单缝衍射的MATLAB分析
学院：精密仪器与光电子工程学院专业：生物医学工程
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单缝衍射的MATLAB分析
摘要:在光的衍射概述和发展历史的基础上，说明了单缝衍射的图样特点，介绍了夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强、条纹分布特点。并利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。
关键字：单缝衍射夫琅禾费单缝衍射光强分布条纹分布
一、光的衍射概述
1.光的衍射现象
物理光学中，光的衍射现象是指光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。通常将观察屏上的不均匀的光强分布称为衍射图样。光的衍射是光的波动性的主要标志之一。
光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。
1.1衍射现象的基本问题
1.已知照明光场和衍射屏的特征，求屏幕上衍射光场的分布；
2.已知衍射屏及屏幕上衍射光场的发布，去探索照明光场的某些特性；
3.已知照明光场及屏幕上所需的衍射光场发布，设计、计算衍射屏的结构和制造衍射光学元件。
1.2衍射现象的分类
根据光源、衍射物（衍射屏）和衍射场（观察屏）三者之间的位置确定
1．夫琅和费衍射：(远场衍射)
光源和衍射场都在衍射物无限远处的衍射。
2．菲涅耳衍射：（近场衍射）
光源和衍射场或二者之一到衍射物的距离比较小时的衍射。
1.3衍射现象及单缝衍射图样
让一个足够亮的点光源S发出的光透过一个圆孔∑，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影，随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应的变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环，当使用单色光源时，是一组明暗相见的同心环带，当使用白色光源时，是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及圆环不跟着变小，反而会增大起来。
单色红光衍射图样白光衍射图样
1.4衍射的应用
光的衍射决定光学仪器的分辨本领；气体或液体中的大量悬浮粒子对光的散射，衍射也起重要的作用。衍射应用大致可以概括为以下四个方面：
1、光谱分析：如衍射光栅光谱仪。
2、结构分析:衍射图样对精细结构有一种相当敏感的“放大”作用,故而利用图样分析结构。如X射线结构学。
3、成像:在相干光成像系统中,引进两次衍射成像概念，由此发展成为空间滤波技术和光学信息处理。如光瞳衍射导出成像仪器的分辨本领。
4、波阵面再现: 一种全新的两步无透镜成像法，也称为波阵面再现术，这是全息术原理中的重要一步。
2. 衍射现象的发展过程
大约1818年前，一直没有人注意到有可能根据波动理论说明衍射效应。1818年，菲涅耳的著作问世。他在论文中证明，应用慧更斯作图法，结合干涉原理，能够解释衍射现象。菲涅耳的分析后来由基而霍夫在1882年给出了完善的数学描述。
衍射问题是光学中遇到的最为困难的问题之一。在衍射理论中,那种在某种意义上可以认为是严格的解，是很少有的。直至1896年，才由索末菲给出了第一个解。他在一篇重要论文中讨论了一个完全导电的半无限平面屏对平面波的衍射。此后，对少数其它衍射问题（二维）也求得了严格解。
由于在数学上的困难，在大多数有实际意义情况下，必须采用近似方法。这些方法中惠更斯－菲涅耳理论是最富成效的，它适用于处理光学仪器中所遇到的大多数光学衍射问题。
二、单缝衍射原理
1.惠更斯—菲涅耳原理
最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他将惠更斯原理用光的干涉理论加以补充，并予以发展。
惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是：如图2-1所示的波源S，在某一时刻所产生波的波阵面为∑，则∑面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们
发出球面次波，其后某一时刻的波阵面∑＇即是该时刻这些球面次波的包络面，波阵面的法线面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，但不能说明衍射过程及其强度分布。
菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面∑＇上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面上的各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯—菲涅耳原理。
利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。
根据惠更斯—菲涅耳原理，图2-2所示的一个单色光源S 对于空间任意点P 的作用，可以看作是S 和P 之间任一波面∑上各点发出的次波在P 点相干叠加的结果。假设波面Σ上任意点Q 的光场复振幅为)(~
Q E ，在Q 点取一个面元d δ，则d δ面元上的次波源对P 点光场的贡献为：
式中，C 是比例系数；r
QP =，()K θ称为倾斜因子，它是与元波面法线和P Q 的夹
角θ（称为衍射角）有关的量，按照菲涅耳的假设：当0θ=时，K 有最大值；随着θ的增大，K 迅速减小；当/2θπ≥时K ＝0。因此，途中波面∑上只有ZZ '范围内的部分对P 点光振动有贡献。所以P 点的光场复振幅为：
()()()ikr
e E P C E Q K d r θσ∑
=??
这就是惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯－菲涅耳公式。
当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为：
()ikR
A E Q e R
=
式中，R 是光源到Q 点的距离。在这种情况下，)(~
Q E 可以从积分号中提出来，但是由于
()K θ的具体形式未知，不可能由(2-1)式确切地确定()E P 值。因此，从理论上来讲，这个
原理是不够完善的。
2.实现夫琅禾费衍射的几种方法
无论是在实验室中或者别的什么地方,都不可能将光源和衍射场放在无限远，实际接收夫琅禾费衍射的装置有以下四种：
1.焦面接收装置（以单缝衍射为例，下同）
把点光源S 放在凸透镜1L 的前焦平面上，在凸透镜2L 的后焦平面上接收衍射场，见图2-5。
图 2-5 焦面接收装置
图 2-6 远场接收装置
2、 远场接收装置
θ
D
Z
P θ
0P
∑ θ
S
D
∑
P θ
P f
L 1
L 2
当满足远场条件时，狭缝前后也可以不用透镜，而直接获得夫琅禾费衍射图样。远场条
件是：① 光源离狭缝很远，即λρ2
>>R ，其中，R 是光源到狭缝的距离，ρ为狭缝宽度的
一半；② 接收场距狭缝足够远，即λρ2
>>z ，其中，z 为衍射场距狭缝的距离。观察点P
在λ
ρ2
>>z 的条件下，只要求其满足傍轴条件即可，而这一般都是满足的。图2-6为远场
接收光路，假设一束平行光垂直入射到狭缝上。
3、象面接收装置（一）
衍射屏处于透镜的后方，如图2-7所示。S 在光轴上，∑代表点光源的象面，S '为S 的象点。理论上已经证明了∑面上呈现的图样为夫琅禾费衍射图样，即屏上任一点P θ的复振幅与角度θ的函数关系符合夫琅禾费衍射的积分形式。
图 2-7 象面接收装置（一）
图 2-8 象面接收装置（二）
4、象面接收装置（二）
衍射屏处于透镜的前方，如图2-8所示。P θ'点是场点P θ的共轭点，S 也在光轴上。如
果光路逆转自右向左，S '变为点光源，衍射屏便处于透镜的后方了，'∑面上的衍射图样就
θ
D
Z
P θ
S '
∑ S
θ
P θ
S '
∑ θ'
S
'∑ P θ'
Z '
u v
x
x '
D L
同象面接收装置（一）∑面上的情况，z '相应地取代z ，所以实际呈现在图2-8的∑面上的衍射图样可由物面上设想的共轭衍射图样导出，二者为物象关系。
3.夫琅禾费衍射光强强度的计算
现在我们用惠更新-菲涅耳原理来解释上述现象。如图2-13所示。为了清楚起见，图中狭缝的宽度'
