高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论
1.U U A
B A A B B A B
C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?=.
2.若{}n a a a a A ,,,,321???=,则Ａ的子集有2n 个,真子集有2n －1个,非空真子集有2n －2个.
3.从集合{}n a a a a A ,,,,321???=到集合{}m b b b b B ,,,,321???=的映射有n
m 个.
4.真值表
5.
6.
7.充要条件
（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 8.二次函数的解析式的三种形式： ①一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠；
②顶点式()a b ac a b x a x f 44222
-+
??
? ??
+=； ③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
9.函数的的单调性：
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
10.函数()y f x =的图象的对称性:
①()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=；
②()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=；
③()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()()()()02=-++?--=?x a f x a f x a f x f ，
()y f x =的图象关于点(,)a b 对称?()()()()b x a f x a f x a f b x f 222=-++?--=.
11.两个函数的图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称； ②函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称； ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-； ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--； ⑤函数)(x f y =和函数)(1
x f
y -=的图象关于直线x y =对称.
12．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
13．多项式函数1
10()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
14.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 15.几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x
f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α
=,'
()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
()
(0)1,lim
1x g x f x
→==. 16.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；
（2）0)()(=+=a x f x f ，
或)0)(()(1
)(≠=
+x f x f a x f ， 或1
()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠,
或
[]1(),(()0,1)2
f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；
(3))0)(()
(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；
(4))
()(1)
()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则)
(x f 的周期T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.
17.
分数指数幂：m n
a
=1m n
m n
a
a
-
=
（以上0,,a m n N *
>∈，且1n >）.
18.①b N N a a b
=?=log ； ②()N M MN a a a log log log +=；
③N M N M a a a
log log log -=； ④log log m n a a n
b b m
=. 19.对数的换底公式:log log log m a m N N a
=.对数恒等式:log a N
a N =.
20.数列{}n a 的前n 项和为12n n s a a a =++
+,则11
,
1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?.
21.①等差数列{}n a 的通项公式:()d n a a n 11-+=,或d m n a a m n )(-+=m
n a a d m
n --=?.
②前n 项和公式: 1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-. 22.对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+(m 、n 、p 、q 为正整数)，则q p m n a a a a +=+.
23.若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等
差数列,其公差d k D 2
=，如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++. 24．数列{}n a 是等差数列?n a kn b =+；数列{}n a 是等差数列?n S =2
An Bn +.
25.设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则 ①前n 项的和偶奇S S S n +=； ②当n 为偶数时，d 2
n
S =-奇偶S ，其中d 为公差； ③当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，1
1
S S -+=n n 偶奇，
n =-+=-偶
奇偶奇偶奇S S S S S S S n
（其中中a 是等差数列的中间一项）
26.若等差数列{}n a 和{}n b 的前12-n 项的和分别为12-n S 和 12-n T ，则
1
21
2--=n n n n T S b a .
27.①等比数列{}n a 的通项公式:n
n n q q
a q
a a ?=
=-11
1；或m n m n m n m n a a q q a a =?=--.
②前n 项和公式:11
(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?,或11,11,1n n a a q
q q s na q -?≠?
-=??=?.
28.对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+(n 、m 、u 、v 为正整数)，则v u m n a a a a ?=?. 29.数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列，其公比为k
q Q =.
30.分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1
n
n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).
31.裂项法：①()1
1
111+-=+n n n n ； ②()()??? ??+--?=+-1211212112121n n n n ；
③()
11b a b a b
a --=+ ；④()()! 11
! 1! 1+-=+n n n n .
32．常见三角不等式 （1）若(0,
)2
x π
∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
33.同角三角函数的基本关系式:①2
2
sin cos 1θθ+=，αα2
2sec tan 1=+，
αα22csc cot 1=+； ②tan θ=
θ
θ
cos sin ； ③tan 1cot θθ?=. 34.正弦、余弦的诱导公式：
2
12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数；21
2(1)s ,s()2(1)sin ,n
n co n n co n απαα+?-?+=??-?
为偶数为奇数
. 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如απαsin 2cos -=??
?
?
?
+
,()ααπcos cos -=-. 35.和角与差角公式
①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
②2
2
sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；2
2
cos()cos()cos sin αβαβαβ+-
=-. ③sin cos a b αα+)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan b
a
?=
). 36.二倍角公式：
①αααcos sin 22sin =.
②2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.
221cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
（降幂公式）. 37.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan α
αα
=
-（正切倍角公式）. 38.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααα
αα
-==
+. 39.三函数的周期公式:
①函数sin()y A x ω?=+及cos()y A x ω?=+的周期ω
π
2=T (A 、ω、?为常数，且A ≠0).
