第10章
1．在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ）。
A ．总体线性关系的显著性
B ．各回归系数的显著性
C ．样本线性关系的显著性
D ．H 0：β1＝β2＝…＝βk ＝0，
2．在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数βi 的取值（ ）。
A ．可能接近0
B ．可能为1
C ．可能小于0
D ．可能大于1
3．在多元线性回归方程01122i k k y x x x ββββ=++++中，回归系数k β表示
（ ）。
A ．自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β
B ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β
C ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的总变动总量为k β
D ．因变量y 变动一个单位时，自变量x i 的变动总量为k β
4．在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R 2，这样可以避免R 2的值（ ）。
A ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1
B ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0
C ．由于模型中样本量的增加而越来越接近1
D ．由于模型中样本量的增加而越来越接近0
5．在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）。
A ．在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著
B ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著
C ．在多个自变量变中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著
D ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著
6．在多元线性回归分析中， 如果t 检验表明回归系数βi 不显著，则意味着（ ）。
A ．整个回归方程的线性关系不显著
B ．整个回归方程的线性关系显著
C ．自变量x i 与因变量之间的线性关系不显著
D ．自变量x i 与因变量之间的线性关系显著
7．在多元线性回归分析中，多重共线性是指模型中（ ）。
A ．两个或两个以上的自变量彼此相关
B ．两个或两个以上的自变量彼此无关
C．因变量与一个自变量相关
D．因变量与两个或两个以上的自变量相关
8．在多元线性回归分析中，如果F检验表明回归方程的线性关系显著，则（）。
A．表明每个自变量与因变量的关系都显著
B．表明至少有一个自变量与因变量的线性关系显著
C．意味着每个自变量与因变量的关系都不显著
D．意味着至少有一个自变量与因变量的关系不显著
9．如果回归模型中存在多重共线性，则（）。
A．整个回归模型线性关系不显著
B．肯定有一个回归系数通不过显著性检验
C．肯定导致某个回归系数的符号与预期相反
D．可能导致某些回归系数通不过显著性检验
10．如果某个回归系数的正负号与预期相反，则表明（）。
A．所建立的回归模型是错误的
B．该自变量与因变量之间的线性关系不显著
C．模型中可能存在多重共线性
D．模型中肯定不存在多重共线性
11．虚拟自变量的回归是指在回归模型中含有（）。
A．分类自变量B．数值型自变量
C．分类因变量D．数值型因变量
12．在多元线性回归分析中，利用逐步回归法可以（）。
A．避免回归模型的线性关系不显著
B．避免所建立的回归模型存在多重共线性
C．提高回归方程的估计精度
D．使预测更加可靠
第十一章一元线性回归 11.1从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下： 要求： （1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。 （3）对相关系数的显著性进行检验（α = 0.05），并说明二者之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。 （2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线性相关系数r = 0.920232。 （3）计算t统计量，得到t = 7.435453，在α = 0.05的显著性水平下，临界值为2.6337，统计量远大于临界值，拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著
的正线性相关关系。r大于0.8，高度相关。 11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：h）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据如下： 要求： （1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态来看，考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。 （2）r = 0.862109，大于0.8，高度相关。 11.3根据一组数据建立的线性回归方程为?100.5 =-。 y x
要求： ?β的意义。 （1）解释截距 ?β意义。 （2）解释斜率 1 （3）计算当x = 6时的E(y)。 解：（1）在回归模型中，一般不能对截距项赋予意义。 ?β的意义为：当x增加1时，y减小0.5。 （2）斜率 1 （3）当x = 6时，E(y) = 10 – 0.5 * 6 = 7。 11.4 设SSR = 36，SSE = 4，n = 18。 要求： （1）计算判定系数R2并解释其意义。 （2）计算估计标准误差s e并解释其意义。 解：SST = SSR+SSE = 36+4 = 40， R2 = SSR / SST = 36 /40 = 0.9，意义为自变量可解释因变量变异的90%，自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。 s== 0.5，这是随机项的标准误差的估计值。 （2） e 11.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系，因此，他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本，得到运送距离（单位：km）和运送时间（单位：天）的数据如下：
