：①在直线y=﹣1的下方：两段曲线；②在两直线y=﹣1，y=1之间：三条平行线；③在直线y=1的上方：三条曲线．…18分．点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，确定轨迹方程是关键．。

上海市洋泾中学2015学年度第一学期高二数学期中试卷本卷卷面满分100分，考试时间90分钟一、填空题（每题3分，共36分） 1、已知212n n a n +=+，则lim n n a →∞=________.2、已知两条直线12:43110,:4310l x y l x y +-=+-=，则1l 与2l 之间的距离是_______.3、三阶行列式42554111k---第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k =_______.4、已知无穷等比数列{}n a 中，1124,5a a a =+=则12lim(...)n n a a a →∞+++=________.5、若非零向量,a b 满足||||1a b == (2)0a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为__________. 6、若向量(1,2),(4,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影是__________.7、关于,x y 的方程组2542x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换后得到103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n ⎛⎫⎪⎝⎭=__________. 8、下列命题中，①000a b a b ⋅=⇔== 或;②()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅;③a b b a ⋅=⋅ ;④若a ,b 是单位向量，则a b b a ⋅=⋅ ；⑤若//,//,a b b a则//a c 。

其中真命题的个数是_________.9、点(0,5)关于直线2y x =的对称点的坐标是_______.10、已知1143lim 334n n nn n a b ca b c++→∞--=++,则直线0ax by c ++=的倾斜角是__________. 11、在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-，若动点(,)C x y 到原点(0,0)O 的直角距离等于常数4，则动点C 的轨迹所围成的区域的面积是_______.12、记矩阵201101061300A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中的第i 行第j 列上的元素为,i j a ，现对矩阵A 中的元素按如下算法所示的步骤作变动（直到不能变动为止）：若,1,i j i j a a +>，则,,1,1,,,i j i j i j i jp a a a a p ++←←←，若,1,i j i j a a +≤，则不变动，这样得到矩阵B ，再对矩阵B 中的元素按如下算法所示的步骤作变动（直到不能变动为止）；若,,1i j i j a a +>，则,,,1,1,,i j i j i j i j q a a a a q ++←←←，若,,1i j i j a a +≤则不变动，这样得到矩阵C ，则C = 二、选择题（每题3分，共12分）13、下列方程中，表示相同曲线的是（ ）14、判断三元一次方程组23212302330x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的解的情况是（ ）A. 唯一解B. 无穷多解或无解C. 无穷多解D. 无解15、下列说法中，正确的是（ ） A.0.91∙<B. 若lim n n k →∞存在，则实数k 的取值范围是(]1,1-C. 若无穷等比数列{}()*n a n N ∈各项的和为2，则104a << D. 若()10*1110n a n n N =≤≤∈且，则lim 1n n a →∞=16、对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ∙=∙，若两个非零的平面向量,a b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = （） A.52B.32C.12D.1A.y x =和22y x =B.y x =和y C.y x =和y D.220x y +=和0xy =三.解答题(共52分)17.（8分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分）已知：向量(1,2),(2,),a b m ==-（1）若//a b，求m 实数的值； （2）若a b ⊥，求m 实数的值；18.（10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分） 已知矩阵112A ⎛⎫=⎪⎝⎭　１ -10（1）若矩阵2311B ⎛⎫= ⎪⎝⎭3 -4 且3A X B -=,求举证X（2）若矩阵342121254,D (,)221y C x B x y R x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪===∈ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭-2 0 且AC D =,求实数,x y的值.19.（10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知直线1l 和2l 交点P 在y 轴上，原点到1l 的距离是125，的法向量是(2,1)n = ，且1l 的方程为430(0)x y c c -+=>（1）求实数c 的值以及直线1l 和2l 的方程；（2求1l 与2l 的夹角θ（用反三角函数表）20、（10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知0m >，函数()4sin 5sin sin 20x x f x x x m =-的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为4. （1）求m ；（2）求函数()()sin 2cos 22x xg x m x R =+∈的最小正周期和单调递减区间.21、（14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 已知直线l 经过点()1,0P ，方向向量为()1,1α=-.（1）设数列{}n a 的前n 项和为n A ，且2nA nn n =，求n a ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n B ，点(),n n b B 在直线l 上，求n b ；（3）对（1）中的n a 和（2）中的n b ，定义()()1nn n n n d a b OP OP A λαα⎡⎤=-⋅++⋅⎢⎥⎣⎦，数列{}n d 的前n 项和为n D ，是否存在实数λ使得lim 1n n D →∞=，若存在请求出λ，若不存在，请说明理由.。

2015年上海市高三年级六校联考数学试卷（理科）2015年3月（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α=________.2、已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若AB ≠∅，则实数m 的取值范围是________.3、设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S =________.4、若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为________.5、抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是6、执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为________.7、不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围是8、若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭________. 9、已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为________.10、若点(,)P x y 在曲线cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则yx 的取值范围是________.11、从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为________. 12、已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为________.13、已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：①20OB OC OA -⋅≥；② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个；⑤点B 是线段AC 的中点． 则正确的命题是________.14、已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设nn nb c a ⎧=⎨⎩,,,,n n n n a b a b ≤>若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16、下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为（ ）（A ）2log y x = （B ）cos 2y x = （C ）222x x y --= （D ）22log 2xy x -=+ 17、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且mα∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=， 则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②③④ 三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程． 19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分． 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos 22A C +=． （1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分． 