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正弦定理与余弦定理
一、三角形中的各种关系
设ABC ?的三边分别是,,a b c ,与之对应的三个角分别是,,A B C .则有如下关系: 1、三内角关系
三角形中三内角之和为π(三角形内角和定理),即A B C π++=,; 2、边与边的关系
三角形中任意两条边的和都大于第三边,任意两条边的差都小于第三边,即
,,a b c a c b b c a +>+>+>;,,a b c a c b b c a -<-<-<;
3、边与角的关系 (1)正弦定理
三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等,即
2sin sin sin a b c
R A B C
===(这里,R 为ABC ?外接圆的半径). 注1:(I )正弦定理的证明:
在ABC ?中,设,,BC a AC b AB c ===, 证明:2sin sin sin a b c
R A B C
===(这里,R 为ABC ?外接圆的半径)
证:法一(平面几何法):
在ABC ?中,作CH AB ⊥,垂足为H 则在Rt AHC ?中,sin CH A AC =
;在Rt BHC ?中,sin CH
B BC
=
sin ,sin CH b A CH a B ∴==sin sin b A a B ?=即
sin sin a b
A B
=
同理可证:
sin sin b c
B C
=
于是有
sin sin sin a b c
A B C
==
正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式,也就是任意三角形的边角关系.
(Ⅲ)正弦定理适用的范围:
(i )已知三角形的两角及一边,解三角形;
(ii )已知三角形的两边及其中一边所对应的角,解三角形;
(iii )运用::sin :sin :sin a b c A B C =解决角之间的转换关系. 注2:正弦定理的一些变式: (i )::sin :sin :sin a b c A B C =; (ii )sin ,sin ,sin 222a b c
A B C R R R
=
==
;
. (2)余弦定理
三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍,即
2222cos a b c bc A =+-,2222cos b c a ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-.
注1:(I )余弦定理的证明: 法一(平面几何法)
在ABC ?中,作CH AB ⊥,垂足为H 则在Rt AHC ?中,sin CH CH A AC b =
=;cos AH AH
A AC b
==
注3:常选用余弦定理判定三角形的形状;
注4:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.
例1.在ABC ?中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长. 例2.如下图所示,在四边形ABCD 中,已知,10AD CD AD ⊥=,14AB =,
60O BDA ∠=,135O BCD ∠=,求BC 的长.
例3.在ABC ?中,已知7
5,4,cos()8
BC AC A B ==-=
,则cos C =()
A.
1116(3(i (ii (iii . 例1.(1(2cos71例2.在ABC ?中,内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ,已知2222a c b +=.
(1)若4
B π
=
,且A 为钝角,求内角A 与C 的大小;
(2)若2b =,求ABC ?面积的最大值.
二、关于三角形内角的常用三角恒等式
由三角形内角和定理:A B C π++=,有()A B C π=-+ 由此可得到:sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+;
又
222
A B C
π+=-
,
(1(2(3注: ①若②若 ①若②a b ≤,则无解.
四、三角形形状的判定方法 (1)角的判定; (2)边的判定;
(3)综合判定; (4)余弦定理判定.
注:余弦定理判定法:若c 是ABC ?的最大边,则: ①222a b c +>?ABC ?是锐角三角形; ②222a b c +
③2a 注:?1.设
2.A.
5183.在4、在ABC ?中,4B π
=
,BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =_____. 5、ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若4cos 5A =
,5
cos 13
C =,1a =,则b =_____.
6、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_____.
7、在△ABC 中,已知B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长. 8、在ABC ?中,内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,已知
2,3
c C π
==
.
(1)若ABC ?3,求,a b ;
(2)若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC ?的面积.
9、设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π
=--(x R ∈).
(1)求函数()f x 的单调区间;
(2)在锐角ABC ?中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若()02
C
f =,2c =,求ABC
?面积的最大值.
10、已知向量3
(,sin )2
m x =u r ,(1,sin 3cos )n x x =+r ,函数()f x m n =?u r r .
