关于实数连续性的基本定理
关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明
以上的定理表述如下：
实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛
,[n a ]
n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含
在所有的区间里,即
∞
=∈1
]
,[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：
ε
ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明
一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理
证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,},
而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0
n ，使
a <
0n x ≤
b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理，
A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a
B ，b ≤≤∈有。
下证
∞
→n lim
n
x =r 。事实上，对n
N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-?∈->? εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
2,2
ε
ε
-
≤∈+
r x b r n 便有 ，
2
ε
ε+
≤-∴r x r ，N n n 有时当
于是，|
n
x -r|<ε，∴∞→n lim n x
=r 。
若数列}{n x 单调下降有下界，令n
y =-
n
x ，则{
n
y }单调上升有上界，从而有极
限，设极限为r ，则
∞
→n lim n x =∞→n lim
（-n y ）=-r 。定理证完。
2.实数基本定理→确界定理
证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而A ，a ∈?对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有
0x ∈
X ，使得
0x a ，而由B ，b ∈知0x
≤b ，故a < b 。
由实数基本定理， A|B
是实数的一个分划，
∴A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证r=supX 。首先证明r 是X 的上界。用反证法。如果不然，则有
0x ∈
X ，
使得0x
r ，这时有a=20r
x +
a=20r
x +∈A ，且有a r ，这是不可能的。因此r 是X 的上界，而由于
b r B ，b ≤∈?有，∴
r 是X 的最小上界。
同理可证下确界的情形。定理证完。
3．实数基本定理→区间套定理 证明：设｛
,[n a ]
n b ｝是一个区间套，令},|{n a x n x A ≤?=，A R B \=，则B A |是
R
的一个分划。事实上A a ∈1，B b ∈+11，即B A ,非空；由B 的定义，
B A ,不漏；A a ∈?，B b ∈?，则?，n a b n >?,，故b a <，即B A ,不乱。故B A |确是R
的一个分划。由实
数连续性定理，存在唯一的实数r ，使得A a ∈?，B b ∈?，有b r a ≤≤。
下证
∞
=∈1
]
,[n n n b a r 。因为n ?，由A 的定义，A a n ∈，故r a n ≤。又m n ,?，有
n m b a <，则B b n ∈，从而n b r ≤。即
∞
=∈1]
,[n n n b a r 。
最后证明唯一性。若有r r ',满足
∞
=∈1
]
,[n n n b a r ，
∞
=∈'1
]
,[n n n b a r ，则
)(0||∞→→-≤'-n a b r r n n
故r r '=。即这样的r 是唯一的。定理证完。
二．用单调有界定理证明其它定理
单调有界定理→实数基本定理
证明：给定实数的一个分划，任取A a ∈1，B b ∈1。用1a ，1b 的中点2
1
1b a +二
等分[1a ，1b ]，如果
21
1b a +B ∈，则取2a =1a ， 2
b =
2
1
1b a +；如果
211b a +A ∈，则取2a =
21
1b a +，
2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=21
1a b -)(∞→n 。由单调
有界定理，知?r ，使∞→n lim
n a = r
∞
→n lim
（n n a b -）=0 ∴∞
→n lim n
a
+（n n a b -）= r
? a ∈A ，有a B b ∈?，有n a < b （n=1，2，……）， 令∞→n ，知 r < b ∴b r a ≤≤ 下面证明唯一性。 用反证法。如果不然。则? 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤ 对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <， 令 2 2 1'r r r += 显然 2 ' 1 r r r << ? A r ∈'，B r ∈' ， 这与B A |是R 的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。 2．单调有界定理→确界定理 证明：已知实数集A 非空。?A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知?b 是A 的上界，记1a =a ， 1b =b ，用1a ，1b 的中点 2 1 1b a +二等分[1a ，1b ]，如果 21 1b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b = 2 1 1b a +；如果 211b a +A ∈，则取2a = 21 1b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便 得两串序列}{n a }{n b 。其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下 界（例如1a ）并且n n a b -=21 1a b -)(∞→n 。由单调有界定理，知?r ，使∞→n lim n a = r 。由∞→n lim （n n a b -）=0 有∞ →n lim n a +（n n a b -）= r }{n b 是A 的上界，∴A x ∈?，有≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r 是A 的上界。 而,0>?ε 由∞→n lim n a = r 知，a r N ，n N ，n εε-?>?有当知,0 从而X ，a r A ，X n ε-∈?使 ∴r=supA 。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。 3．单调有界定理→区间套定理 证明：已知n a ≤1+n a （?n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n lim n a = r ， 同理可知{n b }存在极限，设∞ →n lim n b =r ' ，由∞→n lim （n n a b -）=0得r r '-=0即r r '= ?n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴?n ，有n a ≤r ≤n b 。 唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。 三．用确界定理证明其它定理 确界定理→实数基本定理 证明：对给定R 的一个分划A|B ，由于B b ∈?