为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？A22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知数列{}n a 中，11a =，对任意的*k ∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =．（1）写出数列{}n a 的前四项； （2）设11k k b q =-，求数列{}k b 的通项公式； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程； （2）若两条直线1:l y kx =和21:l y x k=-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 面积的最大值，并求此时的k 的值．（3）证明：曲线Γ为椭圆，并求椭圆Γ2015年上海市高三年级 六校联考数学试卷（理科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 125. 6. 21 7. (]4,0- 8. 89. 310. (),3,⎡-∞+∞⎣11. 419012. ()0,1- 13．①③⑤ 14．[]5,3--二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19.解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以coscos 22A C B π+-=1sin 22B ==． 26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A AA A =-1cos 2222AA -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD . ∵ //CD EF ，CD EF DM ==，∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM ===M在MEB △中，由余弦定理得222cos 2ME BE BM MEB ME BE +-∠==⋅．∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦， ∴ 异面直线DF 和BE所成的角为． ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………2分 可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ， ∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--，得22,26DF BE ==设向量,DF BE 夹角为θ，则022422cos DF BE DF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE 所成的角为． ………………7分（2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =. ∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△ 1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：(1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-………………2分 ()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--. ………………5分 ∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． …………7分 （2）设平均处理成本为90050y Q x x x ==+- ………………9分 5010≥=， ………………11分N当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分22. 解：（1）由题意得 2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ……2分故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分 （2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列，212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++=又∵22122,,k k k a a a ++成等差数列，∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=. ∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分（3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k+===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,-这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明：ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-. 则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是221212121k k k a k q a k ++++==-， ∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k+=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,-这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-. 显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形. 由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-=. ………………13分对于1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++=. ………………16分 23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分 由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221x yxy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分（2）由221y kx x y xy =⎧⎨++=⎩得E ⎛⎫，F ⎛⎫ ⎝，所以EF =MN ==. ………6分 由题意知12l l ⊥ ，所以四边形EMFN 的面积12S EF MN =⋅.2S ====，∵ 221224k k ++≥=，∴223S S ≥=≤. ………………8分 当且仅当221k k=时等号成立，此时1k =±.∴ 当1k =±时，四边形EMFN ………………10分（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦），它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称，同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.可以求得221x y xy ++=和直线yx =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===. 在y x=-上取点12,3333F F ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面证明曲线Γ为椭圆：ⅰ）设(),P x y 为曲线Γ上任一点，则12PF PF +=======（因为43xy ≤）12A A ==.即曲线Γ上任一点P 到两定点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值ⅱ）若点P 到两定点12,3333F F ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值可以求得点P 的轨迹方程为221x y xy ++=（过程略）.故曲线Γ是椭圆，其焦点坐标为12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭. ………………18分 第（3）问说明：1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分；2. 直接写出焦点12,F F 的坐标给3分，未写出理由不扣分.。

浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．不等式32x>的解为 3log 2x > .2．设i 是虚数单位，复数)1)(3(i i a -+是实数，则实数a = 3 .3．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 2 .4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a n 2 .5．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 210 .6．已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 1 .7．在极坐标系中，已知圆θρsin 2r =（0>r ）上的任意一点),(θρM 与点),2(πN 之间的最小距离为1，则=r23. 8．若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是),21(+∞+.9．已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 .10．已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率)1(=ξp 与)3(=ξp 相等，且方差13D ξ=，则概率)2(=ξp 的值为23.11．若函数223()4f x x x =+-的零点(),1,m a a a ∈+为整数.则所有满足条件a 的值为1或2-.12．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 . 13．等比数列{}n a 的首项1a ，公比q 是关于x 的方程2(1)2(21)0t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为130,,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.