矩阵分析及其应用
3.1 矩阵序列
定义3.1 设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=()
(k ij a )∈C m ?n ,当k →∞，
)(k ij a →a ij 时，称矩阵序列{A (k)}收敛，并称矩阵A=(a ij )为矩
阵序列{A (k)}的极限，或称{A (k)}收敛于A, 记为
A A k k =∞
→)(lim 或 A (k)→ A
不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A (k) 发散的充要条件为存在ij 使 得数列)
(k ij a 发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy 定义 定义3.1' 矩阵序列{A (k)}收敛的充要条件为 对任给ε>0 存在N(ε), 当 k , l ≥ N(ε) 时有
||A (k)-A (l )|| < ε
其中||.||为任意的广义矩阵范数。
例1 ????
?
? ??-
=∑=-n
k n n k k e n n 12)
()sin()1sin(11A 如果直接按定义我们因为求不出A (n )的极限从而
很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于∑∑∑+=+=+=-≤≤n
m k n
m k n
m k k k k
k k 112
1
2
)
1(1
1
)
sin( < 1/m
从而只要l 充分大，则当m, n > l 时就有
ε≤∑
+=n
m k k k 1
2
)
sin( 这样A (l ) 收敛。
定理3.1 A (k)→ A 的充要条件为
||A (k) -A||→0
证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对∞范数可以证明。 即 c 1 ||A (k) -A||∞ ≤ ||A (k) -A||≤ c 2 ||A (k) -A||∞ 性质0 若A (k)→ A ， 则 ||A (k)|| → ||A|| 成立。
性质1. 设A(k)→ A m?n，B(k)→ B m?n, 则
α? A(k)+β? B(k)→α? A+β? B，?α,β∈C
性质2. 设A(k)→ A m?n，B(k)→ B n?l, 则
A(k)?B(k)→ A?B
证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的
矩阵范数。
||A(k)?B(k)-A?B|| ≤ || A(k)?B(k)-A?B(k)||+||AB(k)- A?B||
≤ || A(k)-A||?||B(k)||+||A||?||B(k)-B||
注意||B(k)||→||B||，则结论可得。
特别地有
性质2’. A(k)→ A的充要条件为
A(k) x→Ax, 对任意x成立
或者y H A(k) x→ y H Ax, 对任意x,y成立.
（在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中
和一般收敛性定义是等价的)
对于Hermite(对称)矩阵我们有如下的定理：
设A(k)，k=1,2,…,和A都为Hermite矩阵，那么
A(k)→ A的充要条件为
x H A(k) x→x H Ax, 对任意x成立
推论：设A(k)，k=1,2,…, 为半正定的Hermite矩阵，且单调减少，即A(k)和A(k)-A(k+1)为半正定Hermite矩阵，那么A(k)有极限.
性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)→A，则
(A(k))-1→A-1
证明：因为A-1? (A(k)) →I. 所以存在K,当k >K时有
||I- A-1? (A(k))||<1/2
我们有(A(k))-1= A-1+( I- A-1? (A(k))) (A(k))-1
从而||(A(k))-1||≤||A-1||+||( I- A-1? (A(k)))||?|| (A(k))-1||
当k>K时，有
||(A(k))-1||≤||A-1||+1/2?|| (A(k))-1||
即||(A(k))-1||≤2?||A-1||
因为A-1- (A(k))-1= A-1 (A(k)- A) (A(k))-1
从而|| A-1- (A(k))-1||≤||A-1||?||A(k)- A||?||(A(k))-1||
(当k>K时) ≤||A-1||?||A(k)- A||?2||A-1||
(当k→∞时) →0
由定理3.1有(A(k))-1→ A-1
定义3.2矩阵序列{A(k)}称为有界的，如果存在常数
M>0，使得对一切k都有
a| |)(k ij 定理：有界的矩阵序列{A (k)}一定有收敛的子列。 定义3.3 设A 为方阵，且当k →∞时有A k →0，则称A 为 收敛矩阵。 定理3.2(迭代法基本定理) A k →0的充要条件为谱半径 ρ(A)<1. 证明：必要性：设A k →0，证明ρ(A)<1. 对A 的任意特征值λ和相应的特征向量x 有 λx =Ax . 这样我们有A k x =λk x 从而有|λ|k ?||x||=||A k x||≤||A k ||?||x|| 从而有|λ|k ≤||A k ||→0 这样有|λ|<1， 由于λ为A 的任意特征值， 所以ρ(A)<1, 即必要性得证。 充分性。已知ρ(A)<1，证明A k →0. 取ε=(1-ρ(A))/2 >0,由定理2.10有,存在某种相容的 矩阵范数||.||M 使得 ||A||M < ρ(A)+ ε <1 从而||A k || M ≤(||A||M )k <(ρ(A)+ ε)k 所以当k →∞有||A k || M →0, 从而A k →0. 定理3.3 A k →0的充分条件为存在矩阵范数||.||M 使得 ||A||M <1 3.2矩阵级数 定义3.4设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=() (k ij a )∈C n ?n ,由它们 形成的无穷和 A (0)+A (1)+…+A (k)+…称为矩阵级数， 记为 () 0k k A ∞ =∑，即有 () k k A ∞ =∑= A (0)+A (1)+…+A (k)+… 定义3.5 记S (N ) = () N k k A =∑,称其为矩阵级数 () k k A ∞ =∑的部分和. 如果矩阵序列{S (N)}收敛，且有极限S, 即有 S (N)→S 那么称矩阵级数 () k k A ∞ =∑收敛，且和为S, 记为 S= () 0k k A ∞ =∑ 不收敛的矩阵级数称为发散的。 显然 () k k A ∞ =∑=S 是指 ()0k ij ij k a s ∞ ==∑，? i ,j 即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。 性质：矩阵级数 () k k A ∞ =∑收敛的充要条件为对任意向量x, 向量级数 () k k A x ∞ =∑收敛。 定义3.6 设矩阵级数 () k k A ∞ =∑的每个分量) (k ij a 所构成的数项 级数 ()0 k ij k a ∞ =∑绝对收敛，则称矩阵级数 () k k A ∞ =∑绝对收敛。 关于绝对收敛，我们有如下的定理： 性质1. 绝对收敛的 () k k A ∞ =∑交换求和次序不改变其绝对 收敛性和极限值。 性质2. 矩阵级数 () k k A ∞ =∑绝对收敛的充要条件为正项级数 () ||||k k A ∞ =∑收敛。 性质3. 如果矩阵级数() k k A ∞ =∑(绝对)收敛,那么 () k k PA Q ∞ =∑ 也是(绝对)收敛,且有 () k k PA Q ∞ =∑=P (()0 k k A ∞ =∑)Q 性质4. 设C n ?n 的两个矩阵级数 S 1: A (1)+A (2)+…+A (k)+… S 2: B (1)+B (2)+…+B (k)+… 都绝对收敛，其和分别为A 和B.则矩阵级数 S 3: A (1) B (1)+ [A (1) B (2)+ A (2) B (1)]+… +[ A (1) B (k)+ A (2) B (k -1) +…+A (k) B (1)]+… 绝对收敛且和为AB. 证明：由于S 1: A (1)+A (2)+…+A (k)+…绝对收敛的充要条件为 正项级数||A (1)||+||A (2)||+…+||A (k)||+…收敛且与排列无关。 我们证明的思路是证明正项级数： ||A (1) B (1)||+ ||A (1) B (2)+ A (2) B (1)||+… +||A (1) B (k)+ A (2) B (k -1) +…+A (k) B (1)||+… 收敛。引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数： ||A (1)||?||B (1)||+ { ||A (1) ||?||B (2)||+ ||A (2) ||?||B (1)||}+… +{||A (1) ||?||B (k)||+ ||A (2) ||?||B (k -1) ||+…+||A (k) ||?||B (1)||}+… 收敛。这由题设 正项级数||A (1)||+||A (2)||+…+||A (k)||+… 和正项级数 ||B (1)||+||B (2)||+…+||B (k)||+… 的收敛性可得。 定理3.4 幂级数 I+A+A 2+…+A k +…收敛的充要条件为 A 的谱半径ρ(A)<1, 收敛时其和为(I -A)-1。 若有矩阵范数||.||使得||A||<1,则 ||(I -A)-1- (I+A+A 2+…+A k )||≤||A||k+1/(1-||A||) 证明： 必要性. 由于I+A+A 2+…+A k +…收敛，从而 S (k)= I+A+A 2+…+A k 收敛。