，b 是集合A 的上界，由确 界定理可得，集合A 有上确界r ，即r a A a ≤∈?有。 r 是集合A 的上确界，∴r 是集合A 的全体上界的最小数。 B b ∈?，有r b ≤。 唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。 确界定理→单调有界定理 证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得，?r ，使r=sup }{n x 。 r x n n ≤?∴有,，并且εε-??r x ，x ，N N 有0 r x x r N n n N ≤≤≤-?∴ε有, ，即ε ||r x n - ∴ ∞ →n lim n x = r 。 单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。定理证完。 确界定理→区间套定理 证明：由[1+n a ，1+n b ] ?[n a ，n b ]，知}{n a 是单调上升有上界的实数列，}{n b 是单调下降有下界的数列。且1b 是n a 的上界，1a 是n b 的下界。设∞ →n lim n a = r ， ∞ →n lim n b =r '，由确界定理对的证明知 r=sup }{n a ，r '=inf }{n b 。由∞→n lim （n n a b -）=0得r r '-=0即r r '== sup }{n a =inf }{n b ∴?n ，有n a ≤r ≤n b 。 唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。 确界定理→有限覆盖定理 证明：设E 是闭区间[b a ，]的一个覆盖。 定义数集A={a x ≥|区间[x a ，]在E 中存在有限子覆盖} 从区间的左端点a x =开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数集A 的定义可见,若∈x A,则整个区间[x a ，]?A. ∴若A 无上界,则b ∈A,那么[b a ，]在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界, 由确界定理可得?r,使r=supA 。 ∴r x ?，都有∈x A 。事实上，,0)( x r -?,y ?使得x x r r y =--)( 。 [y a ，]在E 中存在有限子覆盖，∴[x a ，]?[y a ，]在E 中存在有限子覆盖 下证b α E 覆盖r 。0a ?，0b ∈αE ，使0a 0b r 。 由上面论证知0a ∈A ，也即区间[0a a ，]在E 中存在有限子覆盖，向这个有 限子覆盖再加上开区间αE ， 即成为[b a ，]的覆盖。∴0b ∈ A ，与r=supA 矛盾。定理证完。 5．确界定理→紧致性定理 证明：设数列}{n x 是有界数列。定义数集A={x |}{n x 中大于x 的点有无穷多个} }{n x 有界 ∴A 有上界且非空。由确界定理可得?r,使r=supA 。 则0 ε?，有ε -r 不是A 的上界。 ∴}{n x 中大于ε-r 的项有无穷多个。 ε+r 是A 的上界 ∴}{n x 中大于ε+r 的项只有有限个。 ∴ 在（ε-r ，ε+r ）中有}{n x 的无穷多项，即,0>?ε ?n ，N n ?，使n x ∈ （ε-r ，ε+r ） 对1=ε，1n ?，使 1n x ∈（1-r ，1+r ），即|1n x -r|1 取21 = ε，12n n ?，有|2n x -r| 2 1 ，……如此继续下去， 取k 1 = ε，1 -?k k n n ，有| k n x -r| k 1 ，由此得到}{n x 的子数列 } {k n x ，当∞ →k 时， r x k n - ∴}{n x 存在收敛子数列。定理证完 四．用区间套定理证明其它定理 1．区间套定理→实数基本定理 证明：对给定R 的一个分划A|B ，任取A a ∈1，B b ∈1，用1a ， 1b 的中点2 1 1b a +二等分[1a ，1b ]，如果 21 1b a +B ∈，则取[2a ，2 b ]=[1a ， 2 1 1b a +]； 如果 21 1b a +A ∈，则取[2a ，2 b ]=[ 2 1 1b a +，1b ]；……如此继续下去，便得区 间套[n a ，n b ]。 其中，?n ，n a A ∈，n b B ∈。由区间套定理可得，?唯一的 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r ， 使∞→n lim n a =∞ →n lim n b = r 。 由分划定义可知，n b a A a 有∈?，令∞→n ，有 a ≤r ，B b ∈?， b a n ≤有有r b ≤， 满足b r a ≤≤的r 是唯一的。证明同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。 2．区间套定理→单调有界定理 证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。b 是它的一个上界，令1a =1x -1，二等分[1a ，1b ]，其中必有一区间含}{n x 的无穷多项，记其为[2a ，2b ]，二等分[2a ，2b ]，……如此继续下去，便得区间套[n a ，n b ]，满足n ?，[n a ，n b ]含}{n x 的无穷多项。由区间套定理可得，?唯一的 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r ，使∞→n lim n a =∞ →n lim n b = r 。则 对,0>?ε ?n ，N n ?，有ε -r n n b a ≤ε +r 。 取N n 0，[0 n a ，0 n b ]含}{n x 的无穷多项，则?M ，使M x ∈[0 n a ，0 n b ]。 当m M 时，有m x ∈[0 n a ，0 n b ]。如果不然，?M m 1 ，有0 n b <1 m x ，则在[0 n a ， n b ]中最多只有}{n x 的前1 m 项，与 [0 n a ，0 n b ]的构造矛盾。从而当m M 时，有 ε-r 00n m n b x a ≤≤ε +r ，即|m x -r| ε。∴∞→n lim M x =r ，即∞→n lim n x =r 。定理证完。 3.区间套定理→确界定理 证明：由数集A 非空，知?A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知?b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ， b ]，用1a ，1b 的中点 2 1 1b a +二等分[1a ，1b ]，如果2 1 1b a +是A 的上界，则取 [2a ，2b ]=[1a ，2 1 1b a +]；如果 2 1 1b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2 1 1b a +，1b ]； 用2a ，2b 的中点 2 2 2b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[n a ，n b ]。 其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。由区间套定理可得， ?唯一的 ∞ =∈1] ,[n n n b a r ， 使∞→n lim n a =∞ →n lim n b = r 。A x ∈?，由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r 是A 的上界。 而,0>?ε 由∞→n lim n a = r 知， a r N ，n N ，n εε -?>?有当知,0 从而X ，a r A ，X n ε-∈?使 ∴r=supA 。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。 4．区间套定理→有限覆盖定理 证明：用反证法。设E 是闭区间[b a ，]的一个覆盖。设[b a ，]没有E 的有限子覆盖，记[b a ，]=[1a ，1b ]，二等分[1a ，1b ]，其中必有一区间没有E 的有限子覆盖，记其为[2a ，2b ]，二等分[2a ，2b ]，……如此继续下去，便得区间套{[n a ， n b ]}，满足n ?