理解算理，掌握算法
——数的计算的教学
一、“数的运算”的重要意义和价值。
“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。
数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。一定的计算能力是每个公民都应具备的基本素养。
1．在日常生活中有广泛的应用。
数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及相互之间的关系。从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。
2．对培养学生的思维能力有重要作用。
学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。
3．有利于渗透数学思想方法的教育。
数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。
二、内容变化解读。
随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内
容和要求，是小学数学课程教材改革研究的任务之一。
1．加强的内容。
(1)注重计算与日常生活的联系。
过去一提到计算，常常和“抽象”、“单调”、“枯燥”等词语联系在一起，计算教学陷入了一些误区。与传统的计算相比，《数学课程标准(实验稿)》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。《标准》中提出：“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”
诚然，计算本身具有较强的抽象性，但其反映的内容又常常是现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。新课程注重计算的现实意义，适当让学生经历一些现实情境，使学生通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。
(2)加强计算器的运用。
计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。《标准》中强调：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”
借助计算器不仅有利于学生进行较复杂的运算，解决实际问题，而且还可以培养学生探索数学规律的能力。一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，节约时间，提高计算的速度；另一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。
当然，计算器的引入是一种新的改革和试验，需要我们深入研究，防止简单化处理，特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用，在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。
(3)强化估算的作用。
估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。
如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活和工作中估算的作用也越来越突出。如，人们在使用工具进行计算时，由于操作上的失误会使计算结
果有很大的误差，这就要求人们具有一定的估算能力，能对计算结果的合理性进行判断，并对其合理性作出解释。另外，估算还可以用于平时的计算，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题；在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。所以估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。
《标准》中明确提出要培养估算能力。在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。
2．削弱的内容。
(1)删减珠算的内容。
珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要的作用，同时，珠算教学的形象性对于学生智力开发也有很大的促进作用。但是随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。因此《标准》中基本不介绍珠算，取而代之的是计算器。
(2)删减繁琐的运算步骤。
在整数运算方面，《标准》明确提出：“进行简单的整数四则混合运算(以两步为主，不超过三步)。”而在这里“简单”运算的含义具体包括：“加、减法以两三位为主”，“乘法是三位数乘两位数”，“除法是三位数除以两位数”。在小数、分数运算方面，《标准》提出：“会分别进行简单的小数，分数(不含带分数)加、减、乘、除运算及混合运算(以两步为主，不超过三步)。”
(3)删减运算的数目要求。
在口算方面，《标准》提出：“会口算百以内一位数乘、除两位数。”在笔算方面，提出：“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。”
我们知道，同一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算错误率有成倍的增长。因此降低计算中的数目要求，也就降低了学生的错误率，减轻了学生负担。
三、数的运算的教学目标。
第一学段总体要求：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。”
第二学段总体要求：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。”
在实际的教学中，要特别注意如下问题的解决。
1．如何建立四则运算概念?
首先，应注重在具体情境中体会运算意义。四则运算是小学数学最基础的知识。一般对加法的定义是：“把两个数合并成一个数的运算。”减法的定义是：“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。”乘法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。”除法的定义是：“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。心理学研究表明，当一个数的运算与所代表的情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。因此《标准》提出“结合具体情境”的要求。
2．如何重视口算教学?
口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，它不仅仅是笔算的基础，而且也是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。口算还是数感发展过程中的一个重要部分。
在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：
(1)在数形结合中理解口算原理。
数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。例800+500（用人民币买东西付款怎样付）
(2)科学合理地训练，强化基本口算。
在小学的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法、表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。
要强化基本口算，首先应重视基本口算方法的教学。小学生口算的方法一般有三个层次：逐一重新计数→借数数加算或减算→按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个地数，等等。同时我们还应该注意，在教学初期，为
了达到算法指导下的正确计算，可不做计算速度的要求。
其次，应注重退位减法与表内除法的思路教学。小学生正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。而20以内退位减法和表内除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。因此教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本计算思路(算减想加、算除想乘)的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。
再次，应注意口算训练的科学性。要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。
3．如何加强估算意识?
估算具有重要的应用价值，是学生应该具备的重要的计算技能。随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人在日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。在小学阶段的计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算，等等。要体现《标准》中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：
(1)培养数感是打好估算的基础。
数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。在估算中数感主要表现为能在具体情境中把握数的相对大小关系，能为解决问题而选择适当的算法，能对结果的合理性作出解释。估算可以发展学生对数的认识，培养数感；同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。除了在数的认识时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。
(2)掌握估算方法，养成估算习惯。
有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：简约、转换和补偿。所谓“简约”，是指学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。例如估算“495+310”，把495看作500，把310看作300，这样估算时只要想比较简单的形式“500+300”，即可。所谓“转换”，是指学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。例如，估算加法问题“602+597+589”，把加法问题转换为乘法问题：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。例如，“602+597+ 589”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：“答案大约是1800，
而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。”
我们在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，及时觉察出错误并加以更正。
4．如何体现算法多样化?