记T (k)= I+A+A 2+…+A k+1, A k+1=T (k)- S (k)收敛，且T (k)- S (k) →0，这样我们有 A k →0，从而ρ(A)<1. 充分性：设ρ(A)<1，(I -A)-1存在，由于 I+A+A 2+…+A k =(I -A)-1 -(I -A)-1 A k+1 因A k →0，所以 I+A+A 2+…+A k +…→ (I -A)-1. 又因为 (I -A)-1 - (I+A+A 2+…+A k )= (I -A)-1 A k+1 从而 ||(I -A)-1 - (I+A+A 2+…+A k )||=|| (I -A)-1 A k+1|| 设B=(I -A)-1A k+1,从而(I -A)B=A k+1即 B=AB+ A k+1,从而 ||B||≤ ||A||?||B||+ ||A k+1||≤ ||A||?||B||+ ||A||k+1 因为矩阵范数||.||使得||A||<1,所以 ||B||≤||A||k+1/(1-||A||)成立。 定理3.6 设幂级数 ∑∞ == )(k k k z c z f 的收敛半径为r , 如果方阵A 满足ρ(A)< r , 则矩阵幂级数 ∑∞ ==0 )(k k k A c A f 是绝对收敛的；如果ρ(A) > r , ∑∞ =0 k k k A c 是发散的。 证明：利用绝对收敛的性质。 反之，设A 的特征值λ满足|λ|=ρ (A )，x 为λ相应的 特征向量 ∑=n k k k x A c 0 )(=∑=n k k k x c 0 )(λ=x c n k k k )(0 ∑=λ, 由于ρ(A) > r ,那么x c n k k k )( ∑=λ发散(注意x 为非零向量) 从而 ∑=n k k k x A c 0 )(发散，这样∑∞ =0 k k k A c 发散。 矩阵函数 定义：设一元函数f (z)能展开为z 的幂级数 ∑∞ ==0 )(k k k z c z f (|z| 其中r>0表示该幂级数的收敛半径。当n 阶矩阵A 的 谱半径ρ(A ) < r 时，把收敛的矩阵幂级数 ∑∞ =0 k k k A c 的和 为f (A ), 即 f (A )= k k k c ∞ =∑A . 性质1(代入规则)： 若f (z )能展开为z 的幂级数,且f (z )=g (z ), 对 |z | < r 成立，则当ρ (A )< r 时， f (A )=g (A ). 矩阵函数举例： sin(z )=z -z 3/3!+z 5/5! -… 则 sin(A )= I -A 3/3!+A 5/5! -… cos(z )=1-z 2/2!+z 4/4! -… cos(A )= I -A 2/2!+A 4/4! -… e z =1+z +z 2/2!+z 3/3!+… e A =I+A +A 2/2!+A 3/3!+… sin 2(z )+ cos 2(z )=1 可得：sin 2(A )+cos 2(A )= I 性质2 二元函数f (x ,y )能展开为x ,y 的幂级数,f (x ,y )=g (x ,y ). 若AB =BA ,则 f (A ,B )=g (A ,B ) (二元函数的代入规则). 矩阵函数值的求法 1.待定系数法 设n阶矩阵A的特征多项式?(λ)=det(λI-A). 如果首1 多项式ψ(λ)=λm+b1λm-1+…+b m-1λ+b m(1≤m ≤n) 满足:(1) ψ(A)=0;(2) ψ(λ)整除?(λ)(矩阵A的最小多项式与特征多项式均满足这些条件). 那么, ψ(λ)的零点都是A的特征值.记ψ(λ)的互异零点为 λ1, λ2,…, λs,相应的重数为r1,…,r s(r1+r2+…+r s=m),则有ψ(l)(λi)=0 (l=0,1,…,r i-1;i=1,2,…,s) 这里, ψ(l)(λ)表示ψ(λ)的l阶导数(下同). 设f(z)=∑∞ =0 k k k z c= ψ(z)g(z)+r(z). 其中r(z)是次数低于m的 多项式，于是可由f(l)(λi) = r(l)( λi ) 确定r(z). 利用f(A)= ψ(A)g(A)+r(A)=r(A). 因此我们的问题就是给定函数f(z),由约束条件 r(l)( λi )=f(l)(λi) l=0,1,…,r i-1;i=1,2,…,s 确定r(z)。 若知道函数f(x)在x0的函数值和直到n阶导数值，则由Tayler展开式可得多项式: T f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f"(x0)/2!](x-x0)2 +[f(3)(x0)/3!](x-x0)3+…+[f(n)(x0)/n!](x-x0)n 使得T f(l)(x0)=f(l)(x0),l=0,1,2,…,n成立. 相应的若知道函数f(x)在x0,x1,x2,…x n的函数值 则有相应的Newton插值公式 N f(x)=f (x0)+f [x0,x1](x-x0)+f [x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+… +f [x0,x1,…,x n](x-x0)(x-x1)…(x-x n-1) 使得N f (x i)=f (x i)，i =0,1,2,…,n成立. 其中N f(x)的项为均差。 均差的定义和简单性质如下： 均差及性质 定义：f[x0,x k]=(f(x k)-f (x0))/(x k-x0) 为f (x)关于点x0,x k的一阶均差； f[x0,x1,x k]=(f [x0,x k]-f [x0,x1])/(x k-x1) 为二阶均差。一般地，称 f [x0,x1,…,x k]=(f [x0,x1,…,x k-2,x k]-f [x0,x1,…,x k-1])/(x k-x k-1) 为f (x)的k阶均差。 性质1. k阶均差可表为函数值的线性组合； 性质2. 均差与节点的排列次序无关； 性质3(均差与导数) 若f (x)在[a,b]上存在n阶导数，且结点x0,x1,x2,…x n∈[a,b]，则存在ξ∈[x0,x1]使得 f [x 0,x 1,…,x n ]=f (n )(ξ)/n ! 成立，其中x 0=min{x 0,x 1,x 2,…x n }, x 1=max{x 0,x 1,x 2,…x n }。 推论:若f (x )在[a ,b ]上存在n 阶导数,则对任何c ∈[a ,b ], f [c ,c ,…,c ]=f (n )(c )/n ! 成立。 证明：在性质3中令x 0,x 1,x 2,…x n 同时趋于c 可得结论. 由此可见Newton 插值公式可以看作Tayler 展开式的 推广，Tayler 展开式只不过是插值节点重合的情形， 相应的函数值变为导数值而已。 均差的计算： x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0,x 1] x 2 f (x 2) f [x 1,x 2] f [x 0,x 1,x 2] x 3 f (x 3) f [x 2,x 3] f [x 1,x 2,x 3] f [x 0,x 1,x 2,x 3] x 4 f (x 4) f [x 3,x 4] f [x 2,x 3,x 4] f [x 1,x 2,x 3,x 4] f [x 0,x 1,x 2,x 3,x 4] 相应地，若有x 1=x 2=x 3，则有 x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0,x 1] x 1 f (x 1) f ' (x 1) f [x 0,x 1,x 1] x 1 f (x 1) f ' (x 1) f " (x 1)/2! f [x 0,x 1,x 1,x 1] x 4 f (x 4) f [x 1,x 4] f [x 1,x 1,x 4] f [x 1,x 1,x 1,x 4] f [x 0,x 1,x 1,x 1,x 4] 其它的类似.因此我们可以使用Newton 插值公式 得到满足插值条件的多项式. 例1 设???? ??????-=311211002A ， 求e A t . 解 ?(λ)=det(λI -A )=(λ-2) (λ-5) (λ+1) z f (z)=e z t 2 e 2 t 5 e 5 t ( f (5) -f (2))/(5-2)= (e 5 t -e 2 t )/3 -1 e - t ( f (-1) -f (5))/( -1-5)= (e 5 t - e - t )/6 (e 5 t -2e 2 t +e - t )/18 从而 f (z)=e z t =?(z)P(z)+r(z), 其中 r(z)= e 2 t +(z -2) (e 5 t -e 2 t )/3+(z -2)(z -5) (e 5 t -2e 2 t +e - t )/18 = e 2 t (1+(z -2)/3-(z -2)(z -5)/9) + e 5 t ((z -2)/3+(z -2)(z -5)/18) + e - t (z -2)(z -5)/18 f (A )=e A t =r(A )= e 2 t (I+(A -2?I )/3-(A -2?I )(A -5?I )/9) + e 5 t ((A -2?I )/3+(A -2?I )(A -5?I )/18) + e - t (A -2?I )( A -5?I )/18 = ??????????-9/163/23/23/49/49/50012t e +?? ?? ??????--9/16/6/13/19/29/2000 5t e + ??????????-----9/26/16/13/19/19/1000 t e 例3.5 设???? ? ?????-=311111002A , 求e A t 解?(λ)=det(λI -A )=(λ-2)3 z f (z)=e z t 2 e 2 t 2 e 2 t f ' (2)= te 2 t 2 e 2 t f ' (2)= te 2 t f ''(2)/2!= t 2 e 2 t /2 从而 f (z)=e z t =?