{来源}2019年北京中考数学试卷

{适用范围:3．九年级}

{标题}2019年北京市中考数学试卷

考试时间：120分钟满分：100分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．

{题目}1．（2019年北京）4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方紅一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439 000用科学记数法表示应为

A.0.439×106

B.4.39×106

C.4.39×105

D.439 ×103

{答案}C

{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中

1≤|a|＜10，n为整数．439 000=4.39×100000=4.39×105，故本题答案为C.

{分值}2

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年北京）下列但导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

A B C D

{答案}C

{解析}本题考查了轴对称图形的识.如果一个图形沿某直线对折后，这线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.根据轴对称图形的定义可知选项C 中的图形是轴对称图形.

{分值}2

{章节:[1-13-1-1]轴对称}

{考点:轴对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年北京）正十边形的外角和为（）

A．180° B．360° C．720° D．1440°

{答案}B

{解析}本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和都等于360°可知答案为B.

{分值}2

{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}

{考点:多边形的外角和}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年北京）在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO ＝BO ，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 {答案}A

{解析}本题考查了数轴及平移的性质. ∵点A,B 在原点O 的两侧，∴a ＜0.∵CO=BO ，点B 表示数2，∴点C 表示数-2.∵点A 向右平移1个单位长度得到点C ，∴点A 表示的数a=-2-1=-3. {分值}2

{章节:[1-1-2-2]数轴} {考点:数轴表示数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5．（2019年北京）已知锐角∠AOB ． 如图

（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ．连接CD ； （2）分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M 、N ； （3）连接OM ，MN ．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A.∠COM ＝∠COD

B.若OM ＝MN ，则∠AOB ＝20°

C.MN ∥CD

D.MN ＝3CD

{答案}D

{解析}本题是一道尺规作图题，综合考查了等腰三角形、全等三角形、平行线的判定等知识.如图，连接ON ，根据作图过程可知∠COM=∠COD=∠DON ，故选项A 正确；若OM=MN ，则△OMN 是等边三角形，∴∠AOB=

1

3

×60°=20°，故选项B 正确；设MN 与OA 交于点E,与OB 交于点F.易证△MOE ≌△NOF ，∴OE=OF.∵OC=OD ，∴∠OEF=∠OFE=∠OCD=∠ODC ，∴MN ∥CD ，故选项C 正确；连接MC,DN ，则MC=CD=DN ，根据“两点之间线段最短”可知MC+CD+DN ＜MN ，即3CD ＜MN ，故选项D 不正确.

O

{分值}2

{章节:[1-13-2-2]等边三角形} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:等边三角形的判定与性质} {考点:等边对等角}

{考点:同位角相等两直线平行} {考点:线段公理} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}6．（2019年北京）如果m ＋n ＝1，那么代数式222

21

()()m n m n m mn m

++?--的值为 （ ）

A ．-3

B ．-1

C ．1

D ．3

{答案}D

{解析}本题考查了分式的化简求值.原式=()

()()

23()()()()m n m n m

m n m n m n m n m m n m m n m m n ??+-=+?+-=

?+-??---????

=3（m+n ）.当m+n=1时,原式=3×1=3. {分值}2

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:分式的混合运算} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}7．（2019年北京）用不等式a ＞b ，ab ＞0，

11

a b

<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）

A ．0 ．1．2．3

{答案}D

{解析}本题考查了不等式的基本性质及真命题的判定．根据题意，可知组成的命题有3个，分别

为①若ab ＞0，11a b <，则a ＞b ；②若a ＞b ，ab ＞0，则11a b <；③若a ＞b ，11

a b

<，则ab ＞0. 对

于命题①，∵ab ＞0，11a b <，∴b ＜a ，故该命题正确；对于命题②，∵a ＞b ，ab ＞0，∴11

b a

<，

故该命题正确；对于命题③，∵11a b

<，∴110b a

a b ab --=<.∵a ＞b ，∴b-a ＜0，∴ab ＞0，故该

命题正确；

{分值}2

{章节:[1-9-1]不等式}

{考点:不等式的性质}

{考点:命题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他

下面有四个推断：

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间

所有合理推断的序号是

A.①③

B.①④

C.①②③

D.①②③④

{答案}C

{解析}本题是一道与统计图有关的题目，综合考查了平均数、中位数等知识.根据题意，补全统计

名女生人均参加

公益劳动的时间为25.5，故这200名学生参加公益劳动时间的平均数x －

=

24.597+25.5103

200

??，

故24.5＜x －

＜25.5，故①正确；这200名学生参加公益劳动的时间的中位数是第100个数据和第101个数据的平均数，根据上面统计表可知，第100个数据和第101个数据都在20≤t ＜30这一组内，即中位数在20-30之间，故②正确；由统计表可知x+y=15，故初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20≤t ＜30这一组内，高中生参加公益劳动时间的中位数一定在10≤t ＜20这一组内，故③正确，④不正确. {分值}2

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:频数（率）分布表} {考点:算术平均数} {考点:中位数} {考点:条形统计图} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．

{题目}9．（2019年北京）若分式1

x x

-的值为0，则x 的值为＝ .