(1)试求函数()f x 的单调递增区间;
(2)若ABC ?的三个内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,内角B 满足()3f B =,且
3b =,试求ABC ?面积的最大值.
11、在ABC ?中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且4a =,3cos 4
A =
,57
sin B =
,4c >. (1)求b ;
(2)求ABC ?的周长.
12、设ABC ?三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知3
c π
=
,cos cos a A b B =.
(1)求角A 的大小;
(2)如图所示,在ABC ?的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线,垂足分别是M 、N .设PCA α∠=,求
.
13、ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .(1)求C ;
(2)若c =ABC ??14(1(215、)
B 平行(1(216A ,B (1(2【解析】(1)在OB
C ?中,1)BC =,OB OC ==由余弦定理,有222cos 2OB OC BC BOC OB OC +-∠====?∴6
BOC π
∠=
于是
的长为
22
426
3
π
?=
(2)设AOC θ∠=,2
(0,)3
θπ∈
则2
3
BOC πθ∠=-
AOC BOC OACB S S S ??=+四边形又2
(0,)3
θπ∈
∴5(,)666π
ππθ∈ 故当62
π
π
θ+
=
,即3
π
θ=
时,四边形OACB 的面积最大,且最大值为163
17、在△ABC 中,若2AB =,2AC BC =,求ABC S ?的最大值.
【解析】(法一)由余弦定理,有222222
424cos 244a c b a a a B ac a a +-+--===
又由三角形三边关系,有:a b c a c b +>??+>?,即22
22a a a a
?+>??
+>??222222a ?-<<+ 故当212a =,即23a =时,ABC S ?最大,且max 128
[]82216
ABC S ?=
== (法二)∵22
22
a b c a a p ++++=
= ∴222222
a a a a p a a +-+-=
-= 于是由海伦公式,有:()()()ABC S p p a p b p c ?=---
又由三角形三边关系,有:
a b c
a c b
+>
?
?
+>
?
,即
2
2
a
a
?>
?
?
+>
?
?
22
a
?<<
故当212
a=
,即a=
ABC
S
?
最大,且
max
[]
ABC
S
?
===
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A 教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形. 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,, 等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2-b23bc,sin C3B,则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b,代入a2-b23得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a7b, 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ,所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B,则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,故cos B=2 , 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???, 正弦定理与余弦定理 1.已知△ABC 中,a=4,ο 30,34==A b ,则B 等于( ) A .30° B.30° 或150° C.60° D.60°或120° 2.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3,则角C 的大小为( ) A .75° B.60° C.45° D.30° 3.已知ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边,若0cos cos )2(=++C b B c a ,则角B 的大小为( ) A . 6 π B . 3 π C . 32π D .6 5π 4.在?ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2,ac a b 322=-,则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知a=5,c=10,A=30°,则B 等于( ) A .105° B.60° C.15° D.105° 或 15° 6.已知ABC ?中,75 6,8,cos 96 BC AC C ===,则ABC ?的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形 7.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2B C =,2cos 2cos b C c B a -=,则角A 的大小为( ) A . 2π B .3π C .4π D .6 π 8.在△ABC 中,若sin 2 A +sin 2 B <sin 2 C ,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 9.在ABC ?中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C =( ) A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10.在ABC ?中,a b c ,,分别为角A B C ,,所对边,若2cos a b C =,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰或直角三角形 11.在△ABC 中,cos 2 =,则△ABC 为( )三角形. A .正 B .直角 C .等腰直角 D .等腰 12.在△ABC 中,A=60°,a=4,b=4 ,则B 等于( ) A .B=45°或135° B .B=135° C .B=45° D .以上答案都不对 13.在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=( ) 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导; 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形; 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用; 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin _B ∶sin _C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos_A ,b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos_B ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos_C .余弦 定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab .1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
正弦定理与余弦定理地综合应用
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理和余弦定理详细讲解