，[n a ，n b ]没有E 的有限子覆盖。由区间套定理可得，?唯一的 ∞=∈1 ] ,[n n n b a r ，使∞→n lim n a =∞→n lim n b = r 。 由E 是[b a ，]的覆盖，知∈?),(βαE ，使 αr β 根据极限不等式，1 N ?，当 n 1N ，有 αn a ， 2 N ? ，当 n 2 N ，有 β n b 。 取N=max （1 N ，2 N ），当 n N ，有 αn a ， βn b 。又≤≤r a n n b （?n ）， ∴ 当 n N ，有[n a ，n b ]),(βα?，与[n a ，n b ]没有E 的有限子覆盖矛盾。 故[b a ，]在E 中存在有限子覆盖。定理证完。 5．区间套定理→紧致性定理 证明：已知b a ，?，使b x a n ≤≤。设[b a ，]没有E 的有限子覆盖，记 [b a ，]=[1a ，1b ]，二等分[1a ，1b ]，其中必有一区间含}{n x 的无穷多项，记其为[2a ，2b ]，二等分[2a ，2b ]，……如此继续下去，便得区间套[n a ，n b ]，满足n ?，[ n a ， n b ]含}{n x 的无穷多项。由区间套定理可得，?唯一的 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r ，使 ∞ →n lim n a =∞ →n lim n b = r 。 因此1 n ?，使1-r 11n n b r a ≤≤1 +r 。 这时存在 ∈1n x [ 1 n a ，1 n b ]，归纳地，1 k ?，k n ?，使 k r 1- k k n n b r a ≤≤k r 1 + 由[k k n n b a ,]含}{n x 的无穷多项，知?k n x ∈[k k n n b a ,]，1 -k k n n ，由k n k n n n b x a ≤≤， 令∞→k ，∞ →n lim r x k n =。∴}{n x 存在收敛子数列。定理证完 五．用有限覆盖定理证明其它定理 1．有限覆盖定理→区间套定理 证明：用反证法。如果不然，设存在{[n a ，n b ]}，有? =∞ = 1 ],[n n n b a 。记开区 间) ,(n n βα =（ n a a ，11-），) ','(n n βα =（11+b b n ，），即),(n n βα ) ','(n n βα?= （，11-a 11+b ）\[n a ，n b ]。这时E={) ,(n n βα ，) ','(n n βα ，n=1，2，……}构成了[1a ， 1b ]的覆盖。由有限覆盖定理，存在 N ，使得) ,(1 n n N n βα? =? ?)','(n n βα[， 1a 1b ]，这就推出，当 n N 时，[n a ，n b ]是空集，这是不可能的。矛盾，故有? ≠∞ = 1 ],[n n n b a ， 即存在r 使 ∞ =∈1] ,[n n n b a r 。 唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。 2．有限覆盖定理→紧致性定理 证明：设n ?，有 b x a n ≤≤。 先证0x ?∈[b a ，]， ,0>?δ,(δ-0 x , δ +0x )中必含有n x 的无限项。 如果不然。x ?∈[b a ，]，x δ?0 ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。 记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。 由有限覆盖定理，知?E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (n n x δ-,n n x δ+)， {i i x δ-,i i x δ+}均只含}{n x 的有限项。与n ?，有 b x a n ≤≤矛盾。 ∴结论成立。 特别地，取k δ=k 1 ，则?k n x ∈（0x -k 1 ，0x +k 1 ），而且1 -k k n n ，则 } {k n x 为} {n x 的子数列且收敛于0x 。定理证完 六．用紧致性定理证明其它定理 1．紧致性定理→单调有界定理 证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。 }{n x 有界，由紧致性定理可得， ?}{n x 的子数列}{k n x 且收敛于r 。即0 ε ?，K ?，当K k 时，有| k n x -r|ε ， 即ε -r k n x ε +r ， N ?=1+K n ，N n ?，有≥n x 1+K n x ε-r 。 k n ∞ → ，N n ?，?'k n n ，从而 n x 'k n x ε +r ，即| n x -r|ε 。 ∴0 ε ?，N ?=1+K n ，当1+K n n ，有|n x -r|ε ，∴∞→n lim n x =r 。定理证完。 2．紧致性定理→柯西收敛定理 证明：必要性。已知}{n x 收敛，即R r ∈?，∞→n lim n x =r ，即0 ε?，N ?，当N n ， 有| n x -r| 2 ε 。 因此，只要N n ，N m ，有|n x -m x |=|n x -r+r-m x |≤|n x -r|+|r-m x |ε 。 充分性。先证}{n x 有界。对1=ε ，N ?，当N n ，N m ，有|n x -m x |1 。 取定0n =N+1，则只要N n ，有|n x -0 n x |1 ，从而|n x |=|n x -0 n x +0 n x |1 +|0 n x |， 令M=max （|1x |，……，| N x |，1+| n x |），则| n x | M （n ?）。 下证}{n x 有极限存在。 }{n x 有界，由紧致性定理可得，?}{n x 的子数列}{k n x 且收敛于r 。 即0 ε ?，K ?，当K k 时，有| k n x -r| 2 ε 。 另外，1N ?，当1N n ，1N m ，有|n x -m x | 2 ε 。 取N=max （1+K n ，1N ），则只要N n ，取 N k 0，则| n x -r|=| n x -0k x +0 k x -r|= |n x -0 k x |+|0k x -r|ε 。∴∞→n lim n x =r 。定理证完。 七．用柯西收敛定理证明其它定理 1．柯西收敛定理→单调有界定理 证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。用反证法和柯西收敛定理。若}{n x 不存在极限。则 0 ε?，N ?，?N n ，有 n x -N x =|n x -N x |ε 。 依次取1N =1，1n ? 1N ，使1n x -1x 0 ε≥， 2N =1n ，12n n ?，使2 n x - 1n x 0 ε≥， ……，k N =1-k n ， k n ?k N ，使 k n x - 1-k n x 0 ε≥。 把它们相加，得到 k n x -1x 0εk ≥ ∴G ?， 1 εx G k -? ，有 G x k n ，与}{n x 有 界矛盾，故}{n x 必有极限。定理证完。 2．柯西收敛定理→紧致性定理 证明：设数集A 非空有上界， 1b 是A 的上界，1a 不是A 的上界， 1a 1b ， 用1a ，1b 的中点21 1b a +二等分[1a ，1b ]，如果2 1 1b a +是A 的上界，则取[2a ， 2b ]=[1a ，2 1 1b a +]；如果 2 1 1b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2 1 1b a +，1b ]；用2a ，2b 的 中点 2 2 2b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，得数列{ n a }，{n b }满足n ?， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界且∞→n lim （n n a b -）=0。 下证{ n a }是柯西列。 ∞→n lim （n n a b -）=0，即0 ε ?，N ?