1.2求下列各式的值。
〔1<
3-i>5 解：3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>]
=2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>]
=25<-
3/2-i/2> =-163-16i
1.2求下列式子的值
〔2〔1+i 6
解：令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2
tan θ=x y =1
x>0,y>0
∴θ属于第一象限角
∴θ=4
π ∴1+i=2〔cos
4π+isin 4
π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i
=-8i
1.2求下式的值 <3>61-
因为
-1=〔cos π+sin π
所以
61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>]
1.2〔4求<1-i>3
1的值。
解：<1-i>31 =[2
12)18(-k ∏>+isin<12
)18(-k ∏>]
解：所求方程的根就是w=38-
因为-8=8〔cos π+isin π 所以38-= ρ [cos<π+2k π>/3+isin<π+2k π>/3] k=0,1,2 其中ρ=3r =38=2
即
1w =2[cos π/3+isin π/3]=1—3i
2w =2[cos<π+2π>/3+isin<π+2π>/3]=-2
3w =2[cos<π+4π>/3+isin<π+4π>/3]= 1—3i
习题二
1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。
<1> Im
解：设z=x+iy
因为Im
而),(∞-∞∈x
所以,不等式所确定的区域D 为：不包括实轴的上半平面。
由所确定的区域可知,不存在某一个正数M,使得确定区域内的每个点z 满足M z <,所以该区域是无界的。
在该区域D 内任意作一条简单闭曲线,该曲线的内部总是属于D 区域,所以区域D 为单连通区域。
综上所述,该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域,是无界的单连通区域。
描出下列不等式的区域或闭区域,并指出它是有界还是无界的,单连通的还是多连通的。
1.5〔2
解：该不等式的区域如图所示：
圆+=4的外部〔不包括圆周,无界的,为开的多连通区域
1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的
1 5 x
y
0
由直线X=0与X=1所围成的带形区域,不包括两直线在内,是无界的、开的单连通区域。
1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的：
解：
3
2≤
≤z即9
42
2≤
+
≤y
x为由圆周4
2
2=
+y
x与9
2
2=
+y
x所围成的环形闭区域〔包括圆周,是有界多连通闭区域。
如图：
已知映射w=z3, 求
（1）点z1=i,z2=1+i,z3=3+i,在w平面上的像。
解：z=r eiθ,则w=z3r3。于是
⑴ Z 1=i=e 2 i ,
z 2=1+i=<>=
Z 3=+i=2〔+i =2<>=
经映射后在w 平面上的像分别是
W 1==-i,
W 2==〔-+i =-2+i2,
W 3=
=8i
第47页 3.5计算下列各题 〔1= =-<
dz >
=cos1-sin1
注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f〔z=1/z2
当z→0时,极限不存在
解法一：首先假设z＝r e iθ
则有：
＝r2 < e-2 iθ- e2 iθ >/ r2
＝-2isin2θ
可见是随θ发生变化而变化的变量
所以根据极限必须为常数可知
当z→0时,极限不存在
是以此题得证。
解法二：首先假设z＝x+iy
则
＝
＝-4ixy/ x2 ＋y2
所以可见,当z→0时,
即当x→0, y→0时
因为有lim
所以当z→0时,
f〔z=1/z2
是以此题得证。
2.1 利用导数定义推出：
〔1
解 0
lim →∆z z z z z n n ∆-∆+)( = 0lim →∆z z
z z c z z c z z c z c n
n n n n n n n n n ∆-∆++∆+∆+-- 222110 =0
lim →∆z n 1-∆n z > =nz 1-n 2.1 <2> <>ˊ=- = =- <2>f 26x x u =∂∂ ,0=∂∂y u ,0=∂∂x v , 29y y v =∂∂ 上述4个偏导处处连续,但仅当2x 2=3y 2时C-R 方程成立。因而函数只 在直线x 2±y3=0上可导,但是在复平面上不解析。 习题2 2.2的第一小题 下列函数在何处可导？何处解析？ 解： 在 z 平面上处处连续,且当且仅当 2x = −1 时,u,v 才满足C-R 条件,故f 直线 2 1 -= x 上可导,在z 平面上处处不解析。 7.6<2>：求下列函数的傅里叶变换：f = = = = = 2．2以下函数何处可导？何处解析？ f 〔z=sinxchy+icosxshy 解： u=sinxchy v=cosxshy 可得 并且上述四个一阶偏导数均连续,所以f 25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数 <1> 解：由题可知 其导数f ’ 25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数 〔2iz z 23+ 解：设()iz z z f 23+=,iy x z += 则()()()x y y x i y xy x y x f 2323,3223+-+--= 令 x y y x v y xy x u 23233223--=--= 则 263322--=-=xy u y x u y x 2 2332 6y x v xy v y x -=+= 又令 ''y x v u =''x y v u -= 即2 2 23 2 x- = - y x 3y 3 3 所以()z f在复平面内处处解析,即iz 3+在复平面内处处解析,其导数 z2 为i z2 32+。 ２．３题：指出下列函数的解析性区域,并求其导数； 〔３ｆ〔ｚ＝ 解：令－１＝０得 ｚ＝－１和ｚ＝１ 所以该函数除ｚ＝－１和ｚ＝１外在复平面上处处解析； 该函数的导数为：＝－ 25页：习题二 2.3指出下列函数的解析性区域,并求其倒数。 〔4. 解. 当c=0时,函数在复平面处处解析； 〔的倒数为； 当c！=0时：函数除z=-外在复平面处处可导,处处解析； 〔的倒数为 = 第二章2.4求下列函数的奇点； 〔1 解: 因为：当z<>=0; 所以 z=0；=-1 由Z= 计m=-1=cos π+i sin π Z= =cos +i sin 〔n=0,1 当n=0时,z=i ； 当n=1时,z=-i ； 所以本题奇点分别为0；-i ; i ; 2.4 求下列函数的奇点: <2> .)1()1(222++-z z z 解:令原函数分母.,10)1(1)(z 22i z z ±-=⇒=++ 即:原函数在i z ±-=,1处不解析, 故原函数的奇点为.,1i ±- 2.10求Ln 〔-i,Ln 〔-3+4i 和他们的主值。 解： Ln 〔-i=Ln|-i|+i 〔arg 〔-i+2k π=i 〔- +2k π =i π〔2k- ,k=0,+1,+2,… ln 〔-i=ln|-i| + i arg 〔-i=- Ln 〔-3+4i=ln|-3+4i| + i ［arg 〔-3+4i+2k π］ =ln5+i ［〔π-arctan +2k π］ =ln5-i ［〔arctan -〔2k+1π］,k=0,+1,+2,… ln 〔-3+4i=ln|-3+4i| + i arg<-3+4i>=ln5+i<π-arctan > 习题2.12 21π*-i e =e *2π*-i e =e *())2sin()2cos(ππi -=)(i e -* 4)i 1 (π*+e =4e 4π**i e =4e ())4sin()4cos(ππi +*==4e *⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222 i =244e *()i +*1 i 3=3Ln i e *=()33ln iArg i e +*=πk e 2-*3ln e =()3ln sin 3ln cos 2i e k +*-π ()i i +1=()i Ln i e +*1=()()()i iArg i lm i e +++*1|1|=()()π*412|1|ln +-+**k i i e e = ()π *412+-k e ⎪⎭⎫ ⎝⎛+*22ln sin 22 ln cos i 习题三 46页 3.1沿下列路线计算积分 ： 〔1自原点至3+i 的直线段； 解：此直线的参数方程可写成： x=3t,y=t, 0t 1, 或 z=3t+it,0t 1, z=3t+it, =〔3+i .于是 = 书46页 3.1沿下列路线计算积分dz z i ⎰+302: (2)自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至.3i + 解:设iy x z +=,:1c 原点到3,[]3,0,0∈=x y 3:2c 到,3i +()0,3到(),1,3[],1,0,3∈=y x 3.2 试用积分⎰c dz z z 的值,其中C 为正向圆周：2=z . 解：正向圆周 2=z 的参数方程为：)20(2π≤≤=t e z it 由公式得： i dt i dt ie e e dz z z it it it c πππ422222020===⎰⎰⎰ 复变函数期中作业 习题三 3．4沿指定曲线的正向计算下列各积分: 〔1 解：由柯西积分公式得 3.4 〔4 , C:|z|=2 解：因为 C：|z|=2,被积函数奇点z=3 所以 f〔z=在D内解析 所以=0 习题三3.4〔8 dz/ C:∣z∣=1 解：取=0在C内,f 所以,原式=f 习题三 3.4 〔5 dz ,C为包围Z=0的闭曲线。 解：因为解析函数,也为解析函数 ,两个解析函数相乘的积还是解析函数。 所以由柯西积分定理得 dz=0 )4)(1(22++⎰z z dz c ,c=|z|=2 3 ∵该区域内,z=±i 为奇点 则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+--=+-+=+-+=++c c c c c c dz z dz i z i z i dz z dz z dz z z z z dz ]41)11([6]4111[31)4111(31)4)(1(2222222∵⎰+c dz z 412的奇点不在|z|=2 3的范围内, 则⎰+c dz z 4 12=0, 原式=⎰⎰=-=+--c c i i i dz i z dz i z i 0)22(6]11[6ππ 1.2求下列各式的值。 