{答案}1

{解析}本题考查了分式的值为0的条件. ∵分式1

x x

-的值为0，∴分子x-1=0，解得x=1.

{分值}2

{章节:[1-15-1]分式} {考点:分式的值} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}10．（2019年北京）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为＝ cm ．（结果保留一位小数）

{答案}

{解析}本题考查了三角形面积的计算，解题的关键正确作出三角形的高. 如图，过点C 作CD ⊥AB ，

交AB 的延长线于点D ，则S △ABC =

1

2

AB ·CD.

{分值}2

{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段} {考点:三角形的面积} {考点:准确数与近似数}

{类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}11．（2019年北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）

{答案}①②

{解析}本题考查了几何体的三视图. ①中长方体的主视图、俯视图和左视图都是矩形，②中圆柱的主视图和左视图都是矩形，③中圆锥的三视图都不是矩形. {分值}2

{章节:[1-29-2]三视图} {考点:同底数幂的乘法} {考点:简单几何体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}12．（2019年北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB ＋∠PBA ＝ °.

{答案}45

{解析}本题是一道网格题，利用全等三角形实现角的转化是解题的关键. 如图，∵△APC ≌△BED ，∴∠PAB=∠DBE.∵△EPB 是等腰直角三角形，∴∠EBP=45°，∴∠DBE+∠PBA=90°-45°=45°，即∠PAB+∠PBA=45°.

{分值}2

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {考点:全等三角形的性质} {考点:等腰直角三角形} {类别:发现探究} {难度:3-中等难度}

{题目}13．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，b )（a ＞0，b ＞0）在双曲线1

k y x

=上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2

k y x

=

上，则k 1＋k 2的值为 .{答案}0

{解析}本题考查了反比例函数表达式的求法，确定关于x 轴的对称点的坐标是解题的关键. ∵点A (a ，

b )在双曲线1k y x =上，∴k 1=ab.∵点A 与点B 关于x 轴对称，∴B （a,-b ）.∵ 点B 在双曲线2k

y x

=上，

∴k 2=-ab.∴k 1＋k 2 =0. {分值}2

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:反比例函数的解析式}

{考点:点的坐标}

{考点:坐标系中的轴对称}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}14．（2019年北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 .

图1 图2 图3

{答案}12

{解析}本题考查了正方形和菱形的性质，根据所拼图形得到直角三角形两直角边的关系是解题的关键.设每个直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则

5,

1

a b

a b

+=

?

?

-=

?

，解得

=3,

2

a

b

?

?

=

?

，∴菱形的面积为

1

2

ab×4=12.

{分值}2

{章节:[1-18-2-2]菱形}

{考点:菱形的性质}

{考点:二元一次方程组的应用}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019年北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差2

s，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5．记这组

新数据的方差为2

1

s，则2

s2

1

s．（填“＞”，“＝”或“＜”）

{答案}=

{解析}本题考查了方差的计算，根据方差公式计算即可.原数据的平均数

()

1

=92+90+94+86+99+85=91

6

x

－

，

()()()()()()

222222 2

1

=929190919491869199918591

6

S??

-+-+-+-+-+-

??0

=

68

=

3

；新数据的平均数()

1

=2+04495=1

6

x+-+-

－

，

()()()()()()

222222

2

1

=210141419151

6

S??

-+-+-+--+-+--

??

1

68

=

3

，∴22

=

S S

01

.

{分值}2

{章节:[1-20-2-1]方差}

{考点:同底数幂的乘法}

{考点:方差}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}16．（2019年北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）.

对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．

所有正确结论的序号是．

{答案}①②③

{解析}本题是一道四边形压轴题，综合考查了平行四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判定.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，过点O作直线PM和NQ交BC，易证MNPQ为平行四边形；当PM=QN时，四边形MNPQ为矩形；当PM⊥QN时，四边形MNPQ为菱形；由于PM=QN与PM⊥QN不一定能同时成立，故四边形MNPQ不一定是正方形.故正确的结论是①②③.

