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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222
a b c ab bc ca ++=++，
则ABC ?的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2
2
2
2
2
2
222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++
222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有
b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2
2
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(2
2
ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2
222c b ab a -+- 解：原式=2
2
2
)2(c b ab a -+- =2
2
)(c b a -- =))((c b a c b a +---
练习：分解因式3、y y x x 392
2
--- 4、yz z y x 22
2
2
---
综合练习：（1）3
2
2
3
y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2
2 （3）1816962
2
2
-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262
2-++- （5）922
34-+-a a a （6）y b x b y a x a 2
2
2
2
44+-- （7）2
2
2y yz xz xy x ++-- （8）12222
2++-+-ab b b a a
（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+
（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(2
22++++++（12）
abc c b a 3333-++
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2
23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求
24b ac ?=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ?=-为完全平方数，1a =
例5、分解因式：652
++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：652
++x x =32)32(2
?+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672
+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2
--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542
-+x x 练习
6、分解因式(1)22
-+x x (2)1522
--y y
(3)24102
--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式：101132
+-x x
分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式：（1）6752
-+x x （2）2732
+-x x
（3）317102
+-x x （4）101162
++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：2
21288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解：2
21288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -?+-++
=)16)(8(b a b a -+ 练
习
8、分解因式
(1)2
2
23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2
26b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2
2
672y xy x +- 例10、232
2
+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy
练习9、分解因式：（1）2
2
4715y xy x -+ （2）862
2+-ax x a
综合练习10、（1）1783
6--x x （2）2
2
151112y xy x --
（3）10)(3)(2
-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a
（5）2
22265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m
（7）342442
2
---++y x y xy x （8）2
2
2
2
)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10364422-++--y y x xy x （10）
2
222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2
222
五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(20052
2---x x
（2）2
)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(2
2 =))(1(a x ax -+ =)2005)(12005(-+x x
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=2
22)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672
+=++ ∴原式=2
)2(x A x A ++=2
22x Ax A ++
=2)(x A +=2
2)66(++x x
练习13、分解因式（1）)(4)(2
2222y x xy y xy x +-++
（2）90)384)(23(2
2
+++++x x x x （3）2
2
2
2
2
2
)3(4)5()1(+-+++a a a
例14、分解因式（1）262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +-
--=[]6)1
()1(2222-+-+x x x
x x
设t x x =+1，则21
222-=+t x
x
∴原式=[
]6)222
2
---t t x （
=()
1022
2
--t t x =()()2522
+-t t x =??
? ??++??? ??-+
215222
x x x x x =??
? ??++??? ??
-+
21··522·x x x x x x =()()
1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2
--+x x x
（2）1442
34+++-x x x x
解：原式=22
241(41)x x x x x -++
+=???
???+??? ??--??? ?
?+1141222x x x x x 设y x x =-
1，则21
222+=+y x
x ∴原式=2
2
(43)x y y -+=2
(1)(3)x y y --
=)31
)(11(2----
x
x x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x
（2）)(2122
2
3
4
x x x x x +++++
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）4323+-x x
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x
=)1)(1(3)1)(1(2
-+-+-+x x x x x =)44()43(2
++--x x x x =)331)(1(2
+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2
+-+x x x =)44)(1(2
+-+x x x =2
)2)(1(-+x x =2
)2)(1(-+x x
（2）3369-++x x x
解：原式=)1()1()1(3
6
9
-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(3
3
3
3
6
3
-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3
3
6
3
+++++-x x x x =)32)(1)(1(3
6
2
++++-x x x x x
练习15、分解因式
（1）893+-x x （2）4
2
2
4
)1()1()1(-+-++x x x
（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++
（5）4
4
4
)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++
七、待定系数法。
例16、分解因式61362
2
-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项2
2
6y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设613622
-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62
2
∴
613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
对比左右两边相同项的系数可得??
?
??-==-=+6
13231
mn m n n m ，解得???=-=32n m
∴原式=)32)(23(+--+y x y x
例17、（1）当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分
解此多项式。
（2）如果82
3+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。
（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必
为))((b y x a y x +-++
解：设652
2-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++
则652
2
-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2
2
比较对应的系数可得：?????-==-=+65ab a b m b a ，解得：?????==-=132m b a 或??
?
??-=-==132m b a
∴当1±=m 时，原多项式可以分解； 当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x
（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。 解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++
则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2
3
+++++
∴?????=+=+=82323c c b c a 解得??
?