①1t =；②1,0t ≠∆=；③一个根为0，另一个根不为0.14．给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；① x x g x f xsin )(,121)(=+=； ② x x g x x f 1)(,)(3-==； ③ x x g x x x f lg )(,1)(=+=； ④ x x g x f x=-=)(,212)(其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 ①③④ .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“11a b>”的 （ A ）)(A 充分不必要条件)(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件 )(D 既不充分也不必要条件16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为 （ D ）)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合 )(D 平行或相交17．若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( C ) )(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 1或218．如图，若正方体12341234PP P P Q Q Q Q -的棱长为1，设j i T S Q P x ⋅=11，},{,j i j i Q P T S ∈，（}4,3,2,1{,∈j i ）， 对于下列命题：①当i j i i S T PQ =时，1x =；②当0x =时，(),i j 有12种不同取值； ③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是 （ C ）)(A ①② )(B ①④ )(C ①③④ )(D ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 已知函数(),(0),af x x x a x=+>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值. 解：（1）由条件：1()f x x x=-在()1,+∞上单调递增.…………………………2分 任取()12,1,x x ∈+∞且12x x <1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=--+=-+ ……………………4分 P 1P 2P 3P 4Q 1Q 2Q 3Q 4211x x >>，∴121210,10x x x x -<+> ∴ 12()()f x f x < ∴ 结论成立 …………………………………………6分 （2）当0a =时，()y f x =的最小值不存在； …………………………………7分当0a <时，()y f x =的最小值为0；………………………………………9分当0a >时，()ay f x x x==+≥x =()y f x =的最小值为12分20．（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan． （1） 求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B 到平面PCD 的距离．解：方法１,（1）因为底面ABCD 为边长为2的正方形，⊥PA 底面ABCD , 则 ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥CD A PA AD PA CD ADCD 平面PAD ，所以CPD ∠就是CP 与平面PAD 所成的角．……………………………………………2分 在CDP Rt ∆中，由22tan ==∠PD CD CPD ，得22=PD ，…………………………3分 在PAD Rt ∆中，2=PA ．分别取AD 、PA 的中点M 、N ，联结MC 、NC 、MN ， 则NMC ∠异面直线AE 与PD 所成角或补角．……………4分 在MNC ∆中，2=MN，MC =3NC =，由余弦定理得，2223cos10NMC +-∠==-， 所以arccos10NMC π∠=-，…………………………6分 PA B CDPA B CD EMN即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos．……7分 （2）设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为BCD P PCD B V V --=，…………………………9分 所以，11113232CD PD h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得h =14分 方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得2=PA ，……………3分 则有关点的坐标分别为()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,0,0P ．………………………5分所以()2,1,0AE =，()2,2,0-=．设θ为异面直线AE 与PD 所成角， 则()101085202102cos =⨯-⨯+⨯+⨯=θ， 所以，1010arccos=θ， 即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos．…………………………………7分 （2）因为()2,2,0-=，()0,0,2=，()0,2,0=，设()w v u ,,=，则由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅w v u u CD n w v 002022，………………………………………………11分 可得()1,1,0=n ，所以2n BC d n⋅===14分 21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.一颗人造地球卫星在地球表面上空沿着圆形轨道匀速运行，每2将地球近似为一个球体，半径为6370道所在圆的圆心与地球球心重合.点整通过卫星跟踪站A 点的正上空A '，y通过C 点.（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站A 之间的距离（精确到1千米）； （2）求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）. 解：（1）设人造卫星在12:03时位于C 点处，AOC θ∠=，33609120θ=︒⨯=︒，…2分 在ACO ∆中，222=6370+8000-263708000cos93911704.327AC ⨯⨯⨯︒=, 1977.803AC ≈（千米），……………………………………………5分 即在下午12:03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978千米.…………………6分 （2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为ϕ，则90CAO ϕ∠=+︒，sin9sin(90)19788000ϕ︒+︒=，8000sin(90)sin90.63271978ϕ+︒=︒≈，…………………9分即cos 0.6327ϕ≈，5045'ϕ≈︒，……………………………………………………11分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为5045'︒.………………………………12分 22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足AD EA 1λ=、2λ=.（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求2111λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，22212ba =+λλ，试问D 是否为定点？若是，求出D 点坐标；若不是，说明理由.解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E ，…………………………………………………………………………2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ， 21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1，由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由BD EB 2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程 12222=-by a x 得到:()()022*******=-++-b a t mty b y a m b ()22222221222221,2am b b a t y y a m b mt b y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ (1) 而由AD EA 1λ=、2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ (2) 22212ba =+λλ (3) ……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者a t a -=1λ，at a+-=2λ， 都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.记数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列. 解：（1）因为数列{}n a 从第2项起单调递增，1231,0,3a a a ===，所以112101b a a =-=-=；213132b a a =-=-=-； ………………………2分当3n ≥时，154n n n b a a n +=-=-()()2,254,13n n b n n n -=⎧⎪=⎨-=≥⎪⎩或……………………………………………………4分（2）数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，∴n b 递减且0n b <.由定义知，1,n n n n A a B a +≥≤……………………………………………………6分 10n n n n n b A B a a +>=-≥-∴1n n a a +>，数列{}n a 递增，即121n n a a a a +<<<<<………………8分21112111()()()()()n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ++++++++---=--+-=-+=--()()12122n n =-----=⎡⎤⎣⎦…………………………………………………10分（3）①先证数列{}n a 递增，利用反证法证明如下：假设k a 是{}n a 中第一个使1n n a a -≤的项，1221k k k a a a a a --<<<<≥，……………………………………………………12分111,k k k k k A A a B B ---==≤ 111()()k k k k k k b b A B A B ----=---()()1110k k k k k k A A B B B B ---=-+-=-≤与数列{}n b 是公差大于0的等差数列矛盾.故数列{}n a 递增.……………………………………………………………………14分② 已证数列{}n a 递增，即12n a a a <<<<，n n A a =；1n n B a +=，………………………………………………………………16分设若{}n b 的公差为b，则2111211111()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a A B A B b b b b b++++++++++---=--+-=--+-=-+=--=-故{}1n n a a +-是等差数列.………………………………………………………18分。

