第二章 相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时）
导预习 1. 垂直
2. 点与直线的位置关系 导课堂
第一步：情境创设
问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？
2．你还能提出哪些问题？.
第二步：目标展示 知识与技能：
(1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。
过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。
情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。
第三步：合作探究
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular ），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通
b c
a
常用“⊥”表示两直线垂直。
动手画一画1：
工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
说出你的画法和理由.
工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。
归纳结论：
1.
点A和直线m的位置关系有
两种：点A可能在直线m上，
也可能在直线m外。
2.平面内，过一点有且只有
．．．．一
条直线与已知直线垂直。
2.1—1 2.1—2
你能画出两条互相垂直的直线吗？
你有哪些方法？小组交流，相互点评
用自己的语言描述你的画法。
图2.1-3
A
A
m
2.1—4
第四步：巩固新知
如图：一辆汽车在直线形的公路上由A 向B
行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的两所学校。
问题1：汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来。
问题2：当汽车由A 向B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？ 问题3：在哪一段对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？( 用文字表达)
问题4：如图2.1-5已知∠ACB ＝90°，即直线AC BC ；若BC ＝4cm ，AC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么点B 到直线AC 的距离等于 ，点A 到直线BC 的距离等于 ，A 、B 两点间的距离等于 。
你能求出点C 到AB 的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流.
动手画一画3：请画出直线l 和l 外一点P 做PO ⊥l ，O 是垂足，在直线l 上取点A,B,C, 比较线段PO 、PA 、PB 、PC 的长短，你发现了什么？
各中 线段PO 的长度叫做点P 到直线l 的距离。
.1
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
A
B
C
2.1—5
问题5：如图2.1—6，点C 在直线 AB 上,过点C 引两条射线CE 、CD ，且∠ACE=32°，∠DCB=58°，则CE 、CD 有何位置关系关系？为什么？
第五步：课堂练习
1.如图
2.1—7中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下面结论中正确的有（ ）个。 ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点A 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段。 A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个。
2. 如图2.1—8中, 点O 在直线AB 上，OE ⊥AB 于点O ，OC ⊥OD,若∠DOE=320，请你求出∠EOC 、∠BOD 的度数，并说明理由。
3. 如图2.1—9中，点O 在直线AB 上，OC 平分∠BOD ，OE 平分∠AOD ，则OE 和OC 有何位置关系？请简述你的理由。
第六步：课时小结
自由发言谈本节课的困惑、收获和体会？ 导作业 配套练习册相关习题
板书设计 §2.1两条直线的位置关系（第2课时） 1、垂直、垂足
2、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
教学反思：
O
A
B
C
D
E
2.1—9
2.1—8
O
D
E
C
B
A 2.1—7
D C
B
A
E 2.1—6
精品 文 档 点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（ ） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有 公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
人教版七年级数学下册导学案第五章相交线与平行线 5.3.1 平行线的性质（第二课时） 【学习目标】 1．进一步熟悉平行线的判定方法和性质； 2．运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算． 【课前预习】 1．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 2．下列说法中正确的是 A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 3．如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角（） A．相等B．互补C．互余D．相等或互补 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶）在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同）那么这两次转弯的角度可以是（）A．先右转60°，再左转120°B．先左转120°，再右转120° C．先左转60°，再左转120°D．先右转60°，再右转60° 5．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐40，第二次向右拐40 B．第一次向左拐50，第二次向右拐130 C．第一次向左拐70，第二次向右拐110 D．第一次向左拐70，第二次向左拐110 6．如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2=（）． A．65°B．50°C．40°D．30° 7．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（） A．50°B．40°C．30°D．20° 8．如图，AB∥CD，∠B=56°，∠E=22°，则∠D的度数为( )
点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ） （ A ）过只能作一条直线与平面相交 （ B ）过可作无数条直线与平面 垂直 （C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．． 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.如图所示，在正方形ABCD 中， E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) 5．下列说法正确的是（ ） A ．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B ．若直线在平面外，则 C ．若直线，，则 D ．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 6．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ） A ．、都垂直于平面 B ．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C ．、是内两条直线，且， D ．、是两条异面直线，且，，， 7．已知直线a ∥平面α，直线b ?α，则a 与b 的关系为（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时， 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 （ ） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 第4题图
相交线与平行线第一课时：5.1.1 相交线能找出图形中的一个角的邻补角和对顶【学习目标】 了解邻补角、对顶角, . ,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题角对顶角性质与应用. ,【学习重点】邻补角、对顶角 的概念. 【学习难点】理解对顶角相等的性质一、知识梳理探索一：完成课本P2页的探究， 填在课本上．义”的定归纳出“邻补角你能 吗？． 义的定对“顶 角”．呢？ 练习一： 是一条射线．CD相交于点O，OE11．如图所示，直线AB和的邻补角：1）写出∠AOC____ _ ___ __；（）写出∠COE的邻补角： __；（2 BOC的邻补角：____ _ ___ __；）写出∠（3 BOD的对顶角：____ _．（4）写出∠1 图 2是对顶角的是（）2．如图所示，∠1与∠ 性顶角的纳请归“对：．质” 二、知识运用 4=_______ 3=_______∠b相交，∠1=40°，则∠2=_______∠1．如图，直线a，的COF BOE的 对顶角是______，∠，∠．如图直线2AB、CD、EF相交于点OBOF=_______ AOE=30°，那么∠ BOE=_______，∠____邻补角是，若∠∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠COE=90°,，如图，直线AB、 CD相交于点O．3EOF=_____. ∠E E B a D231C BA D O O4b C题第1 F F A第2题题第3
三、知识提高 1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为度． 2∠4，?求∠两两相交，∠1=60°，∠2=3、b2．如图所示，直线a，，c3∠5的度数．