{分值}2

{章节:[1-18-2-3] 正方形}

{考点:平行四边形边的性质}

{考点:平行四边形对角线的性质}

{考点:矩形的判定}

{考点:菱形的判定}

{考点:正方形的判定}

{类别:高度原创}{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分．

{题目}17．（2019年北京）

计算：01

1

(4)2sin60()

4

π-

--+?+．

{解析}本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值及负指数幂是解题才能正确解答.

{答案}解：原式

{分值}5

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:实数与绝对值、相反数} {考点:零次幂}

{考点:负指数参与的运算} {考点:特殊角的三角函数值} {考点:简单的实数运算}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}18．（2019年北京）解不等式组：

4(1)2,

7

.

3

x x

x

x

-<+?

?

+

?

>

??

{解析}本题考查了不等组的解法和不等式组的整数解，解不等式组的步骤为：先解出不等式组中每个不等式的解集，然后得出不等式组的解集．

{答案}解：解不等式4（x-1）＜x+2，得x＜2；

解不等式

7

3x x +>，得x ＜72

. 所以，这个不等式组的解集为x ＜2. {分值}5

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:解一元一次不等式组}

{题目}19．（2019年北京）关于x 的方程22+210x x m --=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，由于原方程有实数根可知b 2-4ac ≥0，由此确定出m 取值范围，又有m 为正整数，从而可确定m 的值.

{答案}解：∵方程x 2

-2x+2m-1=0有实数根， ∴（-2）2-4（2m-1）≥0，解得m ≤1. ∵m 为正整数，∴m=1. ∴原方程为x 2-2x+1=0. 解得x 1=x 2=1. {分值}5

{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式} {考点:完全平方式} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}20．（2019年北京）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE = DF ，连接EF ．

（1）求证：AC ⊥EF ；

（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD =4，tanG ＝1

2

，求AO 的长．

{解析}本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数等知识.（1）先根据菱形边和对角线的性质得到AB=AD ，AC 平分∠BAD ，再根据等腰三角形三线合一的性质证得AC ⊥EF ；（2）根据菱形对角线的性质可得BO 的长度及AC ⊥BD ，又有AC ⊥EF ，故BD ∥EF ，由此可知四边形EBDG 是平行四边形，从而得到tan ∠ABD= tanG=

12.在Rt △ABD 中由tan ∠ABD=12

即可求得AO 的长度.

{答案}解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC 平分∠BAD. ∵BE=DF ，即AE=AF. ∴AC ⊥EF.

（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CG ∥AB ，BO=1

2

BD=2. ∵AC ⊥EF ，∴BD ∥EF.

∴四边形EBDG 是平行四边形.

D

B

C

∴∠ABD =∠G. ∵tan ∠ABD=tanG=12

, ∴

2AO =1

2

，解得AO=1.

{分值}5

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:正切}

{考点:菱形的性质} {考点:等腰直角三角形} {考点:平行四边形边的性质}

{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}21．（2019年北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下图给出了部分信息．

a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x < 40，40≤x <50，50≤x <60，60 ≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90 ≤x ≤100）；

b ．国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：

61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图

国家创新指数得分

d ．中国的国家创新指数得分为69.5．

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》 根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l 1的上方，请在图中用“○”画出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是 ．

①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出"加快建设创新型国家"的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产品值还有一定差距，中国提出"决胜全国建成小集社会"的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

{解析}本题考查了统计图及数据的分析. （1）得分在60 ≤x <70这一组的9个国家中，中国得分最高，故70 ≤x <80这一组有12个国家，80 ≤x <90这一组有2个国家，90 ≤x <100这一组有2个国家，故中国的得分排名为1+12+2+2=17. （2）由中国的国家创新指数得分为69.5及“包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l 1的上方”可以代表中国的点.（3）观察《40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图》可知有在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元.（4）因为中国的国家创新指数得分比A,B 所代表的国家低得多，所以中国需进一步提高国家综合创新能力；因为中国的人均国内生产品值比B,C 所代表的国家低得多，所以中国需要进一步提高人均国内生产总值，故推断①②都是合理的.