BB 已经放大。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。将缝的面积分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波。其振幅正比于窄带的宽度dx ，设光波的初位相为零，b 为缝'
BB 的宽度，b A 0，而宽度dx 的窄条上
次波的振幅为b dx A 0，则狭缝处各窄带所发次波的振动可用下式表示：
00cos A dx
dE t b ω=
这些次波都可认为是球面波，各自向前传播。现在，首先对其中沿图面与原入射方向成θ角（称为衍射角）的方向传播的所有各次波进行研究。在入射光束的平面波面BB’上各次波的位相都相等，通过透镜2L 后在焦平面FF 上的同一点P 处叠加。要计算P 点的合振幅，必须考虑到各次波的位相关系，这取决于由各窄带到P 点的光程如何。现在作平面BD 垂直于衍射方向'
B D ，根据BD 面上各点的位相分布情况即可决定在P 点相遇的各次波的位相关系。我们知道，从平面BD 上各点沿衍射方向通过透镜而达到P 点的光程都相等。这就只要算出从平面'BB 到平面BD 的各平行直线段之间的光程差就可以了。MN 为沿着衍射角θ进行的任一条路程，令BM =x ，则sin MN x θ=，这就是从M 和从B 两点所发次波沿平行于MN 方向到达平面BD 时的光程差。得BD 面上N 点的光振动的表达式为
02cos(sin )A dx dE x t b πθωλ=
-
或 2(sin )
0i x t A dx dE e
b πθωλ-=
其复振幅为： 2sin 0i x A dx dE e
b π
θλ
=
为简化计算起见，上式中假设各次波到达P 点时有相同的振幅（不考虑振幅与光程与反比的关系以及华侨因数）。根据惠更斯—菲涅耳原理，将上式对整个缝宽（从x=0到x=b ）积分。最后可得沿着衍射角θ方向传播的所有次波在观察点P 叠加起来的合振幅：
sin(
sin )sin P b
A A b
πθλ
πθλ
=
令(sin )/u b πθλ=，通常称(sin )/u u 为u 的sin c 函数，并写成sin cu ，故P 点的光强为
20sin P I I c u =
4.夫琅禾费衍射图样的光强分布
当光屏放置在透镜L 2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由上式决定。不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点。首先来决定衍射花样中光强最大值和最小值的位置。即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：
223sin 2sin (cos sin )
()0d u u u u u du u u -==
由此得 sin 0,u u tgu == 分别解以上两式，可得出所有的极值点。 1、单缝衍射中央最大值的位置： 由0sin =u ，解得满足()
0sin 00==λθπb u 的一些衍射方向，
即0sin 0=θ (中间最大值的位置)，也就是在焦点P 0处，2
00A I p =，光强为最大。这里，叠加的各个次波位相差为零，所以振幅叠加互相加强。
2、单缝衍射最小值的位置：
由0sin =u ，解得满足()
πλθπk b u k k 2sin 2==的一些衍射方向，即
b
k
k λ
θ=sin
()???±±±=3,2,1k （最小值位置）
时，A P 为零，屏上这些点是暗的。
三、光强分布和条纹分布分析 1.基尔霍夫衍射公式的近似
对于一些极简单的衍射问题，也因为被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际条件进一步做近似处理。
1.1 傍轴近似
在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线。对于傍轴光线，如图3-3开孔的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。因此，下面的两个近似条件都成立：
1、 ()1,cos ≈r n
,于是()1≈θK ； 2、 1z r ≈。
于是，（3-11）可以化简为
()()??
∑
-
=δλd e Q E z i P E ikr ~~
1
指数中的r 未用1z 代替，这是因为指数中r 所影响的是次波场的相位，r 的微小变化都
会引起相位的很大变化。
1y y
1x x
Σ Q r P O 1z 0P
图 3-3 孔径的衍射
1.2距离近似
根据衍射现象，离衍射孔不同距离处，衍射图样是不同的。一种是菲涅耳衍射或近场衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为有限远，或其中之一是有限远的情形；另一种是夫琅禾费衍射或远场衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形。
1、 菲涅耳近似 如图3-3所示，设r QP =，则由几何关系有
()()2
112111
2
12
1211???
?
??-+???? ??-+=-+-+=
z y y z x x z y y x x z r ()()()()??
???????????+??????-+--??????-+-+=22
12121212121181211z y y x x z y y x x z
因为在指数上的相位因子决定了函数的周期性，每当相位因子改变π时，指数函数反
号，这种变化是不可忽略的，相位因子中只有远小于π的项才可忽略。
于是，当1z 大到满足
()()
[
]
π<<-+-3
12
max
212
18z y y x x k
时，上式第三项及以后的各项都可略去，即为
()()1212111112212
12
121122211z y x z yy xx z y x z z y y x x z r +++-++=??
??????????????-+-+= 这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为
()()()()1121111
2
121211,~,~
dy dx e
y x E z i
y x E z y y x x ikz ??∑
???
?
????-+-+-
=λ
2、夫琅禾费近似 当观察屏离孔的距离很大，满足
()
π<<+1
max
2121
2z y x
k
时 1
1
112212z yy xx z y x z r +-
++= 这一近似称为夫琅禾费近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫夫琅禾费衍射。在夫琅禾费近似下，P 点的光场复振幅为：
()111121
1
1
11
2
21
),(~
,~
dy dx e y x E e
z ie y x E z yy xx ik
z y x ik
ikz +-∑
+??-
=λ
2.夫琅禾费单缝衍射光强分布
如果只考虑单色平行光垂直入射到开孔平面上的的夫琅禾费衍射，则通常采用图3-4所示的夫琅禾费衍射装置。
单色点光源放置在透镜的前焦平面上，所产生的平行光垂直入射开孔Σ，由开孔的衍射，在透镜2L 的后焦平面上可以观察到开孔Σ的夫琅禾费衍射图样，后焦平面上的各点的光场复振幅由（3-19）式给出。
图 3-4 夫琅禾费衍射装置
若开孔面上有均匀的光场分布，令()常数==A y x E 11,~
。又因为透镜贴近孔径，
f z ≈1。所以后焦平面上的光场复振幅可为
()()1111,~
dy dx e C y x E f yy xx ik ??∑
+-= , ???
?
?
?++-=f y x f ik e
f iA C 22
2λ
对于夫琅禾费单缝衍射，水平缝宽为a,垂直缝宽为b,则a b >>，沿y 方向的衍射效应不明显，只在x 方向有亮暗变化的衍射图样。由（3-20）式，衍射屏上P 点的光场复振幅为
()ααsin ~22sin 2sin 2~
02
222
1|11
E f
kxa f kxa Ca f kxa ikx Cf e ikx Cf dx e C P E a a
f ikxx a a f ikxx =???? ??=???
? ??=-==----? 式中
Ca E =0~
是观察屏中心点0P 处光场复振幅。
相应P 点的光强度为 2
0sin ??