第二课时：5.1.2 垂线 【学习目标】1、了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质； 2、会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离. 【学习重点】垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用. 【学习难点】垂线的画法以及对点到直线的距离的概念的理解. 【学习过程】 一、知识梳理 当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图 用几何语言表示： 方式⑴∵∠AOC=90°∴ AB_____CD，垂足是_____ 方式⑵∵ AB⊥CD于O ∴∠AOC=______ 探索一：请你认真画一画，看看有什么收获． l的垂线，这样的垂线能画，利用三角尺或量角器画已知直线⑴如图1__________条； ll的垂线，这样的垂线能画_____条；上一点A画⑵如图2，经过直线ll的垂线，这样的垂线能画_____条；外一点B画⑶如图3，经过直线 B B llll A ）（图3a1）（图2）（图）（图3b条直线与_____经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有已知直线垂 直． 二、知识运用°，，OC是一条射线，若∠AOC=120OB1．如图所示，OA⊥度数求∠BOC
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2
《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点
（3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选
“分组合作，自信高效”导学案 课题:__第一课时：5.1.1 相交线___课型新授 _七_年级教者张强教学目标： 知识与能力：了解邻补角、对顶角, 过程与方法：能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等, 情感态度价值观：理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题 教学重点：邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用 教学难点：理解对顶角相等的性质 教学过程： 一、课前展示（前奏版-5分钟） （科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分） 二、创境激趣（启动板—教师创设情境） 各小组对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结．每人写一个总结小报告 三、自主探究，展示汇报（核心板：教师明确目标——学生自学——小组交流讨论——分组展示和汇报——强化训练） 探索一：完成课本P2页的探究，填在课本上． 你能归纳出“邻补角”的定义吗？．“对顶角”的定义呢？．练习一： 1．如图1所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线． （1）写出∠AOC的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE的邻补角： __； （3）写出∠BOC的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD的对顶角：____ _． 2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（） 探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由． 请归纳“对顶角的性质”：． 练习二： 1．如图，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______ 2．如图直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______ 3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____. 四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练） 1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为度． 2．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=60°，∠2= 2 3 ∠4，?求∠3、∠5的度数． 3．如图所示，有一个破损的扇形零件，?利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？你的根据是什么？ 4．探索规律： （1）两条直线交于一点，有对对顶角； （2）三条直线交于一点，有对对顶角； （3）四条直线交于一点，有对对顶角； （4）n条直线交于一点，有对对顶角． 五、板书设计： 六、课后反思？ 图1 b a 4 3 2 1 第1题F E O D C B A 第2题 F E O D C B A 第3题
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 (1)平面的画法：水平放置的平面 通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的 2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以 用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。 3 三个公理： (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。 公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Y l平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： ①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角(0，); ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b; a// b 2公理4：平行 =>a // c
点线面之间的位置关系的知识点汇总
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高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2
2.1两条直线的位置关系（第2课时） 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生 的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 二、教学过程 1、创设情境引入新课 观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。 表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足． 设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知 动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
新人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》复习导学案
21．（6分）填写推理理由（1′×15） （1） 已知：如图，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，D ∥AB ，DF ∥AC ，试说 明∠FDE =∠A ． 解：∵DE ∥AB （ ） ∴∠A +∠AED =180０ （ ） ∵DF ∥AC （ ） ∴∠AED +∠FED =180 ０ （ ） ∴∠A =∠FDE （ ） （2）如图AB ∥CD ∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD ∥BE 解：∵AB ∥CD （已知） ∴∠4=∠_____（ ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠_____（ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠ 1+∠CAF =∠2+∠CAF （ ） 即 ∠_____ =∠_____（ ） ∴∠３＝∠_____ ∴ＡＤ∥ＢＥ（ ） 22．（5分）已知：如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠2＝4∠1，求∠2，∠ 3，∠BOE 的度数． 23．（5分）如图：已知；AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠B 与∠D 相等吗？试说明理由． F E D C B A F E D C B A 4 3 21 F E O D C B A 3 2 1 D C
24．（6分）如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ． （1）判断CD 与AB 的位置关系； （2）BE 与DE 平行吗?为什么? N M F E D C B A 25．（6分）如图，∠1+∠2=180°，∠DAE =∠BCF ，DA 平分∠BDF ． （1）AE 与FC 会平行吗?说明理由． （2）AD 与BC 的位置关系如何?为什么? （3）BC 平分∠DBE 吗?为什么． F E 2 1 D C B A 26．（6分）在方格纸上，利用平移画出长方形ABCD 的立体图，其中点D ′是D 的 对应点．（要求在立体图中，看不到的线条用虚线表示） D ' D C B A 课堂后测 （读句画图） 如图，直线CD 与直线AB 相交于C ，根据下列语句画图 （1）过点P 作PQ ∥CD ，交AB 于点Q （2）过点P 作PR ⊥CD ，垂足为R （3）若∠DCB =120０ ，猜想∠PQC 是多少度？并说明理由 P D C B A
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题
1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.