(z )P(z )+r(z ), 其中 r(z)= e 2 t +t e 2 t (z -2)+t 2e 2 t (z -2)2/2 f (A )=e A t =r(A )= e 2 t (I+t (A -2?I )+ t 2(A -2?I )2/2 ) =?? ?? ??????+--t t t t t e t 11100 12 例： ????? ? ??? ???----=1110010000101121A ， 求 f (A ), 其中 f (z)= z 16-z 10。 解：由于det(λI - A )=( λ-1)3(λ+1)=?(λ) ????????? ???----=1110010000101121A ,????? ???????---=10000100001003512A ????? ???? ???-----=11100100001014713A , 求 r(z )使得f (z )=P(z) ?(z)+ r(z), 其中f (z)= z 16-z 10 z f (z) 1 0 1 0 f '(1)=6 1 0 f '(1)=6 f ''(1)/2!=75 -1 0 0 (0-6)/( -1-1)=3 (3-75)/ ( -1-1)=36 因此 r(z)= 0+6(z -1)+ 75(z -1)2+36(z -1)3 从而f (A )=r(A )= 6(A - I )+ 75(A - I )2+36(A -I )3 即r(A)= ? ? ??? ???? ???-000000000000 0990 2. 数项级数求和法。 利用A m =k 0I+k 1A+k 2A 2+…+k m -1A m -1 代入计算即可。 3. 对角阵法 若A 相似于对角阵，求出它的对角矩阵和相似矩阵 即 A =PDP -1， 则f(A)= P f(D)P -1 4.Jordan 标准型法 设A 的若当标准形为J,则存在可逆矩阵P 使得 P -1A P = J=1s ?????????? J J , J i =11i i i i i m m λλλ??? ?????????? f (J i )=0k k i k a ∞ =∑J = 1111 110 i i i i m k m k k i k i k i k i k k k k i k i m m C C a C λλλλλλ--+-∞-=??? ?? ? ???????? ? ∑ =(1) 11()()()1!(1)! ()1() 1!()i i i m i i i i i i i m m f f f m f f f λλλλλλ-???'??-?? ?? ?? ??'?????? (*) f (A )= 10k k k a ∞-=∑PJ P =P(0k k k a ∞=∑J )P -1 = P 100k k k k k s k a a ∞=∞ =?? ??? ???? ??????? ∑∑J J P -1 = P 1() ()s f f ?? ??????? ? J J P -1 (**) 可见，求f (A )可转化为求A 的若当标准形J 及变换矩阵P 的问题。 三、广义矩阵函数 利用前面的定理3.6及其推论的结果，对于可以展开成幂级数形式的解析函数f (z ),它的矩阵函数的定义方式就是在它的幂级数形式中用矩阵A 替代z,就得到了由矩阵幂级数形式的矩阵函数f(A)的定义。但是，对于任意给定的函数f(z)能够展开成收敛幂级数形式的要求条件很强，一般不容易满足，例如f (z )=ln(z ) 就不满足。借助于前面讨论的矩阵函数若当标准形求法的公式(*)和(**)， 我们可以拓宽矩阵函数的定义如下. 定义3.8 设A ∈C n ?n 的Jordan 标准形为J ,即有可逆矩阵P ，使得 P -1A P = J=1s ?????????? J J , J i =11i i i i i m m λλλ??? ?????????? 如果函数f (z )在λi 处具有直到m i -1阶导数(i =1,2,…,s ),令 f (J i )=(1) 11()()()1!(1)! ()1() 1!()i i i m i i i i i i i m m f f f m f f f λλλλλλ-???'??-?? ?? ?? ??'?????? f (A )= P 1()()s f f ?? ???????? J J P -1 (**) 那么，称f (A )为对应于f (z )的矩阵函数。 这样定义的矩阵函数在f (z )可展开成幂级数的形式和前面的定义一致，而当f (z )不能展开成幂级数的形式时仍然可以定义，因此确实拓广了矩阵函数的定义。 定义3.9 设A ∈C n ?n , f (z)解析函数，定义矩阵函数f (A)为 f (A)= 1 ()()z I A f z dz -?Ω ?-? 其中Ω为包含A 的全部特征根的单连通区域，而?Ω表示区域的边界。 4 矩阵的微分和积分 定义3.9 如果矩阵A (t)=(a ij (t ))m ?n 的每一个元素a ij (t ) 是变量t 的可微函数，则A (t )关于t 的导数(微商)定义为 A '(t )= (dt d a ij (t ) )m ?n 性质1. dt d (A (t)+B (t))= dt d A (t)+ dt d B (t) 性质2.dt d (A (t)B (t))=dt d A (t)?B (t)+A (t)?dt d B (t) 性质3. dt d (α(t)A (t))= α'(t)A (t)+ α(t) ?dt d A (t) 性质4. 如果A (t )和dt d A (t )可交换，f (z )和t 无关的一元解析函数， 则有dt d f (A (t))=f '(A (t))dt d A (t) 特别注意若A(t )和dt d A(t )不可交换, 则上式不一定成立。 证明：将f (z )展开成幂级数形式∑∞ == )(k k k z c z f ,得到∑∞ ==0 )(k k k A c A f 。 根据假设A (t )和 dt d A (t )可交换可得 d (A k (t ))/dt = k ?A k -1(t ) d (A (t ))/dt 代入矩阵函数f (A (t ))得d (f (A (t )))/dt = () 11 ()d t k k dt k c k t ∞ -=∑A A = d A (t )/dt ? f '(A (t )) 成立。 考虑到A (t )和 dt d A (t)可交换的条件比较强，我们可以给出如下的性质。 性质5. 如果A (t )和B(t)可交换，f (z )是与t 无关的一元解析函数， 则有 dt d tr(f (A (t))B (t))=tr[B (t)f '(A (t))dt d A (t) ] + tr[f (A (t))dt d B (t)] 证明：将f (z )展开成幂级数形式∑∞ == )(k k k z c z f ，得到∑∞ ==0 )(k k k A c A f 根据假设A (t )和B(t )可交换可得 tr[d (A k (t )B (t ))/dt ]= tr[k ?A k -1(t ) d (A (t ))/dt )? B(t)]+tr[A k (t ) d (B (t )/dt ] 代入矩阵函数 d (tr[f (A (t ))B(t)])/dt = ()11 [( ())()]d t k k dt k tr c k t B t ∞ -=∑A A +tr[f (A k (t )) d (B (t )/dt ]] = tr[B (t)f '(A (t)) dt d A (t) ] + tr[f (A (t))dt d B (t)] 成立。 定义3.10 如果矩阵A(t )的每个元素a ij (t )都是区间[t 0,t 1]上 的连续函数，则定义A(t)在[t 0,t 1]上的积分为分量积分 构成的矩阵. 即 ? 1 t t A(t) dt=( ? 1 t t a ij (t)dt ) 性质：(积分算子仍为线性算子) ? 1 t t (A(t)+B(t))dt= ? 1 t t A(t)dt+ ? 1 t t B(t)dt ? 1 t t P ?A(t)?Qdt=P( ? 1 t t A(t)dt) Q 当a ij (t)都在[t 0,t 1]上连续时，就称A(t)在[t 0,t 1]上连续. 且有 dt d ? t a A(s)ds=A(t) 当a ij (t)都在[a,b]上连续时 ? b a A '(s)ds=A(b)-A(a) 其它微分概念 1函数对矩阵的导数(包括向量) 为了简单起见，在本节中我们记e i 为第i 个分量为1,而其余分量为0的 单位列向量，其维数根据上下文确定，以后不一一说明。 定义:设X =(ξij )m ?n ,mn 元函数 f (X )=f (ξ11, …, ξ1n , ξ21…, ξm1,…, ξmn ) 定义f (X )对矩阵X 的导数为 X d df =n m ij f ????? ????ξ=???? ?? ????????????????mn m n f f f f ξξξξ 1111 = 11m n T i j i j ij f ξ==??∑∑e e 特别注意在上面的等式中，e i 为m 维列向量而e j 为n 维列向量,在本节中我们会经常使用这种约定。 矩阵的元素和矩阵符号的关系 设A=(ij a )∈C m ?n ，那么 这个关系式实际上可以为我们把一个关于分量的等式转化为 关于矩阵-向量的形式。最后一个式子可以由第二个式子 结合vec(?)向量化算子的定义推得。 性质1.1 若 g (t)=f (x ), x =x (t)为向量, 其中f (x )为n 元函数， 则d g /dt=d x T /dt ?d f /d x . 性质1.2若 g (t)=f (X ), X =X (t)为矩阵, 其中f (X)为m ?n 元函数, 则d g /dt=tr(d X T /dt ?d f /d X ) 性质1.3：关于迹函数的导数 d(tr(X T A ))/d X =A . d(tr(A T X))/d X =A . d(tr(A X))/d X =A T . 