第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日
公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。
考研数学春季强化班高数讲义
第一章 函数 极限 连续 一．函数 1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： ).()(2121x f x f x x '单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义： (2）设)(x f 可导，则： a))(x f 是奇函数? )(x f '是偶函数； b))(x f 是偶函数? )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3)周期性 定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
4)有界性 定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈?>?则称)(x f 在I 上有界。 判定：（1）定义： （2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ?在],[b a 上有界； （3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ?在 ）（b a ,上有界； （4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ?在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本的初等函数与初等函数 基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数. 题型一 复合函数 例1设)1(-x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[+a (B) ]1,1[--a (C) ],1[a a - (D) ]1,[+a a 例2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==?且,0)(≥x ?求)(x ?及其定义域。 =)((x ?)0,)1ln(≤-x x 例3设???≥<=0,10,0)(x x x f , ? ??≤-<-=||1,2||1||,2)(2x x x x x g 试求)]([)],([x f g x g f . ( ???≤<<≤=||21||,12||1,0)]([x x x x g f 或 ???≥-<=0 ,10,2)]([x x x f g ) 题型二 函数性态