上海市浦东外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. （4分）设P和Q是两个集合，定义集合P- Q=｛x|x € P,且x?Q｝，如果P=｛x|log氷v 1｝,Q=｛x||x - 2| v 1｝，那么P- Q等于.2. （4分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a=1, b= . 一，. ,则B=.3. （4 分）若数列｛a n｝满足：a1=1, a n+1」a n （n € N）,贝U a计a?+…+a n=.24. （4分）若（x2+丄）6的二项展开式中x3的系数为世，则a=（用数字作答）.ax 国5. （4分）若函数£（曲二程产云見二的定义域为R,则实数a的取值范围是.6. （4分）在数列｛a n｝中，若a1=1, a n+1=2a n+3 （n> 1）,则该数列的通项a n=.7. （4分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为cm2.2 2& （4分）已知双曲线—-——二1 （m> 0）的一条渐近线方程为ymWx，它的一个焦点恰m rr^lS好在抛物线y2=ax的准线上，则a=.9. （4分）（理）如图，平面内有三个向量；.、广〔、：，其中宀与I〔的夹角为120°,「.与10. （4分）已知函数y=f （x）的图象与函数y=a x（a>0且a* 1）的图象关于直线y=x对称，记g （x）=f （x）[f （x）+2f （2）- 1].若y=g （x）在区间[—2]上是增函数，则实数a的取值范围是.11. （4分）已知OO 的方程是x2+y2- 2=0,0 O'的方程是x2+y2-8x+10=0，由动点P向OO和O O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是.|「的夹角为30°,且|匚身|=| |二』|=2 , |」一|=4 一】，若L ；=入」丄：+订二.（入、12. ( 4分)从4名男同学和3名女同学中随机选出 3人参加演讲比赛，则女同学被抽到的数 学期望为.13 .已知实数x 、y 满足•工，贝U z=2x - y 的取值范围是.卫14. ( 4分)设函数 f (x ) =x+1，若关于 x 的不等式 f (三)+4f ( m w 4mf (x ) +f (x - 1) rq对任意x € ［二+7 恒成立，则实数m 的取值范围是.215. ( 4分)在实数集R 中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集 D=｛；|；= (x , y ) , x € R, y € R ｝上也可以定义一个称为“序”的关系，记 为“？”.定义如下：对于任意两个向量='=(X 1, yj , = " = (X 2, y 2), ：i. ?=当且仅当“x 1>X 2”或“x 1=X 2且y 1>y .按上述定义的关系“ ？”，给出如下四个命题： ① 若二=(1 , 0)，….=(0,1 ),1 1=( 0 , 0)，则二.？r ・？ I ； ② 若•. > 匚-,,I - > : 1 ,则：j > n ；17. ( 5分)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是()① p ： m<- 2，或m >6; q ： x +mx+m+3有两个不同的零点; ② p ：'=1; q ： y=f (x )是偶函数；f lx?③ p ： cos a =cos 3; q : tan a =tan 3； ④ p ： A n B=A q ： ?U B? ?U A .A.①②B .②③C.③④③若 引 > 石，则对于任意 耳€ D,④对于任意向量r> ',其中真命题的序号为.、选择题 16. ( 5分) (每小题 5分，满分20分) 复数一「土的虚部是()A.C. D.D. ①④(：1；+-■)>=(0, 0 )若：.>18. （5分）如图，动点P在正方体ABCD- A i B i CD的对角线BD上.过点P作垂直于平面BBDD 的直线，与正方体表面相交于M N设BP=x MN=y贝U函数y=f（x）的图象大致是（）19. （5分）已知满足条件x2+y2wi 的点（x, y）构成的平面区域面积为S ,满足条件[x] 2+[y] 2<1的点（x, y）构成的平面区域的面积为S,其中[x]、[y]分别表示不大于x, y的最大整数，例如：[—0.4]= - 1, [1.6]=1 ，贝U S i 与S 的关系是（）A. S v S?B. S1=S2C. S1 > S2D. S +S2= n +3三、解答题（满分74分）20. （14分）已知△ ABC三个顶点的直角坐标分别为A （3, 4）、B （0, 0）、C （c, 0）.（1）若求c的值;（2）若c=5，求si nA的值.21. （14分）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形,ABCD 且PA=AD=AB=2B,CM N分别为PC PB的中点.（I）求证：PB丄DM（H）求CD与平面ADMF所成的角.22. （14分）在m（存2）个不同数的排列P1P2…P n中，若Ki v j <m时P i >P j （即前面某数大于后面某数），则称P i与P构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列（n +1）n （n- 1 ）••• 321的逆序数为a n,如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a s=6.（I）求a4、a5,并写出a n的表达式；(n)令卄,证明2n v b+b?+…+b n< 2n+3, n=1, 2,….AD// BC / BAD=90 , PAL底面01 ©a n+l 弧23. ( 16分)对于定义在R上的函数f (x),可以证明点A ( m n)是f (x)图象的一个对称点的充要条件是f ( m- x) +f ( m+X =2n, x€ R.(1)求函数f (x) =x3+3x2图象的一个对称点；3 2(2)函数f (x) =ax + (b - 2) x (a, b€ R)在R上是奇函数，求a, b满足的条件；并讨论在区间［-1, 1］上是否存在常数a,使得f (x)>- x2+4x - 2恒成立？(3)试写出函数y=f (x)的图象关于直线X=M对称的充要条件(不用证明)；利用所学知识, 研究函数f (x)=ax3+bx2(a, b€ R)图象的对称性.24. ( 16分)在直角坐标平面内，我们定义A (X1, y1 )、B ( X2, y2)两点间的"直角距离”为D(AB) =|x 1 - X2|+|y 1 - y2| .(1)在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的直角距离为2的“格点”的坐标(“格点” 指的是横、纵坐标均为整数的点)(2)求到两定点F1、F2的“直角距离”之和为定值2a (a > 0)的动点的轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹；(在以下三个条件中任选一个作答，多做不计分，其中选择条件①，满分3分；选择条件②,满分4分；选择③满分6分)①F1 (- 1, 0)、F2 (1, 0)、a=2；②F1 (- 1,- 1 )、F2 (1, 1 )、a=2③F 1 (- 1, - 1)、F2 (1, 1)、a=4；(3)(理科)写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标，并说明理由；(文科)写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标，不必说明理由；①到A (- 1, - 1 )、B (1, 1)两点的“直角距离”相等；②到C (- 2, - 2)、D (2, 2)两点的“直角距离”之和最小.上海市浦东外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每小题4分，满分56分)1. (4分)设P和Q是两个集合，定义集合P- Q={x|x € P,且x?Q}，如果P={x|log氷v 1},Q={x||x - 2| v 1}，那么P- Q等于(0, 11 .考点：交、并、补集的混合运算.专题：综合题；新定义.分析：根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P-Q.解答：解：由集合P中的不等式log 2X v仁log 22,根据2>1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0v x v2,所以集合P= (0, 2);r v —集合Q中的不等式|x - 2| v 1可化为：，解得1v x v 3，所以集合Q= (1, 3),则P- Q=(0, 1]故答案为：(0, 1]点评：此题要求学生掌握对数函数的定义域的求法及对数函数的单调性，会求绝对值不等式的解集•学生做题时应正确理解题中的新定义.2. (4分)在厶ABC中，角A B, C所对的边分别为a, b, c,若a=1, b=. 7 ,.';,则B J .考点：余弦定理.专题：计算题.分析：根据余弦定理可得b2=a2+c2- 2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可.解答：解：由余弦定理得b2=a2+c2- 2accosB，且a=1, b=：：「j, c=:-;,所以cosB=「' 一=-；,2ac 2X1X^； 2得到B为钝角即B €( —, n),2所以B二二T61故答案为竺6点评：考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力.3. (4 分)若数列｛a n｝满足：a1=1, a n+1」a n (n € N),贝U a计a?