②函数()φω+=x A y tan 的周期ω
π
=
T (A 、ω、?为常数，且A ≠0). 40.sin y x =的单调递增区间为2,22
2k k k Z π
πππ??
-
+
∈???
?
,单调递减区间为
32,222k k k Z ππππ?
?++∈????
，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈. 41.cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，
对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k π
π??
+ ??
?
()k Z ∈. 42.tan y x =的单调递增区间为,2
2k k k Z π
πππ??
-+
∈ ??
?，对称中心为??
?
??0,2πk ()Z k ∈. 43.三角函数变换:
①相位变换:x y sin =的图象()()?????????→?<>个单位
平移或向右向左φφφ00()φ+=x y sin 的图象；
②周期变换:x y sin =的图象()()????????????→?><<倍
到原来的或缩短横坐标伸长ω
ωω1
110x y ωsin =的图象； ③振幅变换:x y sin =的图象()()???????????→?<<>倍
到原来的或缩短纵坐标伸长A A A 101x A y sin =的图象.
44.①正弦定理 2sin sin sin a b c
R A B C ===（R 为ABC ?的外接圆的半径）
； ②余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；222
2cos c a b ab C =+-.
45.三角形面积公式：①111
222
a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）；
②111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
46.在△ABC 中，有
①()222
C A B
A B C C A B πππ+++=?=-+?
=-222()C A B π?=-+； ②B A b a sin sin >?>（注意是在ABC ?中）.
47.平面上两点间的距离公式:,A B d =A 11(,)x y ，B 22(,)x y . 48.向量的平行与垂直： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则
①∥?=λ12210x y x y ?-=；
② ⊥ (≠)?·=012120x x y y ?+=.
49.线段的定比分点公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则
1212
11x x x y y y λλλλ+?
=??+?+?=?+?
?121OP OP OP λλ+=+?12
(1)OP tOP t OP =+-（其中11t λ=+）. 50.若OA xOB yOB =+，则A 、B 、C 共线的充要条件是1=+y x .
51.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),
则其重心的坐标是123123
(
,)33x x x y y y G ++++. 52.①点的平移公式 ''''
x x h x x h y y k y y k
??=+=-?????=+=-????''
OP OP PP ?=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后的图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'
PP 的坐标为(,)h k )； ②函数()x f y =按向量()k h ,=平移后的解析式为()h x f k y -=-. 53.“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的方程为
(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .
54. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ?的外心2
2
2
OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 55.常用不等式：
(1),a b R ∈?2
2
2a b ab +≥2
2
2b a ab +≤?(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
(2),a b R +
∈
?2a b +≥2
2??
?
??+≤?b a ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． (3) abc c b a 33
33≥++?33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取“=”号)．
(4)b a b a b a +≤±≤-,(注意等号成立的条件).
(5)
1
0,0)112a b a b a b
+≤≤≤>>+.
（6）柯西不等式：22222
()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈
56.极值定理：已知y x ,都是正数，则有
(1)如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2； (2)如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值
24
1s . 57.解一元二次不等式2
0(0)ax bx c ++><或:若0>a ,则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”.如:当21x x <,()()21210x x x x x x x <
()()12210x x x x x x x x <>?>--或.
58.含有绝对值的不等式：当0>a 时，有
①a x a a x a x <<-?
②22
x a x a x a >?>?>或x a <-.
59.分式不等式： （1）()()()()00>??>x g x f x g x f ； （2）()()
()()00
()()()()()???≠≥??≥000x g x g x f x g x f ； （4）()()()()()?
?
?≠≤??≤000x g x g x f x g x f . 60.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()
()
()()f x g x a
a f x g x >?>；()0
log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??>?
.
(2)当01a <<时,()
()
()()f x g x a
a f x g x >?<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??
.
61.斜率公式：21
21
y y k x x -=
-，其中111(,)P x y 、222(,)P x y .
直线的方向向量()b a v ,=，则直线的斜率为k =(0)b
a a
≠. 62.直线方程的五种形式
(1)点斜式：11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式：y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式：11
2121
y y x x y y x x --=--(111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠).
(4)截距式：
1=+b
y
a x (其中a 、
b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ). (5)一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
63.两条直线的平行和垂直
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,则
① 1l ∥2l 21k k =?,21b b ≠； ②12121l l k k ⊥?=-. （2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,则
① 0//122121=-?B A B A l l 且01221≠-C A C A ；②1212120l l A A B B ⊥?+=. 64.①夹角公式：21
21
tan |
|1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)；
(注意以下两种特殊情形下的夹角:①12l l ⊥，②1l 或2l 的斜率不存在). ②到角公式:直线l 1到l 2的角是21
21
tan 1k k k k α-=+(111:l y k x b =+，
222:l y k x b =+,121k k ≠-). 65.点到直线的距离
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
66.两条平行线间的距离：若直线0:11=++C By Ax l ；0:22=++C By Ax l ，则
d =.
67. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：
若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 68. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域
设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
69.圆的方程的四种形式
（1）圆的标准方程:2
2
2
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程:2
20x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程:cos sin x a r y b r θ
θ=+??=+?
.
（4）圆的直径式方程:1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、
22(,)B x y ).
70.圆中有关重要结论:
(1)若P(0x ,0y )是圆222
x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=.
(2)若P(0x ,0y )是圆222
()()x a y b r -+-=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为
200()()()()x a x a y b y b r --+--=.
(3)若P(0x ,0y )是圆222
x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A 、B
则直线AB 的方程为2
00xx yy r +=.
(4)若P(0x ,0y )是圆222
()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点
分别为A 、B ，则直线AB 的方程为2
00()()()()x a x a y b y b r --+--=.
71.圆的切线方程
(1)已知圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=．
①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++++=表示过两个切点的切
点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆222
x y r +=．
①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2
00x x y y r +=;
②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±72.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?
.
73.(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程为2
a x c =±,焦半径公式p ex a PF ±=；
(2)椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的准线方程为2
a y c =±,焦半径公式p ey a PF ±=.
74.(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2
2b a ；
(2) 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2
2b a
.
75. 椭圆的切线方程
(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b +=.
（2）过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c +=.
76.(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为2
a x c =±,焦半径公式p ex a PF -=；
(2)双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2
a y c =±，焦半径公式p ey a PF -=.
77.(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b
y x a =±；
(2)双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的渐近线方程为a
y x b
=±.
78. 双曲线的切线方程
(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b
-=.
（2）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
-=. （3）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是
22222A a B b c -=.
79.(1)P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点,F 1、F 2是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ，则
△P F 1 F 2的面积=2
tan
2
b θ
.
(2)P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点,F 1、F 2是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ，则
△P F 1 F 2的面积=2
cot
2
b θ
.
80.抛物线px y 22
=上的动点()00,y x P 可设为P ),2(02
0y p
y 或)2,2(2
pt pt P .
81.(1)P(0x ,0y )是抛物线px y 22
=上的一点,F 是它的焦点,则2
0p x PF +=；
(2)抛物线px y 22
=的焦点弦长2
2sin p l θ
=,其中θ是焦点弦与x 轴的夹角； (3) 抛物线px y 22
=的通径长为p 2.
82. 抛物线的切线方程
(1)抛物线px y 22
=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.
（2）过抛物线px y 22
=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.
（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2
2pB AC =. 83.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A ),(),,(2211y x B y x ,则
AB =或2211k x x AB +-=, 或22111k
y y AB +
-=. 84.圆锥曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. 85.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是：
2222
2()2()
(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++-
-=++.
86.“四线”一方程
对于一般的二次曲线2
2
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2
x ，用0y y 代2
y ，用
002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02
y y
+代y 即得方程 0000000222
x y xy x x y y
Ax x B Cy y D E F ++++?++?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，
弦中点方程均是此方程得到.
87.共线向量定理：对空间任意两个向量、 (≠)，有∥?存在实数λ使=λ． 88.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++， 则四点P 、A 、B 、C 共面?1x y z ++=． 89.空间两个向量的夹角公式
:2
3
2
22
12
32
22
13
32211b b b a a a b a b a b a ++?++++=
，其中度
()321,,a a a a =，()321,,b b b b =.
90.直线AB 与平面α
所成的角
:=
=sin β，
故
=β,其中m 为平面α的法向量.
91.锐二面角βα--l 的平面角
:cos =θ,
故
=θ
或
-=πθ,其中、为平面α、β的法向量.
92.空间两点间的距离公式:若()()222111,,x B ,,z y z y x A ,则
()()()212212212,z z y y x x d B A -+-+-=
.
*93.点Q 到直线l 的距离
:h =
,点P 在直线l 上,直线l 的方向向量
=,向量=.
94.点B 到平面α
的距离:d =
,为平面α的法向量,AB 是面α的一条斜线,α∈A .
95. (1)设直线OA 为平面α的斜线,其在平面内的射影为OB ,OA 与OB 所成的角为1θ,OC 在平面α内,且与OB 所成的角为2θ,与OA 所成的角为θ,则12cos cos cos θθθ=. (2)若经过BOC ∠的顶点的直线OA 与BOC ∠的两边OB 、OC 所在的角相等，则OA 在BOC ∠所在平面上的射影为BOC ∠的角平分线；反之也成立.
