七上
第二章有理数
整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。
任何一个有理数都可以在数轴上表示。
无限不循环小数和开平方开不尽的数叫作无理数,比如π，3.141592653589793 2384626......
而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
有理数分为正数、0、负数
正数又分为正整数、正分数
负数又分为负整数、负分数
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
①加法的交换律a+b=b+a；
②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律ab=ba；
⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；
⑦分配律a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。
0的绝对值还是0.
第二章有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
一般情况下，有理数是这样分类的：
整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数
整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数
第三章用字母表示数
代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax＋2b，－2／3等。
全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
这十条规则是：
五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；
两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；
三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。
(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。
(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
(3)代数式的分类
把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。如2ab与－3ab，m2n与nm2都是同类项。特别地，所有的常数项也都是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
第四章一元一次方程
概述
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数，a的次数是1。
性质
一.等式的性质一:等式两边加一个数或减一个数，等式两边相等。
二.等式的性质二:等式两边乘一个数或除以一个数（0除外），等式两边相等。
三.等式的性质二：两边都可以有未知数。
一元一次方程的解
1，当a≠0，b=0时，方程有唯一解，x=0；
2，当a≠0，b≠0时，方程有唯一解，x=-b/a。
一元一次方程与实际问题
一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如：
工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题。
第五章走进图形世界
有的面是平面、有的面是曲面。
我们知道，面与面相交成线，在棱柱与棱锥中，面与面的交线叫做棱。（edge）
其中，相邻两个侧面的交线叫做侧棱
棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点(vertex)
棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。
棱柱的侧棱长相等，棱柱的上下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形。
棱锥的侧面都是三角形
图形都是由点(point)、线（line)、面(plane）构成。
第六章平面图形的认识(一)
线段和直线的有关性质：
两点之间的所有连线中，线段最短。
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
线段的中点：
线段的中点把线段分成两条长度相等的线段。
角的平分线：
角的平分线把角分成两个度数相等的角。
线段长度的比较：
（1）度量法（先量出长度，再比较长度大小）
（2）重合法（两同条线段放在一条直线上，一个端点重合，观察另一端点位置。）
角的比较：
（1）用量角器度量角。
（2）重合法（把角的顶点和一条边分别重合，然后看另一边的位置，另一边在外面的角大）角的两种定义：
1、角是由两条具有公共端点的射线组成的。
2、角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的。
角的有关性质：
1、同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。
2、对顶角相等。
两直线平行的有关知识：
1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
两直线垂直的有关知识：
1、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3、过直线外一点作这条直线的垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段。垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
4、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
七年级下册
第七章平面图形的认识(二)
同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。
内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的你侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角。
同位角相等两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行
平移由两个方面所决定：平移的方向与平移的距离
某图形平移后所得的图形称为此图形的对应图形
平移不改变图形的大小与形状
图形经过平移后，连结各组对应点的线段平行（或在同一直线上），并且相等
三角形的定义：
由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三角
边：组成三角形的三条线段
如右所示：线段AB、AC、BC就是三角形
的三条边
顶点：三角形任意两边的交点
如右所示：点A、B、C均为三角形的顶点
通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个
三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系
如上图中，此三角形可以表示为△ABC ，或△ACB 或△BAC 等等
内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角
例如△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 都是三角形的内角
边BC 称为∠A 所对的边，或顶点A 所对的边，因此边BC 也可以
表示为a
三角形的分类
1）按角分
??
???为钝角的三角形钝角三角形：有一个角为直角的三角形直角三角形：有一个角是锐角的三角形锐角三角形：三个角都三角形
2）按边分
??