Matlab多元线性回归 [ b , bint , r , rint , stats ]=regress ( y , x ) ， 其中b 是回归方程中的参数估计值，bint 是b 的置信区间，r 和rint 分别表示残差及残差对应的置信区间。StatS 数组包含三个数字，分别是相关系数，F 统计量及对应的概率p 值。拟合结果： Y=b(1)x(1)+b(2)x(2)+b(3)x(3)+…+b(n)x(n) b(1)是系数,x(1)为全1的一个列向量。 注意：不是插值。 x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3155 3372];%因变量时间序列数据 y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%自变量时间序列数据 X=[ones(size(x')),x']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05);%调用一元回归分析函数 rcoplot(r,rint)%画出在置信度区间下误差分布. 举例： x = 1 2 4 9 1 4 3 7 1 5 9 0 1 9 1 8 >> y=[10 3 90 48]'; >> [ b , bint , r , rint , stats ]=regress ( y , x ) 得到的结果 b = -186.8333 16.0238 21.8571 8.5952 bint = NaN NaN NaN NaN NaN NaN
第十一章一元线性回归练习题答案 二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需 检验；t 检验; 2. 图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映 线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。 三．计算题 1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。 （2）2418 /6080220/1/==-= SSE SSR F (3)判定系数%14.57140 802 === SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。 (4)7559.05714.02-=-=-=R r 相关系数为-0.7559。 (5)线性关系显著和：线性关系不显著 和y x y x H 10H : 因为414.424=>=αF F ，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。 2.（1） 方差分析表 df SS MS F Significance F 回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计 16 500 － － － （2）判定系数%8585.0500 425 2 ==== SST SSR R 表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。 （3）9220.085.02===R r 二者相关系数为0.9220，属于高度相关 （4） x y 248.1388.6?+= 分布；显著。 的自由度为t n r n r t 2);12 ||2 ---=
回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。 （5）线性关系显著性检验： 线性关系显著 ：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H 因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。 （6） 348.3120248.1388.6248.1388.6?＝＝?++=x y 当产量为10时，生产费用为31.348万元。
云南大学数学与统计学实验教学中心 实验报告 一、实验目的 1.熟悉MATLAB的运行环境. 2.学会初步建立数学模型的方法 3.运用回归分析方法来解决问题 二、实验内容 实验一：某公司出口换回成本分析 对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如下表。试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本. 实验二：某建筑材料公司的销售量因素分析 下表数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品
竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。1）试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。2）建立最优回归模型。 提示：建立一个多元线性回归模型。
三、实验环境 Windows 操作系统; MATLAB 7.0. 四、实验过程 实验一：运用回归分析在MATLAB 里实现 输入：x=[4.20 5.30 7.10 3.70 6.20 3.50 4.80 5.50 4.10 5.00 4.00 3.40 6.90]'; X=[ones(13,1) x]; Y=[1.40 1.20 1.00 1.90 1.30 2.40 1.40 1.60 2.00 1.00 1.60 1.80 1.40]'; plot(x,Y,'*'); [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05); 输出： b = 2.6597 -0.2288 bint = 1.8873 3.4322 -0.3820 -0.0757 stats = 0.4958 10.8168 0.0072 0.0903 即==1,0?6597.2?ββ，-0.2288,0?β的置信区间为[1.8873 3.4322],1,?β的置信区间为[-0.3820 -0.0757]； 2r =0.4958, F=10.8168, p=0.0072 因P<0.05, 可知回归模型 y=2.6597-0.2288x 成立. 1 1.5 2 2.5 散点图 估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。将x=6.5代入回归模型中，得到 >> x=6.5; >> y=2.6597-0.2288*x y = 1.1725