? ??=ααI I 式中，20
0~E I =,()为衍射角θλθπλπα,sin 2a f
x a f kxa ≈?==。在衍射理论中，通常称()22
sin
αα为单缝衍射因子，0I 为中央明纹中心处光强度，α为单缝边缘光线与中心光线
的相位差。
根据（3-22）式可的单缝衍射的光强分布特征：
1、 在中央P 点,0=θ ,我们使α为一很小的趋于零的角,对α求极限,则
1sin =α
α
，
0I I =，为中央主极大光强。
f
P
2L
∑
1x
0P
C
x
θ
2、 在παk =时()???=21、k ,振幅0sin 0=?
=α
α
A A ，光强0=I 为暗纹的光强。
3、 当23πα=时,同理有()02
201047.02323sin I A I =???????=ππ为一级次极大光强。
4、 当25πα=时,同理有()02
202016.02525sin I A I =??????=ππ为二级次极大光强。
5、 当27πα=时,同理有()02203008.02727sin I A I =??
?????=ππ为三级次极大光强。 3.夫琅禾费单缝衍射光强分布
3.1光强分布的极值点
当光屏放置在透镜L 2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由（3-22）式决定，也就是说，衍射光场在P 点的强度大小主要由因子α或22sin αα决定。不同的衍
射角θ对应于光屏上不同的观察点。
1、 当00==θα或时，该点光强度取最大值：
m a x
0)()(I P I P I ==，称为主极大值； 2、 当παk ±=或)3,2,1(,sin ???=±=k k a λθ时，该点强度取极小值：
min 0)(I P I ==；
3、 相邻两个极小值之间存在一个极大值，由于因子1sin
22
<αα，该极大值的强度
总是小于主极大值，故称之为次极大值。 求出满足光强的一阶导数为零的那些点：
()0sin cos sin 2sin 32=-=???
? ??αααααααα
d d
解得 αααtan ,0sin ==
于是得到夫琅禾费单缝衍射的次极大值位置满足关系为：ααtan =。对于这一超越方程其根为
???±±±=πππα47.3,46.2,43.1
对应的θsin 值为
???±±±=a
a a λ
λλθ47.3,46.2,43.1sin
3.2 条纹的角宽度和线宽度 1.暗纹的角宽度
暗纹出现的位置在???±±±=,3,2,πππα的地方，对应的θsin 值为
???±±
±
=,3,2,sin a
a a
λλλ
θ 任何两相邻暗纹间的衍射角的差值为a
λ
θ±=?，即暗纹是以0P 点为中心等间隔左右对称分
布的。
2.亮纹的角宽度和线宽度
以相邻暗纹的焦距离作为亮纹的角宽度。在傍轴条件下，即θ很小时，暗纹的衍射角位置简化为a
k λ
θθ±
=≈sin ，???=3,2,1k 。中央主极大明纹宽度由1±=k 的暗纹的衍射角所确定，则主极大亮纹角宽度和线宽度分别为
a λθ2=
?， a
f f x λθ2=??=? （1） 在两相邻暗纹间存在的次极明纹，其角宽度和线宽度分别为
2'θλ
θ?=
=
?a
， 2
''x
a f f x ?==??=?λθ （2）
3.3 条纹分布的影响因素
从以上结论可以看出，夫琅禾费单缝衍射图样的强度随衍射角度按着函数关系
22sin αα变化；相邻暗条纹中心的角间距相等，因而所有次极大值亮纹的角宽度相等，但
主极大值亮纹的角宽度为次极大值的两倍；相邻次极大值亮纹中心不等间距，随着衍射级次的增大，相邻次极大值亮纹中心的间距趋于恒定。
由（1）和（2）式可以看出，条纹分布的影响因素有： 1、 狭缝的宽度对条纹分布的影响
对于给定的波长，亮纹的宽度是与狭缝的宽度成反比的，在波前上对光束限制越大，也就是缝宽越小的时候，衍射场越弥散，衍射图样铺开的越宽；反之，当缝宽很大，光束几乎自由传播时，0→?θ，这表明衍射场基本上集中在沿直线传播的原方向上，在透镜焦面上衍射图样收缩为几何光学像点。 2、 入射光的波长对条纹分布的影响
在保持缝宽不变的条件下，波长越长，衍射效应越明显；波长越短，衍射效应越可忽略；但是，实际中，由于波长的数量级比较小，所以对衍射条纹的影响不是非常明显。 3、 接收屏的距离对条纹分布的影响
当其他条件不变的情况下，若接收屏沿轴向向前移动时，接收屏上的条纹间距变小，衍射图样展开范围减小；若沿轴向向后移动，接收屏上的条纹间距变大，衍射图样展开范围也增大。
四、单缝衍射的实验模拟
根据理论的推导，利用衍射积分法对单缝夫琅禾费衍射进行Matlab仿真。衍射积分法是由衍射积分算出接收屏上的光强分布，然后根据该分布调制色彩作图，从而得到衍射图案。
1.夫琅禾费单缝衍射程序和图样
夫琅禾费单缝衍射的仿真程序：波长500nm,缝宽1mm，屏距1m。
clear
lam=500e-9;
a=1e-3;D=1;
ym=3*lam*D/a;
ny=51;
ys=linspace(-ym,ym,ny);
np=51;
yp=linspace(0,a,np);
for i=1:ny
sinphi=ys(i)/D;
alpha=2*pi*yp*sinphi/lam;
sumcos=sum(cos(alpha));
sumsin=sum(sin(alpha));
B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2;
end
N=255;
Br=(B/max(B))*N;
subplot(1,2,1)
image(ym,ys,Br);
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys);
2.不同缝宽条纹光强分布的程序和图样
当入射光波长为710.nm，狭缝到接收屏的距离为1m ，狭缝的缝宽分别为0.5mm, 0.1mm, 0.05mm，进行仿真：
clear;% 清除标量
l=710e-9;% 红光波长
d=[0.5,0.1,0.05]*1e-3;% 设置缝宽矩阵
n=-1:0.0001:1;% 自变量向量
fai=n*pi/180;% 角度向量
[FAI,D]=meshgrid(fai,d);% 绘制三维网格，建立矩阵
u=2*pi*D.*sin(FAI)/l;% 中间变量
u(u==0)=eps;% 若零改为小量
i=(sin(u)./u).^2;% 光强
figure% 创建图形窗口
plot(fai,i,'-','LineWidth',2) % 画曲线
title('单缝夫琅禾费衍射不同缝宽的光强曲线','FontSize',19,'Fontname','黑体')%标题
xlabel('衍射角fai','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标记横坐标
ylabel('相对光强i','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标记纵坐标
text(0.012,0.93,'红线representd=0.05');% 标注
text(0.012,0.83,'绿线representd=0.1');% 标注
text(0.012,0.73,'蓝线representd=0.5');% 标注
grid on% 绘制网格
c=255;% 颜色大小
figure% 创建图形窗口
image(i*1000) % 画图
colormap(gray(c))% 形成线性灰度色图
title('单缝夫琅禾费衍射不同缝宽下的条纹分布','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标题xlabel('至上而下：d=0.5 d=0.1 d=0.05','FontSize',19,'Fontname','黑体')% 标注
图样：
从图中可以看出，当缝宽改变时，条纹宽度随着缝宽的增大而减小，反之亦然。可以得出结论：当只有缝宽改变，其他条件不改变的情况下，缝宽也与条纹宽度成反比。
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2008,(01):20-21
[6] 赵春红.夫琅禾费单狭缝衍射条纹分析[J].泰州职业技术学院学报.2003,3(03):23-26.