，当N n ，有 |n n a b -|ε 。 又n a ≤1+n a ≤1+n b ≤n b ，从而+ ∈?Z p ，|-+p n a n a |≤（n n a b -）ε ，故{ n a } 是柯西列从而收敛，设∞→n lim n a =r 。 最后证r=supA 。n ?， n a 不是A 的上界，∴?a ∈A,使a a n 。由∞→n lim n a =r ， 则0 ε ?，N ?，当N n ，有r a a r n ε-。∴0 ε ?，N ?，当N n ，有 r a r ε-，故r=supA 。 定理证完。 下证r是唯一的。即?唯一的r，使n ?，n a≤r≤n b。如果不然，若有r r',满 足 ∞ = ∈ 1 ] , [ n n n b a r ， ∞ = ∈ ' 1 ] , [ n n n b a r ，则) (0 | |∞ → → - ≤ ' -n a b r r n n，故r r' =。即这样的 r是唯一的。 定理证完。 （三）证明过程中的几点发现 黑格尔曾说：“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构的。通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质。假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。在实数基本定理的等价证明之中，我们深深体会到这一点。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。而这些都是值得我们去注意与发现。以下谈谈在证明过程中的几点发现。 一.不同的定理对同一个定理证明方法的联系 1．单调有界定理与区间套定理对其它各定理的证明 从闭区间套的定义中，我们可以清楚地看出，闭区间套的左右端点分别形成两个数列，其中左端点的数列{n a}单调增加，以每个n b为上界，而右端点所成的数列{n b}单调下降，以每个n a为下界。正因为如此，我们用单调有界原理证明 了区间套定理。[具体证明见（一）] 在用单调有界定理与区间套定理证明同一定理的过程中，可以看到，要用单调有界定理证明，就需要找出两个单调性相反、并将收敛于同一极限的数列。自然地，也就已经形成了闭区间套。 如在证明实数基本定理中，找到一单调上升数列{n a}A ∈，单调下降数列{n b}B ∈， 在证明确界定理中，找到一单调上升数列{n a}不是数集的上界， 一单调下降数列{n b}是数集的上界； 若要用单调有界定理证明有限覆盖定理，紧致性定理，也可以用二分法构造区间套的方法和反证法。找到一单调上升数列{n a}，一单调下降数列{n b}，使得在每个[n a，n b]区间上具备某种性质，从而推出矛盾。 从用单调有界定理证明实数基本定理和确界定理的过程，本质上是通过区间套去实现的，而与区间套定理相联系的，有构造闭区间套的方法，从而在应用中往往比单调有界定理强得多。 2．⑴区间套定理与紧致性定理对柯西收敛定理的证明 由于紧致性定理是由区间套定理推导证明出来的，如同单调有界定理由区间套定理证明一样，若要用区间套定理证明柯西收敛定理，先用二分法构造区间套，找出柯西列的一收敛子数列（其实是在重复区间套定理证明紧致性定理的过程），再证子数列的极限就是该柯西列的极限。 ⑵同样地，由于紧致性定理可由确界定理推出，定义数集A 后推出柯西列存在一收敛子列，再证柯西收敛定理的结论。 3．对于要证的定理，根据它受制约的条件和所具备的条件去考虑证明方法。 如要证确界定理，无论是用实数基本定理，单调有界定理，区间套定理，还是柯西收敛定理，都需要找出两组数列{n a }， {n b }，{n a }单调上升而不是数集的上界，{n b }单调下降是数集的上界。用以上的四个定理时，最终都是要找出一个点，使它是数集的上确界。 如要证紧敛性定理，无论是确界定理从正面推，还是区间套定理和有限覆盖定理从反面证，都需要用到数列}{n x 有无穷多项这个条件。 二．同一定理对另一定理的证明 要证一个定理，即使用同一个基本定理，也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成“单调有界定理→紧致性定理”和“区间套定理→柯西收敛定理”。 ⑴单调有界定理→紧致性定理 证法一：由上一部分的论述，我们知道，用单调有界定理证明紧致性定理，可以用二分法，本质上用区间套去证明紧致性定理。 证法二：首先证明有界数列{n a }有单调子数列。 称其中的项n a 有性质M ，若对每个n i ，都有i n a a ≥，也就是说，n a 是集合{i a |n i }的最大数。 分两种情形讨论： ①数列{n a }有无穷多项具有性质M ，将它们按下标的顺序排列，记为1 n a ， 2 n a ……k n a ，满足 1n 2n …… k n ……，那么我们就已经得到一个单调下降的 子列{k n a }。 ②数列{n a }只有有穷多项具有性质M ，那么N ?，当N n ，有n a 不具有性质M ，即n i ? ，有i n a a ，从中任取一项记为1 n a ，因为它不具有性质M ， ∴ 12n n ?，使 1n a 2n a ，……，如此继续下去，我们得到一子列{k n a }单调上升， ∴ 有界数列{n a }必有单调子数列，由单调有界定理，可得{k n a }存在极限。 ⑵区间套定理→柯西收敛定理 证法一：见上一部分的论述，即（二）.一.2⑴，用二分法。 证法二：基本列}{n x 有界（见紧致性定理→柯西收敛定理） ∴,1a ?1b ，使n ?，有 1 1b x a n ≤≤，将区间[1a ，1b ]三等分，令 2 21 11b a c += ， 2 21 12b a c += ，得到三个长度相同的子区间[1a ，1c ]，[1c ，2c ]，[2c ，1b ]，分别 记为1J ，2J ，3 J ，根据它们在实数轴上的左中右位置和基本列定义，1J ， 3 J ， 至少有一区间只含有数列}{n x 的有限多项。如果不然，在1J ，3 J 均有数列的无 限多项，那么 3 0a b -= ?ε，取 ∈n x 1J ，∈m x 3 J ，n ，m 可以任意大，满足 |n x -m x | 3 0a b -= ≥ε，与基本列定义矛盾，∴结论成立。 ∴可以从[1a ，1b ]中去掉只含有}{n x 中有限多项的区间1J 或 3 J ，将得到区间 [2a ，2b ]，重复这个过程，得到区间套{[n a ，n b ]}，该区间套具有以下两个性质： 闭区间套中的每个区间的长度是前一个区间长度的32 。 每一个[n a ，n b ]中含有数列}{n x 从某项后的所有项。 由①所得，?唯一的实数r ，使∞→n lim n a =∞ →n lim n b = r 。 ∵0 ε ?，N ?使得[N a ，N b ]?（ε -r ，ε+r ）， 由②可得N ?，当n ＞N ，有|n x -r|ε ，∴∞→n lim n x =r 。定理证完。 两种证法分别采用的是区间套的两种构造方法： 二分法具有1+n b -1+n a =2n n a b -，这就保证了点r 唯一，而对有界数列}{n x ，更 构造了每个闭区间含有数列}{n x 的无限多项；而三分法，不仅具有 1+n b -1+n a =3) (2n n a b -，也保证了点r 唯一，更是用到了基本列的性质，使每个闭 区间包含从某项起的所有项。 用同一种方法证明同一个定理，还可能有不同的细节 ⑴如在用单调有界定理证明实数基本定理，当证完∞→n lim n a =∞→n lim n b =r 要证?a ∈A ，B b ∈?有b r a ≤≤，按照前面的证法，是： ? a ∈A ，有a B b ∈?，有n a < b （n=1，2，……）， 令∞→n ，知 r < b ∴b r a ≤≤ 还可以用另一种证法证明：?a ∈A ，B b ∈?有b r a ≤≤，这等价于证明： ?a ，b 满足a lim n a =r ，知0n ?，使0 n a a ∈ A ，故a ∈A ，而对?r b ，由n b =n a +2n n a b -，知∞ →n lim n b =r ∴n ?，使得B b b n ∈1 ，从而B b ∈ ⑵如在证区间套定理过程中，当证完∞→n lim n a =∞→n lim n b ，即r r '=， 要证n ?， n a ≤r ≤n b ，用单调有界定理（二.3）证明过程中是用到极限不等 式。