???等的三角形等边三角形：三边均相相等的三角形等腰三角形：有两个边均不相等不等边三角形：三个边三角形
三角形任意两边之和大于第三边
高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂
足之间的线段称为三角形的高
注：1）三角形的高必为线段
2）三角形的高必过顶点垂直于对边
3）三角形有三条高
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三
角形的角平分线
注：1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线
2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角
在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做
三角形的中线
1）三角形的中线必为线段
2）三角形的中线必平分对边
直角三角形的两个锐角互余。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
n边形的内角和等于（n-2）×180°
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
多边形的外角：多边形的一边与另一边的延长线所组成的角。
多边形每一顶点处有两个外角，这两个角是对顶角，n边形就有2n个外角。
多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
注：多边形的外角和并不是所有外角的和。
第八章幂的运算
①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n．
⑥a－n＝1
n
a
，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，
(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－-)0＝1．
第九章从面积到乘法公式
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
因式分解
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。
（3）分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项
式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③ 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
第十章二元一次方程组
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法加减消元法
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解2.有无数组解3.无解
第十一章图形的全等
全等三角形的对应边、对应角相等
边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
第十二章数据在我们周围
为了一定的目的而对考察对象进行全面调查，称为普查。其中所考察对象
．．．．的全体称为总体
（population），而组成总体的每一个考察对象
．．．．称为个体（individual）。
人们从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查（sampling investigation），其中从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本（sample），样本中所抽取的这一部分个体的数量称为样本容量。
第十三章感受概率
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。在一定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。随机事件发生的可能性有大有小，一个时间发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率。
八年级上册
第一章轴对称图形
-----轴对称与轴对称图形
1．什么叫轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：
如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别：
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个
部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把
一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角
形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：Array垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）
5．轴对称的性质：
⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
------线段、角的轴对称性Array 1．线段的轴对称性：
①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，
另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
2．角的轴对称性：
①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
--------等腰三角形的轴对称性
1.等腰三角形的性质：
①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；
②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)
2.等腰三角形的判定：
①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
3．等边三角形：
①等边三角形的定义：
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
②等边三角形的性质：
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
等边三角形的每个角都等于600。
③等边三角形的判定：
3个角相等的三角形是等边三角形；
有两个角等于600的三角形是等边三角形；
有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
4．三角形的分类： 斜三角形：三边都不相等的三角形。
三角形 只有两边相等的三角形。
等腰三角形
等边三角形
----------等腰梯形的轴对称性
1.等腰梯形的定义：
①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。
梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。
③ 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2.等腰梯形的性质：
①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。
②等腰梯形同一底上两底角相等。
③等腰梯形的对角线相等。
3．等腰梯形的判定：
④ 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。
⑤ 补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。 第二章 勾股定理与平方根
----- 勾股定理、勾股定理的应用
1、勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子：
∠C=900?222a b c +=
2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.
数学式子：
222
a b c +=?∠C=900
满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
3. 一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。
0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。
一般的，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根。 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。
常见的无理数有：⑴ 无限不循环小数：如0.010010001…… C
A a
⑵ 等
⑶ 圆周率π：如π-3.14、
3
π等。
4、近似数的认识：
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。
取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
例如，圆周率π=3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）
取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）
取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）
取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）
5、有效数字：
对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；
3.142有4个有效数字3，1，4，2. 第三章 中心对称图形(一)
-------中心对称与中心对称图形
1、图形的旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此，
成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。
②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分。
3、中心对称图形：
把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
4、中心对称与中心对称图形之间的关系：
区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .
5
1、平行四边形的定义：
2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
2、平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行；
②平行四边形的对边相等；
③平行四边形的对角相等；
④平行四边形的对角线互相平分。
3、平行四边形的判定：
①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③
2组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
------矩形、菱形、正方形
1、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。
2、矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。
③矩形的对角线相等；
④矩形的四个角都是直角。
3、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有3个角是直角的四边形是矩形。
4、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
5、菱形的性质： D C
①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。
③菱形的四条边相等；
④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
6、菱形的判定： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
7、菱形的面积： S 菱形=12
AC ·BD 8、正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
9、正方形的性质：
①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。 ②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。
10、正方形的判定：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等矩形形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形。
11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
--------三角形、梯形的中位线
1、三角形的中位线：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
区别三角形的中位线与三角形的中线。
⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
2、梯形的中位线： ⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
第四章 数量、位置的变化
数量、位置的变化、平面直角坐标系
1、数量的变化： ⑴生活中处处有变化的数量关系，并且这些变化的数量之间往往有一定的联系；感受 D
用变化的观点分析数字信息的重要意义。
⑵实际问题中的数量常常会发生变化，表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式——表格、图形、式子，可根据实际情况灵活选用。
2、位置的变化：
现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。
3、平面直角坐标系：
⑴有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
水平方向的数轴称为x轴或横轴；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。
它们统称坐标轴。公共原点O称为坐标原点。
①若平面内有一点P（如图），我们应该如何确定它的位置？
（过点P分别作x、y轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一
对有序实数，这样的有序实数对叫做点的坐标，可表示为P（a，b）
②若已知点Q的坐标为（m，n），该如何确定点Q的位置？
（分别过x、y轴上表示m、n的点作x、y轴的垂线，两线的交点
即为点Q）
4、点坐标的特征：
⑴四个象限内点坐标的特征：
两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四象限。
⑵数轴上点坐标的特征：
x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a，0）；
y轴上的点的横坐标为0，可表示为（0，b）。
⑶象限角平分线上点坐标的特征：
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)。
⑷对称点坐标的特征：
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a，b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a，-b)。
--------函数
1、常量和变量：
在数量和位置的变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。
2、函数：
⑴函数的定义：
一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y 都有唯一
．．的值与它对应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
⑵函数的表示方法：
通常,表示2个变量之间的关系可用3种方法：表格、图形、式子。表示2个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。（函数解析式）
例如s=100t就是一个函数解析式。
⑶函数自变量的取值范围：
自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。
例如式子
1
3
y
x
=
-
中，能使它有意义的值是3
x≠的一切实数，所以函数
1
3
y
x
=
-
的取
值范围是3
x≠的一切实数。
常见的使函数解析式有意义的式子有：
①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；
②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数；
④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。
第五章一次函数
-----------一次函数
1、一次函数与正比例函数的定义：
一般地，如果两个变量x与y之间的关系，可以表示为y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y叫做x的正比例函数。
2、如何求一次函数与正比例函数的解析式：
①因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析
式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。
②而一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式
需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。
3、一次函数的图象：
一般的，正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度得到的一条直线。
因为一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线。所以在画一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y-kx+b。
4、一次函数的性质：
在一次函数y=kx+b中，
如果k>0，那么y的值随x的增大而增大；
如果k<0，那么y的值随x的增大而减小。
☆补充性质：
在正比例函数y=kx中，
如果k>0，那么正比例函数的图象经过一、三象限；
如果k<0，那么正比例函数的图象经过二、四象限；
在一次函数y=kx+b 中，
如果k>0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、三象限；
如果k>0、b<0，那么一次函数的图象经过一、三、四象限；
如果k<0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、四象限；
如果k<0、b<0，那么一次函数的图象经过二、三、四象限；
------------一次函数的应用
1、一次函数的应用：
用一次函数解决实际问题的步骤：(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；(3)利用一次函数的有关知识解题。
在一些具体生活问题中，常常数据较多，反映的内容也很复杂，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径。在实际生活问题中，如何应用一次函数知识解题，关键是建立一次函数关系式，然后再根据一次函数的性质，综合方程知识求解。
在一次函数应用的过程中，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，也要结合实际舍去不符合题意的部分。
2、二元一次方程组的图象解法
⑴一次函数与二元一次方程的关系：
一般地，一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx －y+b=0的解；以二元一次方程kx －y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b 的图象上。
⑵两个一次函数与二元一次方程组的解的关系：
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。
所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法。
用图象法解二元一次方程组的步骤如下：
①把二元一次方程化成一次函数的形式；
②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点；
③交点坐标就是方程组的解。
第六章 数据的集中程度
-----------数据的集中程度
1、 平均数：
一般地，对于n 个数x 1，x 2，…，x n 我们把n
x x x x n 21+++= 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，
平均数，它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字，也就是说这组数据都“接近”哪个数。 补充公式：⑴如果在n 个数中，x 1出现f 1 次，x 2出现f 2次，x 3出现f 3次，… …x n 出现f n
次，（其中f 1+f 2+f 3+……+f n =n ），这n 个数的平均数可表示为：
n
f x f x f x f x x n n 332211+++= ⑵如果一组数据x 1，x 2，x 3，……，x n 的平均数为x '，则一组新数据：
x 1+a ，x 2+ a ，x 3+ a ，……，x n + a 的平均数为：
a x x +'=
举例说明：某班第一小组的同学的身高如下：（单位：㎝）：158，160，160，170，158，170，168，158，160，160，168，170。计算这组同学的平均身高。（精确到1㎝）
方法⑴ 1633
2433170216841603158x ≈+++?+?+?+?= 方法⑵ 将各个数据同时减去160，得到-2，0，0，10，-2，10，8，-2，0，0，8，8
再计算这组新数据的平均数，得
2.3)88002810210002(12
1x =++++-++-+++-=' 1632.163160x x ≈=+'=
2、加权平均数：