第11章一元线性回归 1.具有相关关系的两个变量的特点是（） A．一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 B．一个变量的取值由另一个变量唯一确定 C．一个变量的取值增大时，另一个变量的取值也一定增大 D．一个变量的取值增大时，另一个变量的取值肯定变小 2.下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题（） A．判断变量之间是否存在关系 B．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C．描述变量之间的关系强度 D．判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 3.下面的假定中，哪个属于相关分析中的假定（）
A．两个变量之间是非线性关系 B．两个变量都是随机变量 C．自变量是随机变量，因变量不是随机变量 D．一个变量的数值增大，另一个变量的数值也应增大 4.如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称两个变量之间为（）A．正线性相关关系 B．负线性相关关系 C．线性相关关系 D．非线性相关关系 5.如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，称为两个变量之间为（） A．完全相关关系 B．正线性相关关系 C．非线性相关关系 D．负线性相关关系 6.下面的陈述哪一个是错误的（） A．相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量
B．相关系数是一个随机变量 C．相关系数的绝对值不会大于1 D．相关系数不会取负值 7.如果相关系数r=0，则表明两个变量之间（） A．相关程度很低 B．不存在任何关系 C．不存在线性相关关系 D．存在非线性相关关系 8.在回归分析中,被预测或被解释的变量称为（） A．自变量 B．因变量 C．随机变量 D．非随机变量 9.在回归分析中,描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项的方程称为（）A．回归方程 B．估计的回归方程 C．回归模型 D．经验回归方程 中，ε反映的是10. 在一元回归模型ε β β+ + y =x 1
一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。 表 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据 年份 t y （万辆） t x （元） 年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图：
从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。 ：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。
在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest） 用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束 得到结果如下;
(如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验） 以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All
第三章 多元线性回归分析 主要内容： ? 多元线性回归模型 ? 多元线性回归模型的参数估计 ? 多元线性回归模型的统计检验 ? 多元线性回归模型的预测 ? 案例 3.1 多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式： i ki k i i i u X X X Y +++++=ββββ 22110 i=1，2，…，n 其中:k 为解释变量的数目，j β称为回归参数（regression coefficient ）。 ki k i i ki i i i X X X X X X Y E ββββ+???+++=2211021),,|( 经济解释：j β也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，j X 每变化1个单位时， Y 的均值E(Y)的变化; 或者说j β给出了j X 的单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。 样本回归函数：用来估计总体回归函数 i =1,2…,n 其随机表示式: i e 称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i u 的近似替代。 i ki ki i i i e X X X Y +++++=ββββ????22110 ki ki i i i X X X Y ββββ?????22110++++=
§3.2 多元线性回归模型的估计 一、普通最小二乘估计 对于随机抽取的n 组观测值 对样本回归函数： i=1,2…n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 ∑∑∑===+???+++-=-==???????? ?????????=?? =?? =?? =?? n i ki k i i i n i n i i i i k X X X Y Y Y e Q Q Q Q Q 1 2 2211011 22 210))????(()?(0?0?0?0?ββββββββ其中 即 Y X X X '='β?)( 由于X X '满秩，故有 Y X X X ''=-1)(?β 随机误差项μ的方差σ的无偏估计 可以证明，随机误差项u 的方差的无偏估计量为 二、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数β的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。 1、 线性 CY Y X X X =''=-1)(?β 其中,C =X X X ''-1 )( 为一仅与固定的X 有关的行向量 2、无偏性 3、有效性（最小方差性） 参数估计量β ?的方差-协方差矩阵 β μX X X βμX βX X X Y X X X β 11=''+=+''=''=---)()())()(())(()?(1E E E E 11 ?2 2 --'= --=∑k n k n e i e e σ Ki ki i i i X X X Y ββββ?????22110++++= k j n i X Y ji i ,2,1,0,,,2,1),,(==