基于Matlab的光学衍射实验仿真 摘要 光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。 本文用Matlab软件对典型的衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。最后创建了交互式GUI界面，用户可以通过改变输入参数模拟不同条件下的衍射条纹。 本文对于衍射概念、区别、原理及光强分布编程做了详细全面的介绍 关键字：Matlab；衍射；仿真;GUI界面;光学实验
Matlab-based Simulation of Optical Diffraction Experiment Abstract Optical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction. In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated. Finally, create an interactive GUI interface, users can change the input parameters to simulate different conditions of the diffraction pattern. This concept of the diffraction, difference, intensity distribution of programming principles and a detailed comprehensive description Key word: matlab；diffraction; simulation; gui interface; optical experiment
单缝衍射实验 一、实验目的 1.观察单缝衍射现象，了解其特点。 2.测量单缝衍射时的相对光强分布。 3.利用光强分布图形计算单缝宽度。 二、实验仪器 He-Ne激光器、衍射狭缝、光具座、白屏、光电探头、光功率计。 三、实验原理 波长为λ的单色平行光垂直照射到单缝上，在接收屏上，将得到单缝衍射图样，即一组平行于狭缝的明暗相间条纹。单缝衍射图样的暗纹中心满足条件： (1) 式中，x为暗纹中心在接收屏上的x轴坐标，f为单缝到接收屏的距离；a为单缝的宽度，k为暗纹级数。在±1级暗纹间为中央明条纹。中间明条纹最亮，其宽度约为其他明纹宽度的两倍。 实验装置示意图如图1所示。 图1 实验装置示意图 光电探头（即硅光电池探测器）是光电转换元件。当光照射到光电探头表面时在光电探头的上下两表面产生电势差ΔU，ΔU的大小与入射光强成线性关系。光电探头与光电流放大器连接形成回路，回路中电流的大小与ΔU成正比。因此，通过电流的大小就可以反映出入射到光电探头的光强大小。 四、实验内容 1.观察单缝衍射的衍射图形；
2.测定单缝衍射的光强分布； 3.利用光强分布图形计算单缝宽度。 五、数据处理 ★(1)原始测量数据 将光电探头接收口移动到超过衍射图样一侧的第3级暗纹处，记录此处的位置读数X（此处的位置读数定义为0.000）及光功率计的读数P。转动鼓轮，每转半圈（即光电探头每移动0.5mm），记录光功率测试仪读数，直到光电探头移动到超过另一侧第3级衍射暗纹处为止。实验数据记录如下： 将表格数据由matlab拟合曲线如下：
★ (2)根据记录的数据，计算单缝的宽度。 衍射狭缝在光具座上的位置 L1=21.20cm. 光电探测头测量底架座 L2=92.00cm. 千分尺测得狭缝宽度 d’=0.091mm. 光电探头接收口到测量座底座的距离△f=6.00cm. 则单缝到光电探头接收口距离为f= L2 - L1+△f=92.00cm21.20cm+6.00cm=76.80cm. 由拟合曲线可读得下表各级暗纹距离： 各级暗纹±1级暗纹±2级暗纹±3级暗纹 距离/mm 10.500 21.500 31.200 单缝宽度/mm 0.093 0.090 0.093 单缝宽度计算过程： 因为λ=632.8nm.由d =2kfλ/△Xi，得 d1=(2*1*768*632.8*10^-6)/10.500 mm=0.093mm. d2=(2*2*768*632.8*10^-6)/21.500 mm=0.090mm.
实验名称：测量单缝衍射的光强分布 实验目的： a ．观察单缝衍射现象及其特点； b ．测量单缝衍射的光强分布； c ．应用单缝衍射的规律计算单缝缝宽； 实验仪器： 导轨、激光电源、激光器、单缝二维调节架、小孔屏、一维光强测量装置、WJH 型数字式检流计。 实验原理和方法： 光在传播过程中遇到障碍物时将绕过障碍物，改变光的直线传播，称为光的衍射。当障碍物的大小与光的波长大得不多时，如狭缝、小孔、小圆屏、毛发、细针、金属丝等，就能观察到明显的光的衍射现象，亦即光线偏离直线路程的现象。光的衍射分为夫琅和费衍射与费涅耳衍射，亦称为远场衍射与近场衍射。本实验只研究夫琅和费衍射。理想的夫琅和费衍射，其入射光束和衍射光束均是平行光。单缝的夫琅和费衍射光路图如下图所示。 a. 理论上可以证明只要满足以下条件，单缝衍射就处于夫琅和费衍射区域： L a 82>>λ或8 2 a L >>λ 式中：a 为狭缝宽度；L 为狭缝与屏之间的距离；λ为入射光的波长。 可以对L 的取值范围进行估算：实验时，若取m a 4 101-?≤，入射光是Ne He -激光，其波长为632.80nm ，cm cm a 26.12 ≈=λ，所以只要取cm L 20≥，就可满足夫琅和费衍射的 远场条件。但实验证明，取cm L 50≈，结果较为理想。 b. 根据惠更斯－费涅耳原理，可导出单缝衍射的相对光强分布规律：
20 )/(sin u u I I = 式中： λ?π/)sin (a u = 暗纹条件：由上式知，暗条纹即0=I 出现在 λ?π/)sin (a u =π±=，π2±=，… 即暗纹条件为 λ?k a =sin ，1±=k ，2±=k ，… 明纹条件：求I 为极值的各处，即可得出明纹条件。令 0)/(sin 22=u u du d 推得 u u tan = 此为超越函数，同图解法求得： 0=u ，π43.1±，π46.2±，π47.3±，… 即 0sin =?a ，π43.1±，π46.2±，π47.3±，… 可见，用菲涅耳波带法求出的明纹条件 2/)12(sin λ?+±k a ，1=k ，2，3，… 只是近似准确的。 单缝衍射的相对光强分布曲线如下图所示，图中各级极大的位置和相应的光强如下： ?sin 0 a /43.1π± a /46.2π± a /47.3π± I 0I 0047.0I 0017.0I 0018.0.I
课程设计说明书（论文） 基于matlab的单缝衍射计算机模拟研究 学院：数理学院 专业班级： 学生姓名： 学生学号： 指导老师： 2014年月号
摘要：美国Mathworks公司推出的MATLAB，是一种集数值计算、符号预算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的优秀图形化软件。本文将会通过MATLAB软件编程用衍射积分的方法对单缝衍射进行计算机模拟。计算机模拟为衍射实验的验证提供一条简捷、直观的途径。从而可以加深我们对物理原理、概念和图像的理解。 关键词：MATLAB；衍射积分；单缝衍射；计算机模拟 一、单缝衍射原理 惠更斯原理表明，波源发出的波阵面上的每一点都可视为一个新的子波源。这些子波源发出次级子波，其后任一时刻次级子波的包迹决定新的波阵面。惠更斯原理用光波能确定光波的传播方向，但不能确定沿不同方向传播的光振动的振幅。 菲涅尔在次级子波概念的基础上，提出的“子波相干叠加”理论，又称为惠更斯-菲涅尔原理。这个原理表述为：同一波面上的每一微小面元都可以看作是新的振动中心，它们发出次级子波。这些次级子波经传播而在空间某点相遇时，该点的振动是所有这些次级子波在该点的相干叠加。 二、编程原理 把单缝看作是np个分立的相干光源，屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果的合成，对每个光源，光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0(Σcosα)2+(Σsinα)2，其中α=2Δ/λ=πypys/λD 三、程序的编写 编写程序如下： clear lam=500e-9; a=1e-3;D=1; ym=3*lam*D/a; ny=51; ys=linspace(-ym,ym,ny); np=51; yp=linspace(0,a,np); for i=1:ny sinphi=ys(i)/D; alpha=2*pi*yp*sinphi/lam; sumcos=sum(cos(alpha)); sumsin=sum(sin(alpha)); B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2; end N=255; Br=(B/max(B))*N;