〔1< 3-i>5 解：3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>] =2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>] =25<- 3/2-i/2> =-163-16i 1.2求下列式子的值 〔2〔1+i 6 解：令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 x>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ=4 π ∴1+i=2〔cos 4π+isin 4 π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i =-8i 1.2求下式的值 <3>61- 因为 -1=〔cos π+sin π 所以 61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>] （1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i （2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 x>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ=4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61- 因为 -1=（cos π+sin π） 所以 61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)31 的值。 解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12) 18(- k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2 其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0 复变函数课后答案 复变函数是数学中的一个重要的分支，它将实变函数的概念引入到复数域中。复变函数的研究对于科学和工程领域有着广泛的应用，因此学习复变函数是数学学生的必修课程之一。在学习过程中，课后习题是一个不可或缺的重要环节。本文将为读者提供复变函数课后答案，希望可以帮助大家在学习上得到更好的理解和掌握。 一、Cauchy-Riemann方程 Cauchy-Riemann方程是研究复变函数的基础。它是一个关于函数的实部和虚部的偏微分方程组。具体而言，设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是一个复变函数，其中$x,y\in\mathbb{R}$是实数，$z=x+iy$是一个复数，那么Cauchy-Riemann方程可以表示为： $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$ 当且仅当复变函数满足Cauchy-Riemann方程时，它才是解析的。此外，如果$f(z)$是解析的，则它在一个开放的区域内是无限可微的。这是我们在复分析中经常使用的重要性质。 二、复积分 复积分是计算复变函数的积分的一种方法。与实变函数中的积分不同的是，复变函数的积分是在复平面上的路径上取值的。具 体而言，设$f(z)$是一个在复平面上连续的函数，$C$是一条连接$z_0$和$z_1$的可求长曲线，则$f(z)$沿着$C$的积分定义为： $$ \int_Cf(z)dz=\int_C [u(x,y)dx-v(x,y)dy]+i\int_C [u(x,y)dy+v(x,y)dx] $$ 其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别是$f(z)$的实部和虚部。如果 $\int_Cf(z)dz=0$，则称$f(z)$沿着$C$是可积的。 三、Laurent级数 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±± 1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 1.10 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 精心整理 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （ 1） 1 （2） i 2i 1)(i 2) 3 (i （3） 1 3i （4） i 8 4i 21 i i 1 i 解：（ 1） z 1 3 2i ， 3 2i 13 因此： Re z 3 , Im z 2 ， 13 13 （ 2） z i i 3 i ， (i 1)(i 2) 1 3i 10 因此， Re z 3 , Im z 1 ， 10 10 （ 3） z 1 3i i i 3 3i 3 5i ， i 1 2 2 因此， Re z 3 , Im z 5 ， 3 2 （ 4） z i 8 4i 21 i 1 4i i 1 3i 因此， Re z 1, Im z 3， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （ ） （ ） 1 3i （ ） r (sin i cos ) 1 i 2 3 （ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin (0 2 ) 解：（ 1） i cos i sin i e 2 2 2 2 2 2 （2） 1 3i i 2(cos i sin ) 2e 3 3 3 （ 3） r (sin i cos ) r[cos( ) i sin( )] ( ) i 2 re 2 2 （ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )] re i （5）1 cos i sin 2sin 2 2 2i sin cos 2 2 页脚内容 .. 