利用Matlab进行线性回归分析 欧阳歌谷（2021.02.01） 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。可以通过软件Matlab实现。 1.利用Matlab软件实现 在Matlab中，可以直接调用命令实现回归分析， （1）[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)，其中b是回归方程中的参数估计值，bint是b的置信区间，r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间。stats包含三个数字，分别是相关系数，F统计量及对应的概率p值。 （2）recplot(r,rint)作残差分析图。 （3）rstool(x,y)一种交互式方式的句柄命令。 以下通过具体的例子来说明。 例现有多个样本的因变量和自变量的数据，下面我们利用Matlab，通过回归分析建立两者之间的回归方程。 % 一元回归分析 x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311
2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据 y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%因变量序列数据 X=[ones(size(x')),x'],pause [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause%调用一元回归分析函数rcoplot(r,rint)%画出在置信度区间下误差分布。 % 多元回归分析 % 输入各种自变量数据 x1=[5.5 2.5 8 3 3 2.9 8 9 4 6.5 5.5 5 6 5 3.5 8 6 4 7.5 7]'; x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 7040 50 62 59]'; x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]'; x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]'; %输入因变量数据 y=[79.3 200.1 163.1 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155 201.4 100.2 135.8 223.3 195]'; X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%回归分析 Q=r'*r sigma=Q/18 rcoplot(r,rint); %逐步回归 X1=[x1,x2,x3,x4];
第十一章 多元线性回归与logistic 回归 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．多元线性回归分析的概念：多元线性回归、偏回归系数、残差。 2．多元线性回归的分析步骤：多元线性回归中偏回归系数及常数项的求法、多元线性回归的应用。 3．多元线性回归分析中的假设检验：建立假设、计算检验统计量、确定P 值下结论。 4．logistic 回归模型结构：模型结构、发病概率比数、比数比。 5．logistic 回归参数估计方法。 6．logistic 回归筛选自变量：似然比检验统计量的计算公式；筛选自变量的方法。 （二）熟悉内容 常用统计软件（SPSS 及SAS ）多元线性回归分析方法：数据准备、操作步骤与结果输出。 （三）了解内容 标准化偏回归系数的解释意义。 二、教学内容精要 (一) 多元线性回归分析的概念 将直线回归分析方法加以推广，用回归方程定量地刻画一个应变量Y 与多个自变量X 间的线形依存关系，称为多元线形回归（multiple linear regression ），简称多元回归（multiple regression ） 基本形式： 01122?k k Y b b X b X b X =+++???+ 式中Y ?为各自变量取某定值条件下应变量均数的估计值，1X ，2X ，…，k X 为自变量，k 为自变量个数，0b 为回归方程常数项，也称为截距，其意义同直线回归，1b ，2b ，…, k b 称为偏回归系数（partial regression coefficient ），j b 表示在除j X 以外的自变量固定条件下，j X 每改变一个单位后Y 的平均改变量。 (二) 多元线性回归的分析步骤 Y ?是与一组自变量1X ，2X ，…，k X 相对应的变量Y 的平均估计值。 多元回归方程中的回归系数1b ，2b ，…, k b 可用最小二乘法求得，也就是求出能使估计 值Y ?和实际观察值Y 的残差平方和22)?(∑∑-=Y Y e i 为最小值的一组回归系数1b ，2b ，…, k b 值。根据以上要求，用数学方法可以得出求回归系数1b ，2b ，…, k b 的下列正规方程组 （normal equation ）：
matlab建立多元线性回归模型并进行显着性检验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回归模型y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 %？ % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显着 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显着 % fH：0或1，0不显着；1显着(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显着线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显着的线性作用% tH：0或1，0不显着；1显着 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显着的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好% 举例说明 % 比如要拟合y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化% x1=rand(10,1)*10; % x2=rand(10,1)*10; % Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据 % X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了