单缝衍射光强分布的测定 光的衍射现象是光的波动性又一重要特征。单缝衍射是衍射现象中最简单的也是最典型的例子。在近代光学技术中，如光谱分析、晶体分析、光信息处理等到领域，光的衍射已成为一种重要的研究手段和方法。所以，研究衍射现象及其规律，在理论和实践上都有重要意义。 实验目的 1. 观察单缝衍射现象及特点。 2. 测定单缝衍射时的相对光强分布 3. 应用单缝衍射的光强分布规律计算缝的宽度α。 实验仪器 光具导轨座，He-Ne 激光管及电源，二维调节架，光强分布测定仪，可调狭缝，狭缝A 、B 。扩束镜与起偏听偏器，分划板，光电探头，小孔屏，数字式检流计（全套）等。 实验原理 光在传播过程中遇到障碍时将绕过障碍物，改变光的直线传播，称为光的衍射。光的衍射分为夫琅和费衍射与菲涅耳衍射，亦称为远场衍射与近场衍射。本实验只研究夫琅和费衍 射。理想的夫琅和费衍射，其入射光束和衍射光束均是平行光。单缝的夫琅和费衍射如图二 所示。 当处于夫琅和费衍射区域，式中α是狭缝宽度，L 是狭缝与屏之间的距离，λ是入射光的波长。 实验时，若取α≤10-4m, L ≥1.00m ，入射光是 He-Ne 激光，其波长是632.8nm,就可满足上述条件。所以，实验时就可以采用如图一装置。 λ< 根据惠更斯-菲涅耳原理，可导出单缝衍射的光强分布规律为 当衍射角?等于或趋于零时，即?=0（或?→0），按式，有 故I=I 0，衍射花样中心点P 0的光强达到最大值（亮条纹），称为主极大。 当衍射角?满足 时，ｕ=k π 则I=0，对应点的光强为极小（暗条纹）， k 称为极小值级次。若用X k 表示光强极小值点到中心点P 0的距离，因衍射角ψ甚小，则 故X k =L ?=k λL/α,当λ、L 固定时，X k 与α成反比。缝宽α变大，衍射条纹变密；缝宽α变小，衍射条纹变疏。同时可推导出中央主极大的角度（即±1级暗纹的间距）??=2λ/α，两相邻暗纹的衍射角之差为??= λ/α。两相邻暗纹间的亮纹称为次极大。 sin ? 0 ±1.43λ/α ±2.46λ/α ±3.47λ/α … I I 0 0.47 I 0 0.017 I 0 0.008 I 0 … 各极极大的位置和相应的光强如下图三所示： 实验内容和步骤 实验装置如图一所示，按图搭好实验仪器。实验采用发散度甚小的He-Ne 激光作为光源，满足入射光为平行光的条件。为满足夫琅和费衍射条件，应尽量将显示衍射图像的屏远 ? ?? ? ?=?? ? ??=λ?πsin sin 2 0αu u u I I 1sin lim =u u () ±±±==,2,1sin k k α λ ?α λ ??k ≈≈sin 图三 单缝衍射的相对光强分布曲线 第2章符号运算 习题2及解答 1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度” 对象，还是“符号”符号对象 3/7+; sym(3/7+; sym('3/7+'); vpa(sym(3/7+) 〖目的〗 不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗 c1=3/7+ c2=sym(3/7+ c3=sym('3/7+') c4=vpa(sym(3/7+) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 = c2 = 37/70 c3 = c4 = Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym 2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认 为是自由符号变量. sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)') 〖目的〗 理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗 symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w symvar(sym('a*exp(-X)'),1) ans = a symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z 5求符号矩阵???? ??????=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a A 的行列式值和逆，所得结果应采用“子表达式置换”简洁化。 〖目的〗 理解subexpr 指令。 〖解答〗 A=sym('[a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33]') DA=det(A) IA=inv(A); [IAs,d]=subexpr(IA,d) A = [ a11, a12, a13] [ a21, a22, a23] [ a31, a32, a33] DA = a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 IAs = [ d*(a22*a33 - a23*a32), -d*(a12*a33 - a13*a32), d*(a12*a23 - a13*a22)] [ -d*(a21*a33 - a23*a31), d*(a11*a33 - a13*a31), -d*(a11*a23 - a13*a21)] [ d*(a21*a32 - a22*a31), -d*(a11*a32 - a12*a31), d*(a11*a22 - a12*a21)] d = 1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31) 8（1）通过符号计算求t t y sin )(=的导数 dt dy 。（2）然后根据此结果，求- =0t dt dy 和2 π = t dt dy 。 〖目的〗 diff, limit 指令的应用。 如何理解运行结果。 〖解答〗 syms t ones表示1矩阵 zeros表示0矩阵 ones(4)表示4x4的1矩阵 zeros(4)表示4x4的0矩阵 zeros(4,5)表示4x5的矩阵 eye(10,10)表示10x10的单位矩阵 rand(4,5)表示4x5的伴随矩阵 det(a)表示计算a的行列式 inv(a)表示计算a的逆矩阵 Jordan(a)表示求a矩阵的约当标准块rank(a)表示求矩阵a的秩 [v,d]=eig(a)对角矩阵 b=a’表示求a矩阵的转置矩阵 sqrt表示求平方根 exp表示自然指数函数 log自然对数函数 abs绝对值 第一章 一、5（1） b=[97 67 34 10;-78 75 65 5;32 5 -23 -59]; >> c=[97 67;-78 75;32 5;0 -12]; >> d=[65 5;-23 -59;54 7]; >> e=b*c e = 5271 11574 -11336 664 1978 3112 （2）a=50:1:100 二、1 、x=-74; y=-27; z=(sin(x.