??===4147c b a ， ∴b a +=21
练习17、（1）分解因式291032
2
-++--y x y xy x
（2）分解因式675232
2
+++++y x y xy x
（3） 已知：p y x y xy x +-+--146322
2
能分解成两个一次因式
之积，求常数p 并且分解因式。
（4） k 为何值时，25322
2
+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：习题大全 经典一： 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式： m 3
-4m= . 3.分解因式： x 2
-4y 2
= __ _____.
4、分解因式：
244x x ---=___________ ______。 5.将x n
-y n 分解因式的结果为(x 2+y 2
)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .
6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，22
22x y +=__________。
二、选择题
7、多项式32
2
23
15520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、22
5m n C 、2
5m n D 、2
5mn
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A 、()()2339a a a +-=-
B 、()()22a b a b a b -=+-
C 、()24545a a a a --=--
D 、
2
3232m m m m m ??--=-- ??? 10.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x 2
-y (B)x 2
+1 (C)x 2
+y+y 2
(D)x 2
-4x+4
11．把（x －y ）2
－（y －x ）分解因式为（ ） A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x ）（x －y －1） C ．（y －x ）（y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ） A ．10ab 2
c ＋6ac 2
＋2ac ＝2ac （5b 2
＋3c ） B ．（a －b ）2
－（b －a ）2
＝（a －b ）2
（a －b ＋1）
C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）
D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2
＝（a －2b ）（11b －2a ）
13.若k-12xy+9x 2
是一个完全平方式，那么k 应为（ ）
三、把下列各式分解因式：
14、nx ny - 15、2294n m -
16、()()
m m n n n m -+- 17、322
2a a b ab -+
18、()2
22
416x x +- 19、2
2)(16)(9n m n m --+；
五、解答题
20、如图，在一块边长a =的正方形纸片中，挖去一个边长b =的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
45d cm =，外径75D cm =，长3l m =。利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土(π
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。
()()()()()()()()()()()()()()
24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _________________________________________________x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=++++-
经典二： 爱特教育
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首
先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321
=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()
()()
()()()
解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-
=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244
2
2
2211111121111()()()
()()()[()]()()()
2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+-
解一：将32x 拆成222x x +，则有
原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 32222
2
242222212()
()()()()()()()
解二：将常数-4拆成--13，则有
原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 3222
2
1331113314412()
()()()()()()()()
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：()()x x x 2241021100--++
=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100
272310051456100
22
设y x x =-25，则
原式无论取何值都有的值一定是非负数
=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440
4102110022
222
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c
的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B
∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()
()()()
A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333
322333
223333332
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2
证明： a b c ab bc 222166100--++=
∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a c b
2222226910250350820
880202即，即于是有即()()()()
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：x x x x +
=+=121
33，则__________ 解：x x
x x x x 3321111
+=+-+()()
=++--=?=()[()]
x x x x
11
21212
2
说明：利用x x
x x 22
2
1
12+=+-()等式化繁为易。
题型展示
1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。 解：100)4)(3)(7(2
----x x x
=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]
()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 723210051456100
58516540734100
2222222
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2.
将
a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。
解：a a a a 22221++++()()
