第11课：基本不等式与双√函数
一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x
q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p
q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （4）当0 研究：以x x y 23-=为例 二、基本不等式ab b a ≥+2 1、一正：只要b a 、为正，上式就是恒成立！ 2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！ 积定和最小，____________________________； 3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！ .)2(23的最小值示例：求函数>-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点， （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 5、41622++=x x y 的最大值 6、4 2+=x x e e y 的值域 类型三：常数代换法 例（1）的最小值求y x y x y x 11,3,0,0+=+>> （2）的最小值求y x y x y x +=+>>,311,0,0 （3）的最小值求y x xy y x y x 43,53,0,0+=+>> （4）的最小值求x x y x -+= <<194,10 （5）的最小值求x x y x 2192,210-+=<< （6）设正数x,y 满足x >y,x +2y =3,则1x?y +9x+5y 的最小值为( ) A ． 83 B ． 3 C ． 32 D ． 2√33 （7）设0<θ<π2，则1sinθ+3√3cosθ的最小值（ ） A ． 等于7√3 B ． 等于203√3 C ． 等于8 D ． 不存在 类型四：和积转化法 例（1）.,8,0,0的最小值求xy y x xy y x ++=>> （2）.,8,0,0的最大值求y x y x xy y x +++=>> 变式（1）已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则xy 的最大值为__________ （2）已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为__________ 类型五：和定求积最大值2 22,,?? ? ??+≤?+≤∈+b a ab b a ab R b a 例（1）.,4,,的最大值求ab b a R b a =+∈+ （2）.,42,,的最值求ab b a R b a =+∈+ （3）.,42,,的最值求ab b a R b a =+∈+ （4）.1,12,,222的最大值求b a b a R b a +=+∈+ 课 后 练 习 1.已知a +2b =4,则2a +4b 的最小值为（ ） A ． 16 B ． 8 C ． 4 D ． 2 2. 已知lgx +lgy =1，则2x +5y 的最小值是_____________________） 3. 函数y =x +x x?1(x ≥2)的最小值是__________． 4. 设正实数a,b 满足a +b =2，则1a +a 8b 的最小值为__________． 5. 已知a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，则3a +4b 的最小值等于_______） 6．已知正数x,y 满足x +y =1，则1x +11+4y 的最小值为（ ） A ． 73 B ． 2 C ． 95 D ． 43 18.16.14 .12 .232,0,02018.7D C B A y x xy x y x ）的最小值为（ ，则数南昌高一调研）已知实（+=+>> .78,1522,0,0.822的最小值求若已知b a ab b a b a +=++>> 6.1不等式的概念和性质 〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题. 〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用， 要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 〖双基回顾〗常见的性质有8条： 1、反身性（也叫对称性）：a ＞b ?b ＜a 2、传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c 3、平移性：a ＞b ?a +c ＞b +c 4、伸缩性：???>>0c b a ?ac ＞bc ；???<>0 c b a ?ac ＜bc 5、乘方性：a ＞b ≥0?a n ＞b n （n ∈N ，n ≥2）6、开方性：a ＞b ≥0?n a ＞n b （n ∈N ，n ≥2） 7、叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a +c ＞b +d 8、叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?a ·c ＞b ·d 一、知识点训练： 1、b a b a 11???成立的充要条件为 2、用“＞”“＜”“＝”填空： (1)a 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 25123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为 定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2 、 a 2＋ b 2 2 的大小关系是 。 2.已知 12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 10求222 y x =+的最小值. 习题A 1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3=1，则a+2b 的最小值为( ) +2 6 B.2 3 +2 3 2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A. b a a b +≥2 +b 2 ≥2ab C.b a a b 22+ ≥a+b D.b a 11+≥2+ b a +2 3.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2 +的最小 值是( ) B.1 D. 4 +3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) B.339 +2 2 (六) 不等式(注意速度和准度) 一、“12＋4”提速练 1．不等式? ????x ＋12? ?? ??32－x ≥0的解集是( ) A.????????? ?x ??? x <－12或x > 32 B.?????? ??? ?x ??? x ≤－12或x ≥ 3 2 C.? ????? ??? ?x ??? －12≤x ≤ 3 2 D.? ????? ??? ?x ??? －12 第七章 不等式 第一节 解不等式 题型82、一元二次不等式的解法 ? 知识点摘要： 一元二次不等式)0(02 ≠≥++a c bx ax 解法步骤： 1. 先看不等式对应的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 根的情况； 2. 再画出不等式对应的二次函数大致图像，确定一元二次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解下列不等式 ①0322 ≥++x x ②0322 ＜++x x ③062 ≥--x x 2. 不等式组?????--0 30 122＜＜x x x 的解集为（ ） {}11|.＜ ＜x x A - {}30|.＜＜x x B {}10|.＜＜x x C {}31|.＜＜x x D - 3. 已知{ } ?? ? ??-=++2310|2 ， ＞c bx ax x ，则关于x 的不等式02＜a bx cx ++的解集为。 4. 已知关于x 的不等式02 ＜c bx ax ++的解集为{2|-＜x x 或}2 1- ＞x ，求关于x 不等式 02＞c bx ax +-的解集。 5. 解关于x 的不等式() ()R a a x a a x ∈++-， ＞03 2 2 。 { }{ } 034|023|2 22 ＜，＜a ax x x B x x x A +-=++=B A ?a 题型83、一元高次不等式的解法 ? 知识点摘要： 简单的一元高次不等式常用穿根法（穿针引线法）求解，用穿根法解一元高次不等式需要注意一下3点： 1. 每一个一次项系数都要化成正数； 2. 奇穿偶不穿； 3. 从右上角开始穿。 穿根法的解题原理，其实就是画出了相应高次函数大致图像，根据高次函数图像求解相应一元高次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解不等式()()()()021123 2 ＜--++x x x x ； 2. 解不等式()()()0211≥--+x x x ； 3. 解不等式()()()03212 ≤--+x x x ； 4. 