^2+y.^2))/(sqrt(tan(abs(x+y)) )+pi) z = -0.0901 2、a=-3.0:0.1:3.0; >> b=exp(-0.3*a).*sin(a+0.3) 3、x=[2 4;-0.45 5]; y=log(x+sqrt(1+x.^2))/2 y = 0.7218 1.0474 -0.2180 1.1562 4、a*b表示a矩阵和b矩阵相乘 a.*b表示a矩阵和b矩阵单个元素相乘A(m,n)表示取a矩阵第m行，第n列 A(m,:)表示取a矩阵第m行的全部元素A(:,n)表示取a矩阵的第n列全部元素 A./B表示a矩阵除以b矩阵的对应元素， B.\A等价于A./B A.^B表示两个矩阵对应元素进行乘方运算 A.^2表示a中的每个元素的平方 A^2表示A*A 例：x=[1,2,3]; y=[4,5,6]; z=x.^y z= 1 3 2 729 指数可以是标量（如y=2）.底数也可以是标量（如x=2） 5、a=1+2i; >> b=3+4i; >> c=exp((pi*i)/6) c = 0.8660 + 0.5000i d=c+a*b/(a+b) d = 1.6353 + 1.8462i 第二章 二、4、（1） y=0;k=0; >> while y<3 k=k+1; y=y+1/(2*k-1); end >> display([k-1,y-1/(2*k-1)]) ans = 单缝衍射光强分布实验 报告 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 单缝衍射光强分布 【实验目的】 1.定性观察单缝衍射现象和其特点。 2.学会用光电元件测量单缝衍射光强分布，并且绘制曲线。 【实验仪器】 【实验原理】 光波遇到障碍时，波前受到限制 而进入障碍后方的阴影区，称为衍 射。衍射分为两类：一类是中场衍 射，指光源与观察屏据衍射物为有限远时产生的衍射，称菲涅尔衍射；一类是远场衍射，指光源与接收屏距衍射物相当于无限远时所产生的衍射，叫夫琅禾费衍射，它就是平行光通过障碍的衍射。 夫琅禾费单缝衍射光强I =I 0 (sin β)2β2;其中β=πa sin θλ；a 为缝宽，θ 为衍射角，λ为入射光波长。 上图中θ为衍射角，a 为缝宽。 【实验内容】 （一） 定性观察衍射现象 1.按激光器、衍射板、接收器（屏）的顺序在光节学导轨上放置仪 器，调节光路，保证等高共轴。衍射板与接收器的间距不小于1m 。 2.观察不同形状衍射物的衍射图样，记录其特点。 （二）测量单缝衍射光强分布曲线 仪器名称 光学导轨 激光器 接收器 数字式检流计 衍射板 型号 1.选择一个单缝，记录缝宽，测量-2到+2级条纹的光强分布。要求至少测30个数据点。 2.测量缝到屏的距离L。 3.以sinθ为横坐标，I/I0为纵坐标绘制曲线，在同一张图中绘出理论曲线，做比较。 【实验步骤】 1.摆好实验仪器，布置光路如下图 顺序为激光器—狭缝—接收器—数字检流计，其中狭缝与出光口的距离不大于10cm，狭缝与接收器的距离不小于1m。 2.调节激光器水平，即可拿一张纸片，对准接收器的中心，记下位置，然后打开激光器，沿导轨移动纸片，使激光器的光点一直打纸片所记位置，即光线打过来的高度要一致。 3.再调节各光学元件等高共轴，先粗调，即用眼睛观察，使得各个元件等高；再细调，用尺子量取它们的高度(狭缝的高度，激光器出光口的高度，接收器的中心)，调节升降旋钮使其等高，随后用一纸片，接到光源发出的光，以其上的光斑位置作为参照，依次移动到各个元件前，调节他们的左右(即调节接收器底座的平移螺杆，狭缝底座的平移螺杆)高低，使光线恰好垂直照到元件的中心。 4.调节狭缝宽度，使光束穿过，可见衍射条纹，调节宽度，使条纹中心亮纹的宽度约为5mm，且使得条纹最亮，而数字检流计的读数最大，经过上述调节后，上述任何一个旋钮的改变都会使读数变小。 第1章 MATLAB概论 1.1与其他计算机语言相比较，MATLAB语言突出的特点是什么？ MATLAB具有功能强大、使用方便、输入简捷、库函数丰富、开放性强等特点。 1.2 MATLAB系统由那些部分组成？ MATLAB系统主要由开发环境、MATLAB数学函数库、MATLAB语言、图形功能和应用程序接口五个部分组成。 1.3 安装MATLAB时，在选择组件窗口中哪些部分必须勾选，没有勾选的部分以后如何补安装？ 在安装MATLAB时，安装内容由选择组件窗口中个复选框是否被勾选来决定，可以根据自己的需要选择安装内容，但基本平台（即MATLAB选项）必须安装。第一次安装没有选择的内容在补安装时只需按照安装的过程进行，只是在选择组件时只勾选要补装的组件或工具箱即可。 1.4 MATLAB操作桌面有几个窗口？如何使某个窗口脱离桌面成为独立窗口？又如何将脱离出去的窗口重新放置到桌面上？ 在MATLAB操作桌面上有五个窗口，在每个窗口的右上角有两个小按钮，一个是关闭窗口的Close按钮，一个是可以使窗口成为独立窗口的Undock按钮，点击Undock按钮就可以使该窗口脱离桌面成为独立窗口，在独立窗口的view菜单中选择Dock ……菜单项就可以将独立的窗口重新防止的桌面上。 1.5 如何启动M文件编辑/调试器？ 在操作桌面上选择“建立新文件”或“打开文件”操作时，M文件编辑/调试器将被启动。在命令窗口中键入edit命令时也可以启动M文件编辑/调试器。 1.6 存储在工作空间中的数组能编辑吗？如何操作？ 存储在工作空间的数组可以通过数组编辑器进行编辑：在工作空间浏览器中双击要编辑的数组名打开数组编辑器，再选中要修改的数据单元，输入修改内容即可。 1.7 命令历史窗口除了可以观察前面键入的命令外，还有什么用途？ 命令历史窗口除了用于查询以前键入的命令外，还可以直接执行命令历史窗口中选定的内容、将选定的内容拷贝到剪贴板中、将选定内容直接拷贝到M文件中。 1.8 如何设置当前目录和搜索路径，在当前目录上的文件和在搜索路径上的文件有什么区别？ 当前目录可以在当前目录浏览器窗口左上方的输入栏中设置，搜索路径可以通过选择操作桌面的file 菜单中的Set Path菜单项来完成。在没有特别说明的情况下，只有当前目录和搜索路径上的函数和文件能够被MATLAB运行和调用，如果在当前目录上有与搜索路径上相同文件名的文件时则优先执行当前目录上的文件，如果没有特别说明，数据文件将存储在当前目录上。 1.9 在MATLAB中有几种获得帮助的途径？ 此文档下载后即可编辑 实验名称：测量单缝衍射的光强分布 实验目的： a．观察单缝衍射现象及其特点； b．测量单缝衍射的光强分布； c．应用单缝衍射的规律计算单缝缝宽； 实验仪器： 导轨、激光电源、激光器、单缝二维调节架、小孔屏、一维光强测量装置、WJH型数字式检流计。 实验原理和方法： 光在传播过程中遇到障碍物时将绕过障碍物，改变光的直线传播，称为光的衍射。当障碍物的大小与光的波长大得不多时，如狭缝、小孔、小圆屏、毛发、细针、金属丝等，就能观察到明显的光的衍射现象，亦即光线偏离直线路程的现象。光的衍射分为夫琅和费衍射与费涅耳衍射，亦称为远场衍射与近场衍射。本实验只研究夫琅和费衍射。理想的夫琅和费衍射，其入射光束和衍射光束均是平行光。单缝的夫琅和费衍射光路图如下图所示。 a. 理论上可以证明只要满足以下条件，单缝衍射就处于夫琅和费衍射区域： L a 82 >>λ或82a L >>λ 式中：a 为狭缝宽度；L 为狭缝与屏之间的距离；λ为入射光的波长。 可以对L 的取值范围进行估算：实验时，若取m a 4101-?≤，入射光是Ne He -激光，其波长为632.80nm ，cm cm a 26.12 ≈=λ，所以只 要取cm L 20≥，就可满足夫琅和费衍射的远场条件。但实验证明，取cm L 50≈，结果较为理想。 b. 根据惠更斯－费涅耳原理，可导出单缝衍射的相对光强分布规律： 20 )/(sin u u I I = 式中： λ?