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2017 年中考数学二次函数图象的几何变换
知识点拨
一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成 y = a (x - h )2
+ k 的形式，确定其顶点(h , k ) ，然后做出二次函
数 y = ax 2
的图像，将抛物线 y = ax 2
平移，使其顶点平移到(h , k ) .具体平移方法如图所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y = a 2x + b x + 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ； y = a (x - h )2
+ k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2
- k ； 2. 关于 y 轴对称
y = a 2x + b x + 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ； y = a (x - h )2
+ k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2
+ k ； 3. 关于原点对称
y = a 2x + b x + 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；
y = a ( x - )h 2
+ 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2
- k ；
4. 关于顶点对称
= 2 + + 关于顶点对称后，得到的解析式是 = - 2
-
+ - b ；
y a x
b x
y ax bx c
2a
y = a (x - h )2
+ k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2
+ k ．
5. 关于点(m ，n )
对称 y = a (x - h )2 + k 关于点(m ，n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2
+ 2n - k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，
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然后再写出其对称抛物线的表达式．
例题精讲
一、二次函数图象的平移变换
【例1】 函数 y = 3(x + 2)2 -1 的图象可由函数 y = 3x 2 的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
A. 右移两个单位，下移一个单位
B. 右移两个单位，上移一个单位
C. 左移两个单位，下移一个单位
D. 左移两个单位，上移一个单位
【例2】 函数 y = -2(x -1)2 -1的图象可由函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象平移得到，那么平移的步骤
是（ ）
A. 右移三个单位，下移四个单位
B. 右移三个单位，上移四个单位
C. 左移三个单位，下移四个单位
D. 左移四个单位，上移四个单位
【例3】 二次函数 y = -2x 2 + 4x +1 的图象如何移动就得到 y = -2x 2 的图象（ ）
A. 向左移动1 个单位，向上移动3 个单位.
B. 向右移动1 个单位，向上移动3 个单位.
C. 向左移动1 个单位，向下移动3 个单位.
D. 向右移动1 个单位，向下移动3 个单位.
【例4】 将函数 y = x 2 + x 的图象向右平移 a (a > 0) 个单位，得到函数 y = x 2 - 3x + 2 的图象，则 a 的值为
（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ． 4 【例5】 把抛物线 y = a x 2 + b x + c 的图象先向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得的图象的解析式
是 y = x 2 - 3x + 5 ，则a + b + c = ?．
【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线 y = x 2 - 2n +1 x +
1 与 x 轴交于 A 、B 两点，以 A B 表示
n (n +1) n (n +1)
n
n
n n
这两点间的距离，则 A 1B 1 + A 2 B 2 +…+ A 2009 B 2009 的值是（ ）
A ．
2009
2008
B ． 2008
2009
C ． 2010
2009
D ． 2009
2010
【例7】 把抛物线 y = -x 2 向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解析式为
A ． y = -(x -1)2
- 3
C ． y = -(x -1)2
+ 3
B ． y = -(x +1)2
- 3 D ． y = -(x +1)2
+ 3
【例8】 将抛物线 y = 2x 2 向下平移1 个单位，得到的抛物线是（
）
A ． y = 2(x +1)
2
B ． y = 2(x -1)
2 C ． y = 2x 2 +1
D ． y = 2x 2 -1 【例9】 将抛物线 y = 3x 2
向上平移2 个单位，得到抛物线的解析式是（
）
A. y = 3x 2
- 2
B. y = 3x 2
C. y = 3(x + 2)
2
D. y = 3x 2
+ 2
【例10】一抛物线向右平移3 个单位，再向下平移 2 个单位后得抛物线 y = -2x 2 + 4x ，则平移前抛物线的
解析式为 ．
【例11】已知二次函数
y = 3x 2
- 6x + 5 ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于 x 轴对称；（2）图象关于 y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于 x 轴的直线对称
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1
【例12】如图， ABCD 中， AB = 4 ，点 D 的坐标是(0 ， 8) ，以点C 为顶点的抛物线 y = ax 2 + bx + c 经
过 x 轴上的点 A ， B ．
⑴ 求点 A ， B ， C 的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点 D ，求平移后抛物线的解析式．
【例13】抛物线 y = ax 2 - 5x + 4a 与 x 轴相交于点 A 、B ，且过点C (5，4)．
⑴ 求a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标．
⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
二、二次函数图象的对称变换
【例14】函数 y = x 2
与 y = -x 2
的图象关于
对称，也可以认为 y = x 2 是函数 y = -x 2 的图象绕
旋转得到．
【例15】已知二次函数 y = x 2 - 2x -1 ，求：⑴关于 x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于 y 轴对称的二次函
数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例16】在平面直角坐标系中，先将抛物线 y = x 2 + x - 2 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y
轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A ． y = -x 2 - x + 2 C ． y = -x 2 + x + 2
B ． y = -x 2 + x - 2
D ． y = x 2 + x + 2
【例17】已知二次函数 y = ax 2 + 4ax + 4a -1的图象是c ． ⑴ 求c 1 关于 R (1，0)成中心对称的图象c 2 的函数解析式；
⑵ 设曲线c 1、c 2 与 y 轴的交点分别为 A ，B ，当 AB =18 时，求a 的值．
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D
C
O
A
B
【例18】已知抛物线 y = x 2 - 6x + 5 ，求
⑴ 关于 y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于 x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．
【例19】设曲线C 为函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象， C 关于 y 轴对称的曲线为C ， C
1
1
关于 x 轴对称的曲线为C 2 ，则曲线C 2 的函数解析式为
．
【例20】对于任意两个二次函数： y = a x 2 + b x + c ，y = a x 2 + b x + c (a a ≠ 0) ，当 a = a 时，
1
1
1
1
2
2
2
2
1 2
1
2
我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有?ABM ， A (-1，0)，B (1，0) ，记过三点的二次函数抛物线为“ C ”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．
图1
图2
图3
⑴ 若已知 M (0，1) ， ?ABM ≌?ABN （图
1），请通过计算判断C ABM 与C ABN 是否为全等抛物线； ⑵ 在图 2 中，以 A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．
① 若已知 M (0，n ) ，求抛物线C ABM 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线解析式． ② 若已知 M (m ，n ) ，当 m 、n 满足什么条件时，存在抛物线C ABM ？根据以上的探究结果，判 断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“ C ”；若不存在，请说明理由．
【例21】已知：抛物线 f : y = -(x - 2)2 + 5 ． 试写出把抛物线 f 向左平行移动2 个单位后，所得的新抛物
线 f 1 的解析式；以及 f 关于 x 轴对称的曲线 f 2 的解析式．画出 f 1 和 f 2 的略图， 并求：
⑴ x 的值什么范围，抛物线 f 1 和 f 2 都是下降的；
⑵ x 的值在什么范围，曲线 f 1 和 f 2 围成一个封闭图形；
⑶ 求在 f 1 和 f 2 围成封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度的最大值．
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y
M
A
O N B x
y M
A O
B
x
y
M
A O
B
x
y
h(x)=(x -2)2-5
O
x
g(x)=-x 2+5