两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂
直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第
相交线与平行线复习（2） 班级----------- 姓名----------- 学习目标：复习巩固相交线与平行线的有关概念和性质，使学生会用这些概念和性质进行简单的推理或计算；加深理解推理证明，提高学生分析问题解决问题能力。 学习方法：自主探索合作交流 一、自主学习 （第1题）（第2题）（第3题） 1、如图所示，图中用数字标出的角中， 同位角有______ ； 内错角有______ ； 同旁内角有______ ． 2、如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据． (1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________ ，____________) (2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________) (3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________ ) (4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________) (5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．(____________，____________) (6)如果∠6＝∠3，那么____________．(____________，____________) 3、如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． (1)如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是____________________________________． (2)如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是____________________________________ ． (3)如果AF∥B,那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________ ． (4)如果AF∥BE∠4＝120°那么∠5＝______．理由是_______________________ ． 三、合作探究 1、在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( )． 图①图②图③图④ (A)①②(B)①③C)②③(D)③④ 2、同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（） A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c 3、在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有( )． （第3题）（第5题） (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个
两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直
第五章相交线与平行线复习导学案 教学目标 1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化, 梳理本章的知识结构. 2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形. 3.认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质,理解平移的性 质,能利用平移设计图案. 重点、难点 重点:复习平面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用. 难点:垂直、平行的性质和判定的综合应用. 一．知识点回顾 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 _____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的 两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质：⑴过一点 ______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且 都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________. 9.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 10.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被 第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：____________________________________ . 自我检测 1.如果两个角是邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( ) 2.平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( ) 3.两条直线被第三条直线所截,内错角的对顶角一定相等.( ) 4.互为补角的两个角的平行线互相垂直.( ) 5.两条直线都与同一条直线相交,这两条直线必相交.( ) 6.如果乙船在甲船的北偏西35°的方向线上, 那么从甲船看乙船的方向角是南偏东规定35°.( ) 6.如图，,8,6,10, BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________． 7.设a、b、c为平面上三条不同直线， a)若//,// a b b c，则a与c的位置关系是_________； b)若, a b b c ⊥⊥，则a与c的位置关系是_________； c)若// a b， b c ⊥，则a与c的位置关系是________． 8.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数． 9.如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD、OE分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
， 《第五章 相交线与平行线》复习学案 二、本章知识梳理 1．邻补角的定义： 。 对顶角的定义： 。 对顶角的性质： 。 2．当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直 线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 。 如图，用几何语言表示： 方式⑴∵ ∠ AOC=90° ∴ AB_____CD ，垂足是_____ 方式⑵∵ AB⊥CD 于 O ∴ ∠AOC=______ 3．在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直。 注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，是图形。点到直线的 距离是 的长度，是一个数量，不能说“垂线段”是距离。 4．识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角” A C O D B c a b 只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角。 不同顶点 位置 1 位置 2 结论 ∠1 和∠5 ∠3 和∠5 ∠4 和∠5 处于直线 c 的同侧 处于直线 a 、b 的同一 方 这样位置的一对角就 称为（ ） 这样位置的一对角就 称为（ ） 这样位置的一对角就 称为（ ） 5． 现在所说的两条直线的位置关系，是两条直线在“ ”的前提下提出来 的，它们的位置关系只有两种：一是 （有一个公共点），二是 （没有公共点）。 6．平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线。 平行公理：经过直线外一点， 一条 直线与这条直线平行。 平行线的传递性：平行于同一直线的两直线 。 7．两条直线平行的判定方法：⑴平行线的定义，⑵平行线的传递性， ⑶平行线的判定方法 1： ⑷平行 线的判定方法 2： ⑸平行线的判定方法 3：
第二章相交线与平行线 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等 活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三， 学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”