π/)sin (a u = 暗纹条件：由上式知，暗条纹即0=I 出现在 λ?π/)sin (a u =π±=，π2±=，… 即暗纹条件为 λ?k a =sin ，1±=k ，2±=k ，… 明纹条件：求I 为极值的各处，即可得出明纹条件。令 0)/(sin 22=u u du d 推得 u u tan = 此为超越函数，同图解法求得： 0=u ，π43.1±，π46.2±，π47.3±，… 即 0sin =?a ，π43.1±，π46.2±，π47.3±，… 可见，用菲涅耳波带法求出的明纹条件 2/)12(sin λ?+±k a ，1=k ，2，3，… 只是近似准确的。 单缝衍射的相对光强分布曲线如下图所示，图中各级极大的位置和相应的光强如下： ?sin 0 a /43.1π± a /46.2π± a /47.3π± 南京航空航天大学 高等光学期末报告 题目：基于Matlab的单缝菲涅尔衍射实验仿真 学院 专业 姓名 学号 2014 年12 月30 日 基于Matlab的菲涅尔衍射仿真 摘要 光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。 本文用Matlab软件主要针对单缝菲涅尔衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。 关键字：Matlab；单缝菲涅尔衍射；仿真;光学实验 Abstract Optical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction. In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of single slit Fresnel diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated. Key word: matlab；single slit Fresnel diffraction; simulation; optical experiment 届．别．2012届 学号200814060106 毕业设计 光栅衍射实验的MATLAB仿真 姓名吴帅 系别、专业物理与电子信息工程系 应用物理专业 导师姓名、职称姚敏教授 完成时间2012年5月16日 目录 摘要................................................... I ABSTRACT................................................ II 1 引言 (1) 1.1 国内外研究动态 (1) 2理论依据 (2) 2.1 平面光栅衍射实验装置 (2) 2.2 原理分析 (3) 2.3 MATLAB主程序的编写 (6) 2.4 仿真图形的用户界面设计 (7) 3 光栅衍射现象的分析 (8) 3.1 缝数N对衍射条纹的影响 (8) 3.2 波长λ对衍射条纹的影响 (10) 3.3 光栅常数d对衍射光强的影响 (12) 3.4 条纹缺级现象 (13) 4 总结 (14) 参考文献 (16) 致谢 (17) 附录 (18) 摘要 平面光栅衍射实验是大学物理中非常重要的实验，实验装置虽然简单，但实验现象却是受很多因素的影响，例如波长λ，缝数N，以及光栅常数d。本文利用惠更斯一菲涅耳原理，获得了衍射光栅光强的解析表达式，再运用Matlab软件，将模拟的界面设计成实验参数可调gui界面,能够连续地改变波长λ，缝数N，光栅常数d，从而从这 3个层面对衍射光栅的光强分布和谱线特征进行了数值模拟，并讨论了光栅衍射的缺级现象，不仅有利于克服试验中物理仪器和其他偶然情况等因素给实验带来的限制和误差.并而且通过实验现象的对比，能够加深对光栅衍射特征及规律的理解,这些都很有意义。 关键词：平面光栅衍射；惠更斯-菲涅尔原理；gui；光强分布；Matlab 第1章MATLAB概论 1.1与其他计算机语言相比较，MA TLAB语言突出的特点是什么？ MATLAB具有功能强大、使用方便、输入简捷、库函数丰富、开放性强等特点。 1.2 MA TLAB系统由那些部分组成？ MATLAB系统主要由开发环境、MA TLAB数学函数库、MATLAB语言、图形功能和应用程序接口五个部分组成。 1.3 安装MATLAB时，在选择组件窗口中哪些部分必须勾选，没有勾选的部分以后如何补安装？ 在安装MA TLAB时，安装内容由选择组件窗口中个复选框是否被勾选来决定，可以根据自己的需要选择安装内容，但基本平台（即MATLAB选项）必须安装。第一次安装没有选择的内容在补安装时只需按照安装的过程进行，只是在选择组件时只勾选要补装的组件或工具箱即可。 1.4 MA TLAB操作桌面有几个窗口？如何使某个窗口脱离桌面成为独立窗口？又如何将脱离出去的窗口重新放置到桌面上？ 在MA TLAB操作桌面上有五个窗口，在每个窗口的右上角有两个小按钮，一个是关闭窗口的Close按钮，一个是可以使窗口成为独立窗口的Undock按钮，点击Undock按钮就可以使该窗口脱离桌面成为独立窗口，在独立窗口的view菜单中选择Dock ……菜单项就可以将独立的窗口重新防止的桌面上。 1.5 如何启动M文件编辑/调试器？ 在操作桌面上选择“建立新文件”或“打开文件”操作时，M文件编辑/调试器将被启动。在命令窗口中键入edit命令时也可以启动M文件编辑/调试器。 1.6 存储在工作空间中的数组能编辑吗？如何操作？ 存储在工作空间的数组可以通过数组编辑器进行编辑：在工作空间浏览器中双击要编辑的数组名打开数组编辑器，再选中要修改的数据单元，输入修改内容即可。 1.7 命令历史窗口除了可以观察前面键入的命令外，还有什么用途？ 命令历史窗口除了用于查询以前键入的命令外，还可以直接执行命令历史窗口中选定的内容、将选定的内容拷贝到剪贴板中、将选定内容直接拷贝到M文件中。 单缝衍射的MATLAB分析 学院：精密仪器与光电子工程学院专业：生物医学工程 班级：1班 姓名： 单缝衍射的MATLAB分析 摘要:在光的衍射概述和发展历史的基础上，说明了单缝衍射的图样特点，介绍了夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强、条纹分布特点。并利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。 关键字：单缝衍射夫琅禾费单缝衍射光强分布条纹分布 一、光的衍射概述 1.光的衍射现象 物理光学中，光的衍射现象是指光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。通常将观察屏上的不均匀的光强分布称为衍射图样。光的衍射是光的波动性的主要标志之一。 光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。 1.1衍射现象的基本问题 1.已知照明光场和衍射屏的特征，求屏幕上衍射光场的分布； 2.已知衍射屏及屏幕上衍射光场的发布，去探索照明光场的某些特性； 3.已知照明光场及屏幕上所需的衍射光场发布，设计、计算衍射屏的结构和制造衍射光学元件。 1.2衍射现象的分类 根据光源、衍射物（衍射屏）和衍射场（观察屏）三者之间的位置确定 1．夫琅和费衍射：(远场衍射) 光源和衍射场都在衍射物无限远处的衍射。 2．菲涅耳衍射：（近场衍射） Matlab 基础练习题 常量、变量、表达式 1、 MATLAB 中，下面哪些变量名是合法的？（ ） （A ）_num （B ）num_ （C ）num- （D ）-num 2、 在MA TLAB 中，要给出一个复数z 的模，应该使用（ ）函数。 （A ）mod(z) （B ）abs(z) （C ）double(z) （D ）angle(z) 3、 下面属于MATLAB 的预定义特殊变量的是？（ ） （A ）eps （B ）none （C ）zero （D ）exp 4、 判断：在MA TLAB 的内存工作区中，存放一个英文字符 'a' 需要占用1个字节，存放 一个中文字符‘啊’需要占用2个字节。