+…+a n=2 -—-—2 2n_1考点：等比数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列.分析：利用等比数列的前n项和公式即可得出.解答：解：•••& 1 =1, a n+1=—a n (n € N),2•••数列｛a n｝是等比数列.1*4.（4分）若（x 2+丄）6的二项展开式中x 3的系数为5,则a=2 （用数字作答）.ax2考点： 二项式系数的性质；二项式定理.专题：计算题.分析： 利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1项，令x 的指数为3,求出展开式中x 3的系数，列出方程求出 a .r — r 12 — 3r解答： 解：通项T r+i =G?a x ,当 12 — 3r=3 时，r=3 , 所以系数为G 3?a — 3二，得a=2.2故答案为2 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.5. （4分）若函数「匸-『的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 考点：函数的定义域及其求法.专题：计算题. 分析：禾U 用被开方数非负的特点列出关于a 的不等式，转化成x 2 — 2ax+a >0在R 上恒成立,然后建立关于a 的不等式，求出所求的取值范围即可. 解答： 解：函数f （"二石不云匚7的定义域为R,■ 7'' J — 1》0在R 上恒成立2即x — 2ax+a >0在R 上恒成立 该不等式等价于厶=4a 2— 4a w 0, 解出0w a w 1.故实数a 的取值范围为O wa <1 故答案为：O w a wi点评：本题考查对定义域的理解和认识，考查二次不等式恒成立问题的转化方法，注意数形结合思想的运用，属于基础题.6 (4 分)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1, a n+1=2a n +3 (n > 1),则该数列的通项a n =2n+1 — 3.■'■a i+a 2+…+a n故答案为：2 疋-1点评：本题考查了等比数列的定义及其前n 项和公式，属于基础题.O w a w 1.考点：数列递推式. 专题：计算题.分析： 由题意知a n+i +3=2 (a n +3) (n > 1)，由此可知该数列的通项 a n =2n+1 - 3. 解答： 解：在数列｛a n ｝中，若 a i =1, a n+i =2a n +3 (n > 1),-- a n+i+3=2 (a n +3) (n 》1),即｛a n +3｝是以a ’+3=4为首项， 为公比的等比数列，a n +3=4?2n - 1=2n+1, 所以该数列的通项 a n =2n+1 - 3. 点评：本题考查数列的性质和应用，解题电动机发注意公式的灵活运用.7. (4分)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 2+4 :cm 2.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.专题： 计算题；压轴题.分析：本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个 直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积. 解答： 解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.正四棱柱的对角线的长为球的直径， 现正四棱柱底面边长为 1cm , 设正四棱柱的高为 h ,-2R=2= ： .- .「；，解得h=]那么该棱柱的表面积为 2+4 :■:cm 2. 故答案为：2+4 .：： 点评：一个直四棱柱外接球的直径等于棱柱的对角线长，这是解答本题的关键，希望大家牢固掌握.好在抛物线y 2=ax 的准线上，则a= ± 24. 上，可求解.8 (4分)已知双曲线2 2(m> 0)的一条渐近线方程为y= 「；x ，它的一个焦点恰考点： 专题： 分析：圆锥曲线的综合. 计算题.先利用渐近线方程求双曲线的标准方程,再利用一个焦点恰好在抛物线y 2=ax 的准线解答：解：由题意, -双曲线的焦点坐标为irr^LS 宀.门------ ；二3,.・a4=十扁-a=± 24故答案为土 24. 点评：本题的考点是圆锥曲线的综合，主要考查双曲线的渐近线，考查抛物线的准线，关键是利用渐近线方程求双曲线的标准方程.9. (4分)(理)如图，平面内有三个向量 匕、卫、八厂，其中匕与：二的夹角为120°, 「.与0C 的夹角为30°,且IOAFI OB I=2 , I 0CF 4逅，若OC =入OA +MB (入、卩€ R ),则入+卩考点：向量加减混合运算及其几何意义. 专题：平面向量及应用.分析：此题考查向量的加减法， 数乘、数量积运算，关键是利用已知条件：「=入,-.+ ^ .,将其平方.解答：解：•••匕入「.+ □•，且根据已知条件••• 莎匸4 T2*cos30 ° =12即|亠* i 44入—2卩=12 由①②得, • □ =2,入=4 故答案为：6 点评： 此题考查向量的基本运算，学生应熟练掌握向量的运算，是一道题型10. ( 4分)已知函数 y=f (x )的图象与函数 y=a x ( a >0且1)的图象关于直线 y=x 对称， 记g (x ) =f (x ) [f (x ) +2f (2)- 1].若y=g (x )在区间 丄,2]上是增函数，则实数 a 的 取值范围是(0,丄L .考点：函数单调性的性质.专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用. 分析：先表述出函数f (x )的解析式然后代入将函数 g (X )表述出来，然后对底数a 进行讨论即可得到答案.解答： 解：T 函数y=f (x )的图象与函数 y=a x (a >0且a * 1)的图象关于直线 y=x 对称， • f ( x ) =log a x (x >0).2015届高考常见的g (x ) =f (x ) [f (x ) +f (2)- 1]=log a x (log a X+log a 2 - 1)解得二，舍去.② 当0 v a v 1时，y=log a x 在区间［丄，2］上是减函数，「. log a x € ［log2点评： 本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.的方程是x 2+y 2- 2=0,0 O'的方程是 x 2+y 2 - 8x+10=0，由动点 P 向OO 和考点：轨迹方程. 专题：压轴题. 分析：首先由圆的一般方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示出圆心(-¥，-¥〉，半径|PA|=J|P0| 2_ ”、|PB|={|酎 十 2 ,然后建立方 程，整理即可.解答： 解：O O 圆心 0(0, 0),半径 r= :■:; O O':圆心 O' ( 4, 0),半径 r'= .设P (x , y ),由切线长相等得 x 2+y 2 - 2=x 2+y 2 - 8x+10，即三. 所以动点P 的轨迹方程是x =|. 点评：本题考查圆一般方程的圆心、半径的表示及勾股定理，同时考查方程的思想.=(log a X+log a 2- 1_ a(log 2- 1) 2~T①当 a > 1 时，y=log a x在区间[-,2]上是增函数,• log a x € [log 匸,log a 2].2由于y=g (x )在区间［丄,2］上是增函数，•••—Ciog A ，化为 log a 2w- 1,由于y=g (x )在区间［丄2］上是增函数，•解得0v + •综上可得：0 v a-.-1故答案为：(0,O O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是法.11. ( 4分)已知OO 再由勾股定理分别表示出切线长12. ( 4分)从4名男同学和3名女同学中随机选出 3人参加演讲比赛，则女同学被抽到的数 学期望为上.7考点： 离散型随机变量的期望与方差.专题： 计算题；概率与统计.分析：设随机变量E 表示所选3人中女生的人数，则 E 可能取的值为0, 1, 2, 3,求出相应的概率，即可求出女同学被抽到的数学期望.解答： 解：设随机变量 E 表示所选3人中女生的人数，则故答案为：27点评： 本题考查离散型随机变量的期望，确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率是关键.13. 已知实数x 、y 满足K - y^2，贝U z=2x - y 的取值范围是[-5, 7].考点： 二元一次不等式(组)与平面区域.分析： 先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y 轴上的截距即可求之.解答：解：画出可行域，如图所示 解得 B (- 1, 3)、C (5, 3),把z=2x - y 变形为y=2x - z ,则直线经过点 B 时z 取得最小值；经过点 C 时z 取得最大值. 所以 Z min =2X( — 1 )- 3= - 5, Z max =2X 5 - 3=7. 即z 的取值范围是[-5, 7]. 故答案为[-5, 7].E 可能取的值为0, 1, 2, 3,二 P (E =0)c 335,P (E =1) :,"=2)1235,P (E =3) r 3二 =-35+2X351 . _45_ .9 357点评： 本题考查利用线性规划求函数的最值.14. ( 4分)设函数 f (x ) =x 2+1，若关于 x 的不等式 f (M) +4f ( m w 4m 2f (x ) +f (x - 1)rq对任意x € ［二+s)恒成立，则实数 m 的取值范围是(-g,- 工丄］U ［二，+8).囤---------- 2 -^21 ----------------考点：函数恒成立问题. 专题：计算题；转化思想.分析： 先把原不等式整理后转化为 g( x ) = (-丄+4m+1) x 2- 2x - 3》0对任意x € 诅 ,2 2 mI 闫恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m 的取值范围.解答： 解：原不等式不等式 f (一)+4f ( m < 4m 2f ( x ) +f ( x - 1),n整理得 g (x )=(-二+4n i +1) x 2- 2x - 3> 0,即可以转化为 g (x ) = (- ■ +4n i +1) x 2- 2x - 3>0对任意x € ［上,+^)恒成立.m龙由于函数g (x ) = (--^+4卅+1) x 2 - 2x - 3开口向上，m对称轴小于等于 二，所以由二次函数性质得 g (x )在x € ［-, +8)上递增.2 22-+4m - —>0,2 3rrIT2 2 212 ( m ) - 5m - 3>0,m > —或 nf w-丄？ m >£或n W -空.4 32 2\故答案为：(-8,-亨］U ［省,+8点评： 本题主要考查二次函数的恒成立问题.二次函数的恒成立问题分两类，一是大于 0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0, 二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0.15. ( 4分)在实数集R 中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集 D=｛；|；= (x , y ) , x € R, y € R ｝上也可以定义一个称为“序”的关系，记 为“ ？”.定义如下：对于任意两个向量..=(X 1, yj ,二］=(X 2, y 2),?.当且仅当“x 1>X 2”或“x 1=X 2且y 1>y .按上述定义的关系“ ？”，给出如下四个命题：① 若巳广(1 , 0),巳 2= ( 0,1),。

