第三讲随机变量及其分布列
1.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.
解析:依题意,X~B(100,0.02),所以D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96.
答案:1.96
2.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C220p2·(1-p)18.
因此f′(p)=C220[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C220p·(1-p)17(1-10p).
令f′(p)=0,得p=0.1.
当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;
当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1,且为f(p)唯一的极大值点,所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),则E(Y)=180×0.1=18,X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为400元.
由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.
3.(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i +bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假-1
设α=0.5,β=0.8.
-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
①证明:{p i
+1
②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1.
P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),
P(X=1)=α(1-β).
所以X的分布列为
(2)
因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,
-p i)=0.4(p i-p i-1),
故0.1(p i
+1
-p i=4(p i-p i-1).
即p i
+1
又因为p1-p0=p1≠0,所以{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.
②由①可得
p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0 =(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=48-1
3p 1. 由于p 8=1,故p 1=3
48-1
,
所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=44-13p 1=1
257.
p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1
257≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
明 考 情
1.对概率的考查既有大题也有小题,选择题或填空题出现在第3~8题或第13题的位置,主要考查几何概率,难度一般.
2.概率统计的解答题多在第18题或19题的位置,多以交汇性的形式考查,交汇点有两种:一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇考查;二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与回归分析或独立性检验相交汇考查.
考点一 离散型随机变量的均值与方差
|析典例|
【例】 (2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调,每周周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则多余的每台空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调仅获利200元.
(1)若该商场周初购进20台空调,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n (单位:台,n ∈N )的函数解析式f (n );
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n (单位:台),整理得下表:
周需求量n 18 19 20 21 22 频数
1
2
3
3
1
以1020
台空调,X 表示当周的利润(单位:元),求X 的分布列及数学期望.
[思路分析] 第(1)问:
当n ≤19时,f (n )=500×n -100×(20-n )=600n -2 000, ∴f (n )=???
200n +6 000(n ≥20),
600n -2 000(n ≤19)(n ∈N ).
(2)由(1)得f (18)=8 800,f (19)=9 400, f (20)=10 000,f (21)=10 200,f (22)=10 400,
∴P (X =8 800)=0.1,P (X =9 400)=0.2,P (X =10 000)=0.3,P (X =10 200)=0.3,P (X =10 400)=0.1,
X 的分布列为
∴E (X )×0.1=9 860.
| 规 律 方 法 |
1.求离散型随机变量X 的分布列的步骤 (1)理解X 的意义,写出X 可能取的全部值; (2)求X 取每个值的概率; (3)写出X 的分布列;
(4)根据分布列的性质对结果进行检验. 2.期望与方差的一般计算步骤
(1)理解X 的意义,写出X 的所有可能取的值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
|练题点|
1.(2019·唐山市高三摸底)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件,已知尺寸在[223,228](单位:mm)内的零件为一等品,其余为二等品.甲、乙两位工人当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示:
(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件,求抽取的2个零件等级互不相同的概率;
(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件,记这3个零件中一等品数量为X,求X的分布列和数学期望.
解:(1)由茎叶图可知,甲当天生产了10个零件,其中4个一等品,6个二等品;乙当天生产了10个零件,其中5个一等品,5个二等品.
所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P=4×5+6×5
10×10
=
1
2.
(2)X可取0,1,2,3.
P(X=0)=C04C36
C310=
1
6,P(X=1)=
C14C26
C310=
1
2,
P(X=2)=C24C16
C310=
3
10,P(X=3)=
C34C06
C310=
1
30.
X的分布列为
X 012 3
P 1
6
1
2
3
10
1
30
所以随机变量X的数学期望E(X)=0×1
6+1×
1
2+2×
3
10+3×
1
30=
6
5.
2.(2019·洛阳市第二次联考)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表:
投资股市:
投资结果获利40%不赔不赚亏损20%
(1)当p =1
4时,求q 的值;
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于4
5,求p 的取值范围;
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p =12,q =1
6,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?请说明理由.
解:(1)∵“购买基金”后,投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,
∴p +13+q =1.又p =14,∴q =512.
(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”,事件B 为“乙购买基金且获利”,事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,
则C =A B -∪A -B ∪AB ,且A ,B 独立. 由题意可知,P (A )=1
2,P (B )=p , ∴P (C )=P (A B -)+P (A -B )+P (AB ) =12(1-p )+12p +12p =12+12p . ∵P (C )=12+12p >45,∴p >3
5. 又p +13+q =1,q ≥0,∴p ≤23, ∴p 的取值范围为? ??