《标准》中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面：
(1)理解算法多样化的内涵。
所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。这两者都由一定的程序与规则组成，因此运算方法与解题策略有共性也有区别。前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于信息复杂，更多要依靠思维能力。两者无本质区别，只有层次之差。
(2)找准算法多样化的前提。
现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。
(3)把握算法优化的标准。
过去我们仅仅用成人认为唯一合理的方法作为基本算法教给学生。现在我们认为的基本算法是什么呢?其实，基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。理想的基本算法是三位一体的。在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。
四、数的运算的教学要点
（一）整数四则运算的教学
1、整数加减法的教学
（1）20以内加减法的教学
在入学前，小学生能借助手指头或实物进行简单的加减法计算，这样算得慢又容易出错。入学后学习这部分内容，要注意以下几点：
①通过具体情境，初步体会加减法的意义，这是学习计算的基础。例如：老师左手拿着3枝铅笔，右手拿着2枝铅笔，然后把两只手合在一起，一共有5枝铅笔。用算式表示是3+2=5，非常形象地说明，把两个数合在一起，用加法计算；同样可以用这样的方法让学生明白：从一个数里去掉一部分，求另一部分，用减法计算。
②通过摆一摆、画一画、分一分等活动，逐步掌握计算方法。例如学习9+3=？时，教师可组织学生通过自己动手操作，探索计算方法。如有的小学生用数的方法；有的小学生用摆小棒的方法，有的可能从数的组成得到启发，会3分成1和2，9+1=10，10+2=12。有的可能把9分成7和2，9+3=10，10=2=12。这些算法都是可以的，教师予以肯定，通过合作交流，学生会发现后两种方法算得快。最后让学生自主选择一种自己喜欢的方法进行计算。
③组织生动有趣，活泼多样的活动进行练习，逐步达到熟练。基本的口算技能要经过一定的练习才能获得，结合一年级学生的特点，必须组织丰富多彩的活动，使学生保持积极的学习兴趣，获得良好的情感体验。如可以通过连一连，送小动物回家，邮递员送信，对口令、数字扑克等到活动加以练习。
（2）百以内数的加减法的教学
这一段是学生学习了20以内数的加减法和百以内数的认识的基础上进行的，使学生进一步学习一些整十数加减整十数，两位数加减一位数，两位数加减两位数的口算，并初步学会简单的笔算，为学习多位数的加减法打下基础。教学中要注意几点：
①结合生活情境，经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义。教师可以通过图片、录像等再现具体情境，鼓励学生从中发现数学问题，抽象出算式，进一步体会加减法的意义，同时体会到生活中有需要用两位数加减一位数或两位数加减两位数的计算的需要，体现计算教育的价值，有机地把计算教学把解决问题结合起来。
②经历探索运算方法的过程，体验算法多样化。
教师可鼓励学生尝试计算，学生往往会从自己生活的经验和思考角度，产生不同的算法，教师应当鼓励和尊重学生的独立思考，并为学生提供交流各自想法的机会，让学生自主选择适合自己的方法。（例57-22=？）
③能估计运算的结果，发展学生的估算意识和技能。培养学生估算的意识和技能是发
展学生数感的重要方面，教师要创设问题情境，使学生感到估算的必要性。如：（3）万以内数的加减法教学
这是整数加减法的最后阶段，前两个阶段的教学注意事项对这一阶段的学习同样适用，但还应注意以下两点。
①探索并掌握三位数加减法的计算方法，培养学生结合具体情境进行估算的能力，养成验算的习惯。
学生有计算两位数加减两位数的基础，完全可以放手让学生主动探索三位数加减法的方法，由于数目比较大，培养学生估算的习惯和验算的习惯就显得更加重要。
②运用所学的计算解决生活中的简单问题。
这是整数加减法的最后阶段，更应重视运用所学的计算方法解决生活中的简单问题。人们在现实生活中接触到的信息（如报纸、电视）都可能形成数学问题。实际生活中产生的数学问题不会像书本上的习题那样规范，有的条件可能不足，有的条件过强，这些都需要学生把问题数学化，并筛选条件。这样的练习，使学生对数学的理解更深刻、更实际。
2、整数乘除法
（1）表内乘除法。表内乘除法是学习乘除法的基础，任何多位数乘除法都要分解成几个一位数乘除法，因此，表内乘除法是小学数学最基础的知识，必须达到计算熟练。教学中应注意以下几点。
①通过实际操作使学生初步理解乘法意义，介绍乘法算式中各部分的名称。教学时，要从直观入手，组织学生数一数等活动，通过几个几个地数，得到相同加数连加，可以用乘法表示，使学生初步理解乘法的意义。要利用反例，让学生明白只有相同加数连加的式子才能改写成乘法算式，使学生从另一方面理解乘法的意义。
②通过学具操作，由学生“自编”乘法口诀。乘法口诀是我国的传家宝，读起来朗读上口，学生很喜欢。用乘法口诀能正确熟练地计算表内乘除法，提高学生的计算能力。但要想正确地熟记乘法口诀，必须使学生知道乘法口诀的来源，每句乘法口诀表示什么意思，乘法口诀之间的联系等。教师一般以前两句为范例，教会学生编口诀，后面的让学生自己仿照自编。然后组织学生交流怎样记住乘法口诀。
③通过分一分，体会除法的意义。除法意义的本质是平均分，传统教学中说的“等分除”和“包含除”都是平均分。对除法意义的理解，要通过实际操作“分一分”，突出平均分的含义。
④指导学生用乘法口诀求商。比如8÷2=？可以引导学生回想2和几相乘得8？学生
通过回忆2的乘法口诀，可以找到答案。
⑤采用形式多样的练习，熟练计算表内乘除法。比如可以采用让老师说口诀，学生说出四个算式让学生熟记口诀，用对口令、帮小动物回家、摘苹果、找座位等游戏让熟练计算。
⑥计算运用表内乘除法解决简单的实际问题。
（2）一位数乘除法。在计算一位数乘除法的过程中，实际上是在多次进行表内乘除法。教学时要注意以下几点。
①通过实例，引导学生主动探索计算方法。要让学生根据生活的经验，探索计算方法，体现算法的多样化。在笔算方法的探究的过程中，借助教具明白竖式计算中每一步的含义，从而掌握计算的方法。例如
②利用口算，计算中间或末尾有0的乘除法。
③充分利用估算，判断计算是否正确。多位数乘一位数，数目比表内乘除法大，步骤比较多，容易出现错误，除培养学生利用乘除法之间的关系进行难处外，还可以充分利用估算，检查计算是否正确，即简便又实用。
（3）两位数乘除法。这是乘除法在小学的最高要求，教学中除了遵循前面学习乘除法的要求外，还应注意以下几点；
①创设情境，引导学生探索两位数乘法的计算方法。
②引导学生探索利用估算的方法进行两位数除法的试商。两位数除法的试商是教学的难点，可以引导学生把除数看作与它接近的整十数进行估计，再进行调整，逐步积累经验。