而用确界定理（三.3）在证明过程中，则是由确界定理对单调有界定理证明的一个结论。得出∞→n lim n a = sup }{n a ，∞ →n lim n b =inf }{n b ，再由确界定义去证明。 三．定理作为工具运用的特点 1．确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确界之后的数不可能具备该性质。 2．区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区间推到第三个区间……。如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。 3．紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。 4．有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾。 5．柯西收敛定理：完全人数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的 进步。 四．在证明过程中发现的结论 1．从用有限覆盖定理证明紧致性定理和用确界定理证明紧致性定理中，我们都证明了一个结论：若0x ?∈[b a ，]， ,0>?δ,(δ-0 x , δ +0x )中必含有n x 的无 限多项，则存在 } {k n x 为}{n x 的子数列且收敛于0x 。而我们发现，其实这是一个 充分必要条件。 将其推广到数集上，我们正是得到数集聚点的两个等价定义，即 设S 是数集，C 是一定数，,0>?δ， (δ-c ,δ+c )包含S 的无限多个点， 则称C 为S 的一个聚点。 ? ②? 数列}{n x 且n x 互不相同，使 ∞ →n lim n x =c ， 用类似证数列的方法即可证明。 证明（①?②）由已知可得 ,0>?δ (δ-c ,δ+c )内包含有一个异于C 的点，记为x , 取1δ=1，取得 x =1x 取 2δ=min （|1x -c|，21），取得x =2x ……，如此继续下去。 取k δ=min （|1-k x -c|，k 1），取得x =k x ，得到一数列}{n x ?S ，且n x 互不相同， n δ|n x -c| n 1 ，∴，得令∞→n ， ∞ →n lim n x = r （②?①）∵ ∞ →n lim n x = r ∴,0>?δN ?，只要n ＞N ，有n x -c|δ ，即 (δ-c ,δ+c )内包含n x 的无限多项。∵n x ?S ，即包含S 的无限多个点。 用类似证紧致性定理的方法也便可证以下的不斯特拉斯聚点定理。 聚点定理：直线上的有界无限点集S 至少有一个聚点。 证明：∵ S 有界，∴ ?M 0 ，使S ?[-M ，M]，记1a =-M ，1b =M ，二等分[1a ，1b ]，则必有一区间包含S 的无限多个点，记该区间为[2a ，2b ]，…… 如此继续下去，我们得到一区间套{[n a ，n b ]}，每个区间[n a ，n b ]内含有S 的无限多个点，由区间套定理，得?唯一的 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r ，使∞→n lim n a =∞ →n lim n b = c 。 ∴,0>?δN ?，当n ＞N ，使δ-c n n b c a ≤≤δ+c ∵ [n a ，n b ]内含有S 的无限多个点，∵[n a ，n b ]?(δ-c ,δ+c )， ∴ (δ-c ,δ+c )包含S 的无限多个点，∴ C 是S 的一个聚点。定理证完。 可见，紧致性定理是聚点定理的推论。 2．由单调有界定理证明紧致性定理的第二种证法，我们可以得出结论：任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。事实上，对无界数列}{n x ，0 M ?，n ?，有|n x |M 。 取M=1，1n ?，使|1 n x |1 ，取M=max （|1x |，……，| 1 n x |，2），2n ?，使 | 2n x |2 ……。如此继续下去，得到数列{k n x }k ，且k ?，|k x | |1-k x | 在（∞-，0）和（0，∞+）上至少有一个区间存在{ k n x }的无穷多项，若在 （0，∞+）上，将属于（∞-，0）的项除去，便得一单调上升的子列。 同理，若在（∞-，0）上，便可得一下降的子列。 这个结论虽然与实数系无关，但将它用于有界数列，再利用单调有界定理，就可以得到紧致性定理。 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1.1确界存在定理的证明 (1) 1.2 确界存在定理证明单调有界定理 (3) 1.3单调有界定理证明区间套定理 (3) 1.4 区间套定理证明有限覆盖定理 (4) 1.5有限覆盖定理证明聚点定理 (4) 1.6聚点定理证明致密性定理 (5) 1.7致密性定理证明柯西收敛准则 (5) 1.8柯西收敛准则证明确界存在定理 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7) 关于实数完备性相关定理等价性的研究 数学与应用数学专业学生xxx 指导教师 xxx 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。 关键词：实数集完备性基本定理等价性证明 Research about the equivalence theorems of completeness of real numbers Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics .Bing Liu Tutor Shixia Luan Abstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about completeness of the set of real numbers，which are existence theorem of supremum, monotone defined management,interval sequence theorem,Bolzano-Weierstrass theorem, convergence point theorem,Heine-Borel theorem and Cauchy convergence rule are Equivalent. This paper is to discuss the proof of the equivalence of the seven theorems. Here we first Prove the existence theorem of supremum, then prove the other correlative theorems based of existence theorem of supremum and form a ideal proof “loop”. Key words: set of real numbers，completeness，fundamental theorem，equivalence，proof. 引言： 我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。 1实数完备性相关定理的论证 1.1确界存在定理的证明 一.七大定理循环证明: 1.单调有界定理→区间套定理 证明：已知n a ≤1+n a （?n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞ →n lim n a = r ， 同理可知{n b }存在极限，设∞ →n lim n b =r ' ，由∞ →n lim （n n a b -）=0得r r '-=0 即r r '= ?n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴?n ，有n a ≤r ≤n b 。 下面证明唯一性。 用反证法。如果不然。则? 