高三学科测试 数学试题（理科）考斯时间 120分钟 满分150分一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知集合1{|0},{|12}1x A x B x x x -=<=-<+，则B C A = 2、椅子tan 2α=-，则sin 3cos sin cos αααα-=+ 3、在复平面中，复数2(1)(3i i i++是虚数单位）对应的点在第 象限 4、函数()2sin 3f x x =+的最小正周期是5、已知函数()22(2)2x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f =6、已知()351log log 2014f x a a b x =++，若12015()20142014f =，则(2014)f =7、满足2arccos()arccos(2)x x >的实数x 的取值范围是 8、设n a是(1(2,3,4,)n n = 的展开式中x 的一次项的系数，若11(1)n n n n a b a +++=，则nb 的最小值是 9、若存在整数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）11、已知函数()2(0)f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 能取到最小值，则实数k 的取值范围是 12、已知数列{}n a 中，1112,1n n a a a +==-+，若k 是5的倍数，且2k a =，则k = 13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间[]1,200内的所有“神秘数”之和为14、已知0m >，12m ≠，直线1:l y m =与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，直线24:1l y m =+与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影程长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值是二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian 高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

上海市第十五中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2. 高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A．，，的平均数B．，，的标准差C．，，的最大值D．，，的中位数参考答案：解：表示一组数据，，的稳定程度是方差或标准差．故选：．3. 函数，则的自变量的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D 本题主要考查分式，绝对值不等式的解法．或或或或选D．4. （5分）若在边长为1的正三角形△ABC的边BC上有n（n∈N*，n≥2）等分点，沿向量的方向依次为P1，P2，…P n﹣1记Tn=?+?+…+?，则T n的值不可能是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积运算求得=1+﹣（k=1，2，…，n﹣1，k∈N），再由数列的求和知识即可得到T n，再对选项加以判断，解方程即可得到．解答：解：=（+k）?（+（k+1））=+k（k+1）（2k+1）=1+﹣（k=1，2，…，n﹣1，k∈N），则T n=?+?+…+?=（）+（n﹣1）+﹣=1﹣+n﹣1+﹣=．若=，则解得，n=4，若=，则解得，n=5，若=，则解得，n=6，若=，则无整数解．故选D．点评：本题主要考查平面向量的数量积的运算及数列求和的知识，考查学生的运算求解能力，属难题．5. 已知，集合，集合，若，则( )A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：A6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A.20B.30C.40D.50参考答案：B略7. “成立”是成立”的A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A由，解得，由得，，即，所以“成立”是成立”的充分而不必要条件，选A.8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的对应点为P，点A，B，C在俯视图上的对应点为A，B，C，则PA与BC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值．【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥P﹣ABCD，且PD⊥平面ABCD，如图所示；取CD的中点M，连接AM、PM，则AM∥BC，∴∠PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，△PAM中，PA＝2，AM＝PM，∴cos∠PAM，又异面直线所成角为锐角即PA与BC所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题．9. 下面是关于复数的四个命题::, 的共轭复数为的虚部为其中真命题为( )A．B．C．D．参考答案：C10. 复数＝( )A. B. C．D．参考答案：A 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于，以点为中点的弦所在的直线方程是_____．参考答案：试题分析：，圆心为（1,0），故所求直线的斜率为，直线方程为即考点：直线方程12. 已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．参考答案：9考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣2，b=﹣1，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解答：解：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，∴a=﹣2，b=﹣1，∵点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=5++≥5+2=9当且仅当m=n=时取等号，即+的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了不等式的解法和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容．13. 已知平面向量满足：，且，则向量与的夹角为．参考答案：【知识点】数量积表示两个向量的夹角．F3解析：将两边平方，得，化简整理得,因为，由向量的夹角公式，所以向量与的夹角为.故答案为：.【思路点拨】将两边平方，整理得出，再根据，求出夹角余弦值，最后求出夹角大小．14. 在极坐标系中，直线被曲线所截得的线段长为.参考答案：15. 已知，且，则z 的最小值为_______．参考答案：【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合图像确定目标函数的最优解，代入即可求解。

2023届上海市洋泾中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．既非充分又非必要 【答案】A【分析】解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得. 【详解】因为2log (1)1x -<012x ⇔<-<13x ⇔<<; 2230x x --<13x ⇔-<<,又{|13}x x << {|13}x x -<<, 所以命题p 是q 的充分非必要条件, 故选A .【点睛】本题考查了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式的解法,属于基础题. 2．已知01x <<，则9161x x+-的最小值为（ ）A ．50B ．49C ．25D ．7【答案】B【分析】由916916(1)()11x x x x x x+=+-+--结合基本不等式求解即可. 【详解】因为01x <<，所以011x <-<，根据基本不等式，9169169(1)16(1)()252549111x x x x x x x x x x -+=+-+=++≥+=---， 当且仅当9(1)161x x x x -=-，即37x =时等号成立，所以9161x x +-的最小值为49. 故选：B.3．若动点A ､B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．2【答案】C【解析】M 点的轨迹是两直线1l 与2l 之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得．【详解】∵A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，M 是AB 中点，∴M 点在到两直线1l 与2l 距离相等的平行线上，直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=，因此M 点所在直线为60x y +-=，则MO 的最小值为d ==故选：C ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点M 的轨迹．4．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[3)4=，[ 1.3)1-=-，下列命题中正确的是（ ） ①函数()[)f x x x =-的值域是(0,1]；②若{}n a 是等差数列，则{}[)n a 也是等差数列； ③若{}n a 是等比数列，则{}[)n a 也是等比数列；④若()0,2023x ∈，则方程[)1e 1x x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有2022个解.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】由题意，整理分段函数具体解析式，可得值域，采用特殊值法，可得数列的正误，根据函数与方程的关系，可得答案.