第25题
专题复习训练(含答案）
1.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接DF、CF。
DE ,求CF；
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC中点，2
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转45°时，线段DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.
（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．
3.如图1，△ACB 、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D 在AB 上，连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点．
（1）求证：MN ⊥CE ；
（2）如图2将△AED 绕A 点逆时针旋转30°，CE 与MN 有何数量关系和位置关系？证明你的结论．
4. 已知，如图1，等腰直角△ABC 中，E 为斜边AB 上一点，过E 点作E F ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF ，G 为AF 的中点，连接EG ，CG 。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG ，CG 的长；
（2）将图1中△BEF 绕点B 逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF 的中点G ，连接EG ，CG 。延长CG 至M ，使GM=GC ，连接EM=EC ，求证：△EMC 是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF 绕点B 旋转任意角度，得如图3所示，取AF 的中点G ，再连接EG ，CG ，问线段EG 和GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。
图1
A E
G
图2
F
G
图3
A
F
G
5.已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F 。 （1）如图1，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求AF 的长；
（2）如图2，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ； （3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，求证：2AG CG
.
6.在△ABC 中，AB=AC ，点F 是BC 延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF ，使菱形CDEF 与点A 在BC 的同侧，连结BE ，点G 是BE 的中点，连结AG 、DG ．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=3
2CD=2，求AG 的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG 与DG 有怎样的位置和数量关系，并证明；
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG 与DG 的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．
图1 图2 图3
7.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC
的位置关系是______，MN与EC的数量关系是
MN=
1
2EC
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC 的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
8.重庆一中初2016九上期末
如图1，在等腰Rt ACB
?中，90
ACB
∠=?，AC BC
=；在等腰Rt DCE
?中，90
DCE
∠=?，CD CE
=；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G.
（1）若 6.5
CN=，5
CE=，求BD的值.
（2）求证：CN AD
⊥.
（3）把等腰Rt DCE
?绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.
9.(西南大学附属中学初2016级九年级第七次月考)
已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作E F⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF 的中点，连接EG，CG。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；
（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。
图1
A
E
G
图2A
E
F
G
图3A
E F
G
10.(重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次月考)
已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰苴角三角形，∠AFE=90°，点M是CE的中点，连接DM.(1)如图1，当点E、F分别在AD、AC上时，若AD=4，EF=2，求DM的长；(2)如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF、FM，求证:DM=FM,DM ⊥FM；(3)如图3，当点E不在BA延长线上且点F在DE上时,过点A作AG⊥EC，垂足为G，连接FM，试探究DM与FM的关系。
11.(重庆八中初2016级初三（下）第三次月考)
以A 为顶角顶点的等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE ，D 在BC 边上，E 在AB 边上，F 为线段AD 上一点，连接FC ，FCA BDE ∠=
∠2
1
． (1)如图1．若AB=6，∠BAC=30°，求ABC S ?
(2)如图1，求证：F A =FC ．
(3)如图2，延长CF 交AB 于G ，延长AB 到M 使GM =AC ，连接CM ，∠BAD=∠BCG ，N 是GC 的中点，探究AN 与CM 之间的数量关系并证明．
A
E C
F D B 图1
G A C B E
F D
N M
图2
2016重庆中考数学第25题专题复习训练答案
1. 已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 的中点，连接DF 、CF 。
（4）如图1，当点D 在AB 上，点E 在AC 中点，2DE =,求CF ；
（5）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕A 点顺时针旋转45°时，线段DF 、CF 有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
（6）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕A 点顺时针旋转任意角度时，线段DF 、CF 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；
(1)5CF = (2) ,CF DF CF DF =⊥ (如图) (3) ,CF DF CF DF =⊥（如图）
2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.