在实际问题中，一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的，有时有些数据比其它数据更重要。所以，我们在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权 ”。
加权平均数：如果在n 个数中，x 1出现f 1 次，x 2出现f 2次，x 3出现f 3次，……x k 出现f k
次，（其中f 1+f 2+f 3+……+f k =n ），则n
f x f x f x f x x k k 332211+++= 其中f 1、f 2、f 3、……f k 叫做权。（看例1）
3、中位数和众数：
一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。
八年级下册
第七章 一元一次不等式
一.等式的概念：
一般的，用符号“=”连接的式子叫做等式。
*等式的左右两边是代数式。
一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。 不等式中可以含有未知数，也可以不含）
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式（linear ineqality with one unknown ）。
不等式的性质：
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。
不等式的基本性质
1.性质1：如果a>b,那么a±c>b±c
2.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)
3.性质3：如果a>b，c<0，那么ac 解一元一次不等式的一般方法顺序： 1、去分母（运用不等式性质2，3）。 2、去括号。 3、移项（运用不等式性质1）。 4、合并同类项。 5、将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2，3）。 （6、有些时候需要在数轴上表示不等式的解集） 二．一元一次不等式的解法及解集 1.解一元一次不等式的步骤：(1)去分母，(2)去括号，(3)移项，(4)合并同类项，(5)求得解集。 2.一元一次不等式的解集 将不等式化为aχ>b的形式 (1)若a>0，则解集为χ>b/a (2)若a<0，则解集为χ 5.不等式的解集： （1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x﹥5的一个解，7，8，9，…也是不等式x﹥5的解。 （2）一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x²﹥0的解集是所有非零实数。求不等式解集的过程叫做不等式。 6.数轴： 规定原点，方向，单位刻度的直线叫做数轴。 7.解不等式的五个步骤：（在运算中，根据不同情况来使用） （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）两边同时除以x的系数。 8.一元一次不等式： 这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 9.一元一次不等式组： （1）一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 （2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 三. 不等式解集的表示方法： （1）用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3。 （2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。 第八章分式 形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的等式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 掌握分式的概念应注意： （1）分式的分母中必须含有未知数。 （2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。分式的法则分式的法则 1.约分： 把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。2.分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 3. 分式的加减法法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 4.通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化为9/6和4/6！即：3/2*3，2/3*2！ 5.异分母分式的加减法法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 (1).定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/ B 叫做分式（fraction）。 注：A/B=A×1/B (2).组成：在分式中A称为分式的分子，B称为分式的分母。 (3).意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。 (4).分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分式值为0。 注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除 式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。 分式的基本性质和变形应用 V.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 VI.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分． VII.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积 的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分 解因式,再将公因式约去. 注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母 共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. VIII.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. IX.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的 通分. X.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次 幂及单独字母的幂的乘积. 注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质2.(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程. 第三节分式的四则运算 XI.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. XII.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. XIII.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. XIV.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 第四节分式方程 XVI.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. XVII.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程 初一至初三数学全部知识点!! 八年级上册 第一章轴对称图形 -----轴对称与轴对称图形 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于 这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个 部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把 一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角 形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线：Array垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 ------线段、角的轴对称性 1．线段的轴对称性： ① 线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线， 另一条是这条线段的垂直平分线。 ②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2．角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 ②角平分线上的点到角的两边距离相等。 ③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合 --------等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的性质： ①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； ②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”） ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 2.等腰三角形的判定： ①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 3．等边三角形： ① 等边三角形的定义： 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 ② 等边三角形的性质： 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 等边三角形的每个角都等于600 。 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理 中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 初三下册数学知识点归纳 九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容， 是初三同学们和中考考生的必备资料! 第二十六章二次函数 26.1二次函数及其图像 二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的 多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其 图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a); 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征 和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让 你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的 抛物线]; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以 决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x- x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此 可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)(如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点 初一数学（上）应知应会的知识点 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a× 应写成 a； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式； （6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a . 