{答案}解：（1）17； （2）如图：

（3）2.7. （4）①②. {分值}5

{章节:[1-20-3]课题学习 体质健康测试中的数据分析} {考点:数据分析综合题}

/万美元30

405060708090

{考点:频数（率）分布直方图} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}

{题目}22．（2019年北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ．如图所示，点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．

（1）求证：AD = CD

（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM .若AD = CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．

{解析}解析：（1）由BD 平分∠ABCA 可得∠ABD=∠CBD ，根据相等的圆周角、等弧、等弦之间的

关系可得AD CD =和AD=CD.（2）通过证明Rt △CDF ≌Rt △CMF 得到DF=MF ，连接OD ，由∠ABC=2∠CBD=∠COD 可得OD ∥BE ，进而由DE ⊥AB 得到OD ⊥DE ，即DE 为⊙O 的切线. {答案}解：（1）∵BD 平分∠ABCA,∴∠ABD=∠CBD ， ∴AD CD =，∴AD=CD.

（2）∵DF ⊥BC ，∴∠DFC=∠CFM=90°. 又∵CD=AD=CM.

∴Rt △CDF ≌Rt △CMF.

∴DF=MF ，∴BC 为⊙O 的直径. 连接OD.

∵∠COD=2∠CBD ，∠ABC=2∠CBD ， ∴∠ABC=∠OCD. ∴OD ∥BE. ∵DE ⊥AB ， ∴OD ⊥DE.

∴DE 为⊙O 的切线，即直线DE 与图形G 的公共点个数为1.

{分值}6

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:垂径定理}

{考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:圆周角定理} {考点:切线的判定}

{考点:全等三角形的判定HL}

A

B

C

{考点:同位角相等两直线平行} {考点:两直线平行同旁内角互补} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}

{题目}23．（2019年北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i 组有x i 首，i ＝1，2，3，4；

②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背调第三遍，三

解答下列问题：

（1）填入x 3，补全上表；

（2）若x 1=4，x 2=3，x 3=4，则x 4的所有可能取值为 ； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．

{解析}本题是一道与不等式组有关的实际应用题.（1）由题意，得对于第3组诗词，第3天背诵第一遍，第4天背诵第二遍，第6天背调第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵.

（2）由“每天最多背诵14首，最少背诵4首”可得134244414414414

x x x x x x ≤++≤??

≤+≤??≤≤?

，解得4≤x 4≤6.

（3）当第4天背诵的诗词数为14首时，x 1+x 3+x 4=14.由题意，得122324414414414x x x x x x ≤+≤??

≤+≤??≤+≤?

①

②③

，∴

123412242x x x x ≤+++≤，解得2228

33

x -≤≤，∴x 2的最大值为9，∴（x 1+x 3+x 4）+x 2=23.

{答案}

解： （（2）4,5,6. （3）23. {分值}6

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:一元一次不等式组的应用} {类别:高度原创}{类别:易错题} {难度:4-较高难度}

{题目}24．（2019年北京）如图，P 是AB 与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是AB 上一动点连接PC 交弦AB 于点D .

小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了程究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C 在AB 的不同位置，画图，测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度的几组值，如

的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC ＝2PD 时，AD 的长度约为 cm ．

{解析}本题是一道与函数图像有关的实际应用题.（1）观察表格可知，PC 在位置5和位置6时长度都等于2.25，PD 在位置3和位置7时长度都等于2.00，而AD 在不同位置时的长度各不相等，故AD 的长度是自变量，PC 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数.

（2）根据（1）表格中的数值描点、连线，注意平面坐标系的x 轴表示AD 的长度，纵轴表示PC 或PD 的长度；

（3）观察（2）中函数图像，并结合（1）表格求解即可. {答案}解： （1）AD PC PD ； （2）如图

A

（3）2.29或3.98.

{分值}6

{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}

{考点:函数的概念}

{考点:函数的图象}

{类别:高度原创}

{难度:4-较高难度}

{题目}25．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：1(0)

y kx k

=+≠与直线x=k，直线y=－k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y =－k交于点C.

（1）求直线1与y轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W.

①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区城W内没有整点，直接写出k的取值范围．

{解析}本题是考查了一次函数的图像，解题时要画出函数图像并结合图像分析求解．（1）将x=0代入l的解析式即可；（2）画出k=2时三条直线并求出点A,B,C的坐标，从而确定出区域W及其内部整点的个数；（3）当-1≤k＜0或k=-2时，区域W内没有整点.

{答案}解：（1）将x=0代入y=kx+1，得y=1，∴直线l与y轴的交点坐标为（0,1）.

（2）①将x=2代入y=2x+1，得y=5,∴A（2,5）.

将y=-2代入y=2x+1，得2x+1=-2,解得y=-3

2

,∴点B（-

3

2

，-2）.

又∵直线x=2和y=-2的交点C（2，-2），

∴W内的整点为（1,2）（1,1）（1,0）（1，-1）（0,0）（0，-1），共6个.

