2016届安徽省六安市第一中学高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题

安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期第三次模拟考试试卷文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x n A =<<∈==∈，则A B =I （ ）A ．{}1,2,3B ．{}|13x x <<C ．{}2,3D ．{|1x x << 【答案】C 【解析】试题分析：{},98765432，，，，，，，=A {}3,22,7,6,52,3,2，=B ,所以{}32，=B A I ,故选C.考点：集合的运算2.若()212i i a bi ++=+（,,a b R i ∈为虚数单位），则直线1by x a=+的斜率为（ ）A ．-1B ．1CD 【答案】B考点：1.复数；2.直线的斜率.3.已知正项等比数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若32,262==a a ，则100S =（ ） A ．9921- B ．10021+ C ．10121- D ．10021-【答案】D 【解析】试题分析：根据条件16426==q a a ，解得2=q ，11=a ，()12111001001100-=--=qq a S ，故选D.考点：等比数列4.若命题“0x R ∃∈，使不等式220010x mx m ++-≤成立”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2323,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．2323,,⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U D ．2323,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：原命题的否命题“R x ∈∀,使不等式0122>-++m mx x ”为真命题，即()01422<--=∆m m ，解得332-<m 或332>m ，故选A. 考点：特称命题的否定5.已知双曲线的顶点为椭圆22154x y +=的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．22 B ．23 C ．32D ．2 【答案】B考点：双曲线和椭圆的几何性质6.如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AO 的中点为E ，若DE AB ADλμ=+u u u v u u u v u u u v（,λμ为实数），则22λμ+=（ ）A ．1B ．14 C ．58 D ．516【答案】C 【解析】 试题分析：()43414141-=-+=-=-=,43,41-==μλ,所以8522=+μλ，故选C. 考点：平面向量基本定理 7.已知函数()sin 42f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x =，则为了得到函数()sin 4g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象可将函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移1个长度单位 B ．向右平移1个长度单位 C ．向左平移4π个长度单位 D ．向右平移4π个长度单位 【答案】A考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的图像变换. 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B考点：循环结构9.如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点,,P M N 分别在线段11,,AB A D BC 上运动，当三棱锥1B PMN -的俯视图如图2时，三棱锥1B PMN -的左视图面积为（ ）A ．22a B ．2a C ．212a D ．214a【答案】C 【解析】试题分析：根据俯视图可得点P 是AB 的中点，点N 与1C 重合，点M 在D A 1的中点，那么这四点所构成的几何体的左视图如图阴影表示，为正方形面积的一半，所以左视图的面积221a S =，故选C.考点：三视图10.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()⎩⎨⎧+=x g x x f 1log 300<≥x x ，则()8g f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2 【答案】A考点：1.奇函数；2.分段函数求值.【一题多解】本题主要考察了奇函数的性质，属于基础题型，除了象本题根据奇函数的性质，求函数()x g ，也可以根据奇函数的性质不求函数，而直接求值，()()288-=-=-f f ，那么()[]()()()12228-=-=-=-=-f f g f g ，这样直接根据奇函数的性质求值，就比较快速，准确.11.已知lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，且4a b c ++=，则b 的取值范围是（ ）A ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．()()0,11,2U D ．()40,11,3⎛⎤⎥⎝⎦U【答案】A 【解析】试题分析：b c a lg 2lg lg =+，即ac b =2，b b ac c b a 32=+≥++，所以430≤<b ，解得340≤<b ，故选A. 考点：1.等差数列的性质；2.基本不等式.