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤ 对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <， 令 2 2 1'r r r += 显然 2 '1r r r << ? A r ∈'， B r ∈'， 这与B A |是R 的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。 2.区间套定理→确界定理 证明：由数集A 非空，知?A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知 ?b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ， b ]，用1a ，1b 的中点2 1 1b a +二等分[1 a ，1 b ]，如果2 11 b a +是A 的上界， 则取[2a ，2 b ]=[1 a ，2 11 b a +]；如果2 11 b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2 1 1b a +，1 b ]；用2 a ，2 b 的中点2 22 b a +二等分[2a ，2 b ]……如此继 续下去，便得区间套[n a ，n b ]。其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。由区间套定理可得，?唯一的 ∞ =∈1],[n n n b a r ， 使∞ →n l i m n a =∞ →n lim n b = r 。A x ∈?， 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . . .. . 实数完备性定理的证明及应用 学生：xxx 学号： 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实 第七章实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或 (,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. ο 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； ο 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； ο 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. ο 4 由ο 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c . E x ∈?,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =. 第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ; 对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时, . 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 实数完备性定理的证明及应用 学生姓名：xxx 学号：072 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质. 1. 基本定义[1] 关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY V o l.38 No.24 D ecem.,2008 教学园地 实数系基本定理等价性的完全互证 刘利刚(浙江大学数学系,浙江杭州 310027) 摘要: 综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词: 实数系;连续性;等价;极限收稿日期:2005-06-10 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[1-2].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从. 我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: 1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界. 2)递增(减)有界数列必有极限(pp.34). 3)闭区间套定理(pp.41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1 I 2 … I n …,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞ n =1 I n 必不空且为单点集. 4)Bo lzano -Weierstrass 定理(pp.44):有界数列必有收敛子列. 5)Cauchy 收敛准则(pp.299):数列{x n }收敛 {x n }是基本数列. 6)有限开覆盖定理(pp.308):若开区间族{O }覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O }中 必可挑出有限个开区间O 1,O 2,…,O n 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] O 1∪O 2∪…∪O n . 在证明之前,我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么,只要概念清楚了,并且理解其方法,证明并不难. 定理1)～5)属于同一类型,它们都指出,在某一条件下,便有某种“点”存在,这种点分别是确界(点)(定理1)),极限点(定理2)5)),公共点(定理3)),子列的极限点(定理4)).定理 数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 (6学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++?=L （2）lim()0n n n b a →∞ -= 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得 [,],1,2,n n a b n ξ∈=L ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 证: 先证存在性 Q {[,]}n n a b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤L L L ∴可设 lim n n a ξ→∞ = 且由条件2有 lim lim()lim n n n n n n n n b b a b a ξ→∞ →∞ →∞ =-+== 由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 再证唯一性 设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'≤≤=L 那么,,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-=L 由区间套的条件2得 lim()0n n n b a ξξ→∞ '-≤-=故有ξξ'= 推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈=L 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当 n N >时有 [,](,)n n a b U ξε? 柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 本科毕业论文 题目浅谈实数的完备性 专业信息与计算科学 作者姓名唐星星 学号2013201334 单位数学科学学院 指导教师张冬梅 2017 年 5 月 教务处编 原创性声明 本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名：日期： 指导教师签名:日期： 目录 摘要 (3) Abstract (4) 前言 (1) 1．