实验八数值积分
信息与计算科学金融崔振威201002034031
一、实验目的：
1、掌握数据积分算法设计及程序实现
二、实验内容：
1、p290-1、p301-2
三、实验要求：
主程序：
复合梯形公式：
function [I,step,h2] = CombineTraprl(f,a,b,eps)
%f 被积函数
%a,b 积分上下限
%eps 精度
%I 积分结果
%step 积分的子区间数
if(nargin ==3)
eps=1.0e-4;
end
n=1;
h=(b-a)/2;
I1=0;
I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h;
while abs(I2-I1)>eps
n=n+1;
h=(b-a)/n;
I1=I2;
I2=0;
for i=0:n-1
x=a+h*i;
x1=x+h;
I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1));
end
end
I=I2;
step=n;
h2=(b-a)/n;
function [I,step,h] = IntSimpson(f,a,b,type,eps)
%type = 1 辛普森公式
%type = 2 辛普森3/8公式
%type = 3 复合辛普森公式
if(type==3 && nargin==4)
eps=1.0e-4; %精度为0.0001
end
I=0;
switch type
case 1,
I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+...
4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+...
subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));
step=1;
case 2,
I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+...
3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+ ...
3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));
step=1;
case 3,
n=2;
h=(b-a)/2;
I1=0;
I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h;
while abs(I2-I1)>eps
n=n+1;
h=(b-a)/n;
I1=I2;
I2=0;
for i=0:n-1
x=a+h*i;
x1=x+h;
I2=I2+(h/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+...
4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(x+x1)/2)+...
subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1));
end
end
I=I2;
step=n;
end
function [q,step]=Roberg(f,a,b,eps)
%f是被积函数
%a积分上限
%b积分下限
%eps是精度
%q输出结果
%step循环次数
if(nargin==3)
eps=1.0e-4;
end;
M=1;
tol=10;
k=0;
T=zeros(1,1);
h=b-a;
T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); while tol>eps
k=k+1;
h=h/2;
Q=0;
for i=1:M
x=a+h*(2*i-1);
Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);
end;
T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;
M=M*2;
for j=1:k;
T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);
end;
tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));
end
q=T(k+1,k+1);
step=k;
p290-1
1、（i ）用组合梯形公式和M=10求下列每个积分
(a)、dx x 1
112)1(--?+
解：在matlab 窗口中输入 >> [q,s,h]=CombineTraprl('(1+x^2)^(-1)',-1,1)
得出结果：
q =
1.56996299445358
s =
20
h =
0.10000000000000
所以dx x 111
2)1(--?+值约为1.569962994，步长为0.1，M 为20
(b)、dx x ?+1
0))2sin(2(
解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s,h]=CombineTraprl('(2+sin(2*x^(1/2)))^(-1)',0,1)
得出结果：
q =
0.35117779429220
s =
19
h =
0.05263157894737 所以
dx x ?+10))2sin(2(值约为 0.351177794，步长为0.052631579，M 为19
(c)、?425.0/x dx
解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s,h]=CombineTraprl('1/(x^(1/2))',0.25,4)
得出结果：
q =
3.00216646875717
s =
46
h =
0.08152173913043 所以?425.0/x dx 值约为 3.002166469，步长为0.081521739，M 为46
(d)、dx e x x -?4
02 解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s,h]=CombineTraprl('x^2*exp(-1)',0,4)