=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 2222
222
22
21211()()()()
∴++=++==6742366143184922222() 说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
1. 分解因式：
（）（）131083108233315
54322
2
x x x x x a a a a ---+++-++-()()
（）（）323352476
223
x xy y x y x x --+-+-+
2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。
3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。
4. 求证：n n 35+是6的倍数。（其中n 为整数）
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
初中因式分解详解及提高篇 因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。 对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题，对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理，为了弥补这些缺陷，让大家更好地打牢初中的学习内容，在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述，从而让各位同学能够真正地了解因式分解。由于有些方法对于初中有一定的难度，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。 1.提公因式法（所有学生必须掌握） 典型形式：()ma mb mc m a b c ++=++ 注意上面的m 是一个数也可以是一个整式，再比如 ()()()()()x y a x y b x y c x y a b c -+-+-=-++ 2.平方差（所有学生必须掌握） 典型形式：22()()a b a b a b -=-+ 同样上面的a b 、既可以是数也可以是一个整式 3.配方法（所有学生必须掌握） 对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子 22268(+69)1(3)1(2)(4)x x x x x x x ++=+-=+-=++ 祖冲之杯奥赛题：4271x x -+（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法） 4.十字相乘法（所有学生必须掌握） 十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明2x 前系数为1的处理方法，我们先观察整式运算2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 通过上面的式子可以看出x 的一次项是a b +，纯数的那一项是ab ，所以可以进行猜测试a b 、的值，一般是根据ab 项进行推测，要是用a b +推测会很麻烦。
第 1 页 共 4 页 整式的乘除及因式分解全面检测 一、选择题 1、 =?-n m a a 5)(（ ） （A ）m a +-5 （B ）m a +5 （C ） n m a +5 （D ）n m a +-5 2、下列运算正确的是（ ） （A ）954a a a =+ （B ）33333a a a a =?? （C ）9 54632a a a =? （D ）743)(a a =- 3、=??? ??-???? ??-20032003532135（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）0 (D)2003 4、设A b a b a +-=+22)35()35( ，则=A （ ） （A ）ab 30 （B ）ab 60 （C ） ab 15 （D ）ab 12 5、已知)( 3522=+=-=+y x xy y x ，则， （A ）25（B ）25-（C ）19（D ）19- 6、)(5323===-b a b a x x x ，则，已知 （A ）2527 （B ）10 9 （C ）53 （D ）52 7、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为（ ） （A ）6cm （B ）5cm （C ）8cm （D ）7cm 8、)( )23)(23(=---b a b a （A ）2269b ab a -- （B ）2296a ab b -- （C ）2249b a - （D ）2294a b - 9、计算结果是187-+x x 的是（ ） (A)(x-1)(x+18) (B)(x+2)(x+9) (C)(x-3)(x+6) (D)(x-2)(x+9) 10、===+b a b a 2310953，，( )
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
《因式分解专题训练》有答案
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）；2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1. n m n m a a a +=? 2. () mn n m a a = 3. ()n n n b a ab = 4. n n n b a b a =?? ? ?? 5. n m n m a a a -=÷ 6. 1 0=a 7.p p a a 1=- 8. p p b a a b ?? ? ??=?? ? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1. m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2. （a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3. （a+b ）（a-b ）＝2 2b a - 4. ()2 2 2 2a b ab a b +±=± 5. ()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()() 3 322 b a b ab a b a ±=+±μ 7. () ()()ca bc ab c b a a c c b b a 2222222222 2 2 +++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数
的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（ ） A. () 1 2342 2 +-=+-x x x B. ()11 2 +=+÷x x x x C. ()()2 2 y x y x y x -=+--- D. x x x x -= -11 2.若n m n m b b a ++-224 a 52与可以合并成一项，则n m 的值是 （ ） A. 2 B. 0 C. －1 D. 1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则2 2 b a +的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 23 D. 32 4.把多项式x x x 1212323 +-分解因式，结果正解的是 （ ） A. ()4 432 +-x x x B. ()2 43-x x C. ()() 223-+x x x D. ()2 23-x x 5.已知0 322 =--x x ，则x x 422 -的值为（ ） A. －6 B. 6 C. －2或 6 D. －2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（ ） A. a （ x-y ）=ax-ay
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：2 5()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200 mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14）？ 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到 分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2. 分析（1）对比平方差公式可先提取xy 后，（2）对比完全平方公式可先提取ab ，.