例 f (x )=x T Ax , 则d f /dx=(A+A T )x, 特别地，若A 为对称矩阵，g(x)=x T Ax /2, 则d g/d x=Ax . 证明：由于d f /dx i =(d x/dx i )T Ax+x T A(d x /dx i ) =T i e Ax+ x T Ae i =T i e (A+A T )x 所以 d f /d x =1n i i i df e dx =∑=1 ()n T T i i i e e =+∑A A x =(A +A T )x , 例 1)设非奇异矩阵A(t )的对t 可导，则d (|A |)/dt =|A | tr(A -1?d A /dt ) 2)对于任给非奇异矩阵A , d(log|A |)/d A =(A T )-1 3)对于任给A ∈R m ?n , d (log|δ?I +A T A |)/d A = 2A (δ?I +A T A )-1, 其中δ为和矩阵A 无关的常数。 证明：1）由于d |A |/dt = 121 |(,,..., ,...,)|n i n i da a a a dt =∑ = 121 |(,,..., ,...,)||| || i n n i d dt =∑ a a a a A A 考虑线性方程组A ?y =d a i /dt , 其中a i 为矩阵A 的第i 列。 根据Gramer 法则可得 12|(,,..., ,...,)|/||i i n d y dt =a a a a A 另一方面，我们知道 y =A -1? d a i /dt , 所以有 12|(,,..., ,...,)|/||i i n d y dt =a a a a A =1T i i d dt -a e A 因此有 d |A |/dt = 1 1|| n T i i i da e A dt -=∑A =1 1 || n T i i i dA e A e dt -=∑A = |A | tr(A -1?d A /dt ) 1) d (|A |)/dt = |A | tr[A -1? d A /d t] 2). 由于d (|A |)/d A = 11||n n T i j i j ij d e e da ==∑∑A 根据1)的结果我们知道 d (|A |)/da ij = |A | tr[A -1? d A /da ij ]= |A | tr[A -1? e i T j e ]=|A |T j e A -1e i 因此d (|A |)/d A = 111 ||n n T T j i i j i j A e e e e -==?∑∑A = 111 ||()n n T T T i i j j i j A e e e e -==∑∑A =1||()T -A A 从而 d (log|A |)/d A =(1/|A |)?d (|A |)/d A =(A T )-1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 或者 det(A )= 1 n ij ij j a =∑A , 其中A ij 为在矩阵A 中 去掉第i 行第j 列的代数余子式。排列A ij 得如下矩阵 A ? ? ??? ???????=nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211 则根据代数余子式的定义可得 A (A )T =|A | I 因此A = |A | (A T )-1. 注意A ij 显然和a ij 无关，因此我们有d(|A |)/d A =A =|A | (A T )-1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 3) 由于d (|δ?I +A T A |)/d A = 11||n n T i j i j ij d e e da ==∑∑A 根据1)的结果我们知道 d (|δ?I +A T A |)/da ij = |δ?I +A T A | tr[(δ?I +A T A )-1? d (δ?I +A T A )/da ij ] = |δ?I +A T A | tr[(δ?I +A T A )-1? ( e j T i e A+A T e i T j e )] = |δ?I +A T A |{ tr[(δ?I +A T A )-1?e j T i e A]+ tr[(δ?I +A T A )-1A T e i T j e )]} = |δ?I +A T A |{ [T i e A (δ?I +A T A )-1?e j +T j e (δ?I +A T A )-1A T e i )]} = 2?|δ?I +A T A | T i e A (δ?I +A T A )-1e j 因此d (|δ?I +A T A |)/d A =2?|δ?I +A T A | 111 ()m n T T T i j i j i j e e e e δ-==?+?∑∑A I A A =2?|δ?I +A T A | 111()m n T T T i i j j i j e e e e δ-==?+∑∑A I A A =2?|δ?I +A T A |1 1 1( )() m n T T T i i j j i j e e e e δ-==?+∑∑A I A A =2?|δ?I +A T A | ?A (δ?I +A T A )-1 从而 d (log|δ?I +A T A|)/d A =(1/|δ?I +A T A |)?d (|δ?I +A T A |)/d A =2?A (δ?I +A T A )-1 前面讨论的函数对矩阵的微分定义没有考虑特殊矩阵的性质，所以有时在公式表达时针对某些特殊矩阵并不能得到很简洁的表达性质。 举例来说，对于对称矩阵X 来说，我们考虑函数f (X )=tr(A T X ), 其中A 为任意n 阶矩阵，如果仍然使用前面的关于函数对矩阵的微分定义我们有 df /d X = 11m n T i j i j ij f ξ==??∑∑e e =A+A T -D 其中D 表示A 的对角部分构成的对角矩阵。这种表达形式看起来不是很简洁。 这是因为对于对称矩阵A 来说,我们有如下关系式 由前面的讨论，在很多情形下，如果X 为n ?n 对称矩阵， f (X )为n (n -1)个变元的函数 f (X )=f (ξ11, …, ξ1n , ξ22…, ξ2n ,…, ξnn ) 那么定义 X d df =11 111212n m mn f f f f ξξξξ????????? ????? ?????????? =1n T i i i ii f ξ=??∑e e +112n T i j i j i ij f ξ=≠??∑∑e e 这时对于对称矩阵的函数f (X )=tr(A T X )， 我们有df /d X =(A+A T )/2, 特别地，当A 也为对称矩阵时有d (tr(AX ))/d X =A 。 矩阵函数对矩阵的导数 (主要考虑向量值函数对向量的导数) 为了进行下面的讨论我们引入A 与B 的直积定义. 定义5.9 设A =(a ij )∈C m×n ,B =(b ij )∈C p ×q ,则称 如下的分块矩阵 1112121 22212n n mp nq m m mn a a a a a a C a a a ????????=∈?????? B B B B B B A B B B B (5.4.1) 为A 与B 的直积（Kronecker 积）。 性质：如果A 为m ?1的向量和B 为n ?1的向量时，那么 A ? B T =A B T 定义3.13 设X=(ξij )m ?n 的mn 元函数 f ij (X )=f ij (ξ11, …, ξ1n , ξ21…, ξm 1,…, ξmn ) 定义矩阵 F (X )= ???? ? ?????rs r s f f f f 1111 对矩阵X 的导数如下： dX dF =???? ?? ????????????????mn m n F F F F ξξξξ 1111 =11()m n T i j i j ij ξ==???∑∑F e e 其中 ij F ξ??=??????? ???????????????ij rs ij r ij s ij f f f f ξξξξ 1111 =11r s T kl k l k l ij f ξ==??∑∑e e 特别的，当F 为m ?1的向量和X 为n ?1的向量时，那么 T dF dX =1 11 1n m m n f f f f ξξξξ????????? ????? ?????????? 对于前面的定义我们可以进行形式化的表示为： dX dF =?? ? ??dX 1?dF $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 类似地，我们可以定义 dX dF =dF ??? ? ??dX 1 当然只是形式上的表示而已. $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 性质1：dX dF =1111()()m n r s T T kl i j k l i j k l ij df d ξ====?∑∑∑∑e e e e 证明：根据ij F ξ??=11r s T kl k l k l ij f ξ==??∑∑e e 代入dX dF 的定义可得。 实际上有所谓的转换定理 转换定理：设X =(x ij )和Y =(y ij )分别是m ?n 和p ?q 的矩阵， A ,B ,C 和D 分别为p ?m ,n ?q ,p ?n 和m ?q 的矩阵，它们可以是 X ，Y 的函数，则如下两条是等价的 (1) D n m C E B n m AE x Y T ij ij ij )()(?+?=??，n j m i ,...,1,,...,1== (2) C q p DE B q p E A X y T ij T ij T ij )()(?+?=??