③利用学过的计算，进行大数目的估计，培养学生的数感。
3、混合运算顺序的教学
混合运算是加、减、乘、除运算的综合运用，在学习和生活中经常用到。混合运算的练习，有助于发展学生的思维能力。为了使学生掌握好数的混合运算，教学时要注意：
①结合现实素材，理解运算顺序；例如买4个面包和1瓶水需要付多少钱时，根据学生购物时付款的思考过程，使学生体会先算乘再算加。又如班上有男生29人，女生25人要坐观光车，每车限坐9人，需要多少辆车？学生会想到先算一共有多少人，再算需要多少辆车，因此需要先算加（小括号里的）再算除。
②掌握运算顺序，正确计算混合运算。
③严格控制混合运算的步数，不随意增加练习的繁难程度。
（二）小数四则运算的教学
1、小数加减法的教学
由于小数加减法的计算方法和整数加减法的计算方法的道理相同，其要点都是相同数位对齐，教学时应沟通两者的关系。如第一学段学了小数初步认识后进行的加减法，可结合元角分进行，引导学生将小数改写成几元几角几分，再把小数各个数位与元角分一一对应，然后引导学生发现要使相同数位对齐，只需要把小数点对齐就行了。得数的小数点也只要和加数的小数点对齐。第二学段学习后进行的加减法，也只要学生体会小数点对齐，相同数位就对齐了。对于小数部分位数不同的小数，启发学生根据小数的基本性质，把它们转化为小数部分位数相同的，再进行计算。
2、小数乘除法的教学
小数乘除法的计算方法与整数乘除法基本相同，关键是处理好小数点带来的问题。
（1）小数乘法教学中，要点是怎样确定积的小数点的位置。教材先安排了小数乘整数，再安排了小数乘小数，引导学生发现确定小数点位置的方法。教学中可以通过问题情境，如一个风筝3.5元，买3个多少钱？引导学生用以前学过的方法进行计算。有的学生用加法，有的学生将3.5元改写成35角再计算。教师要结合改写的方法，引导学生这样想：把3.5变成整数，要扩大多少倍，积会有什么变化？要求原来的积需要怎么办？在此基础上，引导学生根据刚才的想法推想出小数乘小数，怎样确定积的小数点的位置。从而得出法则：小数乘法先按整数乘法来计算，再看两个因数里一共有几位小数，积就有几位小数。
（2）小数除法的教学要点是利用商不变的性质，把除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。教材先安排了小数除以整数，通过问题情境引导学生利用学生探索小数除以整数的计算方法，再引导学生根据商不变的性质，把除数是小数的小数除法转化为除数是整数的除法。
（3）组织有效的练习。
（4）指导学生取积的近似值、商的近似值的方法，结合具体的情境或根据要求保留小数的位数。
（三）分数的四则运算
1、分数加减法的教学
（1）通过实际操作，引导学生探索同分母分数加减的计算方法。教学中可以让学生先用圆形纸片折出一个分数8分之2，涂上颜色，再把8分之3也涂上颜色（在同一张纸片上），让学生观察一共涂了多少，使学生明白，同分母分数加法就是2个8分之一加3
个8分之一，一共是2+3个8分之一，从而得出：同分母分数加法，分子相加，分母不变。
用同样的方法引导学生探索同分母分数的减法的计算方法。
（2）引导学生利用转化的思想，探索异分母分数加减法的计算方法。（图例）
2、分数乘除法的教学
（1）分数乘法。教材首先让学生利用乘法的意义，把分数乘整数改写成几个相同的分数相加，再利用同分母分数加法的计算法则，引导学生探索分数乘整数的计算法则。然后再让学生通过涂色活动，结合分数的现实意义，引导学生探索分数乘分数的计算方法。
（2）分数除法。为学习分数除法作准备，教材首先安排了倒数的学习，通过乘积是1的乘法算式，引出乘积是1的两个数互为倒数，帮助学生建立倒数的概念。指导求倒数的方法时，可以引导学生把互为倒数的两个数加以比较后进行总结。在探索分数除法的过程中，教材先出示了三组甲数÷乙数和甲数×乙数倒数的算式，引导学生得出规律：甲数÷乙数和甲数×乙数倒数。再安排了一个分数除以整数的例子，让学生通过涂色活动的操作，初步理解除以一个数可以乘这个数的倒数。然后又安排了除数是分数是除法，结合线段图让学生理解分数除法的算理，从而归纳出计算方法。（结合图讲）
提出思考的问题：在数的运算的教学中，如何处理好以下几个矛盾，提高计算教学的有效性？
1．情境创设与复习铺垫。
2．算理直观与算法抽象。
3．算法多样与算法优化。
4．解决问题与技能形成。
低年级计算教学应如何设计？ ——算理算法齐步走 低年级计算教学因为内容简单，教学中反倒容易被老师们所忽视，但殊不知低年级的计算是学生学习数学的开始，是最需要打好基础的。 小学低年级计算教学最容易出现以下问题：一是教师对教材理解有偏差。北师大版的计算内容往往都提供一些解决实际问题的情境，然后安排一至两次操作活动后，教材才呈现出算法，缺乏经验的教师往往认为知识简单，就不让学生动手操作学具，或是在简单操作后很快就抽象出算法，这种教法没有使学生在这个过程中理解算理，而是将算法直接灌输给了学生。因此，课后学生的计算错误五花八门；二是教学中教师经常被假象蒙蔽，也就是局限于具体问题的计算教学，产生“以点带面”的错误。部分学生在学习新知识前，已经会口算了，甚至会用竖式笔算，致使一些教师认为没有必要再回头进行算理的探究，满足于学生只要会算就行了。这样的计算教学，最终导致学生在以后的计算中很容易出错。那么，低年级数学计算教学应如何设计，教学的重难点又是什么？ 我们一年级数学组四名教师经过深入探讨，一致认为，低年级计算教学在设计时要把握好算理与算法之间的关系，教学的重
难点应强调，要在明晰算理的基础上，掌握算法。 首先，设计计算教学前，我们教师自己要深入钻研教材，特别要有算理算法齐步走的意识。 1、明确教学内容的算理和算法。 作为教师我们对于计算课教学内容，必须做到心中有数，不能满足学生会算了，算对了就可以，不能对教学内容的算理，算法含混不清，到底什么事算理？算法又是什么？ 算理是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，是解决为什么这样算的问题，算法就是计算的方法，主要是指如何计算的法则，算法是按照算理而经过简约了的程式化的操作步骤，主要是解决如何算的方便，准确。教学中一定要让学生在明白算理的基础上掌握算法。 如我们这次“同课异构”上的《拔萝卜》一课，创设了小黑兔与小白兔拔萝卜的情境，让学生自己提出数学问题通过摆小棒，计数器拨珠解决两位数加两位数不进位加法，两位数减两位数不退位的减法，学生通过动手操作后明白在计算36+24时，要把6个一与3个一合起来，3个十与2个十合起来，理解了算理，竖式计算的算法：相同数位对齐，从个位算起，学生很容易就接受了。 我们认为，让学生在探明算理的基础上掌握算法，才能有意义的接受算法，算理指导算法，算法要体现算理，为此，教学时，我们要提供给学生明理的机会，增强感性认识，这