②k=-2或-1≤k＜0.

{分值}5

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}

{考点:一次函数的图象}

{考点:一次函数与几何图形综合}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{类别:新定义}

{难度:5-高难度}

{题目}26．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线21

y ax bx

a

=+-与y轴交于点A，将点A向右平称2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴：

（3）已知点P

11

(,)

2a

-，Q（2.2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a

的取值范围．

{解析}本题是一道与二次函数图像有关的压轴题，解题时要画图分析.（1）先将x=0代入抛物线的

解析式求得点A的坐标，再根据平移规律求得点B的坐标；（2）根据抛物线的对称性求解；（3）画出函数图像求解，注意由于点A和P的纵坐标相等，点B和点Q的纵坐标相等，故抛物线不能同

时经过点A和P，也不能同时经过点B和Q.

{答案}解：（1）将x=0代入y=ax2+bx-1

a

,得y=-

1

a

,∴点A的坐标为（0，-

1

a

）.

∵点B的坐标为（2，-1

a

）.

（2）∵抛物线经过点A（0，-1

a

）和点B（2，-

1

a

）,

∴抛物线的对称轴为x=1.

（2）①当a＞0时，-1

a

＜0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P，也不能

同时经过点B和点Q，所以此时抛物线与线段PQ没有交点；

②当a＜0时，-1

a

＞0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P；当点Q在点B

上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-1

a

≤2，即a≤-

1

2

.

综上可知，当a≤-1

2

时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

{分值}6

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:算术平均数}

{考点:含参系数的二次函数问题}

{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究} {难度:5-高难度}

{题目}27．（2019年北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH

，P为射线OB上

一点，M为线段OH上一动点，连接PM．满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1：

（2）求证：∠OMP = ∠OPN：

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON= QP，并证明．

O A

O A

{解析}本题是考查了图形的旋转与中心对称、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识.（1）根据题意画图即可；（2）在△OMP中根据三角形内角和定理可知∠OMP=150°-∠OPM，而∠OPN=1 50°-∠OPM，故∠OMP=∠OPM；（3）求出当ON=PQ时x的值即可. {答案}解：（1）如图所示：

（2）在△OMP中，∵∠AOB=30°，∴∠OMP=150°-∠OPM.

∵∠MON=150°，∴∠OPN=150°-∠OPM，∴∠OMP=∠OPM.

（3）如图，过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB，垂足分别为K,F.

∴∠PKM=∠NFP=90°.

∵∠OMP=∠OPM，∴∠PMK=∠NPF.

∴△PMK≌△NPF.

∴MK=PF,∠MPK=∠PNF，PK=NF.

假设ON=PQ，∴Rt△NOF≌Rt△PQK.

∴KQ=OF.

设MK=y，PK=x.

在Rt△OPK中，∵∠AOB=30°，∴OP=2x，x.

∴，

∵点M与Q关于H对称，

∴MH=HQ，∴

∵KQ=OF，∴，解得x=1.

∴OP=2x=2.

{分值}7

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:三角形内角和定理}

{考点:全等三角形的判定HL}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:含30度角的直角三角形}

{考点:解直角三角形}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{难度:5-高难度}

{题目}28．（2019年北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在

△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧，例如，下图中DE 是△ABC 的一条中内弧

（1）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC

＝D ，E 外别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；

（2）在平而直角坐标系中，已知点A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t >0）. 在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点

①若t =1

2

，求△ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．

{解析}本题是一道新定义题，综合考查了等腰直角三角性的性质、弧长的计算、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识.（1）设DE 所在圆的圆心为P ，当⊙P 与BC 相切于F 时，中内弧DE

最长，易证点P 是DE 的中点，∴PD=

12

DE=1. 11

22122DE l r πππ=?=??=.（2）分别求出⊙P 与

AB 相切和⊙P 与AC 相切时y p 的值，即可求出y p 的取值范围；（3）求出⊙P 分别与AC ，BC 相切时t

的值即可.

{答案}解：（1）如图所示：

DE 的长为π.

（2）①当t=1

2

时，

C （2,0），

D （0,1），

E （1,1）.

如图，当

⊙P 与AB 相切于点D ，y p =1；如图，当⊙P 与AC 相切于点E ，y p =

12，∴y p ≤12

. B

C

C

B

∴y p≥1或y p≤1 2 .

（3）0＜t

{分值}7

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}

{考点:等腰直角三角形}

{考点:勾股定理}

{考点:切线的性质}

{考点:弧长的计算}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:新定义} {难度:5-高难度}