??
35,23.
(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资,记X 为丙投资股市的获利金额
(单位:万元),
∴随机变量X 的分布列为
X 4 0 -2 P
12
18
38
则E (X )=4×12+0×18+(-2)×38=5
4.
假设丙选择“购买基金”的方案进行投资,记Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万元),
∴随机变量Y 的分布列为
Y 2 0 -1 P
12
13
16
则E (Y )=2×12+0×13+(-1)×16=5
6. ∵E (X )>E (Y ),
∴丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
考点二 二项分布
|析典例|
【例】 (2019·河北承德市第一中学模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况,从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试,成绩在6.9米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示),已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;
(2)(一题多解)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名,记ξ表示两人中成绩不合格的人数,利用样本估计总体,求ξ的分布列、均值与方差.
[解] (1)由频率分布直方图,知成绩在[9.9,11.4)的频率为1-(0.05+0.22+0.30+0.03)×1.5=0.1.
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4,故抽取的总人数为4
0.1=40.
又成绩在 6.9米以上的为合格,所以这次铅球测试成绩合格的人数为40-0.05×1.5×40=37.
(2)解法一:ξ的所有可能取值为0,1,2,利用样本估计总体,从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740,成绩不合格的概率为1-3740=3
40,可判断ξ~B ? ?
?
??2,340.
P (ξ=0)=C 02×?
????37402=1 369
1 600
, P (ξ=1)=C 1
2×340×3740=111800, P (ξ=2)=C 22×? ????3402=91 600,
故所求分布列为
ξ的均值为E (ξ)=0×1 3691 600+1×111800+2×91 600=3
20,
ξ的方差为D (ξ)=? ?
???0-3202×1 3691 600+? ????1-3202×111800+? ????2-3202×91 600=111800.
解法二:求ξ的分布列同解法一. ξ的均值为E (ξ)=2×340=3
20,
ξ的方差为D (ξ)=2×340×? ?
?
??1-340=111800.
| 规 律 方 法 |
1.求解二项分布问题的“四关”
一是“判断关”,即判断离散型随机变量X 是否服从二项分布B (n ,p ).
二是“公式关”,即利用P (X =k )=C k n p k (1-p )
n -k
(k =0,1,2,…,n ),求出X 取各个值时的概率.
三是“分布列关”,列出表格,得离散型随机变量的分布列.
四是“结论关”,利用公式E (X )=np 求期望,D (X )=np ·(1-p )求方差. 熟记二项分布的概率、期望与方差公式,可以避免繁琐的运算过程. 2.有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以应用均值与方差的性质E (ax +b )=aE (x )+b ,D (ax +b )=a 2D (x )求解.
|练题点|
(2019·河南洛阳三模)某次数学知识比赛中共有6个不同的题目,每位同学从中随机抽取3个题目进行作答,已知这6个题目中,甲只能答对其中的4个,而乙能答对每个题目的概率均为2
3,且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立的.
(1)求甲、乙两位同学总共答对3题的概率;
(2)若甲、乙两位同学答对题目的个数分别是m ,n ,由于甲所在班级少一名学生参赛,故甲答对一题得15分,乙答对一题得10分,求甲、乙两人得分之和X 的期望.
解:(1)由题意可知,甲、乙两位同学总共答对3题可以分为3种情况:甲答对1题乙答对2题;甲答对2题乙答对1题;甲答对3题乙答对0题.
故所求的概率P =C 14C 22C 36×C 23? ????232×13+C 24C 12C 36×C 13×23×? ????132+C 3
4C 36
×C 03? ????133
=31135.
(2)m 的所有可能取值有1,2,3.
P (m =1)=C 14C 22C 36=15,P (m =2)=C 24C 1
2C 36=35,P (m =3)=C 34C 36
=1
5,
故E (m )=1×15+2×35+3×1
5=2.
由题意可知n ~B ? ????3,23,故E (n )=3×23=2. 而X =15m +10n ,所以E (X )=15E (m )+10E (n )=50.
考点三 正态分布
|析典例|
【例】 (2018·广西三市联考)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加
问卷调查的1 000 人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示.