1.计算教学中，如何处理算理与计算方法的关系？ 计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。 算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。 与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。 如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。 处理计算教学中算理与算法的关系还应注意以下五点：一是算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法；二是计算教学的问题情境既为引出新知服务，体现“学以致用”，也为理解算理、提炼算法服务，教学要注意在“学用结合”的基础上，以理解算理，掌握算法，形成技能为主；三是算理教学需借助直观，引导学生经历自主探索、充分感悟的过程，但要把握好算法提炼的时机和教学的“度”，为算法形成与巩固提供必要的练习保证；四是算法形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能，才能算是找到了算理与算法的平衡点；五是要防止算理与算法之间出现断痕或硬性对接，要充分利用例题或“试一试”中的“可以怎样算？”“在小组里说一说，计算时要注意什么？”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔接服务。
如何处理算理和算法的关系 算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的，算理与算法，贵在合谐，而寻求算理与算法的平衡点是计算教学理性回归需要解决的主要问题。算法多样化，算理要让学生掌握数学思想方法。 怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以两位数乘一位数为例，说说如何实现理算理与算法的的教学统一。 1、引导研究，理解算理 学生只有理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对计算的道理进行深入的研究，帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10 是多少，再算2个4是多少，最后把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2＝8，10×2＝20，20＋8＝28。通过这样的研究学生就理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的计算问题。 2、及时练习，巩固内化 通过上面的计算研究，学生虽然理解了两位数乘一位数的道理，但是此时学生对算理的理解还处于似懂非懂的状态，学生是否真正掌握了算理还要经过实际计算才能得到检验和巩固，此时及时组织学生进行相应的练习是很有必要的，只有在练习中才能把算理内化为自己的理解，才能使学生理解和掌握算理。所以在学生初步理解了算理后，应当及时组织学生用三个算式进行两位数乘一位数的练习，使学生在练习中加深对算理的理解，在练习中牢固掌握算理，为后面的抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。 3、应用算理，进行创造。算理是计算的思维本质，如果都这样思考着算理进行计算，不但思维强度太大，而且计算的速度很慢算。为了提高计算的速度，使计算更方便、快捷，就必须寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算法则。计算法则是算理的外在表达形式，是避开了复杂思维过程的程式化的操作步骤，它使计算变得简便易行，它不但提高了计算的速度，还大大提高计算的正确率。所以当学生理解和掌握了算理之后，应引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考：计算14×2要写出三个算式，你的感觉怎样？可以简化一下吗？怎么简化？学生通过独立思考、同伴交流创造方便、快捷的计算方法：可以像计算加减法那样用竖式计算，根据算理：先算4×2＝8，在个位上写上8，再算10×2＝20，在十位上写2、个位上写0，最后再把8和20加起来等于28，得出算理竖式。接着再启发学生思考：还能再简化吗？通过师生共同研究，最终得出：加号可以省略，还可以把8个一与2 个十直接合并，优化成简化竖式。 4、观察比较，归纳方法
86327 数学论文 小学数学教学如何处理“算理与算法” 的关系 新课程标准将我国小学数学划分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”和“综合与实践”四个学习领域，数的运算作为“数与代数”部分的重要内容，一直以来被老师所重视，科学处理算理和算法的关系，直接影响到学生计算能力以及运用算理解决实际问题能力的培养。而在实际教学中，大多数老师都存在重算法轻算理的问题，那么算理和算法的关系到底是怎样的，我们应该如何科学处理算理和算法之间的关系呢？我觉得首先我们得从算理和算法的关系谈起。 一、算理与算法之间的关系 所谓算理就是计算过程中的道理，是解决为什么这样算的问题，它是四则运算的理论依据。而算法也就是计算的法则，是解决如何算得方便、准确的问题。 二、在理清二者关系的基础上，教师要科学处理算理与算法的关系，做到算理与算法兼顾
1.积极转变教学观念 算理与算法兼顾，说起来容易，做起来难，原因主要存在以下几点：一是教师本身对算理与算法的关系理解不到位，在实际教学中普遍存在重算法、轻算理，甚至不讲算理的情况。特别是一些老教师，他们往往将课堂的主要精力放在了算法的机械掌握和不断地强化练习上，通过不断地机械练习，让学生达到熟练操作的目的。二是现有考试制度和教师考核制度的限制。在很多情况下，在老师只重算法不讲算理、只是机械巩固练习的情况下，学生虽然是“只知其然，不知其所以然”，但熟能生巧，学生的成绩仍然很高，年终考核的时候教师考核成绩仍然不错。既没有浪费太多的时间在那些不好理解的算理上，学生的计算能力貌似还不错，自己的考核成绩也不错，长此以往，形成惯性，算理的重要性更是被抛在了脑后……而这样的老师教出来的学生虽然短期内成绩要好，但如果试题难度加大，特别是需要解决实际问题的时候，这些学生往往就会显得束手无策，成绩会大失水准。所以，数学老师在日常教学中要积极转变教学观念，做到算理和算法并重。 2.注重学生的体验探究和动手操作，有利于学生在活动中发现算理