得出结果：
q =
7.85012162896417
s =
44
h =
0.09090909090909
所以dx e x x -?4
02值约为7.850121629，步长为0.090909090，M 为44
(e)、?2
0)(2dx x xcox 解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s,h]=CombineTraprl('2*x*cos(x)',0,2)
得出结果：
q =
0.80323191187607
s =
36
h =
0.05555555555556
所以?2
0)(2dx x xcox 值约为 0.803231912，步长为0.055555556，M 为36
(f)、dx e x x
?-π0)2sin( 解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s,h]=CombineTraprl('sin(2*x)*exp(-x)',0,pi)
得出结果：
q =
-6.738211157945265e-018
s =
1
h =
3.14159265358979
所以dx e x x
?-π0)2sin(值约为 -6.7382111578，步长为3.141592653，M 为1
2、（ii ）用组合辛普森公式和M=10求下列每个积分
(a)、dx x 1
112)1(--?+
解：在matlab 窗口中输入 >> [I,step,s] = IntSimpson('(1+x^2)^(-1)',-1,1,3)
得出结果：
I =
1.57079538809119
step =
5
s =
0.400000000000000
所以dx x 111
2)1(--?+值约为1.570795388，步长为0.4，M 为5
(b)、dx x ?+1
0))2sin(2(
解：在matlab 窗口中输入
>> [I,step,s] = IntSimpson('(2+sin(2*x^(1/2)))^(-1)',0,1,3)
得出结果：
I =
0.35047636367125
step =
10
s =
0.10000000000000 所以
dx x ?+10))2sin(2(值约为0.350476364，步长为0.1，M 为10
(c)、?425.0/x dx
解：在matlab 窗口中输入
>> [I,step,s] = IntSimpson('1/(x^(1/2))',0.25,4,3)
得出结果：
I =
3.00030161515673
step =
14
s =
0.26785714285714 所以?425.0/x dx 值约为3.000301615，步长为0.267857143，M 为14
(d)、dx e x x
-?402
解：在matlab 窗口中输入
>> [I,step,s] = IntSimpson('x^2*exp(-1)',0,4,3)
得出结果：
I =
7.84809474499077
step =
4
s =
1
所以dx e x x -?4
02值约为7.848094745，步长为1，M 为4
(e)、?2
0)(2dx x xcox 解：在matlab 窗口中输入
>> [I,step,s] = IntSimpson('2*x*cos(x)',0,2,3)
得出结果：
I =
0.80494830253761
step =
6
s =
0.33333333333333
所以?2
0)(2dx x xcox 值约为0.804948303，步长为0.333333333，M 为6
(f)、dx e x x
?-π0)2sin( 解：在matlab 窗口中输入
>> [I,step,s] = IntSimpson('sin(2*x)*exp(-x)',0,pi,3)
得出结果：
I =
-6.738211157945265e-018
step =
2
s =
1.57079632679490
所以dx e x x
?-π0)2sin(值约为 -6.738211158，步长为1.570796327，M 为2
P301-1
2、
（a ）、dx x x ?-2
024
解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s]=Roberg('sqrt(4*x-x^2)',0,2)
得出结果：
>> [q,s]=Roberg('sqrt(4*x-x^2)',0,2)
q =
3.14155917503659
s =
9
所以，该积分值约为3.1415591750
（b ）、dx x ?+1021/4
解：在matlab 窗口中输入
>> [q,s]=Roberg('4/(1+x^2)',0,1)
得出结果：
q =
3.14159266527772
s =
4
所以，该积分值约为3.1415926653
通过利用龙贝格公式积分求得结果，两个定积分得出结果的积分速度明显不同。第二个式子要比第一个式子的积分速度要快，并且积分的值要比第一个式子得出的结果要接近π，原因积分区域小，更接近於函数的周期。
执行函数为1、使用方法： Step1：在MATLAB命令窗口输入被积函数 2 1 2 t t e dt 。 输入应为：。 Step2：执行函数。输入形式为mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n)； 其中ft—被积函数，此体重，已经在第一步赋值； a—积分下限，本题中为0； b—积分上限，本题中为1； m—将区间[a,b]等分的子区间数量，本题可选为10； n—采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性。 当n=1时，即为复化梯形公式；n=2时，即为复化复化辛普森公式。 所以，分别输入mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,1)和mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2)就可以得到两种方法的积分计算结果。 2、计算结果 而根据积分运算，可得： 说明复化梯形和复化辛普森公式计算出的结果基本一致，与实际结果相符。 3、程序代码 functionyy=mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n) %复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和, %参考的输入形式为mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2) %参数说明: %ft——被积函数，此题中ft=@(t)t.*exp(t^2/2) %a——积分下限 %b——积分上限 %m——将区间[a,b]等分的子区间数量 %n——采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性 %(1)n=1时为复化梯形公式