第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导 一、本章基本知识梳理 基本知识点 含义或公式 相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。 函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。 因果关系 有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。 因果关系?相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。 相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按 相关形态分为线性相关、非线性相关等。 线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。 () () ∑∑∑∑∑∑∑ - - -= = 2 2 2 2 y y n x x n y x xy n S S S r y x xy 相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()(). 2;,212:0 :,0:0 2 02 2 1 H n t t H n t t r n r t H H ，拒绝 不能拒绝 检验统计量-?-?--= ≠=α α ρρ 回归方程中的 参数β0和β1 为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时， 其他各种因素对因变量y 的平均影响； β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动 量。 β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑ ?? ? ??--= 2 2 1 x x n y x xy n β 估计标准误差 反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。 ()代替。用大样本条件下，分母可 ；n n y y S e 2 ?2 --= ∑ 总离差平方和S S T 反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。 回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。 残差平方和（剩余）S S E 反映除x 以外的其他因素对y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或残差平方和。
第10章 1．在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ）。 A ．总体线性关系的显著性 B ．各回归系数的显著性 C ．样本线性关系的显著性 D ．H 0：β1＝β2＝…＝βk ＝0， 2．在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数βi 的取值（ ）。 A ．可能接近0 B ．可能为1 C ．可能小于0 D ．可能大于1 3．在多元线性回归方程01122i k k y x x x ββββ=++++中，回归系数k β表示 （ ）。 A ．自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β B ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β C ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的总变动总量为k β D ．因变量y 变动一个单位时，自变量x i 的变动总量为k β 4．在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R 2，这样可以避免R 2的值（ ）。 A ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1 B ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0 C ．由于模型中样本量的增加而越来越接近1 D ．由于模型中样本量的增加而越来越接近0 5．在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）。 A ．在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著 B ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著 C ．在多个自变量变中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著 D ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著 6．在多元线性回归分析中， 如果t 检验表明回归系数βi 不显著，则意味着（ ）。 A ．整个回归方程的线性关系不显著 B ．整个回归方程的线性关系显著 C ．自变量x i 与因变量之间的线性关系不显著 D ．自变量x i 与因变量之间的线性关系显著 7．在多元线性回归分析中，多重共线性是指模型中（ ）。 A ．两个或两个以上的自变量彼此相关 B ．两个或两个以上的自变量彼此无关
第十一章一元线性回归练习题 一． 选择题 1．具有相关关系的两个变量的特点是（ ） A ．一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 B ．一个变量的取值由另一个变量唯一确定 C ．一个变量的取值增大时另一个变量的取值也一定增大 D ．一个变量的取值增大时另一个变量的取值肯定变小 2．下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题 A ．判断变量之间是否存在关系 B ．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C ．描述变量之间的关系强度 D.判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 3.根据下面的散点图，可以判断两个变量之间存在（ ） A. 正线性相关关系 B. 负线性相关关系 C. 非线性关系 D. 函数关系 4.下面的陈述哪一个是错误的（ ） A.相关关系是度量两个变量之间线性关系强度的统计量 B ．相关系数是一个随机变量 C ．相关系数的绝对值不会大于1 D ．相关系数不会取负值 5.根据你的判断，下面的相关系数取值哪一个是错误的（ ） A. -0.86 B. 0.78 C. 1.25 D. 0 6.如果相关系数r=0,则表明两个变量之间（ ） A.相关程度很低 B. 不存在任何关系 C ．不存在线性相关关系 D.存在非线性关系 7. 下列不属于相关关系的现象是（ ） A. 银行的年利息率与贷款总额 B.居民收入与储蓄存款 C.电视机的产量与鸡蛋产量 D.某种商品的销售额与销售价格 8.设产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.87，这说明二者之间存在着（ ） A. 高度相关 B.中度相关 C.低度相关 D.极弱相关 9.在回归分析中，被预测或被解释的变量称为（ ） A.自变量 B.因变量 C.随机变量 D.非随机变量 10. 对两变量的散点图拟合最好的回归线，必须满足一个基本的条件是（ ） A. 2?()y y ∑-最小 B. 2 )(y y ∑-最大 C. 2?()y y ∑-最大 D. 2 )(?y y ∑-最小 11. 下列哪个不属于一元回归中的基本假定（ ） A.误差项i ε服从正态分布 B. 误差项i ε的期望值为0