如何处理运算教学中算理与算法的关系《课标》明确指出：“教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进对运算意义的理解。”因此，在教学时，教师应以清晰的理论指导学生掌握计算方法，理清并训练掌握计算法则、运算性质、运算定律以及计算公式的推导方法，培养学生的简便意识。 对于计算教学的研究还要正确处理好算法与算理的关系。掌握算法和探究算理是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖以成立的数学原理。在计算教学中，算理探究与算法掌握具有同等重要的地位。但在新课程实施过程中，由于部分教师对算法多样化教学理念的片面认识，出现了一味追求多种算法，而忽视算理探究的新问题，值得我们反思。因此，在计算教学时，首先必须让学生明确怎样算，也就是是要加强法则及算理的理解，并在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。下面，我就粗谈一下如何在运算教学中处理好算理与算法的关系。 一、精心设计，正确处理算法与算理的关系 1、算理应是学生在自主探索中建构 在计算碰到新问题时总有相当多的学生会应用已有的经验想办法解决问题，教师应为学生提供探索的空间，交流的平台，在交流中明白一个个算理，从而发展学生的思考能力，不但能提升认识，还能为新知的学习打下基础，缩短教学的时间。 2、展现多种算理时要找到突破点。
叶澜教授说过，没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了发展。为此，在交流多种想法时，教师要善于抓住恰当的一种切入口，大部分学生容易理解的进行突破。这样效率就提高了。 例如：教学十几减9时，学生出现了好多种算法，如果要一一解释每个学生的算理确实要花好长时间，而且其他学生还会有一种云里雾里的感觉，结果什么都不清楚，因为每种计算都会有一般的算法，为后续学习打基础的。这时教师只有选择其中最容易理解的破十法和想加算减这两种方法讲解，让学生理解算理。这样既能让所有学生都能理解又提高了教学效率。 3、注重算理与算法的沟通。 算理是算法的基础，当学生明白了算理后，教师及时落实算法与算理的联系，有利于对算法的掌握。 4、基本算法需要重点强化练习。 一节课有教学目标及教学重点，在多种算法中有基本算法，这种基本算法对后续学习又有很大的影响。所以对基本的算法有必要进行强化，努力使每一个学生都会。针对上述十几减9的例子，破十法和想加算减的方法就是基本算法，进行强化训练，对后面的十几减8、7、6、……都有很大的作用。 二、课堂上保证新算法的练习时间和练习量 在新的计算方法教学的第一课时留有一定的时间完成一定的练习量，能从学生的反馈中了解学生的学习情况，对学生在计算方法上出现的错误及时纠正，这样就能将学生的错误消灭在萌芽状态。对掌握算法，初步形成计算技能还是十分必要的。 例如：在教学两位数加减两位数笔算时。本课的难点是一位数加两位数的竖式写法，虽然学生已经通过摆小棒、在计数器上拨算珠知道了列竖式要注意相同
实现算理感悟和算法掌握的有效融合 作者：王芳来源：湖北省潜江市实验小学点击：1327次评论：0条——北师大版五年级下册《分数除以整数》教学案例 关键词：感悟算理掌握算法交融 内容摘要： 算理和算法是计算教学中不可分割的两个方面,算理解决“为什么这样算”的问题,算法是算理的具体化,解决“怎样算”的问题。算理探究过程中的每一个步骤以及操作方法都是算法形成的直观雏形,需要精心设计,实现算理和算法的相互交融,促进算法的有效生成。笔者结合“分数除以整数”中推导分数除以整数的计算方法环节，二次教学实践的对比，谈谈对算理感悟和算法掌握的认识。 案例描述： 第一次教学： 1、借助直观图使学生理解，把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？ 学生列式为4/7÷2，教师帮助学生理解，把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的2/7。 2、联系已经学过的分数乘法的意义，说明把一张纸的4/7平均分成2份，也就是求4/7的1/2是多少，可以用乘法计算，列式为4/7×1/2＝2/7。使学生初步看到，除于整数也就是乘以这个数的倒数。
3、借助直观图使学生理解，把一张纸的4/7平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ 学生列式为4/7÷3，教师帮助学生理解，把一张纸的4/7平均分成3份，也就是求4/7的1/3是多少，也可以用乘法计算，列式为4/7×1/3＝4/21。进一步说明，除于整数也就是乘以这个数的倒数。 4、举出分子不能被整除的例子，从而让学生熟记分数除法的计算法则：除以一个数，就是乘以这个数的倒数。 课后反思一： 此片断教学分数除以整数。更多地是关注学生知识与技能学习的结果上，其实学生学习过程中还有比结果更重要的是学习过程的经历，学生学习的主体地位没有充分发挥，学生没有愉悦的、深刻的、充满个性色彩的良好体验，自主操作活动所富有的广泛思考价值、探究价值和情感价值挖掘不充分。整个新授过程7分钟左右结束，表面上是为后面的练习节缩了很多时间，但实际从学生的发展角度和教学效果上看，有欠缺之处。课后，对一个大组12人做的一道练习进行调查统计，有7 名同学知道了分数除以整数等于乘这个数的倒数的计算方法。有2名同学在计算除以一个整数的时候，没有将除号变乘号。有2名同学后面那个整数没有变成倒数。还有1人不仅把除以的除数变成乘它的倒数，还把被除数变成了倒数。当对这7名同学进行课后追问，为什么除以一个整数要乘这个整数的倒数时，只有3个同学可以结合涂的过程说出算理，其它学生是知其然而不知其所以然。反思该片断教学，认为此片断是为计算而计算。课中没有给足学生自主探索的空间，让学生充分亲历动手操作、借助图形语言比较与思考，体会发现“除以一个数”与“乘这个数的倒数”之间的关系。学生没有从思想上达到对分数除法计算方法的深刻理解。老师将
算理和算法的关系 丁会芳“兵马未动，粮草先行。”不错，我们再上每一堂课前，都要做好充分的准备。在这一课例中，要真正的做好计算教学，就必须要让学生“会算”，核心问题就是要处理好算理和算法之间的关系。那么算理和算法之间是什么关系呢？算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。在新课程的教学中，教材特别突出对算理的理解，还注重了追求算法多样化。 在实际教学过程中，有很多老师认为只要学生最后能算出题目的答案就可以了。其实这种想法是错误的，会导致我们的教学偏向于“重算法，轻算理”。教学中，我们为了让学生理解算理，课堂上都在让学生进行交流、进行练习。以至于上完课后，学生对于算法还模模糊糊，不知道题目到底是怎么做的，这其中的原因就是我们的教学偏向了“重算理，轻算法”。事实上这都与我们没有处理好算理和算法之间的关系有关。
处理好算理和算法之间的关系 朱荣英 1、在课堂上，我们可以精心创设几个错误案例，然后引导学生有目的、有步骤地去发现问题，解决问题，掌握计算方法。 2、在学习新课的过程中，我们可以采用自主探索和合作交流相结合的教学方法，充分发挥学生的主观能动性。在新授结束以后，要让学生交流“如何算？怎样算？为什么这样算？”组织学生进一步提炼算法。 3、学生虽然理解了算理，但只有在练习中才能把算理内化为自己的认识。所以，我们要加大练习，包括口算，估算和笔算。还要要注重对学生算法习惯的培养和养成及时验算的习惯。使学生在练习中加深对算理的理解，为后面抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。