（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．
3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN⊥CE；
（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论．
4. 已知，如图1，等腰直角△ABC 中，E 为斜边AB 上一点，过E 点作E F ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF ，G 为AF 的中点，连接EG ，CG 。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG ，CG 的长；
（2）将图1中△BEF 绕点B 逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF 的中点G ，连接EG ，CG 。延长CG 至M ，使GM=GC ，连接EM=EC ，求证：△EMC 是等腰直角三角形；
（3）将图1中△BEF 绕点B 旋转任意角度，得如图3所示，取AF 的中点G ，再连接EG ，CG ，问线段EG 和GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。
图1
图2
图
3
5.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=32，CD=2，求AG的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．
图1 图2 图3
6.（2014?密云县二模）已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC
的位置关系是______，MN与EC的数量关系是MN=1
2EC
的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
（1）MN⊥EC，MN=1 2
EC；
理由：∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN是三角形BED的中位线，∴MN∥
1
2BE，∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，∴BE=DE，∠AED=90°，
∴MN与EC的位置关系是：MN⊥EC，MN与EC的数量关系是：MN=
1
2EC．
（2）MN⊥EC，MN=
1
2EC；
理由：如图3，连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF．
在△EDM和△FBM中，DM＝MB ∠EMD＝∠FMB ME＝FM，∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，AE＝BF ∠EAC＝∠FBC AC＝BC，∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，∠FCB=∠ECA，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，∴EC⊥FC，
又∵点M、N分别是EF、EC的中点，∴MN∥FC，∴MN⊥EC，
如图4，连接EM并延长交BC于F，∵∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，在△EDM和△FBM中，
7.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN⊥CE；
（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN．
解：（1）证明一：
延长DN交AC于F，连BF，∵N为CE中点，∴EN=CN，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，∴DE∥AC，∵EN=NC ∴△EDN≌△CFN，
∴DN=FN，FC=ED，∴MN是△BDF的中位线，∴MN∥BF，∵AE=DE，DE=CF，
∴AE=CF，∵∠EAD=∠BAC=45°，∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，CA＝BC ∠CAE＝∠BCF AE＝CF ∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF，∵∠ACE+∠BCE=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，即BF⊥CE，∵
MN∥BF，∴MN⊥CE．
证明二：(如图) 证明三：（如图）
(2)证明一：
延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，
∵M为BD中点，∴MN是△BDG的中位线，∴BG=2MN，
在△EDN和?CGN中，DN＝NG ∠DNE＝∠GNC EN＝NC ∴△EDN≌△CGN（SAS），∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，∴DE∥CG，∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，∴∠EAK=60°，∴∠CKE=∠KCG=30°，∴∠BCG=120°，
在△CAE和△BCG中，AC＝BC ∠CAE＝∠BCG AE＝CG
∴△CAE≌△BCG（SAS），∴BG=CE，∵BG=2MN，∴CE=2MN．
8.(重庆南开初2016级九年级（上）期末)已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F 。
（1）如图1，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求AF 的长；
（2）如图2，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ； （3）如图3，在第（2）问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，求证：2
AG
CG
.
D
B C
G A
E
M N
9.重庆一中初2016九上期末如图1，在等腰Rt ACB ?中，90ACB ∠=?，AC BC =；在等腰Rt DCE ?中，
90DCE ∠=?，CD CE =；点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、BE ，点N 是线段BE 的中点，连接
CN 与AD 交于点G .
（3）若 6.5CN =，5CE =，求BD 的值.
（4）求证：CN AD ⊥.
（3）把等腰Rt DCE ?绕点C 转至如图2位置，点N 是线段BE 的中点，延长NC 交AD 于点H ，请问
（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由. 解：
(1)Q 90ACB ∠=?，BN NE = ∴ 22 6.513BN CN ==?=，
在Rt ACB ?中：222213512BC BE CE -=-=
∴7BD BC CD BC CE =-=-= ……………4分
（2）证明：Q AC BC ACB ECD CE CD =??
∠=∠??=?
∴ACD ?≌BCE ?(()SAS
∴CBE DAC ∠=∠ Q BN CN = ∴CBE DCG ∠=∠
DCG DAC ∠=∠ ∴90ACG CAD ∠+∠=? ∴90CGA ∠=? ∴ CN AD ⊥ …………8分
(3)成立. 延长CN 至M ，使CN NM =，连接BM
Q CN NM CNE BNM EN NB =??
∠=∠??=?
∴CNE ?≌MNB ?(()SAS
∴ MB CE CD == Q M ECN ∠=∠ ∴ //MB CE
∴ 180MBC BCE ∠+∠=? Q 90ACB ∠=? 90DCE ∠=? ∴180DCA BCE ∠+∠=? ∴ MBC DCA ∠=∠ ……………10分
Q DC MB DCA MBC AC BC =??
∠=∠??=?
∴DCA ?≌MBC ?(()SAS ∴ DAC BCM ∠=∠
Q 90ACB ∠=?∴ 90ACH BCM ∠+∠=? ∴ 90ACH DAC ∠+∠=? ∴ CN AD ⊥ …12分