【方法点睛】本题主要考察了基本不等式，属于基础题型，根据条件求b 的取值范围，所以涉及消掉另外两个量，所以根据条件b ac c a 22=≥+，这样就消掉另外两个量了，常用的基本不等式和重要不等式包括ab b a 222≥+，ab b a 2≥+，22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab .12.已知实数,,a b m 满足关系：22102220m ab m m a b ab m ⎧-+-=⎨++-+-=⎩，记满足上述关系的m 的集合为M ，则函数()()1x e f x x M x-=∈的最小值为（ ）A ．()221e- B ．()221e + C ．21112e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．21112e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D考点：1.导数的应用；2.基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考察了导数与基本不等式的综合应用，属于中档题型，第一个要解决的是函数的定义域，所以根据基本不等式，()ab b a 42≥+得到函数的定义域，根据导数求函数的最值，涉及了二次求导的问题，一次求导后，不易得到函数的单调性，所以需要二次求导，得到一次导的最小值，再判断函数的单调性,最后求最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，若不等式()0f x x '+>的解集为()1,1-，则cb a+的值为___________． 【答案】27-考点：一元二次方程与韦达定理14.若实数,x y满足310203640x yx yx y--≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2x y+的取值范围是__________．【答案】134,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：如图，画出可行域，设yxz+=2写成zxy+-=2表示斜率为-2的一组平行线，当直线过⎪⎭⎫⎝⎛-53,,152D时，目标函数取得最小值31-，当直线过点⎪⎭⎫⎝⎛92,916B时目标函数取得最大值934，所以yx+2的取值范围是134,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故填：134,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：线性规划15.如图所示，椭圆22194x y+=的左，右顶点分别为,A A'，线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连接,AC DA'相交于点P，则点P的轨迹方程为____________．【答案】22194x y -=故填：22194x y -=.考点：1.轨迹方程；2.椭圆方程.【方法点睛】本题考查了交轨法求轨迹方程，属于中档题型，首先根据C 和D 两点的坐标，表示直线AC 和D A ',然后两个方程消参后就是交点P 的轨迹方程，消参多选择的方法多采用代入消参，或四则消参，比如两个式子相加，相减，或相除，相乘，再根据点在抛物线上，得到轨迹方程. 16.数列{}n a满足111n a a +==，数列{}2n a 的前n 项和记为n S ，若有2120n n t S S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为_________． 【答案】11考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数性.【易错点睛】本题考查了由数列的递推公式求数列的通项公式，属于中档题型，易错点在141......321121......122221212++++++=+++=-++++n n n a a a S S n n n n n ，如何根据这个式子计算数列{}n n S S -+12的单调性，()()()0141541341212322221123212132<+-+++=-+=---=---+++++++++n n n a a a S S S S S S S S n n n n n n n n n n n ，判断函数的单调性，这样问题就迎刃而解了.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin cos sin sin cos cos B A B C B C =-，（1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC ∆的面积记为S ，当S 取最大值时，求cos 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】(1) 6B π=;(2)21-.（2）由（1）及余弦定理，可知2222cos b a c ac B =+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分即222222cos6b ac ac a c π=+-=+，所以2222b a c ac =+≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分从而有2ac ≤=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 因此(1111sin sin 222644S ac B ac ac π===≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当且仅当a c =时，取等号，此时S 取得最大值，即512A C π==，因此521cos cos cos 412432A ππππ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.基本不等式.【方法点睛】本题主要考察了解三角形以及三角函数的问题，属于基础题型，重点说第二问，根据条件知道一组角和边，就是B 和b ，涉及三角形面积的问题时，一定选择余弦定理，B ac c a b cos 2222-+=,再根据基本不等式ac c a 222≥+，这样就可以解出ac 的最大值，以及最值取得的条件，问题就迎刃而解了.18.