得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求P(36 (2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. X的分布列及数学期望. 附:210≈14.5, 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ [解](1)由题易得E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,所以μ=65,所以得分Z服从正态分布N(65,210),又σ=210≈14.5,所以P(50.5 5,所以P(36 2=0.135 9, 所以P(36 (2)易知P(Z<μ)=P(Z≥μ)=1 2,X的所有可能取值为20,40,60,80. 则P(X=20)=1 2× 3 4= 3 8, P(X=40)=1 2× 1 4+ 1 2× 3 4× 3 4= 13 32, P(X=60)=1 2× 3 4× 1 4+ 1 2× 1 4× 3 4= 3 16, P(X=80)=1 2× 1 4× 1 4= 1 32. 所以X的分布列为 所以X的数学期望E(X)=20×3 8+40× 13 32+60× 3 16+80× 1 32= 75 2. | 规律方法| 服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法 (1)利用P(μ-σ (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解. |练题点| (一题多解)(2018·四川德阳二诊)为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了成语听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90分的学生所占的百分比为() A.0.135% B.1.35% C.3% D.3.3% 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ 解析:选A解法一:由题意可知,测试成绩X~N(78,16),所以σ=16=4. 而90=78+12=μ+3σ,故所求的百分比的实质就是求P(X>μ+3σ). 由正态曲线的对称性可得P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5, 又P(μ-3σ 所以P(μ 2×0.997 3=0.498 65, 故P(X>μ+3σ)=P(X≥μ)-P(μ 35=0.135%.故选A. 解法二:由题意可知,测试成绩X~N(78,16), 所以σ=16=4. 而90=78+12=μ+3σ,故所求百分比实质就是求P(X>μ+3σ). 由已知P(μ-3σ 所以P(X≤μ-3σ)+P(X>μ+3σ)=1-P(μ-3σ 由正态曲线的对称性可得,P(X>μ+3σ)=1 2[P(X≤μ-3σ)+P(X>μ+3σ)]= 1 2 ×0.002 7=0.001 35=0.135%.故选A. 高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、(2016年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 2、(2016年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三 视图如右图所示,则该几何体的体积为 (A )π3 2+31 (B )π32+ 31 (C )π62+31 (D )π62 +1 【答案】C 3、(2016年全国I 高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1 该几何体的体积是28π 3 ,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A 4、(2016年全国II 高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A )20π (B )24π (C )28π (D )32π 【答案】C 5、(2016年全国III 高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的表面积为 (A ) (B ) (C ) 90 ( D )81 【答案】B 6、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是__________. 7、(2016年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二.求值 8、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2 ,体积是 cm 3. 18+54+ 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑:__________________ 时间:__________________ 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作;若b 不是集合A 的元素,记作;A a ∈A b ? (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。 1.已知集合M={x |-4<x <2},N={x | -x -6<0},则M∩U = A{x |-4<x <3} B{x |-4<x <-2} C{x |-2<x <2} D{x |2<x <3} 2.设复数z 满足|z -i|=1,z 在复平面内对应的点为(x ,y),则 A B C D 3.已知a =2.0log 2,b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5,著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数()][ππ,的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”,右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7.已知非零向量,满足 ,且 ,则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π 2015高考数学专题复习:函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标. ()x g x f y -=)(的零点(个数)?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标(个数) ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根(个数) ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标(个数) 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 ( ) A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 ( ) A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 ( ) A .()21, B .()32, C .()43, D .()54, 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3,则a =______ 2018届高考数学立体几何(理科)专题02 二面角 1.如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证: 1AB ⊥平面1A BC ; (2)若15360AC BC A AB ==∠=?,,,求二面角11B A C C --的余弦值. 2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面 平面,点为的中点. (1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 2AB AD =, BD =,且PD ⊥底面ABCD . (1)证明:平面PBD ⊥平面PBC ; (2)若Q 为PC 的中点,且1AP BQ ?=u u u v u u u v ,求二面角Q BD C --的大小. 4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面. (1)求证:; (2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值. 5.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别为BC 、AP 中点. (1)求证: //EF 平面PCD ; (2)若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=,求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==(Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; (Ⅱ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅲ)若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.高考数学理试题分类汇编.doc
【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版
(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。
2015高考数学专题复习:函数零点
2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角
2020高考数学专题复习----立体几何专题