，q j p i ,...,1,,...,1== 其中 E ij (m ?n )表示第i 行第j 列元素为1，而其余元素为0的m ?n 矩阵. 证明：为了简单起见，我们记e i 为第i 个分量为1,而其余分量为0的 单位列向量，其维数根据上下文确定。 首先证明(1)→(2), 实际上 il kj jl ki l T i j T k l T j i T k l ij T k ij kl d c b a De e Ce e Be e Ae e e x Y e x y +=+=??=?? 由于 ∑∑ ==??=??m s n t T t s st ij ij e e x y X y 11 ∑∑==+=m s n t T t s sj it tj is e e d c b a 11)( ∑∑==+=m s n t T t s t T i j T s t T T j i T T s e e Ce e De e e B e e A e 11)(∑∑∑∑====+=m s n t T t t T i j T s s m s n t T t t T T j i T T s s e Ce e De e e e e B e e A e e 11 11 ∑∑∑∑====+=m s n t T t t T i j T s s m s n t T t t T T j i T T s s e e C e De e e e e B e e A e e 1 1 1 1 )()(C q p DE B q p E A T ij T ij T )()(?+?= 而证明(2)→(1)是一个类似的过程。 性质2： y =Wx, 函数f (y )是向量y 的函数 则 d y T /d x =W T , d(f (y ))/d W=d(f (y ))/d y ? x T 性质3：设f (x )是向量x 的函数，而x 又是u 的函数，则 d f /d u =d x T /d u ?d f /d x 根据定义 d x T /d u =(d x T /d u 1, d x T /d u 2,.., d x T /d u n )T 其中d x T /d u i =(d x 1/d u i ,…, d x n /d u i ) 类似地, 设f (x )是向量x 的函数，而x 又是向量u 的 的向量值函数，u 是v 的向量值函数，则 d f /d v =d u T /d v ?d x T /d u ?d f /d x 证明：由题设f (x )是向量u 的函数，所以 d f /d v = d u T /d v ?d f /d u 而 d f /d u = d x T /d u ?d f /d x 从而d f /d v =d u T /d v ?d x T /d u ?d f /d x 成立。 性质4：设f (A )是以m ?n 矩阵A 的元素为变量的mn 元函数， 而A 又是标量t 的函数，则 d f /d t =tr(d A T /dt ?d f /d A ) 应用：考虑如下前馈神经网络模型模型的学习问题： u =Wx v =?(u ) (即v i =?(u i ), 其中, ?(?)为一元可微函数) p =Uv q =φ(p ) (即q i =φ(p i ), 其中, φ (?)为一元可微函数) o =Vq e =(1/2)? ||y -o ||2 其中：x , u,v,p,q,o 为向量,W ,U ,V 为矩阵. 求de /d V , d e/d U ,d e/d W . 解："性质2： y =Wx, 函数f (y )是向量y 的函数 则 d y T /d x =W T , d(f (y ))/d W=d(f (y ))/d y ? x T 性质3：d f /d v =d u T /d v ?d x T /d u ?d f /d x " 中科院矩阵分析与应用大作业 实现LU分解 QR分解 Householder reduction、Givens reduction Matlab 代码： function [] =juzhendazuoye A=input('请输入一个矩阵A='); x=input('请输入序号 1 LU分解 2 Gram-Schmidt分解 3 Householder reduction 4 Givens reduction:' ); if(x==1) %%*************LU分解*****************%% disp('PA=LU') m=size(A,1); % m等于矩阵A的行数 n=size(A,2); % n等于矩阵A的列数 if(m==n) % 判断矩阵A是不是方阵 % 如果矩阵A不是方阵那么就输出“error” U=A; % 把矩阵A赋值给矩阵U L=zeros(n); % 先将L设为单位阵 P=eye(n); % 首先将交换矩阵P设为单位矩阵 for j=1:n-1 for i=j+1:n if (U(j,j)~=0) %判断主元元素是否不为0 L(i,j)=U(i,j)/U(j,j); U(i,:)=U(i,:)-U(j,:)*U(i,j)/U(j,j); % U(j,j)为主元元素 else a=j+1; % 令a等于j+1 while((U(a,j)==0)&&(a 1.简述模式的概念及其直观特性，模式识别的分类，有哪几种方法。（6’） 答（1）：什么是模式？广义地说，存在于时间和空间中可观察的物体，如果我们可以区别它们是否相同或是否相似，都可以称之为模式。 模式所指的不是事物本身，而是从事物获得的信息，因此，模式往往表现为具有时间和空间分布的信息。 模式的直观特性：可观察性；可区分性；相似性。 答（2）：模式识别的分类： 假说的两种获得方法（模式识别进行学习的两种方法）： ●监督学习、概念驱动或归纳假说； ●非监督学习、数据驱动或演绎假说。 模式分类的主要方法： ●数据聚类：用某种相似性度量的方法将原始数据组织成有意义的和有用的各种数据 集。是一种非监督学习的方法，解决方案是数据驱动的。 ●统计分类：基于概率统计模型得到各类别的特征向量的分布，以取得分类的方法。 特征向量分布的获得是基于一个类别已知的训练样本集。是一种监督分类的方法， 分类器是概念驱动的。 ●结构模式识别：该方法通过考虑识别对象的各部分之间的联系来达到识别分类的目 的。（句法模式识别） ●神经网络：由一系列互相联系的、相同的单元（神经元）组成。相互间的联系可以 在不同的神经元之间传递增强或抑制信号。增强或抑制是通过调整神经元相互间联 系的权重系数来（weight）实现。神经网络可以实现监督和非监督学习条件下的分 类。 2.什么是神经网络？有什么主要特点？选择神经网络模式应该考虑什么因素？ （8’） 答（1）：所谓人工神经网络就是基于模仿生物大脑的结构和功能而构成的一种信息处 理系统（计算机）。由于我们建立的信息处理系统实际上是模仿生理神经网络，因此称它为人工神经网络。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。 人工神经网络的两种操作过程：训练学习、正常操作（回忆操作）。 答（2）：人工神经网络的特点： ●固有的并行结构和并行处理； ●知识的分布存储； ●有较强的容错性； ●有一定的自适应性； 人工神经网络的局限性： ●人工神经网络不适于高精度的计算； ●人工神经网络不适于做类似顺序计数的工作； ●人工神经网络的学习和训练往往是一个艰难的过程； ●人工神经网络必须克服时间域顺序处理方面的困难； ●硬件限制； ●正确的训练数据的收集。 答（3）：选取人工神经网络模型，要基于应用的要求和人工神经网络模型的能力间的 匹配，主要考虑因素包括： 矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列 定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k ) ) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为 lim A (k) A 或 A (k) A k 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使 得数列a (k)发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| < 其中||.|为任意的广义矩阵范数。 sin 』) n n sin(k) 如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而 从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有 sin(k) k 2 这样A (l)收敛。 定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证 明。 即c 1 IL A (k) A|| ||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k) A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。 性质 1. 设 A (k) A m n ， B (k) B m n , 则 A (k)+ B (k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k) A m n ， B (k ) B n l ,贝U A (k) B (k) A B 证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。 ||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k) A B|| || A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B|| 例 1 A (n) k m 1 k(k 1) 相反，由于 Analysis and Design of Algorithms Analysis and Design of Algorithms Transform Coding Chapter 3: Recursive Algorithm School of Software Engineering ?Yanling Xu Recursive Algorithm Recursive Algorithm Recursion : a procedure or subroutine, whose implementation references itself E l 1R i l ti f ! Example 1: Recursive evaluation of n ! ?n initial condition 0 0)!1(1 !>=?? ?=n n n n recurrence relation C(n)=C(n 1)+1 Times of Basic operation for n ! C()C(n-1)+1 =[C(n-2)+1]+1 = C(n-2)+2=[C(n-3)+1]+2 = C(n-3)+3 Iterative Definition C(n)= n …… =[C(n-n)+1]+n-1 = n 2 n n n ×××××=）－（1...321! Recursive Algorithm Recursive Algorithm Example 4: The Tower of Hanoi Puzzle void hanoi(int n, int a, int b, int c) { if (n > 0) if(0) { hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); (b) hanoi(n-1, c, b, a); } } C(n) ∈Θ (2n) C(n) = 2C(n –1) + 1 =2n-1 for every n > 0 5 一、中国科学院数学与系统科学研究院简介 中国科学院数学与系统科学研究院由中科院数学研究所、应用数学研究所、系统科学研究所及计算数学与科学工程计算研究所四个研究所整合而成，此外还拥有科学与工程计算国家重点实验室、中科院管理决策与信息系统重点实验室、中科院系统控制重点实验室、中科院数学机械化重点实验室、华罗庚数学重点实验室、随机复杂结构与数据科学重点实验室，以及中科院晨兴数学中心和中科院预测科学研究中心等。2010年11月成立国家数学与交叉科学中心，旨在从国家层面搭建一个数学与其它学科交叉合作的高水平研究平台。数学与系统科学研究院拥有完整的学科布局，研究领域涵盖了数学与系统科学的主要研究方向。共有16个硕士点和13个博士点（二级学科），分布在经济学、数学、系统科学、统计学、计算机科学与技术、管理科学与工程六个一级学科中，可以在此范围内招收和培养硕士与博士研究生。在2006年全国学科评估中，我院数学学科的整体评估得分为本学科的最高分数。数学与系统科学研究院硕士招生类别为硕士研究生、硕博连读生和专业学位硕士研究生。2019年共计划招收122名。 二、中国科学院大学概率论与数理统计专业招生情况、考试科目 三、中国科学院大学概率论与数理统计专业分数线2018年硕士研究生招生复试分数线 2017年硕士研究生招生复试分数线 四、中国科学院大学概率论与数理统计专业考研参考书目 616数学分析 现行（公开发行）综合性大学（师范大学）数学系用数学分析教程。 801高等代数 [1] 北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷. [2] 复旦大学蒋尔雄等编《线性代数》，人民教育出版社，1988. [3] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社， 1997. 五、中国科学院大学概率论与数理统计专业复试原则 在中国科学院数学与系统科学研究院招生工作小组领导下，按研究所成立招收硕士研究生复试小组，设组长1人、秘书1人。 复试总成绩按百分制计算，其中专业知识成绩占60％，英语听力及口语测试成绩占20％，综合素质成绩占20%。 在面试环节，每位考生有5分钟自述，考查内容主要包括专业知识、外语（口语）水平和综合素质等。 1、专业知识面试重点考查考生对专业基础知识掌握的深度和广度，对知识灵活运用的程度以及考生的实验技能和实际动手能力等，了解考生从事科研工作的潜力和创新能力。 2、外语面试主要考查考生的听、说能力及语言运用能力。 3、思想品德的面试包括考生的政治态度、思想品德、工作学习态度、团队合作精神、科研道德、遵纪守法以及心理素质等内容。 4、体检主要了解考生的身体健康状况，也包括体能、体质和心理素质等。 5、研究生部通过“政审表”向考生所在单位的人事、政工或考生管理部门了解考生的思想品德情况和现实表现。“政审表”将根据中国科学院大学时间部署与调档函一并寄发，需由考生本人档案所在单位的人事（政工）部门加盖公章，随档案一并寄回。政审合格方可寄发录取通知书。 六、中国科学院大学概率论与数理统计专业录取原则 复试小组对本学科参加复试的考生根据初试成绩和复试成绩的综合评定，得出拟录取考生名单，经数学与系统科学研究院招生工作领导小组审核通过。 最终录取成绩：将考生初试成绩和复试成绩按一定比例加权平均后，得出录取成绩。加权平均采用下列公式： 录取成绩＝(初试成绩÷5)×40%＋复试成绩×60%。复试成绩不合格者不予录取；政审不合格、体检不合格者不予录取。 拟录取名单确定后将在网站上公示10个工作日 七、中国科学院大学概率论与数理统计考研复习建议 1、零基础复习阶段（6月前) 矩阵分析及其应用 3.1 矩阵序列 定义3.1 设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=() (k ij a )∈C m ?n ,当k →∞， )(k ij a →a ij 时，称矩阵序列{A (k)}收敛，并称矩阵A=(a ij )为矩 阵序列{A (k)}的极限，或称{A (k)}收敛于A, 记为 A A k k =∞ →)(lim 或 A (k)→ A 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列A (k) 发散的充要条件为存在ij 使 得数列) (k ij a 发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy 定义 定义3.1' 矩阵序列{A (k)}收敛的充要条件为 对任给ε>0 存在N(ε), 当 k , l ≥ N(ε) 时有 ||A (k)-A (l )|| < ε 其中||.||为任意的广义矩阵范数。 例1 ???? ? ? ??- =∑=-n k n n k k e n n 12) ()sin()1sin(11A 如果直接按定义我们因为求不出A (n )的极限从而 很难应用定义3.1证明收敛。 相反，由于∑∑∑+=+=+=-≤≤n m k n m k n m k k k k k k 112 1 2 ) 1(1 1 ) sin( < 1/m 从而只要l 充分大，则当m, n > l 时就有 ε≤∑ +=n m k k k 1 2 ) sin( 这样A (l ) 收敛。 定理3.1 A (k)→ A 的充要条件为 ||A (k) -A||→0 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对∞范数可以证明。 即 c 1 ||A (k) -A||∞ ≤ ||A (k) -A||≤ c 2 ||A (k) -A||∞ 性质0 若A (k)→ A ， 则 ||A (k)|| → ||A|| 成立。 中科院矩阵分析与应用大作业 实现LU分解QR分解Householder reduction、Givens reduction Matlab 代码： function [] =j uzhendazuoye A=input ('请输入?个矩阵A='); 2 Gram-Schmidt 分解 3 Householder reduction 4 x=input (*请输入序号1 LU分解 Givens reduction: 1); if (>:==!) 壮mmm分解mm%% disp('PA=LU1) m=size(A,1); %nt等于矩阵A的行数 n=size(A,2); %n等于矩阵A的列数 if (m==n) % 刊斯NA是不足方阵 % 如果矩阵A不是方阵那么就输出"error" U=A; %把矩阵至賦值给矩阵u L=zeros(n); %先将L设为单位阵 P=eye(n); %首先将交换矩阵P设为单位矩阵 for j =1:n-1 for i=j +1:n if (U(j, j)-=0) %判断主元元素是否不为0 L(i z j)=U(i z j) /U(j z j)； U(i f :)=U(i, :)-U(j, j)/U(j z j); % U(j, j)为主元元素 else a=j+l；% 令 a 等于j + 1 while ( (U (a, j ) ==0) && (a 第4章 矩阵分解与表示 (I)高斯消去法 假设矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,n-1), 则我们可以进行以下的顺序消元过程 1．消元过程 n k k i b m b b n k k j i a m a a k k ik k i k i k kj ik k ij k ij ,,2,1,,,2,1,,) () () 1()()()1( ++=-=++=-=++ 等价于用初等矩阵T k k k e l I L -=分别 左乘)(k A 和)(k b ，即 )()1(k k k A L A =+ (1) 其中，T k n k k k k k m m m l ),,,,0,,0(,,2,1 ++=, n k i a a m k kk k ik ik ,,1,/)()( +== 我们称ik m 为消元因子，)(k kk a 为主元素； 消元过程的一个重要性质是：消元过程不改 变矩阵的顺序主子矩阵的行列式(顺序主子式)的值。 