第12章多元线性回归 多元回归模型与回归方程 多元回归模型 (multiple regression model) 1.一个因变量与两个及两个以上自变量的回归 2.描述因变量y 如何依赖于自变量x1，x2，…，x k和误差项ε的方程，称为多 元回归模型 3.涉及k 个自变量的多元回归模型可表示为 多元回归模型 (基本假定) 1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0 2.对于自变量x1，x2，…，x k的所有值，ε的方差σ2都相同 3.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)，且相互独立 多元回归方程 (multiple regression equation) 1.描述因变量y 的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2，…，x k的方程 2.多元线性回归方程的形式为 E( y ) = β0+ β1 x1+ β2 x2+…+ βk x k 二元回归方程的直观解释 估计的多元回归方程 估计的多元回归的方程 (estimated multiple regression equation) 1.用样本统计量估计回归方程中的参数 时得到的方程 2.由最小二乘法求得 3.一般形式为 参数的最小二乘估计 参数的最小二乘法 参数的最小二乘法 (例题分析) 多重判定系数 多重判定系数 (multiple coefficient of determination) 1.回归平方和占总平方和的比例 2.计算公式为 3.因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例 修正多重判定系数 (adjusted multiple coefficient of determination) 1.用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 2.计算公式为 3.避免增加自变量而高估R2 4.意义与R2类似 5.数值小于R2 估计标准误差S y
多元线性回归matlab中求解 源代码： y=data(:,1); >> x=data(:,2:3); >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) 结果： b =1.6031 21.0280 bint =0.6449 2.5612 14.4526 27.6034 r =-16.2442 8.8754 17.5828 8.3155 7.6692 -20.7990 0.1578 9.1298 21.1145 -28.9567 rint =-54.5200 22.0316 -28.0267 45.7775 -15.2745 50.4401 -29.9540 46.5850 -30.7374 46.0758 -57.6551 16.0572 -40.7942 41.1098 -30.8252 49.0848 -15.2155 57.4446 -59.3228 1.4095 stats =1.0148 742.1191 0.0000 322.5068 分析结果： stats四个值说明：判决系数r^2，,F统计值，p值，误差方差 y=a1*x（1）+a2*x（2）;其中a1=1.6031,a2=21.0280, a1的置信区间【0.6449,2.5612】，a2的置信区间【14.45426，27.6043】，p小于0.05，说明显著效果很好，越小越好 在spss中求解：
线性规划matlab求解 例1：c=[2;3;1]; mix z=2*x1+3*x2+x3 >> a=[1 4 2;3 2 0]; s.t 1.x1+4*x2+2*x3>=8; >> b=[8;6]; 2.3*x1+2*x2>=6; >> [x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1) ) 3.x1>=0,x2>=0,x3>=0结果：x =0.8066
第12章多元线性回归 12.1 考点归纳 【知识框架】 【考点提示】 （1）多元线性回归模型，包括回归模型的基本假定（简答题考点），最小二乘估计（选择题、计算题考点）； （2）回归模型的拟合优度评价（简答题、计算题考点）； （3）显著性检验（计算题考点）； （4）多重共线性的含义、产生的问题、判别及处理方式（简答题考点）。 【核心考点】
考点一：多元线性回归模型 1．回归模型假定 （1）E （ε）＝0； （2）D （ε）＝σ2； （3）()2 cov ,0 i j i j i j σεε?==?≠? 2．参数的最小二乘估计 使残差平方和 Q ＝∑（y i －y ∧i ）2＝∑（y ∧i ＝β∧0－β∧1x 1－β∧2x 2－…－β∧k x k ）2达到最小的β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k 。由此可以得到求解β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k 的标准方程组为： 00?0?00,1,2,,i i ββi ββQ βQ i k β==??=??????==??? 多元线性回归的最小二乘估计是最优线性无偏估计。 考点二：回归方程的拟合优度 表12-1 多元线性回归方程的评价
【提示】实际应用中，采用调整的判定系数来评价多元回归方程的拟合优度。 【真题精选】 多元线性回归模型的调整的多重判定系数取值范围在0至1之间。[对外经济贸易大学2018研] 【答案】√ 【解析】多重判定系数R2＝SSR/SST是多元回归中的回归平方和占总平方和的比例，它是度量多元回归方程拟合程度的一个统计量，反映了在因变量y的变差中被估计的回归方程所解释的比例，取值为0～1。调整的多重判定系数R a2与多重判定系数R2不同之处在于：R a2同时考虑了样本量n和模型中自变量的个数k的影响，这就使得R a2的值永远小于R2，而且R a2的值不会由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1，因此R a2的取值也为0～1。
matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检 验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项 Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回 归模型 y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 % % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显著 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程 越显著 % fH：0或1，0不显著；1显著(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是 否与Y有显著线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大, 表示Xi对Y显著的线性作用 % tH：0或1，0不显著；1显著 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对 应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显著的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总 离差的百分比，越大越好 % 举例说明 % 比如要拟合 y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程 线化 % x1=rand(10,1)*10;
matlab 回归（多元拟合）教程 前言 1、学三条命令 polyfit(x,y,n)---拟合成一元幂函数（一元多次） regress(y,x)----可以多元， nlinfit(x,y,’fun ’,beta0) (可用于任何类型的函数，任意多元函数，应用范围最主，最万能的) 2、同一个问题，这三条命令都可以使用，但结果肯定是不同的，因为拟合的近似结果，没有唯一的标准的答案。相当于咨询多个专家。 3、回归的操作步骤： 根据图形（实际点），选配一条恰当的函数形式（类型）---需要数学理论与基础和经验。（并写出该函数表达式的一般形式，含待定系数）------选用某条回归命令求出所有的待定系数。所以可以说，回归就是求待定系数的过程（需确定函数的形式） 一、回归命令 一元多次拟合polyfit(x,y,n);一元回归polyfit;多元回归regress---nlinfit(非线性) 二、多元回归分析 对于多元线性回归模型(其实可以是非线性，它通用性极高)： e x x y p p ++ ++ = βββ 1 10 设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为12(,, ,)1,2, ,i i ip i x x x y i n = 记 ??????? ??=np n n p p x x x x x x x x x x 2 1 22221 1121111 1，?? ?? ? ?? ??=n y y y y 21，则?????? ? ??=p ββββ 10 的估计值为排列方式与线性代数中的线性方程组相同（），拟合成多元函数---regress 使用格式：左边用b=[b, bint, r, rint, stats]右边用=regress(y, x)或regress(y, x, alpha) ---命令中是先y 后x, ---须构造好矩阵x(x 中的每列与目标函数的一项对应) ---并且x 要在最前面额外添加全1列/对应于常数项
第十一章 一元线性回归 一、填空题 1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。 2、若回归方程的判定系数R 2=0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。 3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2为____________。 4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知 ∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692=∑x ， a=b ，则趋势 方程中的b=______。 5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。 6、相关系数的取值范围_______________。 7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。 8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。 9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。 10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。 11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。 二、单选题 1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ） A 、 增加70元 B 、 减少70元 C 、增加80元 D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。 A 、强相关 B 、弱相关 C 、不相关 D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。 A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy 2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 6、对某地区前5年粮食产量进行直线趋势估计为：80.5 5.5y t =+? 这5年的时间代码分别是：-2，-1，0，1，2，据此预测今年的粮食产量是（ ）。 A 、107 B 、102.5 C 、108 D 、113.5 7、两变量的线性相关关系为-1，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 8、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy 2 =-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关