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
第十一讲：因式分解综合训练 1．熟练使用四种因式分解的方法对多项式进行因式分解； 2．掌握利用因式分解法简化相关计算． 归纳我们所学过的四种因式分解的方法，并说说每一种发放对应的多项式 的特点. 提取公因式是首先要考虑的，公式法都是有两项或三项，而且都是二次项的形式，十字相乘是二次三项式的形式，分组分解重点讲解的是四项，可以“一三”和“二二”两种分解方法。可以结合下面的思维导图讲解 练习： 1、分解因式：3312x x -= ． 2、分解因式：()()2 2155x x y x x y +-+= ．
3、分解因式：41x -= ． 4、多项式29x mx ++是一个完全平方式，则m = ． 5、分解因式：256x x +-= ． 6、若()()282x px x x q ++=--，则p = ，q = ． 7、分解因式：2229a ab b ++-= ． 8、分解因式：1x y xy +++= ． 例1. 因式分解：21(1)44n n n a a a ++++ 11(2)4n n a a +-- 试一试：因式分解：212(1)6n n n a a b a b ++-- 11(2)248n n n a a a +--+
例2. 因式分解：2(1)()3()2m n m n ---+ 2(2)(21)6(12)9x x -+-+ 试一试：因式分解：222(1)(4)(4)20x x x x +-+- 222(2)(4)8(4)48x x x x -+-- 例3. 因式分解：2222(1)1x y x y --+ 22(2)23310a ab b a b -+-+-
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！
因式分解专题复习讲义 教学内容 【内容回顾】 1.计算 (1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982 （5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值
3.指出下列各多项式的公因式： （1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; （3）a2－4=（a+2）（a－2）; （4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 【知识精讲】 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
（一）提公因式法 1、公因式 多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （二）公式法 1.平方差公式 a 2－ b 2 =(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=（a ±b ）2 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. （三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法， 用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2
因式分解综合练习 一、基础训练 1．若多项式-6ab+18abx+24aby 的一个因式是-6ab ，那么其余的因式是（ ） A ．-1-3x+4y B ．1+3x-4y C ．-1-3x-4y D ．1-3x-4y 2．多项式-6ab 2+18a 2b 2-12a 3b 2c 的公因式是（ ） A ．-6ab 2c B ．-ab 2 C ．-6ab 2 D ．-6a 3b 2c 3．下列用提公因式法分解因式正确的是（ ） A ．12abc -9a 2b 2=3abc （4-3ab ） B ．3x 2y-3xy+6y=3y （x 2-x +2y ） C ．-a 2+a b-ac=-a （a-b+c ） D ．x 2y+5xy-y=y （x 2+5x ） 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．-6a 3b 2=2a 2b ·（-3ab 2）； B ．9a 2-4b 2=（3a+2b ）（3a-2b ）； C ．ma-mb+c=m （a-b ）+c ； D ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 5．下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A ．（y -x ）2=（x-y ）2 B ．-a-b=-（a+b ） C ．（m-n ）3=-（n-m ）3 D ．-m+n=-（m+n ） 6．若多项式x 2-5x+m 可分解为（x-3）（x-2），则m 的值为（ ） A ．-14 B ．-6 C ．6 D ．4 7．分解因式（1）：x 3-4x=_______； （2）：ax 2y+axy 2=________． （3）3x 2-6xy+x=_______； （4）-25x +x 3=_______； （5）9x 2（a-b ）+4y 2（b-a ）=_______； （6）（x-2）（x-4）+1=_______． 二、能力训练 9．计算54×99+45×99+99=________． 10．若a 与b 都是有理数，且满足a 2+b 2+5=4a-2b ，则（a+b ）2006=_______． 11．若x 2-x+k 是一个多项式的平方，则k 的值为（ ） A ．14 B ．-14 C ．12 D ．-12 定义：把一个多项式化成几个整式积．．． 的形式，这种变形叫把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 说明：⑴因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算． ⑵因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 问题3．下式从左到右的变形哪些是因式分解? ⑴()12-=-x x x x ；（ ）⑵()ab a b a a -=-2；（ ）⑶()12122+-=+-a a a a ；（ ） ⑷()22244-=+-x x x ；（ ）⑸?? ? ?? +=+a a a 111．（ ） 〖知识点二〗 提取公因式 问题5．指出下列多项式中各项的公因式： ⑴a ay ax ++的公因式是 ；⑵263mx mx -的公因式是 ； ⑶22912y x xyz -的公因式是 ；⑷c ab ab b a 322224128+-的公因式是 ⑸()()3 2223143221x y a y x b a ---的公因式是 ； ⑹()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+的公因式是 【课堂操练】 1．把下列各式分解因式： ⑴=+2228mn n m ；⑵=-22912y x xyz ； ⑶()()=---y z b z y a 32 ；⑷=-+-ma ma ma 126323 ； 5．分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝ 6．多项式32223320515b a b a b a -+提公因式后的另一个因式是 ．
因式分解综合应用 学生做题前请先回答以下问题 问题1：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________． 问题2：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式． 问题3：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________． 因式分解综合应用之综合检测（人教版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 2.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 3.用添项拆项法将分解因式，分解的结果是( ) A. B. C.