3． 求下列各式的值： （1）( 3 i)5 （ 2） (1 i )100 (1 i)100 （3） (1 3i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5 )2 (1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3 )3 （5） 3 i （ ） 1 i 6 解：（ 1） ( 3 i )5 [2(cos( ) i sin( ))] 5 6 6 （2） (1 i )100 (1 i)100 (2i ) 50 ( 2i ) 50 2(2) 50 251 （3） (1 3i )(cos i sin ) (1 i )(cos i sin ) (cos5 i sin 5 ) 2 （4） i sin 3 )3 (cos3 （5） 3 i 3 cos i sin 2 2 （6） 1 i 2(cos i sin ) 4 4 4． 设 z 1 1 i , z 2 3 i, 试用三角形式表示 z z 与 z 1 2 1 2 z 2 解： z cos i sin , z 2 2[cos( ) i sin( )] ，所以 1 4 4 6 6 z 1z 2 2[cos( ) i sin( 4 6 )] 2(cos 12 i sin ) ， 4 6 12 5． 解下列方程： （1） (z i )5 1（ 2） z 4 a 4 0 ( a 0) 解：（ 1） z i 5 1,由此 z 5 1 i 2 k i i ， (k 0,1,2,3,4) e 5 （2） z 4 a 4 4 a 4 (cos i sin ) .. 复变函数习题总汇与参考答案(总 21页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z| 4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。 三、计算题 1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i 的三角式。 解： 3、写出复数 的代数式。 解： 4、求根式 的值。 +∞→n lim +∞→n lim ππ4 5|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312 121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-113 27- 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/4 3513; ;(2)(43); 71 1i i e i i i i i -++++ ++. ①解： i 4πππe cos i sin 442222-?????? =-+-=+- = ? ? ? ??????? ②解： ()() ()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 25 25 +-+= =- + +- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 2 22-+ -+ =-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 3 3 311;;;.22n z i ????-+-- ? ????? ①解： ∵设z =x +iy 则 ()()()()()()() 2 2 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-???? = = = +++++++ ∴()2 2 2 22 R e z a x a y z a x a y ---?? = ?+??++, () 2 2 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+?? ++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()3 2 322222 222 3 22 3 i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()3 2 3 Im 3z x y y =-． ③解： ∵( ( )( ){ } 3 3 2 3 2111313128 8-+? ?? ? ==--?-? +?-- ? ?????? ? ?? ()180i 18 = += p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分C 1/(z + 2) dz 之值证明[0, ] (1 + 2 cos )/(5 + 4cos ) d = 0，其中C 取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故C 1/(z + 2) dz = 0． 设C : z () = e i ，[0, 2]． 则C 1/(z + 2) dz = C 1/(z + 2) dz = [0, 2] i e i /(e i + 2) d = [0, 2] i (cos + i sin )/(cos + i sin + 2) d = [0, 2] ( 2 sin + i (1 + 2cos ))/(5 + 4cos ) d = [0, 2] ( 2 sin )/(5 + 4cos ) d + i [0, 2] (1 + 2cos )/(5 + 4cos ) d ． 