【详解】当Z x ∈时，[)1x x =+，()[)11f x x x x x =-=+-=， 当Z x ∉时，令x n a =+，Z n ∈，()0,1a ∈，则[)1x n =+，()[)()10,1f x x x a =-=-∈，因此()[)f x x x =-的值域是(]0,1，0.9,1,1.1是等差数列，但[)0.91=，[)12=，[)1.12=不成等差数列；0.5,1,2是等比数列，但[)0.51=，[)12=，[)23=不成等比数列；由前分析可得当Z x ∈时，()1f x =；当Z x ∉，x n a =+，Z n ∈，()0,1a ∈时，()()111f x a x n n x =-=--=+-， 所以()()1f x f x +=，即()[)f x x x =-是周期为1的函数，由指数函数的性质，可得函数11e x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭过()1,1，在(),-∞+∞上单调递减，当()0,1x ∈时，()(]0,1f x ∈，111e x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，去交点；当()1,2x ∈时，()(]0,1f x ∈，1101e x -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，必有一个交点；则后面每个周期都有一个交点， 所以()0,2023x ∈，则方程[)12x x -=由2022个根.①④正确， 故选：D.二、填空题5．已知集合{1,2},{,3}A B a ==，若{1}A B ⋂=，则A B ⋃=_______. 【答案】{}1,2,3【分析】根据{1}A B ⋂=求得a ，由此求得A B .【详解】由于{1}A B ⋂=，所以1a =，所以{}1,2,3A B =. 故答案为：{}1,2,36．若复数z 满足iz i =（i 为虚数单位），则z =______. 【答案】2【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可.【详解】1z ==-.2z ==.故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的化简和模长的计算，属于简单题.7．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936S =，则348a a a ++=______． 【答案】12 【分析】由()919599362S a a a =+==，得54a =，再由348153123a a a a d a ++=+=，能求出结果．【详解】解：数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为9.36n S S =， ()919599362S a a a ∴=+==， 解得54a =，34815312312a a a a d a ∴++=+==．【点睛】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________. 【答案】28【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项．【详解】8848418831(2)()(1)28rrrr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r =，所以的常数项为228(1)28C -=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 9．已知向量()1,2a =-，()3,4b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影向量为______ 【答案】34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据投影向量公式进行求解.【详解】向量a 在向量b 的方向上的投影向量为()1,234,559a b b b b-⋅⎛⎫⋅==-- ⎪+⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】1【分析】根据方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离公式求得.【详解】双曲线的焦点为(±2，0),渐近线方程为y =,即0x =， 1,= 故答案为：1.11．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是________【答案】[]5,3-【详解】∵函数()y f x =是定义在R 上的偶函数， ∴()()()114f a f a f +=+≤ 又()f x 在[)0,+∞上是增函数， ∴14a +≤ 即414a -≤+≤， ∴53a -≤≤ 故答案为[]5,3-12．一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可． 【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂， 所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=， 故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用．13．将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是______． 【答案】23π【分析】函数y =221x y +=，0y ≤，是半径为1的下半圆，将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器为以1R =为半径的半球体，由此能求出结果．【详解】解：函数y =221x y +=，0y ≤，是半径为1的下半圆，∴将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器为以1R =为半径的半球体，∴将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是： 31421233V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭．故答案为23π．【点睛】本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．14．已知Rt ABC △中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =，在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ，满足2AM =，MN NC =，则BN 的取值范围是______【答案】[]4,6【分析】建立平面直角坐标系，设出M 点的坐标()2cos ,2sin αα，求出N 点的坐标，从而得到2BN 关于α的三角函数，通过三角函数求最值的方法即可得出答案. 【详解】以A 为原点，,AB AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则()()4,0,0,6B C ，因为2AM =，所以M 的轨迹是以A 为原点，2为半径的圆， 所以设()2cos ,2sin M αα，因为MN NC =，所以N 为MC 的中点，所以()cos ,sin 3N αα+， 所以()cos 4,sin 3BN αα=-+，所以()()()222cos 4sin 36sin 8cos 2610sin 26BN αααααϕ=-++=-+=-+，其中4tan 3ϕ=， 所以当()sin 1αϕ-=-时，2BN 取最小值16，所以BN 取最小值4； 当()sin 1αϕ-=时，2BN 取最大值36，所以BN 取最大值6， 所以BN 的取值范围是[]4,6.故答案为：[]4,6. 15．已知有限集12{,,,}(2,)n A a a a n n N *=≥∈，如果A 中元素(1,2,,)i a i n =满足：121222n n a a na a a na ⨯⨯⨯=+++，就称A 为n 元“均衡集”．若{}12,a a 是二元“均衡集”，则122a a +的取值范围是__． 【答案】19,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】根据新定义可得1212(1)a a a =-，再根据1211112222(1)a a a a +=++-，利用换元法，借助基本不等式即可求出．【详解】由题意知{}12,a a 是二元“均衡集”，所以121222a a a a ⨯=+，即2112(1)a a a -=， 当11a =时，显然不成立，所以1212(1)a a a =-，所以1121111112222(1)22(1)a a a a a a a +=+=++--，设12(1)(0)a x x -=≠，所以121111111522222(1)22a a a x x a x x +=++=+++=++-， 当0x >时，15155922222y x x x x =++≥⨯=+=，当且仅当1x =时等号成立， 当0x <时，1511551()2()22222y x x x x x x =++=--+≤--⨯=-+=--， 当且仅当1x =-时等号成立， 所以122a a +的取值范围19,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：19,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.【答案】⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】由题可得(),0f y y f x x A ⎧⎪=≤≤=⎨⎪⎪⎩⎭，然后可得当a <进而即得；或等价于11a x a≤++恒成立，即()11a x a -+≤恒成立，进而即得.【详解】法一：令11x x =+，解得x =，当1x ⎡∈⎢⎣⎦时，2111x x ⎤=∈⎥+⎣⎦，当1x ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭时，2111x x ⎛=∈ +⎝⎭，且当1x ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭时，总存在2111x x ⎛=∈ +⎝⎭，使得()()12f x f x =， 故(),0f y y f x x A ⎧⎪=≤≤=⎨⎪⎪⎩⎭，若a <(){},0f y y f x x a ∉=≤≤⎝⎭，所以a ≥， 即实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭； 法二：原命题等价于任意()10,1a f x a f x a ⎛⎫>+= ⎪++⎝⎭，所以()1111a x a x a a≤⇒≥-+++恒成立， 即()110a a-+≤恒成立，又0a >，所以a ≥， 即实数a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：51,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，1PD DC ==，直线PB 与平面ABCD 所成的角为6π.