算理与算法并重，促进学生计算能力的培养算理：即计算的原理或者道理，是解决“为什么这样算的问题”。算法：即计算的方法，是解决“怎么算”的问题。也就是说计算教学是由计算原理教学和技能训练两部分组成。在教学时，每一位教师应让算理与算法并重，加强学生计算能力的培养，从而提高学生的计算能力。 在我身边的一些数学教师总认为，计算教学没有什么道理可讲，不必浪费时间去理解算理，只要让学生死记硬背法则，掌握计算方法，反复练习就可以达到正确、熟练的要求。还有一些教师对“算理”和“算法”的处理，存在着一定的偏差，单纯地讲“算理”，缺乏对“算法”的提炼，或用“算法”讲“算法”，忽视“算理”的教学，遇到一些教师不好讲解或学生不易懂的算理，就一带而过。更有一部分学生认为自己早在学前就会计算了，而不懂得要去探索计算中的“所以然”，因此造成只知其然不知其所以然的局面。这样不明算理的机械算法，最终使学生计算的正确率较低，计算技能技巧也无法得到提高。 从六年级毕业班教学下来的我，作为学校数学教研组长的我，深知肩上的责任，就是要在教学中起到引领的作用，于是我下定决心改变上述状况。首先我认真钻研新大纲，新教材，然后根据班上学生的实际情况，在数学计算教学中，我尝试做到以下五点： 一、正确处理好“算理”与“算法”的关系 算理是计算的理论依据，而算法则是依据算理提炼出来的计算程序和方法，它是算理的具体体现。 在教学三年级上册的两位数乘一位数不进位乘法时，我是这样设计的：我首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10 是多少，再算2个4是多少，最后把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2＝8，10×2＝20，20＋8＝28。通过这样的研究学生就能理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的
理解算理,掌握算法 赵瑾雯 老师这节课共有4个教学环节，分别是引出问题，理解算理、探索算法，自主练习，课堂总结，计算教学中如何使算理和算法有效结合。其中， 1.引出问题环节，用时大约2分钟。 课一开始，刘老师直接出示信息："每根灯柱上有23盏灯，大楼前共有12根灯柱。"由学生提出数学问题：一共有多少盏灯? 列式后，老师有意设计了让学生说算式的意义，运用直观图帮助学生进一步理解算式的意义两个环节，突出了乘法的意义，为后面学生理解算理，探索算法作好铺垫。 2."理解算理，探索算法"是本节课的教学重点、难点，用时大约27分钟。 刘老师在这个环节，把估算、口算、笔算三种计算方式有机联系，使学生充分理解它们之间的联系，降低了思维的坡度，有利于学生理解算理，掌握算法。在27分钟内， (1)估算。用时大约2分钟。 老师着重引领学生用23×10估算出的得数，与23×12的得数进行比较，23×10仅仅算了10个23，还少了2个23，所以估算结果要比准确得数小。 (2)口算。用时大约5分钟。 在口算环节，学生先独立尝试。在交流口算方法时，刘老师有目的地先交流"23×10=230，23×2=46，230+46=276"的口算过程，并运用直观图，帮助学生进一步理解：把一个因数拆成一个整十数和一个一位数就变得简单了。 (3)笔算。用时大约14分钟。 在交流算法时，教师有目的地选取以下两种笔算方法：①直接写出最后的计算结果。 ②分成三个竖式完成。 在逐个展示并由学生评价后，使学生明确第①种笔算方法体现不出计算过程，第②种笔算方法能展示过程但有些麻烦。刘老师引导学生思考：有没有两全其美的方法，既体现出过程，又比较简单? 一名学生说道：先把23×12列出来，先算23×2=46，再算23×10=230，然后把46和230加起来得276。探究的主动权交给了学生，学生还是能动脑筋想出办法。刘老师再顺应学生思维，把三个小竖式合并成一个竖式，用多媒体课件展示每一步的计算过程，使学生较好地理解这种算法。 (4)初步练习。用时大约3分钟。 在展示交流算法时，刘老师重点让学生说说每一步的得数是怎么来的，使学生进一步理解算理。 (5)梳理算法。用时大约3分钟。 既总结了计算步骤，又规范了书写格式。 总之，刘老师引领学生充分经历了理解算理、探索算法的过程，整个环节层层推进，环环相扣，达到了理解算理掌握算法的预期目标。 3.自主练习。用时大约8分钟。 老师设计了基本练习和辨析练习，在巩固应用和效果检测中兼顾了算法和算理两个方面。 4.课堂总结。用时大约3分钟。 学生总结自己的学习收获，刘老师再顺势引导学生思考三位数乘两位数怎样计算?为学生下一步学习三位数乘两位数埋下伏笔。 这节课重点是理解算理、探索算法，尤其是用竖式计算的算理和算法。从时间分配来看，三分之二的时间都用到了理解算理和探索算法上，其中又有一半的时间用来探索和理解用竖式计算的算理和算法。抓住了重点。
小学数学计算课理解算理和掌握算法之浅谈计算是学生最基本的数学素养。小学数学教学内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大板块。数与代数包括整数、小数、分数、百分数加减乘除四则运算，运用运算定律进行简算，等式与方程等计算内容；图形与几何包括平面图形的周长与面积、立体图形的表面积与体积等计算内容；统计与概率包括求平均数、众数、中位数等计算内容；综合与实践以问题为载体，学生综合应用计算内容和方法解决简单的生活实际问题。可以说计算贯穿小学数学教学的始终。从思维角度看，计算是依据数和运算的意义以及运算的定律进行逻辑推理的过程。就计算的种类来讲可以分为口算、笔算、估算三大类。比较简单的计算通过心算可以得出结果就是我们所说的口算；当数字较大不能很快算出得数，需要把计算过程书写下来，就是我们所说的笔算；估算就是大致推算，可以推算最大值、最小值或大约是多少。2011年新课程标准把发展学生的运算能力当做十大核心概念之一，可见计算在小学课程中的重要性。无论哪种类型的计算都离不开学生对算理的理解，算法的掌握与应用。下面结合自己的教学实践谈谈对理解算理和掌握算法的几点体会。 一、算理与算法的关系 算理是客观存在的规律，是计算过程中的道理，是指计算过程的思维方式，解决为什么这样算的问题。算法是计算的方法，主要是指计算的法则，就是简化了复杂的思维过程，添加了认为规定的程序化的操作步骤，解决如何算的方便、准确的问题。如:计算312+56时，根据数的组成进行计算312是由3个百、1个十、2个一组成的，56是由5个十、6个一组成的。先把2个一与6个一相加是8个一，然后1个十与5个十相加是6个十，最后把3个百、6个十、8个一合并的368，这就是算理。当学生进行一定量的练习后，发现了这样的计算规律：个位只能与个位相加，十位只能与十位相加，百位只能与百位相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，再把几个得数合并起来，这个过程就是学生感悟算理的过程。最后优化计算过程，写成竖式，概括出计算法则：相同数位对齐，从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。 由以上分析可以看出：算理是算法的理论依据，为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合法性和正确性；算法是算理的提炼、概括和总结，为计算提供了便捷的操作方法，从而提高计算的速度和准确率。算理和算法是相辅相成有机统一的。 二、教学流程中如何感悟算理、掌握算法 小学数学计算课大致分为：检查预习，确定起点——创设情境，感知算理