解不等式()()0)2(113 2 ≥++-x x x x 。 第六章 不等式 课 题：基本不等式 教学目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不 等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。 教学重点：2 a b +≤的证明过 程。 教学难点：2 a b +≤等号成立条件。 教学过程： 1.课题导入 2 a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的 两条直角边长为a,b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2 2 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为2 22)(2b a ab b a -=-+ 当a b ≠时22 ,()0,,()0,a b a b a b ->=-=当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(2 2ab b a ≥+ 4．1）2 a b + 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2 a b + 2）2 a b +≤ 用分析法证明： 要证 2 a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 3）2 a b +≤ 的几何意义 探究：课本第110页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于 AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。2 a b +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2 ＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为 2b a +，显然，它大于或等于CD ，即 ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2 a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把 2 b a +看作是正数a 、 b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 2 b a +为a 、 b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) y x x y +≥2； 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式 填空题 错误！未指定书签。 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔 直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m . 【答案】14000 m . 错误！未指定书签。 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且 11121 a b b =+++,则2a b +的最小值为____. 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b , 设222223111 p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】103 错误！未指定书签。 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件 )0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】37(,6-∞ 错误！未指定书签。 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1, 则21 x x +-的最小值为_________. 【答案】1 错误！未指定书签。 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两 块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积 梯形的周长）2 (,则S 的最小值是______________ 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数 2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则 11a c c a +++的最小值为_____. 【答案】4 错误！未指定书签。 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=, 不等式专题 一．不等式的基本性质 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 二．一元二次不等式 1.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论； 一元一次不等式)0(0≠>+a b ax 的解法与解集形式 当0>a 时，a b x - >, 即解集为?????? ->a b x x | 当00(a ≠0)解的讨论. 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 2 5123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式 02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、 a 2＋ b 2 2的大小关系是 。 2.已知12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 基础篇 一、单变量部分 1、 求)0(1 >+ =x x x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1 <+=x x x y 最大值-2 3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12 1 4、（添项）求)2(2 4 >-+=x x x y 最小值6 5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2 6、（取倒数或除分子）求)0(1 2 >+= x x x y 最大值21 7、（换元法）求)1(132>-+= x x x x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4 2 二、多变量部分 1、（凑系数或消元法）已知 041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16 1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求 y x 9 4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式 1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是 ______),18[+∞_________ 2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习 1. 已知x>0，y>0，且 18 2=+y x 则xy 的最小值_______64_______ 2. )0(13 2 4>++=k k k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为_________ 4 2 3_________ 含参不等式与参变量的取值范围 一、选择题 1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是 A. a >-1 B. a=1 C. a ≥1 D. a ≤1 2. 设)(1 x f -是函数1)((2 1)(>-= -a a a x f x x 的反函数，则使1)(1 >-x f 成立的x 的取值范围是 ) ,.[) ,21.() 21,.() ,21.(222+∞---∞+∞-a D a a a C a a B a a A 3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立 2 1 23.2 3 21.20.11.