(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)求异面直线AM 与PC 所成的角的大小. 【答案】2(2)3【分析】（1）根据直线PB 与平面ABCD 所成的角可求出BD ，从而得出AD ，再根据四棱锥的体积公式即可解出；（2）取AD 中点N ，连接CN ，PCN ∠（或其补角）即为异面直线AM 与PC 所成的角，解三角形即可求出．【详解】(1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为PBD ∠，在Rt PDB 中，π6PBD ∠=，1PD =，所以3BD =1DC =，所以2AD = 因此四棱锥P ABCD -的体积1211233V =⨯⨯．(2)如图所示：取AD 中点N ，连接CN ，因为//,CM AN CM AN =，所以四边形NAMC 为平行四边形，即有//AM NC ，所以PCN ∠（或其补角）即为异面直线AM 与PC 所成的角． 在PCN △中，2PC =22612PN CN ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以232cos 6PCN ∠==0πPCN <∠<，所以3PCN ∠=，即异面直线AM 与PC 所成的角为318．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． (1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数． 【答案】(1)证明见解析； (2)9．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【详解】(1)设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证． (2)由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)20sin cos AE αα=+米，102AF(2)当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(20022平方米.【分析】（1）由角的关系易得：135AEB α∠=︒-，90AFC α∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE AB ABE AEB=∠∠，可解得AE ，同理在ACF 中得：sin sin AF ACACF AFC =∠∠，解得AF .（2）活动区的面积最大即休息区AEF 尽可能小，又（1）可得：1sin 2AEFS AF AE EAF =⨯⨯⨯∠△利用三角恒等变换及计算得到2002214AEF S α=π⎛⎫++ ⎪⎝⎭△，根据三角函数的值域可知8πα=时，得到休息区AEF 的最小值，从而得到活动区最大值. 【详解】(1)由题意得，20AB AC ==米，90BAC ∠=︒，则45ABC ACB ∠=∠=︒， 又由()045EAB αα∠=<<︒，180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-，9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-，所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米；同理，在ACF 中，sin sin AF ACACF AFC=∠∠，即()20102sin 45sin 90AF AF α=⇒=︒︒+综上所述：20sin cos AE αα=+米，AF .(2)由（1）知，综20sin cos AE αα=+米，AF所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos AEF S AF AE EAF αα=⨯⨯⨯∠=⨯︒+△化简得：210010020011cos2sin cos cossin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△ 又()045EAB αα∠=<<︒，∴32444πππα<+<，则当242ππα+=，即8πα=时，AEFS取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭；此时小老虎活动区面积S 取得最大值，即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯-=△△平方米.综上所述：当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米. 20．已知函数()324x a x f x x =-++.(1)求函数()f x 在0x =处切线方程；(2)若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围； (3)当3a =时，设函数()()g x f x kx =-，对于任意的1k <，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】(1)40x y -+= (2)1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(3)1个，理由见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求得函数在0x =时的切线方程； （2）对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，即24ln 2xa x -≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数，将函数不等式恒成立问题转化为利用导数求新函数的最值问题;（3）分0x ≤和0x >进行讨论，利用导数判断函数的单调性结合零点存在定理即可得出结论.【详解】(1)由于函数()324x a x f x x =-++，故()2321f x x ax '=-+，故()01f '=，且()04f =，所以函数()f x 在0x =处切线方程为40y x -=- ，即40x y -+=；(2)对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，即2284ln 8ax x -+≥+， 即24ln 2xa x -≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令24ln (),0x h x x x=>，则24312ln 12ln ()44x x xx x h x x x ⋅--'=⋅=⨯， 令()0h x '=，得x =，当0x <<()0h x '>，()h x 单调递增，当x >()0h x '<，()h x 单调递减，故x =24ln (),0x h x x x =>取得极大值也即最大值，则max 2()eh x h ==， 所以22ea -≥，则a 的取值范围为1a e ≤-，即(,]1e a ∈-∞-；(3)由3a =可得323(1)4()g x x x k x =-+-+，对于任意的1k <，由10k -< ，当0x ≤时，2361)0(()g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)10,(0)40g k g -=-<=>， 故()0g x =在(,0]-∞上有唯一实根；当0x >时，令32()34m x x x =-+，则()()(1)()g x m x k x m x =+->， 而2()363(2)m x x x x x '=-=-，当02x <<时，()0m x '<，()m x 递减， 当2x >时，()0m x '>，()m x 递增，故min ()(2)0m x m ==， 所以()()()20g x m x m >≥=，故()0g x =在(0,)+∞上没有实根； 综合上述，对于任意的1k <，函数()()g x f x kx =-有且只有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数求函数在某点处的切线方程以及用导数解决函数不等式恒成立问题和判断函数的零点个数问题，综合性较强，解答时要能综合应用导数以及函数的相关知识解题，解答的关键是根据题意构造适当的函数，利用其导数解决恒成立以及零点问题.21．已知22Γ:12x y +=，12,F F 是其左右焦点，()(,0P m m <，直线l 过点P 交Γ于,A B两点，AB 、在x 轴上方，且A 在线段BP 上，(1)若B 是上顶点，11BF PF =，求m ； (2)若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线l l ；(3)证明：对于任意m <，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条.【答案】(1)1m =(2)3x y = (3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆方程确定1(1,0)F -，以及1||BF =11BF PF =，即可求得答案;（2）设,sin )A θθ，利用1213F A F A ⋅=结合向量的坐标运算，求得A 坐标，再利用原点O 到直线l（3）设直线l 的斜率为k ，取AB 中点C ，利用点差法求出k 与直线OC 的斜率之间的关系，即可证明结论.【详解】(1)由题意知：1(1,0)F - ,11||||BFPF =，因为1||BF =因为1||PF 1m --=所以1m =；(2)设,sin )A θθ，其中(cos 0)θ<，因为1(21,sin )F A θθ=+，2(21,sin )F A θθ=-， 所以222122cos 1sin cos F A F A θθθ⋅=-+=，所以21cos 3θ=，cos θ=，所以sin3θ=，故(A，则直线方程可以设为(y k x =， 又因为O 到直线l所以d =所以231030k k -+=，得3k =或13k =，当3k =时，直线方程为3y x =m =，所以直线方程为4639x y =+. (3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的斜率为k ，连接1AF ，2BF ，取AB 中点C ，连接OC ，可知OC 为梯形12F F BA 的中位线， 因为12OC AF BF ∥∥，令121oc AF BF k k k k ===.由点差法得221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21122121()()()()02x x x x y y y y -+++-=，化简得211221211122c c x y y x x k x x y y y -+==-=--+，即11122c c x k y k =-=-，故当1k 确定时，也就只有唯一k 与1k 对应， 故对任意2m <.。