所以[0, 2] (1 + 2cos )/(5 + 4cos ) d = 0． 因(1 + 2cos ))/(5 + 4cos )以2为周期，故[, ] (1 + 2cos )/(5 + 4cos ) d = 0； 因(1 + 2cos ))/(5 + 4cos )为偶函数，故 [0, ] (1 + 2 cos )/(5 + 4cos ) d = (1/2) [, ] (1 + 2cos )/(5 + 4cos ) d = 0． 7. (分部积分法)设函数f (z ), g (z )在单连通区域D 内解析，, 是D 内两点，试证 [, ] f (z )g ’(z )dz = ( f (z )g (z ))|[, ] [, ] g (z ) f ’(z )dz ． 【解】因f (z ), g (z )区域D 内解析，故f (z )g ’(z )，g (z ) f ’(z )，以及( f (z )g (z ))’都在D 内解析．因区域D 是单连通的，所以f (z )g ’(z )，g (z ) f ’(z )，以及( f (z )g (z ))’的积分都与路径无关． [, ] f (z )g ’(z )dz + [, ] g (z ) f ’(z )dz = [, ] ( f (z )g ’(z )dz + g (z ) f ’(z ))dz = [, ] ( f (z )g (z ))’ dz ． 而f (z )g (z )是( f (z )g (z ))’在单连通区域D 内的一个原函数，所以 [, ] ( f (z )g (z ))’ dz = f ( )g () f ()g () = ( f (z )g (z ))|[, ]． 因此有[, ] f (z )g ’(z )dz + [, ] g (z ) f ’(z )dz = ( f (z )g (z ))|[, ]， 即[, ] f (z )g ’(z )dz = ( f (z )g (z ))|[, ] [, ] g (z ) f ’(z )dz ． 13. 设C : z = z (t ) ( t )为区域D 内的光滑曲线，f (z )于区域D 内单叶解析且f ’(z ) 0，w = f (z )将曲线C 映成曲线，求证 亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z () z ()时，C 不是闭曲线．此时z (t )是[, ]到D 内的单射，z (t )C 1[, ]，且在[, ]上，| z ’(t ) | 0． 因 是曲线C 在映射f 下的象，所以 可表示为w = f (z (t )) ( t )． t [, ]，z (t )D ．因f 于区域D 内解析，故f 在z (t )处解析， 因此f (z (t ))在t 处可导，且导数为f ’(z (t ))z ’(t )． 显然，f ’(z (t ))z ’(t )在[, ]上是连续的，所以f (z (t ))C 1[, ]． 因为f (z )于区域D 内是单叶的，即f (z )是区域D 到的单射，而z (t )是[, ]到D 内的单射，故f (z (t ))是[, ]到内的单射． 第二章习题 姓名：学号：专业： 一、填空题 1.MCS-51系列单片机为8 位单片机,，51系列单片机的地址线有16 条， 共有40 个引脚。 2.当单片机的PSW=01H时，这时当前的工作寄存器区是0区，R4所对 应的存储单元地址为04H。 3.单片机外部三大总线分别为地址总线、数据总线和控制总线。 4.8051内部有4并行口，P0口直接作输出口时，必须外接上拉电阻；并 行口作输入口时，必须先置1，才能读入外设的状态。 5.MCS—51的存储器空间配置从功能上可分为四种类型：_外部数据存储器_、 内部数据存储器、__内部程序存储器__、外部程序存储器。 6.设计一个以AT89C51单片机为核心的系统，如果不外扩程序存储器，使其 内部4KB闪烁程序存储器有效，则其EA*引脚应该接高电平。 7.半导体存储器分成两大类程序存储器和数据存储器，其中数据存 储器具有易失性，常用于存储临时数据。 8.PC存放下一条将要从程序存储器取出指令的地址,具有自动加1特性。在 8051中决定程序执行顺序的是PC还是DPTR？PC 。DPTR存放存放16 位地址，作为片外RAM寻址用的地址寄存器（间接寻址），故称数据指针。 9.8051单片机的内部硬件结构包括了：CPU、程序存储器、数据存储器、 和定时计数器以及并行I/O口、串行口、中断控制系统、时钟电路、位处理器等部件，这些部件通过总线相连接。 10.一个完整的微机系统由硬件和软件两大部分组成。 11.MCS—5l单片机的堆栈区只可设置在片内RAM，堆栈寄存器SP 是8位寄存器。 12.AT89S51复位后，PC与SP的值为分别为0000H 和07H 。 13.P2口通常用作_地址总线高八位，也可以作通用的I/O口使用。 14.MCS—51单片机的P0—P4口均是并行I／O口，其中的P0口和P2 口除了可以进行数据的输入、输出外，通常还用来构建系统的数据总线 精心整理 页脚内容 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 132i - （（（2（（（2）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ .. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ϕϕϕϕ+- （5 = （6 = 4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z == 第一章习题 1 ．设 12z -= ，求||z 及Arg z . 