96. 面积射影定理:'cos S S θ
=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'
S ，它们所在平面所成
锐二面角的为θ). 97.体积公式:Sh V 3
1
=
锥；Sh V =柱. 98．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
99. 球的半径是R ，则其体积是3
43
V R π=
,其表面积是24S R π=． 100.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a
的正四面体的内切球的半径为12a ,
外接球的半径为4
a . 101.分类计数原理:12n N m m m =++
+.分步计数原理:12n N m m m =???.
102.排列数公式:m
n A =)1()1(+--m n n n =
！
！)(m n n -(n ，m ∈N *
，且m n ≤)．
103.排列恒等式:①1(1)m m n n A n m A -=-+； ②1
m m
n n n A A n m
-=-； ③11m m n n A nA --=； ④11n n n n n n nA A A ++=-； ⑤1
1m m m n n n A A mA -+=+.
104.组合数公式:m n
C =m n m m
A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N *
，且m n ≤).
105.组合数的性质：①m
n C =m
n n C - ；②m n C +1
-m n
C =m
n C 1+；③11k k n n kC nC --=.
106.组合恒等式:
（1）11m
m n n n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11m
m n
n n C C m
--=; （4）
∑=n
r r n
C
=n
2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .
(6)n
n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)1
4205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1
321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r
n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n
n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 107．排列数与组合数的关系是：m m
n n A m C =?！.
108．单条件排列
以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有1
1--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）11
11---=m n n A A （着眼位置）1
1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k
m k n k
k A A --种.
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k
k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组
互不能挨近的所有排列数有k
h h h A A 1+种.
（3）两组元素各相同的插空
m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n
n m C A A 11
++=种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n
n m C +. 109．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m
n
n n
n n
n mn n
n mn n
mn n mn C C C C C N )!()!
(22=
?????=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
m
n n
n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )
!(!)!(!...22=????=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n +
+n 个物体分给m 个人，物件必须
被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配
方法数共有!
!...!!
!! (212)
11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =
??=-.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n +
+n 个物体分给m 个人，物件
必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!
...2
11c b a m C C C N m m n n n n p n p ??=
- 12!!
!!...!(!!!...)
m p m n n n a b c =
.
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，
m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有
!
!...!!
21m n n n p N =.
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n +
+n 个物体分为任意的1n ，
2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则
其分配方法数有!...)
!!(!!...!!
21c b a n n n p N m =.
（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1++
+）个物体分给甲、乙、丙，……
等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
!
!...!!
(212)
11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =
?=-.
110．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题：信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为：
1111()![
(1)]2!3!4!!
n f n n n =-+-+-. 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为
1234
(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!
(1)()!(1)()!
m m m m p
p
m
m m
m
f n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--+
+--
12341224![1(1)(1)]p m p
m
m m m m
m
m
p m n n n n n
n
C C C C C C n A A A A A A =-+-+-
+-+
+-.
111．二项式定理:n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ；
二项展开式的通项公式：r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.
112．等可能性事件的概率：()m
P A n
=.（一次试验共有n 个结果等可能的出现，事件A 包含其中m 个结果）
113．①互斥事件A 、B 有一个发生的概率：()()()B P A P B A P +=+；n 个互斥事件中有一个发生的概率：()()()()n n A P A P A P A A A P +???++=+???++2121； ②A 、B 是两个任意事件，则()()()
B A P B A P B A P ?-=+-=+11.
114．相互独立事件A 、B 同时发生的概率：()()()B P A P B A P ?=?；n 个相互独立事件同时发生的概率：()()()()n n A P A P A P A A A P ??????=??????2121．
115．独立重复试验中:①二项分布:()()
()p n k b p p C k P k
n k
k n n ,;1=-=-；
②几何分布:()()
p p p k g k 1
1,--=，其中???=,3,2,1k
*116．若离散型随机变量ξ的概率分布为
其中121=???++???++n p p p ，则
①???++???++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望.
②()()()???+?-+???+?-+?-=n n p E x p E x p E x D 2
22
212
1ξξξξ为随机变量ξ的方差.
③数学期望与方差的性质:()b aE b a E +=+ξξ；
()ξξD a b a D 2=+；()2
2ξξξE E D -=. ①若()p n B ,~ξ，则()p np D np E -==1,ξξ； ②若()p k g ,~ξ,则21,1p
p
D p
E -==
ξξ； ③若10~-ξ分布，则()p p D p E -==1,ξξ.
*117．正态分布密度函数
()()()2
2
26,
,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个
体的平均数与标准差.
*118．标准正态分布密度函数
()()22
,,x f x x -
=
∈-∞+∞.
对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，
其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.