%(2)n=2时为复化辛普森公式 xx=linspace(a,b,m+1); forl=1:m s(l)=myNewtonCotes(ft,xx(l),xx(l+1),n); end yy=sum(s); function[y,Ck,Ak]=myNewtonCotes(ft,a,b,n) %牛顿-科特斯数值积分公式 %Ck——科特斯系数 %Ak——求积系数 %y——牛顿-科特斯数值积分结果 xk=linspace(a,b,n+1); forj=1:n+1 ff(j)=ft(xk(j)); end %计算科特斯系数 fori=1:n+1 k=i-1; Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n); end %计算求积系数 Ak=(b-a)*Ck; %求和算积分 y=Ak*ff'; functionf=intfun(t,n,k) %科特斯系数中的积分表达式 f=1; fori=[0:k-1,k+1:n] f=f.*(t-i); end
数值分析 实 验 报 告 专业：信息与计算科学 班级： 10***班 学号： 1008060**** 姓名： ******
实验目的： 用龙贝格积分算法进行积分计算。 算法要求： 龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。 1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，… 对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精 度时停止计算。 其中： T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b = 程序代码： #include
while(t!=n) { t*=2; ++i; } return i; } float t(int n) { float g,h,q=0; if(1==n) { h = (float)fabs(b-a); q = (f(a)+f(b))*h/2; } else { float x = a; g = 0; h = (float)fabs(b-a)*2/n; x = x+h/2; while(x Matlab作业（一） 作业要求：用梯形法或者辛普森法数值积分，分别用Matlab和c语言实现。 C语言 1.程序代码： #include printf("积分上限b="); scanf("%lf",&b); printf("精度eps="); scanf("%lf",&eps); definfresult=definfresult1(fun,a,b,eps); printf("\n计算结果=%.7lf\n", definfresult); } 2.运行结果： MatLab 1.程序代码： function y=fun1(x) y=x*x; 摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发 目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17) 作业三——龙贝格算法的matlab实现程序流程图： 程序源代码： 文件f.m function fx = f(x) if x == 0 fx = 1; else fx = sin(x) / x; end end 文件longbeige.m clc clear all; format long a=input('请输入你要求得积分的下限:'); b=input('请输入你要求得积分的上限:'); e=input('请输入你要求得积分的结束精度:'); k=input('请输入你要求得积分的最大次数:'); fx=@(x)sin(x)/x; lbg(@f,a,b,k,e) 文件lbg.m function lbg(fx,a,b,k,e) T=zeros(k,k); T(1,1)=(b-a)*(1+fx(b))/2; for i=1:k m=0; for j=1:2^(i-1) m=m+fx(a+(2*j-1)*(b-a)/(2^i)); end T(i+1,1)=0.5*T(i,1)+(b-a)*m/2^i; for n=1:i T(i+1,n+1)=(4^n*T(i+1,n)-T(i,n))/(4^n-1); end if abs(T(i+1,i+1)-T(i,i))<=e & i>=4 break; else ; end end for i=1:k if T(i,1)==0 j=i; break; else ; end end if j==k error('所求次数不够或不可积') else ; end T=T(1:j-1,1:j-1) disp('所求的积分值为：') disp(T(j-1,1)) 实验八数值积分 信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 1、掌握数据积分算法设计及程序实现 二、实验内容： 1、p290-1、p301-2 三、实验要求： 主程序： 复合梯形公式： function [I,step,h2] = CombineTraprl(f,a,b,eps) %f 被积函数 %a,b 积分上下限 %eps 精度 %I 积分结果 %step 积分的子区间数 if(nargin ==3) eps=1.0e-4; end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; h2=(b-a)/n; function [I,step,h] = IntSimpson(f,a,b,type,eps) %type = 1 辛普森公式 %type = 2 辛普森3/8公式 %type = 3 复合辛普森公式 if(type==3 && nargin==4) eps=1.0e-4; %精度为0.0001 end I=0; switch type case 1, I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 2, I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+ ... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 3, n=2; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(x+x1)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; end 关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用 天津西站项目部刘思传 摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。 关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。 一.引言 随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。 二.复化辛普森公式数学模型 把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。 记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。 复化辛普森积分计算公式 而，称 (1) 式(1)即为辛普森复化公式。 三.线路坐标计算 2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算 如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。 由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离?i 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2） y ' Y B 图1 由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为 )(A i A B A B A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有 ???????=== ?I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4） 将式（3）代入式（4）得 πρρβ180 *)(2A i A i i DK DK -+= （5） 若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为 i A i βαα+= π180 （6） 将式(5)代入式（6）得 *)(2A i A i A i DK DK -++=ρραα π180 （7） 对于式(7) ，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，， ，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角 计算公式。 可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(7)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。 3、回旋曲线点位坐标计算 由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式： 数值分析与实验课程设计 班级: 姓名: 学号: 08级应用数学《数值分析与实验（实践）》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验（实践）》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、禾U用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯-赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 \ 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程组； &利用幕法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； \ （8个中选取1个） 二、设计时间 2011 —2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日 、八 刖 数值计算方法是一种利用计算机解决数学 .言 问题的数值近似解方法， 特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计 算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。 辛普森为什么被宣判无罪——了解美国司法体制的一面镜子 发信站: 两全其美网(Wed Jun 10 20:29:41 2009), 本站(https://www.doczj.com/doc/4d166100.html,) 有网友说杀人嫌疑犯辛普森最后被宣判无罪释放，清楚证明了标榜自由平等民主公平的美国其实只是打着法律的幌子搞双重标准、愚弄世人，这是对美国宪法修正案以及美国司法制度的曲解。也许很多网友或多或少读过一些辛普森杀妻案的报道，但其实在生活中我们也许会遇到这么一种情况——得到的信息越简单，推论也就会显得格外清楚。就像世界上发生的很多事情一样，当事实被简单化以后，看似清晰的结论，有时反而会模糊事件的真实面貌，甚至也会曲解事件所折射的意义和教训。