例 ???? ??????---=012131121A ,顺序主子式为，1，5，-10 ???? ??????--?????→?++250050121)1*(2)3(),1()2(,顺序主子式为，1，5，-10 ???? ??????--??→?-200050121)2()3(，顺序主子式为，1，5，-10 引理：约化的主元素)(i ii a ≠0的充要条件是 矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,k); 推论：若矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,k)，则 1)1(11D a =，k i D D a i i i ii ,,2,1,/1)( ==-； 由此有若A 对称正定或严格对角占优，而 它们的顺序主子矩阵也是对称正定或严格 对角占优，从而顺序主子式不为0，顺序高斯 消去过程可进行； 2.回代过程： ()() ()()()1/()/, 1,2,,1n n n n nn n k k k k k kj kk j k x b a x b a a k n n =+?=??=-???=--?∑ 二、经验类 [quote]1：考中科院科大完全攻略！ 普物类 力学科大出版社杨维宏很好的教材 电磁学高教社赵凯划经典教材（科大出版社的也不错） 热学高教社褚圣麟经典教材（科大出版社的也不错）已经出版了对照的习题解答 上述3门是普物a b的考试范围，弄清楚课后习题足够了！ 电动力学郭硕鸿高教社已经出版了对照的习题解答 理论力学高教社已经出版了对照的习题解答 光学赵凯华北大出版社 量子类 量子力学卷１曾谨言科学出版社，最好同时购买习题集的上下册非常好搞清楚就足够了！ 周世勋高教社《量子力学》入门型已经出版了对照的习题解答！ 考科大、中科院的用这些足够了。还有哪些？大家提出我补充。现在资料更新很快，很多抖出了专门的习题集建议大家看最新的，00年以前的老掉牙的东西没什么用处了。 引用 2、各位朋友大家好:也谈中国科大物理辅导班笔记，物理教材！ 我是科大研究生想告诉大家，不要太指望辅导班笔记。 看到不少人受到误导心痛不已，其实复习就是很简单的事情，很多教材的选择也就是基础常见的就足够了， 高教版的基本都是非常经典的还要习题集的选择电磁学力学等太多了，不过建议大家看一些比较新的资料。 老掉牙的就算了n年了，编这些书的老师估计早就退休了！ 下面几个常见问题: 中国科大物理辅导班笔记，物理教材！（我觉得这个帖子很好） 1 辅导班何时开办？ 每年的11月中旬，到12月20左右出来！ 1 考科大用什么教材？ 其实这个问题很简单了，当然最好是科大教材了，如果是科大习题集最好了，现在科大教材变化很快毫无疑问最好的教材就是最新的。多少年来变化很大的，但是科大教材不是好教材，力学其实复旦的比较好，科大yangweihong的觉得很一般，不过习题不错。电磁学毫无疑问是高教社的zhaokaihua的好啊，科大张玉民的也是很一般的教材。原子物理也是推荐高教社chushe nglin的很经典的教材。但是教材归教材，习题集最好还是选择科大这个道理很简单了 1 为什么考科大物理？ 2科大物理国内一流国际闻名科大全公费住宿免费补助待遇每月500以上设备先进值得你去努力 2 外校能否报名？ 不能，就是科大校内的学生也要凭借学生证，不是科大物理系的就很难接受。 3 辅导班笔记含金量多高？ 辅导班笔记其实就是串讲班不叫辅导班，所以就是科大物理各门的大复习。知识点几乎面面据到！ 4 市场上的辅导班笔记可信么？ 这个我觉得还是大家自己判断为好。你相信外部人有么？自己决定！ 5 给你辅导班笔记怎么判断真假？ 首先要考虑对方可能会有么？如果可能有，对比一下是不是往年的笔记可信度多大？科大官方部不提供这个咨询服务。 6 如果没有辅导班笔记怎么复习？ 扎扎实实的复习力学电磁学原子物理量子力学建议使用科大版本教材，道理很简单了。其实很多其他教材也不错，科大的很多教材很差不想想你想像的那么好！ 引用 3、关于中科大中科院量子力学和普通物理考研试题的若干说明 热烈欢迎2008年考中科大中科院的同学们！！！ 2008年考研的要提前准备才充分！！！ 中国科学院的一些招生单位（包括物理所和高能所在内），在06年研究生入学考试抛弃了以前科大的命题，改由中科院研究生院命题。实际上就是由以前中科大的老师出题，变为中科院的研究机构的那些导师出题。（据了解，一些导师接到出题任务都很烦，因为科研压力大啊，出题就让自己带的研究生随便在习题集上 矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列 定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A?)=(#))￡Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使 得数列站发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义 定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为 对任给￡>0存在N(E),当k,l> N(E)时有 IIA(k)-A(/)ll < ￡ 其中11.11为任意的广义矩阵范数。 例 1 A(n) e~n sin(-) n y，sin(R) k=l K 7 如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从 而很难应用定义3.1证明收敛。 相反，由于t^< t^< v 1/m 从而只要/充分大，则当m, n > /时就有 n z sin(A) 这样A")收 定理3.1 A(k)->A的充要条件为 HA'10-AII T O 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。 即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL 性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则 a- A(k)+P ? B(k) -> a- A+P B, V a,PeC 性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则 A(k)由如一A B 证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的 矩阵范数。 IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII 第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有 ???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ 第 2 章范数理论及其应用 2.1向量范数及I p范数 定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于 V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件： 1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K； 3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||. 则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。 可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。注意：2）中|k|当K为实数时为绝对值， 当K 为复数域时为复数的模。 虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复（或实）列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1?设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个 基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为 x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n 其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。 由此定义C n（或R n）中的范数如下： || ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n|| 则容易验证|| ||C确实为C n中的范数. 2?反之，若|| |C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||X||= （X）=|| ||c 其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。 则容易验证（X）确实为V n的范数。 这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维 复（或实）列向量空间的范数之间的关系。这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由. 范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。 范数与函数 性质 1. 