2 ．设 12z z i = =，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z . 3．解二项方程 44 0(0).z a a +=> 4．证明 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及 试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。 6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1） 1|212|||,() z z z z z z -=-≠； （2）|||4|z z ≤-； （3）111z z -<+； （4） 0arg(1) 2Re 3 4 z z π <-< ≤≤且； （5）|| 2 z >且|3|1z ->； （6）Im 1 ||2z z ><且； （7） ||2 0arg 4z z π <<< 且； （8） 131 2222i i z z - >->且. 7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数） 8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=. 其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且 2 ||.AC β> 9．试证：复平面上的三点 1 ,0, a bi a bi +-+共直线。 10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线： （1）(1)z i t =+； （2）cos sin z a t ib t =+； （3） i z t t =+ ； （4） 22i z t t =+ . 11．函数 1 w z = 将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线 （,z x iy w u iv =+=+）？ （1）22 4;x y +=（2）y x =； （3）x = 1； （4）( x -1)2+y 2=1. 12．试证： （1）多项式 1 010()(0)n n n p z a z a z a a -=+++≠在z 平面上连续； （2）有理分式函数 1011 01()n n n m m m a z a z a f z b z b z b --++ +=+++ （000,0a b ≠≠）在z 平面上除分母为的点外都连续。 复变函数课后习题答案 习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）（2）（3）（4）解：（1），因此：，（2），因此，，（3），因此，，（4）因此，，2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）3．求下列各式的值： （1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4．设试用三角形式表示与解：，所以，5．解下列方程：（1）（2）解：（1）由此，（2），当时，对应的4个根分别为： 6．证明下列各题：（1）设则证明：首先，显然有； 其次，因固此有从而。 （2）对任意复数有证明：验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。 证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据 复数的乘法运算规则，，由此得到： 由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。 （4）若则皆有证明：根据已知条件，有，因此： ，证毕。 （5）若，则有证明：，，因为，所以，，因而，即，结论得证。 7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。 解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，，8．试用来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到： 三个点共线的条件是为实数。 9．写出过两点的直线的复参数方程。 解：过两点的直线的实参数方程为： ，因而，复参数方程为： 其中为实参数。 10．下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）（1） 复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z| 4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必 要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。 三、计算题 1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i 的三角式。 解： 3、写出复数 的代数式。 解： +∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12 )1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312 121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-11 习题一答案 1．