我当然不能说我知道的是完整真相而其他人都一知半解，但我还是想在此再详细解释一下在美国的司法制度和宪法修正案的条款保护下为什么辛普森嫌疑如此之大却还是被宣判无罪释放。 首先我们简单回顾一下这个“世纪大审判”的起因——1994年6月，洛杉矶高级住宅区发生了一桩重大谋杀案，死者均为白人，一个是辛普森的前妻妮可•辛普森，另一位是20岁左右的餐馆雇员高德曼，他当晚前往妮可住所给其送遗失在餐厅中的眼镜而被害。二人都是被刀割喉致死，妮可的头颅几乎被割下来。邻居偶然发现了尸体，现场在妮可自家花园甬道上。 辛普森的住所离前妻的非常近，案发后警察试图找到他通知案情，发现辛普森已经按原计划前往芝加哥。因为怀疑其谋杀，而且辛普森在警方通知其赶紧回来接受问讯后一直不投案，于是警方只得把他宣布为重大通缉犯。当他在警察眼皮底下回到住所，喝完一杯桔子汁后束手就擒。 辛普森在从芝加哥回来的一个小时里，当时警察局还没有宣布其嫌犯身份，他就已经聘请了美国最著名的律师之一夏皮罗作为其首席律师，并马上组建了名满全美的几十名高级律师构成的“梦幻律师团”。美国有一个专门的机构“美国公民自由联盟”，如果你是穷人请不起律师，该机构为你聘请律师，费用全免，美国政府也有一个联邦法律服务公司，义务为请不起律师的人提供免费律师。而且法庭也规定，律师都必须有一定小时数的义务服务。 另一方面，由地方女检察官克拉克、黑人检察官达顿为首的检方律师团也组建起来。 在美国，审判刑事犯罪案件时，不论检方手中的证据看上去多么有力，在宣判有罪之前，都必须遵循“无罪假定”，因为一个普通美国人在处于嫌疑犯这个不利地位时必须确保其拥有的自由和基本权利。美国人认为，在案件受理期间被告面临检察官与警察，往往是代表着集中了美国最有势力、财力搜罗证据、维持诉讼的强势团体，而一个普通人处于这样一个悬殊的地位上，如果还不从制度上加以保护的话，被冤枉、甚至被政府执法人员陷害的可能性都是非常大的。因此在宪法的十条修正案中，有五条涉及保护嫌犯的公民权利，同时保证检方和辩方从道义上的平等地位。而且在被告不认罪的情况下，检方的责任是陈列证据证明控告的合理性。而辩方的工作只是对检方提出的证据提出疑点，甚至推翻检方的证据。检方在整个审理过程中绝对不可以有任何抬高自己、宣扬替天行道伸张正义的举动，哪怕是暗示辩护律师是为罪犯开脱都是严重的犯规行为。 美国的司法独立，决定了美国政府无权干涉任何审理过程，而法官所起的全部作用只是维持秩序，以及判定哪些证据可以呈堂，提问是否恰当，在法庭上什么话可以说，什么不可以说， 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/4d166100.html, 运用证据学规则分析辛普森杀人案 作者：路小普石霖熙葛二磊 来源：《今日财富》2017年第01期 辛普森杀妻案大多数公众认为被告人一定难逃法律的制裁，最终却以辛普森无罪释放告终。本文通过“非法证据排除规则”排除辛普森杀妻案中的血迹证据和手套证据，然后提出中国证据规则的改善；运用“品格证据规则”分析辛普森杀妻案中证人“福尔曼”的证词，一步步排除，最后辛普森无罪释放，并且根据美国品格证据规则启示了我国的品格证据规则。 一、引言 1994年6月12日深夜的一阵犬吠迎来了美国历史上极为轰动的一起事件——辛普森杀妻案。这起被誉为“世纪大审判”的刑事案件，耗时474天，最终以辛普森无罪释放告结。裁决作出后，辛普森在此案中是否有罪已经不是人们热议的唯一焦点。从法律角度分析，证据是衡量罪与非罪的重要标准，以此引出证据规则体现出的公平和人权观念。 我认为，在此案中运用了非法证据排除规则和品格证据原则，排除证据，下面将围绕非法证据排除规则和品格证据原则对辛普森杀妻案进行分析。 二、从非法证据排除规则看辛普森杀妻案 （一）非法证据排除则 非法证据排除规则通常指执法机关及其工作人员使用非法行为取得的证据不得在刑事审判中采纳的规则。“非法”者，本为非法取得之意；“排除”者，初指非法证据不得在刑事审判中采纳为不利于被告的证据，后扩大到包括在审前程序中不得以非法取得的证据为根据签发逮捕证和搜查证等司法行为，以及被告方可以法院未排除非法证据为由进行上诉和请求最高法院审查案件。 （二）辛普森杀妻案重证据排除 1.血迹证据。凶杀现场两处发现辛普森的血迹；现场提取的毛发与辛普森的头发相同；警方两只都有被害人和被告人的血迹的手套即在现场和辛普森住宅发现的血手套是同一副；在辛普森住宅门前小道、二楼卧室的袜子和白色野马车中都发现了辛普森和被害人的血迹。 但是，这些血迹证据中破绽百出。首先，袜子上的血迹非常奇怪。因为袜子上的血迹左右两边一模一样，如果袜子当时穿着在人的脚上，则血迹绝对不可能从右边渗透到左边，或者从左边渗透到右边，因为中间隔着脚踝，也就是说，袜子上的血迹有很大的可能是后来被人涂抹上去的。另外，辩方专家在检验袜子上的血迹时发现其中含有浓度很高的螯合剂（EDTA），案发之日，警方在抽取辛普森的血样之后在血样中添加了这种螯合剂。 龙贝格算法 一、问题分析 1、1龙贝格积分题目 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y（x)=l sin （tx），则给定雨篷得长度后，求所需要平板材料得长度）. 二、方法原理 2、１龙贝格积分原理 龙贝格算法就是由递推算法得来得。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式. 在变步长得过程中探讨梯形法得计算规律.设将求积区间［ａ，b]分为ｎ个等分，则一共有n+1个等分点，n.这里用表示复化梯形法求得得积分值，其下标n 表示等分数。 先考察下一个字段[]，其中点,在该子段上二分前后两个积分值 显然有下列关系 将这一关系式关于k从０到n－１累加求与，即可导出下列递推公式 需要强调指出得就是,上式中得代表二分前得步长，而 梯形法得算法简单，但精度低,收敛速度缓慢,如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心得. 根据梯形法得误差公式，积分值得截断误差大致与成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一,既有 将上式移项整理,知 由此可见，只要二分前后两个积分值与相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果得误差很小，这种直接用计算结果来估计误差得方法称作误差得事后估计法。 ?按上式,积分值得误差大致等于，如果用这个误差值作为得一种补偿，可以期望,所得得 应当就是更好得结果。 ?按上式，组合得到得近似值直接验证，用梯形二分前后得两个积分值与按式组合，结果得到辛普生法得积分值。 再考察辛普生法。其截断误差与成正比.因此,若将步长折半,则误差相应得减至十六分之一。既有 由此得 不难验证,上式右端得值其实就等于,就就是说,用辛普生法二分前后得两个积分值与，在按上式再做线性组合,结果得到柯特斯法得积分值，既有 重复同样得手续，依据斯科特法得误差公式可进一步导出龙贝格公式 应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式得范畴. 在步长二分得过程中运用公式加工三次，就能将粗糙得积分值逐步加工成精度较高得龙贝格,或者说,将收敛缓慢得梯形值序列加工成熟练迅速得龙贝格值序列，这种加速方法称龙贝格算法。 三、算法设计 3、1龙贝格积分算法 就就是求出,再走一遍求出，根据求出,再走一遍求出，根据求出，根据求出，再走一遍程序求出，根据得出，根据得出,再根据得出,再走一边程序，得出，根据得出,根据得出，再由得出。再根据相减得绝对值小于其精度。那其中为求出得值. 执行函数为mymulNewtonCotes.m 1、使用方法： Step1：在MATLAB 命令窗口输入被积函数212 0t t e dt ?。 输入应为：ft=@(t)t.*exp(t^2/2)。 Step2：执行函数。输入形式为mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n)； 其中ft —被积函数，此体重ft=@(t)t.*exp(t^2/2)，已经在第一步赋值； a —积分下限，本题中为0； b —积分上限，本题中为1； m —将区间[a,b]等分的子区间数量，本题可选为10； n —采用的Newton-Cotes 公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保 证稳定性。 当n=1时，即为复化梯形公式；n=2时，即为复化复化辛普森公式。 所以，分别输入mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,1)和 mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2)就可以得到两种方法的积分计算结果。 2、计算结果 而根据积分运算，可得： 221112 110222 220000() 1.648710.64872t t x x t t e dt e d e dx e e e ====-=-=??? 说明复化梯形和复化辛普森公式计算出的结果基本一致，与实际结果相符。 3、程序代码 function yy = mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n) % 复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和, % 参考的输入形式为mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2) % 参数说明: % ft——被积函数，此题中ft=@(t)t.*exp(t^2/2) % a——积分下限 % b——积分上限 % m——将区间[a,b]等分的子区间数量 % n——采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性 % (1)n=1时为复化梯形公式 % (2)n=2时为复化辛普森公式 xx = linspace(a,b,m+1); for l = 1:m s(l) = myNewtonCotes(ft,xx(l),xx(l+1),n); end yy = sum(s); function [y,Ck,Ak] = myNewtonCotes(ft,a,b,n) % 牛顿-科特斯数值积分公式 % Ck——科特斯系数 % Ak——求积系数 % y——牛顿-科特斯数值积分结果 xk = linspace(a,b,n+1); for j = 1:n+1 ff(j) = ft(xk(j)); end % 计算科特斯系数 for i=1:n+1 第五章：利用复化Simpson公式和Romberg法计算积分 R= 1 2 04 x x + ?dx , 并分析结果. 1 Simpson公式 function R1=Simpson(a,b,m,f) h=1/(2*m); x=ones(1,2*m); for k=1:2*m; x(k)=a+k*h; end s1=0; s2=0; for i=0:m-1 s1=s1+feval(f,x(2*i+1)); end for i=1:m-1 s2=s2+feval(f,x(2*i)); end R1=(feval(f,a)+4*s1+2*s2+feval(f,b))*h/3; end 输入命令结果如下 a=0;b=1; format long; >> f=inline('x/(4+x^2)'); m=40; >> R1=Simpson(a,b,m,f) R1 = 0.111571775717089 >> m=60; >> R1=Simpson(a,b,m,f) R1 = 0.111571775668953 >> m=100; >> R1=Simpson(a,b,m,f) R1 = 0.111571775658640 2．