3.几个重要的代数式：（m、n表示整数） （1）a与b的平方差是： a2-b2； a与b差的平方是：（a-b）2； （2）若a、b、c是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c； （3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1 ； （4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是： -a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数；a＞0 ? a是正数；a＜0 ? a是负数； :从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3 ）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、（1 （2 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9A（x1，y1）、B（x2，y2）。 d= r 直线与圆相切。 d< r（r > d直线与圆相交。 d > r（r 九年级上册知识点总结 （数学） 2017年12月 第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2） 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程， 如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数； 鲁教版初四知识点 第一章反比例函数 一、反比例函数 1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数； (2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。 反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k (3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方) 2.K的几何含义: 反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。 二、反比例函数的图象和性质 1.图像: 反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 2.性质: 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小； 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。 三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： ⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值 ⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中 四、反比例函数的应用： 1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。 第二章解直角三角形 一、锐角三角函数 在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A) cos A=sin(90°-A) tanA=sinA/cosA sin2A＋cos2A＝１ 七上 第二章有理数 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 任何一个有理数都可以在上表示。 和开平方开不尽的数叫作 而有理数恰恰与它相反,和统称为有理数 其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为或无限循环小数。 有理数分为正数、0、负数 正数又分为正整数、 负数又分为负整数、负分数 全体有理数构成一个，即，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。 ①加法的交换律a+b=b+a； ②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c； ③存在数0，使0+a=a+0=a； ④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0； ⑤乘法的交换律ab=ba； ⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c； ⑦分配律a(b+c)=ab+ac； ⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a； ⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。 ⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。 0的绝对值还是0. 第二章有理数加减混合运算 1.理数加减统一成加法的意义： 对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做和。 2.有理数加减混合运算的方法和步骤： （1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 （2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。 有理数范围内已有的，等概念，在实数范围内有同样的意义。 一般情况下，有理数是这样分类的： 整数、分数；正数、负数和零；，非负有理数 整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。 凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数 第三章用字母表示数 代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax＋2b，－2／3等。 全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。 这十条规则是： 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距 离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； d = r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作 第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0； （6）两根异号 ? a c ＜0 ? a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? a c ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值? a c ＜0且a b -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号； 中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. (1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 初三下册数学知识点 1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax bx c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax ∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b -4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式) 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质 轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b ;)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b ;-4ac=0时，P在x轴上。 开口 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a当a与b异号时(即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式 四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 ----- 初三数学知识整理与重点难点总结 第21 章二次根式 知识框图 理解并掌握下列结论： （1）是非负数；（2）；（3）； I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0 时，√ a 表示 a 的算数平方根 ,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥ 0）是一个非负数。 II.二次根式√ā 的简单性质和几何意义 1）a≥0; √ā≥0[双重非负性] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2) 表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。 IV. 二次根式的乘法和除法 1运算法则 √a·√ b= √ab（ a≥ 0，b≥0） -1- ---- √a/b= √a/√ b（a≥ 0，b>0 ） 二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2共轭因式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/ √b= √a×√ b/√b×√ b=√ ab/b 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o ，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1 所示，AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线 上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求 解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） ※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式； ⑥两边开方求其根。 ※根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2-4ac<0时，方程无实数根。 ※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有： a c x x a b x x = ?- =+2121。 ※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：初一至初三数学全部知识点!!
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