求以下复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： 〔 1〕 1 〔〕 i 3 2i 2 1)(i 2) (i 〔3〕 1 3i 〔4〕i 8 4i 21 i i 1 i 1 3 2i ， 解：〔 1〕z 3 2i 13 因此： Re z 3 , Im z 2 ， 13 13 z 1 , arg z arctan 2 , z 3 2 i 13 3 13 13 〔 2〕z i i 3 i (i 1)(i 2) 1 3i 10 ， 因此， Rez 3 , Im z 1 ， 10 10 z 1 , arg z arctan 1 , z 3 1 i 10 3 10 10 〔 3〕z 1 3i i 3 3i 3 5i ， i 1 i 2 2 因此， Rez 3 , Im z 5 ， 3 2 z 34 , arg z arctan 5 , z 3 5i 2 i 8 4i 21 3 2 〔 4〕z i 1 4i i 1 3i 因此， Rez 1, Im z 3， z 10, arg z arctan3, z 1 3i 2．将以下复数化为三角表达式和指数表达式： 〔 1〕i 〔2〕1 3i 〔3〕r (sin i cos ) 〔 4〕r (cos i sin ) 〔5〕1 cos i sin (0 2 ) 解：〔 1〕i cos i sin i e 2 2 2 〔 2〕13i 2(cos 2 i sin 2 2 i ) 2e 3 3 3 （ 3〕 （ 4〕 r (sin i cos ) r[cos( ) i sin( )] ()i re 2 2 2 r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )] re i 〔5〕1 cos i sin 2sin 2 2i sin cos 2 2 2 2sin [cos i sin ] 2sin i 2 e 2 2 2 2 3．求以下各式的值： 〔1〕( 3 i) 5 〔2〕(1 i )100 (1 i) 100 〔3〕 （ 5〕3 (1 3i)(cos i sin ) (cos5 i sin 5 )2 (1 i )(cos i sin ) 〔 4〕 i sin 3 )3 (cos3 i 〔6〕 1 i 解：〔 1〕( 3 i)5 [2(cos( ) i sin( ))]5 6 6 5 ) 5 )) 16( 3 i) 25 (cos( i sin( 6 6 〔2〕(1 i ) 100 (1 i) 100 (2i )50 ( 2i ) 50 2(2) 50 251 (1 3i )(cos i sin ) 〔 3〕 i )(cos i sin ) (1 2[cos( ) i sin( )](cos i sin ) 3 3 2[cos( ) i sin( )][cos( ) i sin( )] 4 4 2[cos( ) i sin( )](cos2 i sin 2 ) 12 12 (2 )i 2[cos(2 ) i sin(2 )] 2e 12 12 12 复变函数课后习题答案第四版高等教育出版社完整 版 习题一解答? 1 .求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 1 1 3i 3 + 4i 25i 8 21 ( 1 ) ; ( 2 ); ( 3 ) ; ( 4 ) i4i + i 3 + 2i i 1i 2i 1 32i 1 解( 1 ) 32i 3 + 2i 3 + 2i32i 13 所以 1 312? Re , Im , 3 + 2i 13 3 + 2i 132 2 1 1 13? 313 3 + 2i , + , 3 + 2i 13 3 + 2i 13 13 13? 1? 1 Arg arg + 2k π 3 + 2i 3 + 2i2 arctan + 2k π , k 0, ±1, ±2,3 1 3ii 3i 1 + i 1 3 5 ( 2 ) ?i ?3 + 3i i, i 1i ii 1i 1 + i 2 2 2 所以 1 3i 3? Re ,i 1i 21 3i5 Im? i 1i 2? 2 2 1 3i 3 5 1 3i 3 5 34 + i , + ,? i 1i 2 2 i 1i 2 2 2 1 3i 1 3iArg arg+ 2k π i 1i i 1i5 arctan + 2k π , k 0 , ±1 , ±2 , 3 3 + 4i 25i 3 + 4i25i2i 267i 2i ( 3 ) 2i 2i2i 4 ?726i 7 ?13i 2 2 所以 3 + 4i 25i 7? Re ,2i 2 3 + 4i 25i Im ?13 ,2i? 1? 3 + 4i 25i 7 + l3i2i 2? 3 + 4i 25i 5 29 , 2i 2 3 + 4i 25i 3 + 4i 25i 26Arg arg + 2k π 2 arctanπ + 2k π2i 2i 726 arctan + 2k ?1 π , k 0, ±1, ±2, 7 4 10 4 10 8 21 2 2 ( 4 ) i4i + i i 4 i i + i ?14 ?1 i + i 14i + i 13i 所以 8 21 8 21 Re i4i + i 1, Im i4i + i ?3 8 21 8 21? i4i + i 1 + 3i , | i4i + i | 10 8 21 8 21Arg i4i + i arg i4i + i + 2k π arg 13i + 2k π?arctan3 + 2k π k 0, ±1, ±2,复变函数课后部分习题解答
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