Romberg法 function z=romberg(f,n,a,b) z=zeros(n,n); h=b-a; z(1,1)=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b)); f1=0; for i=2:n for k=1:2^(i-2) f1=f1+f(a+(k-0.5)*h); end z(i,1)=0.5*z(i-1,1)+0.5*h*f1; h=h/2; f1=0; for j=2:i z(i,j)=z(i,j-1)+(z(i,j-1)-z(i-1,j-1))/(4^(j-1)-1); end end 在主程序中输入 a=0;b=1; format long; >> f=inline('x/(4+x^2)'); n=15; z=romberg(f,n,a,b) z = Columns 1 through 3 0.100000000000000 0 0 0.108823529411765 0.111764705882353 0 0.110892********* 0.111581850864687 0.111569********* 0.111402354529548 0.111572382538912 0.111571751317193 0.111529448571860 0.111571813252631 0.111571775300212 0.111561195644221 0.111571778001675 0.111571775651611 0.111569130763726 0.111571775803560 0.111571775657019 0.111571114440624 0.111571775666257 0.111571775657104 0.111571610353414 0.111571775657677 0.111571775657105 0.111571734331209 0.111571775657141 0.111571775657105 0.111571765325633 0.111571775657107 0.111571775657105 0.111571773074237 0.111571775657105 0.111571775657105 0.111571775011388 0.111571775657105 0.111571775657105 0.111571775495676 0.111571775657105 0.111571775657105 陕西科技大学 机械教改班 用C++的积分 其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。 一．积分的基本思想 1、思路：微分—>求和—>取极限。 2、Newton —Leibniz 公式 ?-=b a a F b F dx x f ) ()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f 的原函数。 3、用计算机积分的思路 在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。 二．现有的理论 1、一阶求积公式---梯形公式 ?=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2 )( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。 2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ?=+++-=b a S b f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)( 他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。 三．四种实现方法 1.复化矩形法 将积分区间[a,b]等分成n 个子区间: ],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh 一．介绍 龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加 开始 计算步长h 计算初值 f(a)、f(b)、 R(1,1) R矩阵迭代计算 No 误差达到精度要 求 Yes 输出R(j+1,j+1) 结束三．源码 1. f=inline('1/(x+1)');%输入函数 a=0;b=1;%取值边界 eps=10^(-7); h=b-a; R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2; j=0; err=1; m=1; while err>eps j=j+1; h=h/2; S=0; for i=1:m x=a+h*(2*i-1); S=S+f(x); end m=2*m; R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S; for i=1:j R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1)); end ans=vpa(R(j+1,j+1),7) 2. f=inline('log(x+1)/(x^2+1)');%输入函数 a=0;b=1;%取值边界 eps=10^(-7); h=b-a; R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2; j=0; err=1; m=1; while err>eps j=j+1; h=h/2; S=0; for i=1:m x=a+h*(2*i-1); S=S+f(x); end m=2*m; R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S; for i=1:j R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1)); end ans=vpa(R(j+1,j+1),7) 3. f=inline('log(x+1)/x');%输入函数 a=0;b=1;%取值边界 eps=10^(-7); h=b-a; R(1,1)=h*(1+log(2))/2; j=0; err=1; m=1; Simpson算法及其推广形式 摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。首先是对 一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及 其算法，进行误差分析，并且列举了实例。然后，对辛普森公式进行改 进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛 普森公式对积分的计算更加精确。另外，还研究了辛普森公式的推广形 式。最后，在结论的当中列举了一个例子。 