实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位 (2) 2. 实数集的完备性 (2) 3．实数六个基本定理的描述和证明 (2) 3．1闭区间套定 (2) 3．2．确界的叙述 (3) 3．3有限开覆盖 (5) 定理3（有限覆盖定理） (6) 聚点的定义 (7) 定理4（聚点定理） (7) 3．5致密性定理 (8) 3．6柯西收敛准则 (8) 3．7单调有界定理 (9) 4．实数循环定理的证明 (10) 4．1确界定理?闭区间套定理 (10) 4．2区间套定理?有限覆盖定理 (10) 4．3有限覆盖定理?聚点定理 (11) 4．4聚点定理?致密性定理 (11) 4．5致密性定理?柯西收敛准则 (11) 4．7单调有界?确界定理 (12) 5.实数的完备性的发展状况 (12) 6．实数完备性定理过程中的一些注示 (13) 6．1关于实数完备性定理的循环证明过程 (13) 6．2关于实数完备性定理的起点 (13) 参考文献 (16) 致谢 (17) 第五讲实数的完备性 I 基本概念与主要结果 实数空间 1 无理数的定义 人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 义.事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上 的点 对应起来，充满全数轴，必须用别的方法. 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数. 一个无限不循环小数 x ，取其n 位小数的不足近似值 a n 与过剩近似值 久，a n 与P n 均 为有理数，且P n -叫0 （ n T 处），x j 比，（\】.可见以无限不循环小数定义 10n 无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定 理，即承认它是正确的. 历史上引进无理数的传统方法有两种： 理数列的基本序列法. 戴德金分割法具有很强的直观性， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段， 果折断处是有理点，那么它不在左子集， 最大数或B 的最小数.如果 A 中没有最大数， 的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的， 系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社， 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近 毕达哥拉斯（公元前约 580~约500）:古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300门徒组织了一个 “联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理，并把数的概 念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数 戴德金（ Dedekind ）分割法和康托（Cantor ）的有 其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置, 那么全体有理数被分为左、右两个子集 就在右子集，这样分割就确定了一个有理数， A,B .如 即A 的 B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 可定义其四则运算（可参见北京大学数学 1986 年）. 1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。 3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点 ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。 4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。 5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛?对任给的正数ε ，总存在某一个自然数N ，使得 N n m >?,时，都有ε<-||n m a a 。 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记 a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N 时有a - ε < a N ≤ a n . 另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有 a - ε < a n < a + ε, 这就证得 a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）?ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］?［ａｎ，ｂｎ］； ２） ｂｎ－ａｎ ＝ 我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，?） 存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ 毕业论文文献综述 数学与应用数学 实数完备性定理相互论证及应用 牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理。 一、国内外研究的历史发展 自从毕达哥拉斯学派在公元前5世纪发现无理数以来，人们对无理数的认识经历了难以想象的历史长河，直到19世纪中叶，人类的全部智慧仅停留在有理数与个别无理数的认识阶段.19世纪后半叶，柯西与魏尔斯特拉斯建立极限理论为微积分奠定了基础，而极限理论却又是建立在实数连续性的假设之上的.为使微积分的基础更牢固，建立系统的实数理论成为数学科学发展的关键.建立实数理论的难点是给无理数下定义. 历史有时真巧合，实数的三大派理论：戴德金的“分割”、康托尔的“基本序列”、魏尔斯特拉斯的“单调有界序列”是同一年（1872年）在德国出现的.以下分别给予简单的介绍. 戴德金借助几何直观，通过以他名字命名的分割技术对有理数进行分割，巧妙而又严密的给出无理数的定义.大意如下：把有理数集Q分成与两个子集，使其满足下列三个条件： （1）； （2）中的任何一数小于中的任一数； （3）中无最大数. 称上述分解为有理数的一个戴德金分割，并记做.凡是中有最小数的分割称为第一类分割，这类分割的界数（即从有理数范围内来考虑，与之间所缺乏的数）称为无理数；有理数和无理数统称为实数.戴德金同时证明对实数作同样的分割不产生新的数.这就是实数的完备性或连续性（可用利刀切洒上金粉的细线来解释有理数的非完备性及实数的完备性）.现在人们把实数轴作为实数的几何模型，即实数与实数轴上的点一一对应，这是基于实数的连续性与直线连续性的统一。 一、问题提出 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的 还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆 盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 下面来完成(1)～(7)的证明． 二、等价命题证明 (1)（用确界定理证明单调有界定理） (2)（用单调有界定理证明区间套定理） (3)（用区间套定理证明确界原理） *(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理） *(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理） *(6)（用聚点定理证明柯西准则） *(7)（用柯西准则证明单调有界定理） (1)（用确界定理证明单调有界定理） 〔证毕〕 (返回) (2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套． §2 实数完备性的基本定理 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。