范数是凸函数， 即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y|| 其中0 第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有 i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y clc,clear,close all; A=input('请输入需要进行LU分解的方阵：'); [m n]=size(A); %判断矩阵是否为方阵 if m~=n error('矩阵非方阵，请重新输入！'); end %判断矩阵是否奇异 if det(A)==0 error('矩阵奇异，请重新输入！'); end %判断矩阵顺序主子式是否全不为0 n=size(A,1); flagMat=zeros(n,1); for i=1:n if det(A(1:i,1:i))==0 flagMat(i)=1; end end %以顺序主子式是否含0来决定采用的LU分解方式if any(flagMat)==0 disp('顺序主子式均不为0，采用A=LU'); [L U]=LUFull(A) else disp('顺序主子式存在0，采用PA=LU'); [L U P]=LUPart(A) end %对矩阵A进行LU分解(完全主元法) %L,U矩阵为输出变量；A矩阵为输入变量 U=zeros(size(A));%对U尽可能初始化 U(1,:)=A(1,:); L=eye(size(A));%对L尽可能初始化 L(2:end,1)=A(2:end,1)/A(1,1); n=size(A,1); for i=2:n%Dolittle公式 for j=i:n U(i,j)=A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j); end for k=i:n L(k,i)=(A(k,i)-L(k,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); end end %对矩阵A进行LU分解(部分主元法) %L,U,P矩阵为输出变量，A矩阵为输入变量 %对输入矩阵A重构 n=size(A,1); B=zeros(n,1); for i=1:n B(i,1)=B(i,1)+i; end A=[A B]; %目标矩阵 tempMat=zeros(size(A)); for j=1:n%第j列 [~,row]=max(abs(A(j:end,j)));%找出第j列最大元素,返回所在行A([row+j-1j],:)=A([j row+j-1],:);%交换最大元素行与第j行 tempMat(j,:)=A(j,:);%将第j行元素复制到tempMat第j行for i=j:n%第i行 if i+1<=n tempMat(i+1,j)=A(i+1,j)/A(j,j); end end %生成新的A(高斯消去) for k=j:n%第k行 if k+1<=n ratio=-A(k+1,j)/A(j,j); A(k+1,j+1:n)=ratio*A(j,j+1:n)+A(k+1,j+1:n); end end end %提取U矩阵 U=triu(tempMat(:,1:n),0);%upper triangle %提取L矩阵 L=tril(tempMat(:,1:n),0);%lower triangle for i=2:n for j=1:(i-1) L(i,j)=L(i,j)./L(j,j); end end 本人本科不是985、211名校，2014年考研，考中国科学院大学计算数学，总成绩386分。【关于数学分析】： 大一大二时，我对老师的数学分析课很感兴趣，所以自认为学得比较认真，理解得也比较深刻。这虽然是我学得最认真的一门课，但也只仅限于完成平时的作业和完成期末的复习，并没有做很多额外的努力，这样四学期下来，对数学分析整体还是有个宏观的把握，比如说起微积分学基本定理，Dini定理，欧拉积分等都会有个大致的印象。 大三时，我旁听了老师给下一级上的数学分析课和数学分析选论，虽然已经是第二次听，但由于以前学得都没有及时复习，老师讲的很多忘记了，很多知识他讲到才想起来。同时，大三这一学年我都在自己钻研一些自己比较感兴趣的数学分析内容，比如反常积分敛散性、级数求和等，因此顺便做了数学分析的课题。但由于大三还是有专业课（实变、抽代等）和其他课程的压力，一直没有系统地开展复习。大三结束，从7月5日起，正式进入考研复习阶段，一开始，我打算做《裴礼文》，计划每天做20页，但是做了1个月不到，发现效率很低，因为对于我来说里面大部分题目都不会，每道题都要花时间。到了后来，每天看10页都已经很不错了，因为之前几天看懂的题目又忘了，又需要不断复习。这时我感到了压力很大，觉得应该以应试为主，《裴礼文》上的题目偏难了，有些大大超过考研难度。 于是，从8月开始，我开始做《题解精粹（钱吉林）》，这本书里面有1000多道各地的考研题，而且对于我来说，有简单题，有少量难题，总的来说比较适合我。所以我每天做40道，这样做了一整个8月，刚好差不多做完。这时，我深深感到之前数学分析课堂上学的真的很不够。从9月份开始，我开始做教材的课后习题，顺便复习一下教材里面的定理。这时做课后题还是需要借助答案，然后发现原来教材后面的题目许多都是考研题，怪不得以前都不会做。这一轮复习到了10月中旬。10月中旬我又把《题解精粹（钱吉林）》在第一遍看时没看透彻或是有跳过的地方补上。 11月，我专门去帝都上了新祥旭的专业课冲刺，主要是老师带着讲解中科院的历年数分真题和成套成套地做与讲模拟题，基本上用一个下午的时间大致做一年的数分真题或模拟卷，再讲解答案解析。到11月中下旬，就把中科院数分的历年真题都研究透彻了（包括2013年的，虽然这年数分题出的相当难）。因为在12月，英语政治复习的压力也很大，就没有时间和精力再待了，总结一点就是感觉收获颇大。这样，数学分析考了128，虽然不高，但也还过得去。 【关于高等代数】： 我在大二学高等代数的时候，因为没有数分的那种喜欢，所以一直使不上劲，上册的内容勉强学懂了，下册的内容在学的时候，到线性变换的时候完全就不懂（一点不谦虚）。虽然期末考得还好，但含水量极大。后来整个大三几乎就没碰过高代。到大三结束7月5号开始做《高等代数考研教案》，每天做10页，觉得这本挺适合我，内容也很全。因为后来到了正定二次型和线性变换那边，本来基础就不好，边看边做，边跳边做，到8月底勉强把它做完，这时终于对整个高代内容有了大概的把握，因为把“矩阵”那章也做了，这章一般上课是不讲的，但考研还挺重要的。 到9月份，开始看课本（真的是看课本，很多以前上课的时候都没看过，例如线性变换、矩阵中的内容）。然后把课后习题做一遍，但补充题基本还是要借助答案。这样做到了10月中旬（国庆放了个假），这时开始又把《考研教案》里曾错过，曾不理解，或曾跳过的内容补上。到了10月，我开始看中科院的考研高代真题，基本上用一个下午的时间大致做一年的高代真题，再看答案解析。到10月中下旬，差不多把高代的真题都研究透彻了（例如2013年的高代还是挺难的）。这样，高等代数考了135，应该算不错。 【关于英语】： 我高中时英语还是挺好的，不过经过大学初的几年，就荒废了，大二上靠着高中时残存 第2章范数理论及其应用 2.1向量范数及l p范数 定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于 V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足 以下三个条件： 1)非负性：||x||≥0,且||x||=0?x=0; 2)齐次性：||k?x||=|k|?||x||，k∈K； 3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||. 则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。 可以看出范数||?||为将V映射为非负数的函数。 注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值， 当K为复数域时为复数的模。 虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的， 但是由于前面的讨论，我们知道任何n维线性空间 在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。下面讨论如下： 1.设||?||为线性空间V n的范数，任取它的一个 基x1,x2,…,x n,则对于任意向量x,它可以表示为 x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n 其中，(ξ1,ξ2,…,ξn)T为x的坐标。 由此定义C n(或R n)中的范数如下： ||ξ||C =?(ξ)=||ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n|| 则容易验证||ξ||C确实为C n中的范数. 2.反之, 若||ξ||C为C n中的范数，定义V n的范数如下： ||x||=φ(x)=||ξ||C 其中x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n。 则容易验证φ(x)确实为V n的范数。 这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维 复(或实)列向量空间的范数之间的关系。这也是为 我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由. 范数首先是一个函数，它将线性空间的任意 向量映射为非负实数。 范数与函数 性质1. 范数是凸函数， 即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||中科院矩阵分析与应用大作业
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