关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式 Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpson formula and the double integral simpson formula problem. First, study the algorithm and derived of one-dimensional simpson formula and step-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpson formula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this , improve the simpson formula. This improved the most important is to incre ase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study the simpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example in the conclusion. Key word:The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral. １、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍《精 通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９ 年） “Simpson 法求数值微分” 算法说明 辛普森数值微分是用来求等距节点在节点处的导数的，辛普森数值微分公式如下： 其中，y n =f(x n ),x n =x n +nh 如果端点导数值－f(x 0)和-f ’(x n )未知，则将它们的中点微分公式近似，这时的辛普森数值微分公式为： 在MATLAB 中，编程实现的辛普森数值法（用于已知函数表达式）函数为：CISimpson 。 功能：辛普森数值法求已知函数在某点的导数值。 调用格式：df=CISimpson(func,x0,n,h)。 其中，func 为函数名； xo 为求导点； n 为将已知函数离散的数据点数； h 为离散步长； df 为导数值。 辛普森数值微分法（适用于已知函数表达式）的MATLAB 程序代码如下： function df=CISimpson(func,x0,n,h) %辛普森数值法求已知函数 func 在x0点的导数值 %函数名：func %求导点：x0 %将已知函数离散的数据点数：n %离散步长：h %导数值：df 4 1 1 4 1 1 4 . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 f’(x 1) f ’(x 2) f ’(x 3) . . . f ’(x =n-1) 2 0 1 4 1 1 4 . . . . . . . . . . . . . 1 0 .2 f’(x 1) f ’(x 2) f ’(x 3) . . . f ’(x =n-1) 龙贝格算法 一、问题分析 1.1龙贝格积分题目 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题(塑料雨篷曲线满足函数y(x)=lsin(tx),则给定雨篷的长度后，求所需要平板材料的长度)。 二、方法原理 2.1龙贝格积分原理 龙贝格算法是由递推算法得来的。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。 在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。设将求积区间[a，b]分为n个等 ba,分，则一共有n+1个等分点，n。这里用表示复化xakh,，,hk,,,0,1,Tnkn 梯形法求得的积分值，其下标n表示等分数。 1xxx,，先考察下一个字段[]，其中点，在该子段上二分前后xx,，，11kk，kk，1k，22 两个积分值 h ,，，，Tfxfx，，，，11kk，，，2 ，，,,hTfxfxfx,，，，，，，,,,,211kk，k，4,,2,,，， 显然有下列关系 ,,1h TTfx,，,,211k，222,, 将这一关系式关于k从0到n-1累加求和，即可导出下列递推公式 n,1,,1h TTfx,，,,,21nnk，22k,02,, ba,需要强调指出的是，上式中的代表二分前的步长，而 h,n 1,,xakh,，， 1,,k，2,,2 梯形法的算法简单，但精度低，收敛速度缓慢，如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心的。 2根据梯形法的误差公式，积分值的截断误差大致与成正比，因此步长减Thn 半后误差将减至四分之一，既有 1,T12n, 14,Tn将上式移项整理，知 1 ,,,TTT1()22nnn3由此可见，只要二分前后两个积分值和相当接近，就可以保证计算保证结TTn2n果计算结果的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计T2n 法。 1 按上式，积分值的误差大致等于，如果用这个误差值作为的一种 TTT,T()2n2nn2n3补偿，可以期望，所得的 141 TTTTTT,，,,,，，222nnnnn333应当是更好的结果。 按上式，组合得到的近似值直接验证，用梯形二分前后的两个积分值和按TTTn2n 式组合，结果得到辛普生法的积分值。 Sn 41 STT,,nnn233 4 再考察辛普生法。其截断误差与成正比。因此，若将步长折半，则误差相h 应的减至十六分之一。既有 IS,12n, IS,16n由此得 161 ISS,,2nn1515 不难验证，上式右端的值其实就等于，就是说，用辛普生法二分前后的两个积分值Cn 和，在按上式再做线性组合，结果得到柯特斯法的积分值，既有 SCS2nnn用梯形法或者辛普森法数值积分,分别用Matlab和c语言实现。
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