实数基本定理是 建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。 2.1 实数基本定理的陈述 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。 区间套还可表达为 , 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。 例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 2 1 , ) 1 (1 [ {n n n +-+ 、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 1 1 , 1 [ {+-都不是。 推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>?ε, ,N ? 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e ì。 推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有 n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。 根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。 据此，令12ε= ，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ? ?-+??? ?上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。 再令212ε= ，则存在()21N N >，在222211,22N N a a ??-+??? ?上含有{}n a 中除有限项外几乎所有项。记[]22,αβ=222211,22N N a a ? ?-+?????[]11,αβφ≠，它也含有{}n a 中 有限项外几乎所有的项，且[]22,αβ?[]11,αβ和11 221 22 βαβα--≤=。照以上的方法，依次令34111,,,,222 n ε= ，得一闭区间列[]{},n n αβ，它的每个区间都含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件 [][]()11,,,2,3,,n n n n n αβαβ--?= ()1 1 02 n n n n βα--≤ →→∞ 从而由区间套定理知，存在唯一一个数[](),1,2,n n a b n ?∈= ，现在证明这个?就是数列{}n a 的极限。因为对任给0ε>，由定理2.1推论知存在自然数N ，当n N >时，便有 [](),,n n a b U ?ε?。 因此在(),U ?ε内就含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，这就证得lim n n a ?→∞ =。 5. Weierstrass 聚点原理 实数完备性定理的证明及其应用 实数完备性定理的证明及其应用 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解. 关键词：完备性；区间套；连续性 Completeness of the system of real numbers and applications Abstract : Completeness of the set of real numbers is its basic character , and it is stable background of calculus .It can be described and depicted in different anles , so there are considerable fundamental theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it , and makes us acquire more recongnition and understanding . Key Words: Completeness ; Interval;Continuity 引言 众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关，如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不 一定存在极限.例如，单调有界的有理数列 1 1 n n ?? + ? ?? 就不存在极限，因为它的极 限是e，是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论 实数完备性定理的等价性证明及其应用 实数理论是数学分析的基础理论之一，微分学、积分学理论的建立与发展都以实数理论为基础． 在实数系内，作为公理，确界原理成立．确界原理描述了实数集的连续性，单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则，与确界原理之间是等价的．六个定理在数学形式上不同，但是它们都是描述了实数集的连续性．它们之间的等价性称为实数完备性定理的等价性． 本文给出实数完备性6个定理的另一种循环证明及部分应用．为学生学习这部分内容提供帮助． 1 预备知识 实数完备性其本定理 定理1(确界原理)[1](7)P 设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 定理2(柯西收敛准则) [1](38) P 数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0ε>，存在正整数N ， 使得当,n m N >时有||n m a a ε-<． 定理3(单调有界定理) [1](35) P 在实数系中，有界的单调数列必有极限． 定理4(有限覆盖定理)[1](165)P 设H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b ． 定理5(聚点定理) [1](164) P 实轴上的任何有界无限点集S 至少有一个聚点． 定理6(区间套定理) [1](161) P 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使 得[,],1,2,n n a b n ξ∈=L 即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ． 2 实数完备性定理的等价性证明 2.1 用确界定理证明柯西收敛准则 证明 设{}n a 是柯西数列，即0ε?>，?正整数N ， ,n m N ?>，有||n m a a ε-<．取1m N =+，1ε=，因此11||||||1n N n N a a a a ++-≤-<，故而1||||1n N a a +<+． 设121max{||,||,,||,||1}N N M a a a a +=+L 可见||n a M <，即{}n a 必有界，由确界定理知 inf{}n a 存在，记为a ． 1）若min{}n a a ≠，则0ε?>，N ?，使N a a a ε<<+．关于实数完备性相关定理等价性的研究
实数完备性证明
实数的完备性
实数完备性定理的证明及应用
第七章 实数完备性
第七章 实数的完备性
实数完备性定理的证明及应用
实数完备性基本定理相互证明
实数系基本定理等价性的完全互证
数学分析之实数的完备性
第七章 实数的完备性
浅谈实数的完备性
第5讲实数的完备性
实数完备性的六大基本定理的相互证明 共 个
实数完备性定理相互论证及应用【文献综述】
实数完备性的等价命题及证明
§2 实数完备性的基本定理
实数完备性定理的证明及其应用电子教案
实数完备性定理的等价性证明及其应用
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