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2019-2020 年中考数学试题及答案解析 (WORD 版)

一、选择题

1.

2

A.2

B.

2

C.

1 1

2

D.

2

【答案】 A.

【解析 】由绝对值的意义可得,答案为 A 。

2. 据国家统计局网站 2014 年 12 月 4 日发布消息, 2014 年广东省粮食总产量约为 13 573 000 吨,

将 13 573 000 用科学记数法表示为

A. 1.3573 106

B. 1.3573 107

C. 1.3573 108

D. 1.3573 109

【答案】 B.

a ×10n

的形式,其中 1≤|a|< 10, n 为整数.确定

【解析 】科学记数法的表示形式为 n 的值时,要看

把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,

n 的绝对值与小数点移动的位数相同.

13 573 000= 1.3573 107 ;

3.

一组数据 2, 6, 5, 2, 4,则这组数据的中位数是

A.2

B.4

C.5

D.6

【答案】 B.

【解析 】由小到大排列,得: 2, 2, 4, 5,6,所以,中位数为 4,选 B 。 4.

如图,直线 a ∥ b ,∠ 1=75 °,∠ 2=35°,则∠ 3 的度数是 A.75 °

B.55°

C.40 °

D.35°

【答案】 C.

【解析 】两直线平行,同位角相等,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和,所以, 75°=∠ 2+∠ 3,所以,∠ 3= 40°,选 C 。 5.

下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 A. 矩形

B. 平行四边形

C.正五边形

D.正三角形

【答案】 A.

【解析 】平行四边形只是中心对称图形,正五边形、正三角形只是轴对称图形,只有矩形符合。

6. (

4x)2

A. 8x 2

B. 8x 2

C. 16 x 2

D. 16x 2

【答案】 D.

2 2

2

【解析 】原式=(-4)x = 16x

7. 在 0, 2, ( 3)0 , 5 这四个数中,最大的数是

A.0

B.2

C. ( 3)0

D. 5

【答案】 B.

【解析】(- 3)0= 1,所以,最大的数为2,选 B。

8. 若关于 x 的方程 x2 x a 9 0 有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

4

A. a ≥ 2

B. a ≤ 2

C. a>2

D. a<2

【答案】 C.

【解析】△= 1- 4( a 9

)> 0,即 1+ 4 a- 9>0,所以, a>2 4

9. 如题 9 图,某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框ABCD 变形为以 A 为圆心, AB 为半径

的扇形(忽略铁丝的粗细 ),则所得的扇形DAB 的面积为

A.6

B.7

C.8

D.9

【答案】 D.

1

【解析】显然弧长为BC+CD 的长,即为6,半径为3,则 S扇形 6 39 .

2

10.如题 10 图,已知正△ ABC 的边长为 2,E,F ,G 分别是 AB,BC ,CA 上的点,且 AE=BF =CG,设△EFG 的面积为 y,AE 的长为 x,则 y 关于 x 的函数图象大致是

【答案】 D.

【解析】根据题意,有AE=BF=CG ,且正三角形ABC 的边长为2,

故BE=CF=AG=2-x ;故△ AEG 、△ BEF 、△ CFG 三个三角形全

等.在△ AEG 中, AE=x , AG=2-x ,

则 S △AEG = 1 AE×AG× sinA= 3 x( 2-x );

2 4

故 y=S △ABC -3S △AEG = 3- 3 3 x( 2-x )=3

( 3x 2 -6x+4 ).

4 4

故可得其图象为二次函数,且开口向上,选 D 。

二、填空题

11. 正五边形的外角和等于(度) .

【答案】 360.

【解析】 n 边形的外角和都等于360 度。

12. 如题 12 图,菱形 ABCD 的边长为6,∠ ABC =60°,则对角线AC 的长是. 【答案】 6.

【解析 】三角形 ABC 为等边三角形。 13. 分式方程

3 2 的解是 .

x 1 x

【答案】 x 2 .

【解析 】去分母,得: 3x = 2x + 2,解得: x = 2。

14. 若两个相似三角形的周长比为

2: 3,则它们的面积比是

.

【答案】 4: 9.

【解析 】相似三角形的面积比等于相似比的平方。

15. 观察下列一组数:

1

, 2 , 3 , 4 , 5

, ,根据该组数的排列规律,可推出第

10 个数是

3

5

7

9

11

.

【答案】

10

.

21

【解析 】分母为奇数,分子为自然数,所以,它的规律为:

n ,将 n = 10 代入可得。

2n

1

16. 如题 16 图,△ ABC 三边的中线 AD ,BE ,CF 的公共点 G ,若 S △ ABC 12 ,则图中阴影部分面积 是

.

【答案】 4.