D. 4.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 5.用试根法将多项式分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 6.已知立方差公式，利用这个公式将因式分解，分解的结果是( ) A. B. C. D. 7.若a，b，c是△ABC的三边长，且，则下列式子的值为0的是( ) A.a+5b-c B.a-5b+c C.a-3b+c D.a-3b-c 8.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 9.如图，正方形卡片A类、C类和长方形卡片B类若干张，若要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片( ) A.2张 B.3张 C.5张 D.12张 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++
因式分解专题辅导讲义 一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。 提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。 例题精选1：把4224b a b a -因式分解。 解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=- 解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。 有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。 例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。 解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+= 评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。 例题精选3： 把44b 4a +因式分解。 解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+ )b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。 评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。 因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到
精锐教育1对3辅导教案 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 因式分解综合训练 教学内容 1． 熟练使用四种因式分解的方法对多项式进行因式分解； 2． 掌握利用因式分解法简化相关计算． （以提问的形式回顾） 归纳我们所学过的四种因式分解的方法，并说说每一种发放对应的多项式的特点. 提取公因式是首先要考虑的，公式法都是有两项或三项，而且都是二次项的形式，十字相乘是二次三项式的形式，分组分解重点讲解的是四项，可以“一三”和“二二”两种分解方法。可以结合下面的思维导图讲解 练习： 1、分解因式：3312x x -= ． 2、分解因式：()()2 2155x x y x x y +-+= ． 3、分解因式：41x -= ．
4、多项式29x mx ++是一个完全平方式，则m = ． 5、分解因式：256x x +-= ． 6、若()()2 82x px x x q ++=--，则p = ，q = ． 7、分解因式：2229a ab b ++-= ． 8、分解因式：1x y xy +++= ． 答案：1、3(2)(2)x x x +-； 2、()()523x x y x y ++； 3、2 (1)(1)(1)x x x +-+； 4、6m =±； 5、(6)(1)x x +-； 6、6,4p q =-=； 7、(3)(3)a b a b +++-； 8、(1)(1)x y ++ （采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例1. 因式分解：21(1)44n n n a a a ++++ 11(2)4n n a a +-- 分析：先提取公因式，确定公因式的方法： (1)系数公因式：应取多项式中各项系数的最大公因数 (2)字母公因式：应取多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂的积 答案：2122(1)44(44)(2)n n n n n a a a a a a a a ++++=++=+ 11121(2)4(4)(2)(2)n n n n a a a a a a a +----=-=+- 强调：因式分解的结果要分解到不能分解为止。 试一试：因式分解：212(1)6n n n a a b a b ++-- 11(2)248n n n a a a +--+ 答案：21222(1)6(6)(3)(2)n n n n n a a b a b a a ab b a a b a b ++--=--=-+ 111212(2)2482(44)2(2)n n n n n a a a a a a a a +----+=-+=-
因式分解的方法与技巧Prepared on 21 November 2021
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：25()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14） 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2.
初中因式分解的常用方法—特色专题详解 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ) )((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
对应练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+-
对应练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：652++x x
因式分解综合训练（1） 1.） 3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 =_________________________________________ 2.） 16x2－81=________________________________ 3.） xy＋6－2x－3y =__________________________ 4.） x2 (x－y)＋y2 (y－x) =__________________________________________ 5.） 2x2－(a－2b)x－ab =_________________________________________ 6.） a4－9a2b2 =_______________________________ 7.） x3＋3x2－4 =______________________________ 8.） ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) =________________________________________ 9.） (x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) =______________________________________________ 10.） a2－a－b2－b =____________________________ 11.） (3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 =___________________________________________ 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) =___________________________ 13.） (x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 =_____________________________________________ 14．）16x2－81 =______________________________ 15.） 9x2－30x＋25 =__________________________16.） x2－7x－30 =______________________________ 17.) x(x＋2)－x =____________________________ 18.) x2－4x－ax＋4a=__________________________ 19.) 25x2－49 =______________________________ 20.) 36x2－60x＋25 =___________________________ 21.) 4x2＋12x＋9 =_____________________________ 22.) x2－9x＋18 =______________________________ 23.) 2x2－5x－3 =_______________________________ 24.) 12x2－50x＋8 =____________________________ 25.) 3x2－6x =__________________________________ 26.) 49x2－25 =_________________________________ 27.) 6x2－13x＋5 =_____________________________ 28.) x2＋2－3x =________________________________ 29.) 12x2－23x－24 =______________________________ 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) =_________________________ 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) =____________________________________________ 32.) 9x2＋42x＋ 49=________________________________ 33.) x4－2x3－35x=_______________________________ 34.) 3x6－3x2=__________________________________ 35.） x2－25 =________________________ 36.） x2－20x＋100=__________________________ 37.） x2＋4x＋3 =_____________________________ 38.） 4x2－12x＋5 =____________________________ 39.） 3ax2－6ax =________________________________ 40.） (x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) =______________________________________ 41.） 2ax2－3x＋2ax－3 =______________________________________ 42.） 9x2－66x＋121 =_______________________________________ 43.） 8－2x2 =______________________________ 44.） x2－x＋14 =____________________________ 45.） 9x2－30x＋25 =____________________________ 46.）－20x2＋9x＋20 =___________________________ 47.） 12x2－29x＋15=___________________________ 48.） 36x2＋39x＋9 =_____________________________ 49.） 21x2－31x－22 =_____________________________ 50.） 9x4－35x2－4 =_______________________________ 51.） (2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3) =______________________________________________ 52.） 2ax2－3x＋2ax－3 =______________________________________________ 53.） x(y＋2)－x－y－1 =_______________________________________________