<<- <<- <<<<-a D a C a B a A 的取值范围是 恒成立，则时，不等式（当的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是 都有意义，则对已知函数的取值范围是 值，则）上有最大 ，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是 数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是 有解，则实数若不等式可以是的取值范围的充分条件，则是若集合a x x x D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x a x b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a a x x log )1)2,1(.10)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)2 1 ,0()log (log )(.81 0.1.12 1 .1.11)()(lim 0,0)1,0(] 0,1()(.7] 1,.(),1.[)2,.(]2,1.[)()0)(1() 0(3)(.62 .2 .1 .1 .|3||5|.521.13.20.02."""1"},|||{},01 1 |{.422220<-∈-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>??? ??∈---∈+=-∞+∞-∞=? ??>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→- φ 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 1 / 8 基础篇 一、单变量部分 1、 求)0(1 >+ =x x x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1 <+=x x x y 最大值-2 3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12 1 4、（添项）求)2(2 4 >-+=x x x y 最小值6 5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2 6、（取倒数或除分子）求)0(1 2 >+= x x x y 最大值21 7、（换元法）求)1(132>-+= x x x x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4 2 二、多变量部分 1、（凑系数或消元法）已知 041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16 1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求 y x 9 4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式 1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是 ______),18[+∞_________ 2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习 1. 已知x>0，y>0，且 18 2=+y x 则xy 的最小值_______64_______ 2. )0(13 2 4>++=k k k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为_________ 4 2 3_________ 《不等式》专题复习 知识回顾 一．不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则： (同向同正可乘) (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小： 作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 二．解不等式 1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集： 2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 ()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法（转化为常规不等式） ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理 4、不等式的恒成立问题： 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 三、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件 ②线性目标函数 ③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解： 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 最新模拟题均值不等式练习题总结 1.在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(-1，0)，点P(a ，b )(ab ≠0)满足 AP BP =，则 2 241 a b +的最小值为( ) A.4 B.9 C. 32 D. 94 2已知x ＞0，y ＞0，2x +y =2，则xy 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. x x y 4+ = B.)0(sin 4sin π<<+=x x x y C.x x e e y 4 + = D.81log log 3x x y += 4、已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则1 1 3x y + 的最小值是（ ） A ．2 B ． ．4 D ．5.设为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 6.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆22 2410x y x y ++-+=截得弦长为 4，则41 a b +的最小值是（ ） .A 9 .B 4 . C 12 .D 1 4 7、已知0,0x y >>，182x y x y -=-，则2+x y 的最小值为( ) A B ． C ． D ．4 8．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是（ ） A ．72 B. 92 C ．5 D ．4 9．已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a +++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 10．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24m x y +≥恒成立，则m 的取值范围是 A ．)+∞ B ．[)2,+∞ C ．( D ．(]0,2 11．设， 是与的等比中项，则1 1a b +的最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D ．4 12已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为______________； 13.设1,0>>b a ,若2=+b a ,则1 1 4-+b a 的最小值为 __________________． 答案 1. D 2. A 3. C 4. 【答案】C 【解析】∵lg2x +lg8y ＝lg2，∴lg （2x ?8y ）＝lg2，∴2x +3y ＝2，∴ 0a >0b >3a 3b 28 3 不等式复习专题 考点一：不等关系 1．如果1a b <<-，则有（ ） A ．2211b a b a <<< B ．2211a b b a <<< C ．2211b a a b <<< D ．2211a b a b <<< 2．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是（ ） A ．b a 11< B ．22 b a > C ．|||| c b c a > D ．1122+>+c b c a 考点二：一元二次不等式的解法及其推广 1．不等式2320x x -+>的解集是 A ．{}21x x x <->-或 B ．{}12x x x <>或 C ．{}12x x << D ．{}21x x -<<- 2.不等式 102 x x +≥-的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -≤< C ．{|1x x ≤-或2}x ≥ D ．{|1x x ≤-或2}x > 考点三：线性规划 1．若 226x y x y ≥??≥??+≤? ，则目标函数3z x y =+的取值范围是 ． 2．已知目标函数2z x y =+，且变量,x y 满足4335251x y x y x -≤-??+ 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且 仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，高中数学不等式讲义
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