理解算理，掌握算法 ——数的计算的教学 一、“数的运算”的重要意义和价值。 “数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。 数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。一定的计算能力是每个公民都应具备的基本素养。 1．在日常生活中有广泛的应用。 数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及相互之间的关系。从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。 2．对培养学生的思维能力有重要作用。 学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。 3．有利于渗透数学思想方法的教育。 数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。 二、内容变化解读。 随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/4c8078536.html, 如何在小学数学计算教学中教好学生的算理与算法 作者：张富梅 来源：《新教育时代·学生版》2017年第08期 摘要：算理就是计算过程中的道理，解决为什么这样算的问题；算法也就是计算的法 则，是解决如何算得方便、准确的问题，二者是相辅相成、不可分割的。算理为算法提供了理论依据，而算法又使算理可操作化。教师在日常教学中可以从多个方面进行努力，在实际教学中科学处理算理与算法的关系，做到算理与算法兼顾。 关键词：计算理解算理算法 在计算教学中（特别是加、减、乘、除法的第一节课计算教学）由于平时的教学中算理与算法的关系处理不当，使得教学效率低下，学生计算正确率也较低。如何正确处理算理与算法的关系，课堂上保证新算法的练习时间和练习量，改变计算教学的模式，给予理解算理的空间，这些都值得我们去探究。 计算是小学阶段重要的学习内容，具有较强的思维内涵。因此，计算课教学不只关注运算技能的形成，更要关注运算能力的培养。运算能力不是建立在“记忆”层次上算得又对又快的操作能力，而是基于“理解”层面的灵活选择运算途径的思维能力。这种能力的形成需要以运算对象、运算法则、运算规律的理解、掌握和运用为基础。简言之，既要明算理，又要清算法。 一、算理与算法的含义 何为算理？顾名思义，算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中思维方式，是解决为什么这样算的问题。如计算124+45时，就是根据数的组成进行演算的：124是由1个百、2个十和4个一组成的，45是由4个十与5个一组成的，所以先把4个一与5个一相加9个一，再把2个十与4个十相加得6个十，最后把1个百、6个十和9个一合并得169，这就是算理。 何为算法？算法，即计算的方法，如：当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：个位数只能与个位数直接相加、十位数只能与十位数直接相加、百位数只能与百位数直接相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，最后再把几个得数合并，这是学生感悟算理的过程；最后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。 二、课堂教学中动手操作、理解算理
解析几何中的算法与算理——一堂研究课的听课观察记录与感悟 2.分析：求直线AB的方程，关键是确定求直线AB的斜率；而k AB可以由点A（或点B）的位置的确定而确定——引入点参；k AB也可以由直线P A（或直线PB）、直线AB的位置的确定而确定——引入k参、写方程；…… 用思维导图表达研究过程的思路、方法，使思维“视觉化”，进而帮助学生捋顺思路：结论：
3.板书计划： 4.学生展示、观摩、小组交流、评价： 学生甲的思路（1—1）的解法：由题意 F (1,0).因为直线AB 不经过点P ，故直线AB 的斜 率必存在. 可设AB ：y =k (x -1) 由? ??=+-=1243)1(2 2y x x k y 消去y ，整理得 1248)34(2 222=-+-+k x k x k 设点）（）（2211,,,y x B y x A . 由根与系数的关系，得??? ?? ? ??? +-= ?+=+>?34124348022212 221k k x x k k x x 由k P A +k PB =0得 01 23 1232211=--+-- x y x y ， 所以， 01 23 )1(123)1(2211=---+-- -x x k x x k ， 所以，0)2(2 3 )1)(1(22121=-+- --x x x x k
即0)2(2 3 ]1)([2212121=-+- ++-x x x x x x k 消去x 1和x 2，得)23 48(23)134834124( 222 2222-+=++-+-k k k k k k k 化简，得2 1 12= ?=k k . 所以，所求的直线AB 的方程为：.012)1(2 1 =--?-= y x x y 师问：本题消去x ，行吗？消去哪个更好？ 于是，引导学生继续探究： 思路（1—2）的解法：将算法“局部优化”为：由k P A +k PB =0得 01 23 1232211=--+-- x y x y ， 由?? ?=+-=12 43)1(2 2 y x x k y 消去x ，得 096)34(1243 2222222 =-++?=++k ky y k k y k k y ）（ 设点）（）（2211,,,y x B y x A . 由根与系数的关系，得??? ? ? ? ??? +-=?+=+>?34934602 2212 21k k y y k k y y 由k P A +k PB =0得 01 231232211=--+-- x y x y ， 所以，)(2320123 12321212211y y y y y k y y k y +=??=-+- ， 故2 1 34623349222 2=?+?=+-?k k k k k . 所以，所求的直线AB 的方程为：.012)1(2 1 =--?-= y x x y 学生丁的思路（1—3）的解法：由题意，直线AB 的斜率必存在且不等于0.