】 由

中 线 性

质 ,

可 得

AG=2 GD

, 则 1

1

2

1

2

1

1 4;其实图中

S △ B

G △ S F

△C S G

△ E

S A △ B

G

1

,∴阴影部分的面积为 3 2S

A 2

B

D

ABC

2 2

2 3 2 6

各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲,但学生容易蒙对的 .

三、解答题(一)

17. 解方程: x 2

3 x 2 0 . 【解析 】 ( x 1)(x 2) 0

∴ x 1 0 或 x 2 0

∴ x 1 1 , x 2

2

18. 先化简,再求值:

x (1 1

2 1.

x 2

1 ) ,其中 x

x

1

【解析 】原式 =

x x 1

1)( x 1)

x

(x

1

=

1

x

当 x2

1时,原式 =

1 2 1 1

.

2 2

19. 如题 19 图,已知锐角△ ABC.

(1) 过点 A 作 BC 边的垂线 MN ,交 BC 于点 D (用尺规作图法, 保留作图痕迹, 不要求写作法) ;

(2) 在 (1)条件下,若 BC=5, AD =4, tan ∠ BAD = 3

,求 DC 的长 .

4

【解析 】 (1) 如图所示, MN 为所作;

(2) 在 Rt △ ABD 中, tan ∠ BAD=

AD

3 ,

BD

4

∴ BD 3 ,

4 4

∴ BD =3,

∴ DC =AD ﹣ BD =5﹣3=2.

四、解答题(二)

20. 老师和小明同学玩数学游戏, 老师取出一个不透明的口袋, 口袋中装有三张分别标有数字 1,2,

3 的 卡片,卡片除数字个其余都相同,老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片,并计算两次抽到 卡片上 的数字之积是奇数的概率,于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可 能结果,题

20 图是小明同学所画的正确树状图的一部分.

(1) 补全小明同学所画的树状图;

(2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.

【解析 】 (1) 如图,补全树状图;

(2) 从树状图可知,共有 9 种可能结果,其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有

4 种

结果,

∴ P(积为奇数 )= 4

9

21. 如题 21 图,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点, 将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE ,延 长交 BC 于点 G ,连接 AG.

(1) 求证:△ ABG ≌△ AFG ;

(2) 求 BG 的长 .

【解析 】 (1) ∵四边形 ABCD 是正方形,

∴∠ B=∠ D =90°, AD=AB ,

由折叠的性质可知

AD =AF ,∠ AFE=∠ D=90 °,

∴∠ AFG =90°, AB=AF,

∴∠ AFG =∠B,

又AG=AG,

∴△ ABG ≌△ AFG ;

(2)∵△ ABG ≌△

AFG ,∴ BG=FG ,

设 BG=FG= x ,则 GC= 6x ,

∵E 为 CD 的中点,

∴ CF =EF=DE =3,

∴ EG= x 3 ,

∴ 32(6 x)2( x3)2,

解得 x 2 ,

∴ BG=2.

22. 某电器商场销售A, B 两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30 元, 40 元 . 商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器,可获利润76 元;销售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计算器,可获利润120 元 .

(1) 求商场销售 A, B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润 =销售价格﹣进货价格)

(2) 商场准备用不多于 2500 元的资金购进 A, B 两种型号计算器共70 台,问最少需要购进 A 型号的计算器多少台?

【解析】 (1) 设 A, B 型号的计算器的销售价格分别是x 元, y 元,得:

5( x 30) ( y 40) 76 6( x 30) 3( y 40) ,解得 x=42,y=56 ,

120

答: A,B 两种型号计算器的销售价格分别为42 元, 56 元;

(2)设最少需要购进 A 型号的计算 a 台,得

30a 40(70 a) ≥ 2500

解得 x≥ 30

答:最少需要购进 A 型号的计算器30 台 .

五、解答题(三)

23.如题23 图,反比例函数y k ( k≠0, x> 0 )的图象与直线y 3 x

相交于点C,过直线上点A(1,x

3)作 AB ⊥ x 轴于点 B,交反比例函数图象于点 D ,且 AB=3BD.

(1)求 k 的值;

(2)求点 C 的坐标;

(3)在 y 轴上确实一点 M,使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC +MD ,求点 M 的坐标 .