（ 错，都是2个字节 ） 5、 判断：MA TLAB 中，i 和j （ 对 ） 6、 判断：MA TLAB 中，pi 代表圆周率，它等于3.14。（ 错，后面还有很多位小数 ） 7、 在MA TLAB 中，若想计算的5 1)3.0sin(21+= πy 值，那么应该在MA TLAB 的指令窗中 输入的MA TLAB 指令是__y1=2*sin(0.3*pi)/(1+sqrt(5))_。 8、 在MA TLAB 中，a = 1，b = i ，则a 占_8__个字节，b 占_16_个字节，c 占________字 节。 9、 在MA TLAB 中，inf 的含义是__无穷大__，nan 的含义是__非数（结果不定）___。 数组 1、 在MA TLAB 中，X 是一个一维数值数组，现在要把数组X 中的所有元素按原来次序 的逆序排列输出，应该使用下面的（ ）指令。 （A ）X[end:1] （B ）X[end:-1:1] （C ）X (end:-1:1) （D ）X(end:1) 2、 在MA TLAB 中，A 是一个字二维数组，要获取A 的行数和列数，应该使用的MATLAB 的命令是（ ）。 （A ）class(A) （B ）sizeof(A) （C ）size(A) （D ）isa(A) 3、 在MATLAB 中，用指令x=1:9生成数组x 。现在要把x 数组的第二和第七个元素都 赋值为0，应该在指令窗中输入（ ） （A ）x([2 7])=(0 0) （B ）x([2,7])=[0,0] （C ）x[(2,7)]=[0 0] （D ）x[(2 7)]=(0 0) 4、 在MA TLAB 中，依次执行以下指令：clear;A=ones(3,4); A(:)=[-6:5];这时， 若在指令窗中输入指令b=A(:,2)'，那么，MATLAB 输出的结果应该是（ ） （A ）b = -3 -2 -1 （B ）b = -2 -1 0 1 （C ）b = -5 -1 3 （D ）b = -5 -2 1 4 5、 在MA TLAB 中，A = 1:9，现在执行如下指令L1 = ~(A>5)，则MATLAB 的执行结果应 该是L1 =___ 1 1 1 1 1 0 0 0 0___。 光的干涉和衍射 一、实验目的 ①学习用用模拟实验方法探究光的干涉和衍射问题. ②进一步熟悉MA TLAB编程. 二、实验内容和要求 1. 双缝干涉模拟实验 杨氏双缝干涉实验是利用分波前法获得相干光束的典型例子. 如图2.24所示，单色光通过两个窄缝s1，s2射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象. P O 图2.24 双缝干涉示意图 考虑两个相干光源到屏幕上任意点P的距离差为 1 2 21 r r r r r = ?=- （2.19）引起的相位差为 2π r ? λ ? = 设两束相干光在屏幕上P点产生的幅度相同，均为A0，则夹角为φ的两个矢量A0的合成矢量的幅度为 A=2A0 cos(φ/2) 第二章 数理探究试验 135 光强B 正比于振幅的平方，故P 点光强为 B =4B 0cos 2(φ/2) （2.20） 运行sy211.m 程序得到干涉条纹如图2.27所示. clear all %sy211.m lam=500e-9; %输入波长 a=2e-3; D=1; ym=5*lam*D/a; xs=ym; %设定光屏的范围 n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); % 把光屏的y 方向分成101点 for i=1:n r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2); r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2); phi=2*pi*(r2-r1)/lam; B(i,:)=4*cos(phi/2).^2; end N=255; % 确定用的灰度等级为255级 Br=(B/4.0)*N; %使最大光强对应于最大灰度级（白色） subplot(1,2,1) image(xs,ys,Br); %画干涉条纹 colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B,ys) %画出光强变化曲线 图2.25中左图是光屏上的干涉条纹，右图是光屏上沿y 轴方向光强的变化曲线. 从图中也不难看出，干涉条纹是以点o 所对应的水平线为对称，沿上下两侧交替，等距离 排列，相邻亮条纹中心间距为2.5×10－4m. -0.4-0.200.20.4-1.5 -1-0.500.511.5x 10图2.25 单色光的干涉条纹 这与理论推导和实验结果基本一致. 下面我们从理论上加以推导，由上面的式（2.19）可得 22212121()()2d r r r r r r y -=+-= -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.4 -0.2 0 0.4 0.2 习题二 1.如何理解“矩阵是MATLAB最基本的数据对象”？ 答：因为向量可以看成是仅有一行或一列的矩阵，单个数据（标量）可以看成是仅含一个元素的矩阵，故向量和单个数据都可以作为矩阵的特例来处理。 因此，矩阵是MATLAB最基本、最重要的数据对象。 2.设A和B是两个同维同大小的矩阵，问： (1)A*B和A.*B的值是否相等？ 答：不相等。 (2)A./B和B.\A的值是否相等？ 答：相等。 (3)A/B和B\A的值是否相等？ 答：不相等。 (4)A/B和B\A所代表的数学含义是什么？ 答：A/B等效于B的逆右乘A矩阵，即A*inv(B)，而B\A等效于B矩阵的逆左乘A矩阵，即inv(B)*A。 3.写出完成下列操作的命令。 (1)将矩阵A第2~5行中第1, 3, 5列元素赋给矩阵B。 答：B=A(2:5,1:2:5); 或B=A(2:5,[1 3 5]) (2)删除矩阵A的第7号元素。 答：A(7)=[] (3)将矩阵A的每个元素值加30。 答：A=A+30; (4)求矩阵A的大小和维数。 答：size(A); ndims(A); (5)将向量t的0元素用机器零来代替。 答：t(find(t==0))=eps; (6)将含有12个元素的向量x转换成34 矩阵。 答：reshape(x,3,4); (7)求一个字符串的ASCII码。 答：abs(‘123’); 或double(‘123’); (8)求一个ASCII码所对应的字符。 答：char(49); 4. 下列命令执行后，L1、L2、L3、L4的值分别是多少？ A=1:9;B=10-A;... L1=A==B; L2=A<=5; L3=A>3&A<7; L4=find(A>3&A<7); 答：L1的值为[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0] L2的值为[1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0] L3的值为[0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0] L4的值为[4, 5, 6] 5. 已知 23100.7780414565532503269.5454 3.14A -????-??=????-?? 完成下列操作： (1) 取出A 的前3行构成矩阵B ，前两列构成矩阵C ，右下角32?子矩阵构 成矩阵D ，B 与C 的乘积构成矩阵E 。 答：B=A(1:3,:); C=A(:,1:2); D=A(2:4,3:4); E=B*C; (2) 分别求Ematlab课后习题解答第二章
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