算理的含义 何为算理?顾名思义,算理就是计算过程中的道理,是指计算过程中思维方式,是解决为什么这样算的问题。如计算214＋35时，就是根据数的组成进行演算的:21４是由２个百、1个十和4个一组成的，35是由3个十和5个一组成的,所以先把4个一与５个一相加9个一,再把1个十与３个十相加得４个十，最后把2个百、４个十和９个一合并得2４9,这就是算理。 算理与算法的关系 当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律:个位数只能与个位数直接相加、十位数只能与十位数直接相加、百位数只能与百位数直接相加,也就是相同数位上的数才能直接相加，最后再把几个得数合并,这是学生感悟算理的过程;最后进行优化计算过程,为了便于计算一般写成竖式形式,在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则:把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一,这就是算法。从上面的分析可以看出算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性,算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度;算理是算法的理论依据,算法是算理的提炼和概括,算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化,它们是相辅相成的。 如何处理算理和算法的关系 怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理,又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以二年级数学下册70页的两位数乘一位数为例,说说如实现理算理与算法的的教学统一。 1、引导研究,理解算理 学生只有理解了计算的道理,才能“创造”出计算的方法,才能理解和掌握计算方法,才能正确迅速地计算,所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对
关于算法和算理 什么是算理？ 算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，解决“为什么这样算”，这样算的道理是什么。算理一般由数学概念、运算规律、运算性质等构成。就是教师根据概念，性质，定义为依据对计算方法加以说明。如：小数乘法的算理就是积的变化规律，小数除法的算理就是商不变的规律。 什么是算法？ 算法就是计算的方法，主要解决“怎样计算”的问题。通常是算理指导下的一些人为规定的操作步骤，解决如何算得方便、准确的问题。如：小数乘法的算法：先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数就从积的右边数出几位点上小数点。 整数（小数）加法：算法：把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一。算理：依据数的组成意义，推出相同计数单位（分数单位）的数才能相加减。算理也可以理解为加法交换律和结合律。整数（小数）减法：算法：相同数位对齐，从个位减起，哪一位不够减就从前一位退一，在本位上加10再减。 算理：依据数的组成和意义概念，推出相同计数单位的数才能相加减。十进制计数法。 算理与算法的关系是什么？
算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。教学中不可放弃任何一方面。 在教学中如何处理算理和算法的关系？ 既要让学生知道怎么算，又要知道为什么要这样算，知其然又知其所以然，这是计算教学的根本。在教学时要让学生在感悟、理解算理的基础上生成、（创造）出算法，到最后掌握算法。 一般情况下，一个单元的起始例题，是整个单元的基础和关键。要用足时间重点突破。使学生扎扎实实地理解算理，掌握算法。
计算能力是小学数学学习的基础，今天小数详细整理了小学阶段关于四则运算的基础知识及运算过程中常用到的简便方法，趁着暑假帮孩子们查漏补缺，提高计算能力，扎实数学基础，助力孩子开学快速进步。 运算定律 ?加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。?加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 ?乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。 ?乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即 (a×b)×c=a×(b×c)。
?乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 ?减法的性质 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。 运算法则 ?整数加法计算法则 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 ?整数减法计算法则
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 ?整数乘法计算法则 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 ?整数除法计算法则 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几 位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 ?小数乘法法则 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 ?除数是整数的小数除法计算法则
计算教学中如何正确处理算理与算法的关系 通贤中心小学黄和春 算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，算理是计算的依据，是算法的基础，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，算法是依据算理提炼出来的计算方法和规，主要解决“怎样计算”的问题。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 理解了算理和算法之间的关系，在教学中，如何让学生经历充分理解算理的过程，又能让学生感悟出算法，也就是教学中如何正确处理算理与算法的关系？下面以“整百整千数加减法”的教学进行一些探讨： 一、引导研究，理解算理。 学生只有理解了算理，才能“创造”出计算的方法，正确地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学时要着重帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。所以首先让学生主动探索算理： 五一期间，桦南家电商场搞促销活动。我队的王大爷，买了一台电视机花1000元，一台电冰箱花2000元。 （1）小朋友看到这两个数学信息，能提出什么数学问题呢？（电视机和电冰箱一共要多少元？电视机比电冰箱便宜多少元？电冰箱比电视机贵多少元？） （2）同学们提出了这么有价值的问题。你们能解决吗？ 学生尝试解决第一问题。 1000＋2000＝ 怎样计算1000＋2000等于多少呢?生独立计算，同桌交流算法，反馈（几种可能性如下：） 生：1个千加2个千是3个千,3个千是3000.
计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。计算的算法是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。 算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答“为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则，它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性；算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。 处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重要的作用。当前，计算教学中“走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算法之间关系的结果。一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式“以练代想”，学生“知其然，不知其所以然”，导致教学偏向“重算法、轻算理”的极端。与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材，他们把过多的时间用在形式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向“重算理、轻算法”的另一极端。 如何正确处理算理与算法的关系，防止“走极端”的现象，广大数学教师在教学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。比如，“计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学‘既重算理，又重算法”“把算理与算法有机融合，避免算理与算法的‘硬性对接’”“引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”“计算教学要让学生探究并领悟算理，及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用”等等，这些观点对于计算教学少走弯路、提高计算教学质量具有重要作用。 1.学生对用代数思想解方程的知识基础不够。 教师们普遍认为，旧教材根据四则运算之间的关系解方程，在知识准备上是充分的，是循序渐进的。以人教版为例，加减法之间的关系，在第一册时就出现1＋（）＝2、2－（）＝1、2＋（）=3……，以后各册均有类似练习出现。到第七册时正式出现加、减各部分间的关系，并运用加、减法之间的关系“求未知数x”。乘除法也是如此，不断积累，不断巩固。到第八册，教材还设专题将加与减、乘与除之间各部分间的关系加以整理和归纳，并再次运用其“求未知数x”。有了上述的铺垫之后，到第九册才正式出现“简易方程”。而此时，解方程对于学生而言，实际上已经是水到渠成的事了。 然而，用等式基本性质解方程，新教材在为学生的知识准备上与旧教材反差过大，致使学生用代数思想解方程的知识基础不够。一，在这之前，学生对“等式”意义的理解非常狭隘。如我们在加法的教学中，7＋5，我们往往只引导学生去理解7和5之间存在的关系，而不去指出7＋5本身就可以表示一个整体。