【解析】 (1)∵ A(1,3),

∴OB=1, AB=3,

又AB=3BD

,∴ BD =1,

∴ B(1, 1),

∴ k 1 1 1;

(2) 由 (1) 知反比例函数的解析式为y 1 ,

x

y 3x

x 3

x 3

解方程组 1 ,得 3 3 (舍去),

y

x y 3 y 3

∴点 C 的坐标为 ( 3 , 3 );

3

(3)如图,作点

设直线 CE

3

k b

3

k b 1

D 关于 y 轴对称点 E,则 E( 1,1),连接 C

E 交 y 轴于点 M,即为所求 . 的解析式为 y kx b ,则

3

,解得 k 2 3 3 , b 2 3 2 ,

∴直线 CE 的解析式为 y (2 3 3) x 2 3 2 ,

当 x=0 时, y= 2 3 2 ,

∴点 M 的坐标为 (0, 2 3 2 ).

24.⊙ O 是△ ABC 的外接圆, AB 是直径,过 BC 的中点 P 作⊙ O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D,连接

AG,CP, PB.

(1)如题 24﹣ 1 图;若 D 是线段 OP 的中点,求∠ BAC 的度数;

(2)如题 24﹣2 图,在 DG 上取一点 k,使 DK =DP ,连接 CK,求证:四边形 AGKC 是平行四边形;

(3)如题 24﹣3 图;取 CP 的中点 E,连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H,连接 PH ,求证: PH ⊥AB.

【解析】 (1)∵ AB为⊙O直径,BP PC ,

∴PG⊥ BC,即∠ ODB =90°,

∵ D 为 OP 的中点,

∴ OD = 1

OP

1

OB ,2 2

∴ cos∠ BOD= OD

1 ,OB 2

∴∠ BOD =60 °,

∵AB 为⊙ O 直径,

∴∠ ACB =90°,

∴∠ ACB =∠ODB ,

∴AC∥ PG,

∴∠ BAC =∠BOD =60°;

(2)由( 1)知, CD =BD,

∵∠ BDP =∠CDK ,DK

=DP ,∴△ PDB ≌△ CDK ,

∴CK =BP,∠ OPB=∠

CKD ,∵∠ AOG=∠ BOP,

∴AG=BP,

∴AG=CK

∵OP=OB,

∴∠ OPB =∠OBP ,

又∠ G=∠ OBP,

∴AG∥ CK,

∴四边形AGCK 是平行四边形;

(3)∵ CE=PE, CD=BD ,∴

DE ∥ PB,即 DH ∥ PB

∵∠ G=∠ OPB,

∴PB ∥AG,

∴DH ∥ AG,

∴∠ OAG=∠ OHD ,

∵OA=OG ,∴∠

OAG=∠ G,∴∠

ODH =∠ OHD ,∴

OD =OH,

又∠ ODB =∠ HOP, OB=OP,

∴△ OBD ≌△ HOP,

∴∠ OHP =∠

ODB=90 °,∴ PH ⊥ AB.

25.如题25图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 与 Rt△ ADC 拼在一起,使斜边AC 完全重合,且顶点 B,D 分别在 AC 的两旁,∠ABC=∠ ADC=90 °,∠ CAD =30 °,AB=BC=4cm.

(1) 填空: AD = ( cm), DC= (cm);

(2) 点 M, N 分别从 A 点, C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发,且分别在AD, CB 上沿 A→D, C → B 的方向运动,当N 点运动到 B 点时, M, N 两点同时停止运动,连结MN,求当M, N 点运动了 x 秒时,点N 到 AD 的距离 (用含 x 的式子表示 );

(3) 在 (2)的条件下,取 DC 中点 P,连结 MP, NP,设△ PMN 的面积为 y(cm2),在整个运动过

程中,

△ PMN 的面积 y 存在最大值,请求出这个最大值 .

(参考数据: sin75° =

6 2

, sin15° =

62 )

4

4

【解析 】 (1) 2 6 ; 2 2 ;

(2) 如图,过点 N 作 NE ⊥ AD 于 E ,作 NF ⊥ DC 延长线于 F ,则 NE=DF .

∵∠ ACD =60°,∠ ACB=45 °, ∴∠ NCF =75°,∠ FNC=15 °,

∴ sin15° =

FC

,又 NC=x ,

NC

6

2 ∴ FC

4

x ,

∴ NE=DF = 6 2

2 .

x 2

4

∴点 N 到 AD 的距离为

6

2

4 x 2 2 cm ;

(3) ∵ sin75° =

FN

,∴ FN

6 2

x ,

NC

4

∵ PD =CP= 2 ,

∴ PF =

6 2

x 2 ,

4

∴ y 1 ( 6 4 2 x 2 6 x)( 6

2

x 2 2)

1

(2 6 x)

2 1 ( 6

2

x2) ·

2 4

2

2 4

( 6 2 4 x)

即 y

2 6 x 2

7

3 2 2

x 2 3 ,

8

4

7 3 2 2

73 2 2 时, y 有最大值为 6 6

7 3 10 2 30

当 x

4

= .

2

2

6

6 2

4 2 4 6

8

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