如图所示的多面体EF ABCD -中，AF ⊥底面,//ABCD AF CE ，四边形ABCD 为正方形，22AF AB CE ==．（1）求证：EF ⊥平面BED ；（2）当三棱锥E BDF -的体积为4时，求多面体EF ABCD -的表面积． 【答案】(1)详见解析；（2）1646+.试题解析：（1）连接,AC BD 相交于点O ．（2）由题可知，E BFD F BED V V --=，设AB a =，则BE BD ED ===，所以)222BED S BD ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由（1）的证明，可知FE 即为顶点F 到底面BED 的距离，所以23111332E BFDF BED BED V V S FE a --∆==⨯==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令3142a =，得2a =，所以几何体的表面积为 (221112222416222S a a a a a a =+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+=+所以多面体的表面积为16+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.线面垂直的判定定理；2.几何体的体积和表面积.19.某人事部门为使招聘的面试工作做得更公平，公正，从相关行业内抽调男，女各15名专家进行面试考官培训，培训结束后进行了一次模拟演练，所有培训的专家对面试过程进行评分，共有10项指标，每项指标占有一定的分值（满分100分），每位专家给出的评分的茎叶图如下所示:（1）分别求出男，女专家组评分的中位数；（2）假设每位专家的评分与相应组评分的中位数之差在[]5,5-之内称为最优区域，否则为待查区域，根据茎叶图填写下面的22⨯列联表，并判断评分的合理性与性别是否有关？最优区域 待查区域 总数男 女 总数30（3）若从待查区域内的评分进行原因复查，合议.①试从概率的角度说明任意抽取一份分数是男专家的，还是女专家的机率更大一些？通过数据说明；②现从中抽出两个分数，求至少有一名男专家的分数需要复查的概率.()2P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1) 男专家评分的中位数为81分，女专家评分的中位数为81分;(2)详见解析；（3）①任意抽取一份分数是男专家的机率更大一些；②76=P . 【解析】试题分析：(1)将15个数据按从小到大的顺序排列，正中间的数就是中位数；（2）由条件每位专家的评分与相应组评分的中位数之差在[]5,5-之内称为最优区域，得到最优区域[]7686，，分别得到男和女中最优区域的人数与待查区域的人数，完成22⨯列联表，并计算2K与072.2比较大小；（3）①根据22⨯列联表计算抽取一人的概率，比较大小；②共7人，男专家给出的分数有4个，分别记为1234,,,a a a a ，女专家给出的分数有3个，分别记为123,,b b b ，采用列举的方法，计算其概率.（3）①从22⨯列联表可知，待查区域内共有7个分数，而其中男专家分数有4个，女专家分数有3个，所以在待查区域内任意抽取一个分数为男专家分数的概率为47，为女专家分数的概率为37．因为4377>．因此任意抽取一份分数是男专家的机率更大一些．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分②由22⨯列联表可知，待查分数共有7个，其中男专家给出的分数有4个，分别记为1234,,,a a a a ，女专家给出的分数有3个，分别记为123,,b b b ，则从中任意抽出两个分数的所有情况有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111213212223313233414243121314232434121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a b b b b b b共21种 情况，其中至少有一名男专家的分数为18种情况，故所求概率186217P ==．．．．．．．．12分考点：1.古典概型；2.独立性检验；3.样本数字特征.20.已知抛物线24y x =与圆225x y +=分别相交于,A B 两点（O 为坐标原点）．（1）设分别过,A B 两点的圆的切线相交于点P ，求四边形OAPB 的面积； （2）当点Q 在x 轴上运动时，求满足AQB ∠为钝角时，点Q 横坐标的取值范围． 【答案】(1)10=OAPB S ;(2) ()()1,11,3-U .（2）设(),0Q x ，所以()()1,2,1,2QA x QB x =-=--u u u v u u u v， 所以()()()32412,12,122--=--=---=⋅x x x x x QB QA ，因为AQB ∠为钝角，所以0<⋅QB QA ，且,,A B Q 三点不共线，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令2230x x --<，解得13x -<<，且1x ≠．所在点Q 的横坐标的取值范围为()()1,11,3-U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.抛物线与圆的几何性质；2.向量数量积的坐标表示. 21.已知函数()()()2,ln f x kx k R g x x =∈=．（1）设()()()x f x g x ϕ=-，试讨论函数()x ϕ的单调区间；（2）若不等式()()f x g x ≥在区间()0,+∞内恒成立，求出k 的取值范围，并证明不等式()*4444ln 2ln 3ln 4ln 12,2342n n n N n e++++<≥∈L ． 【答案】详见解析当x ⎛∈ ⎝时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在区间⎛ ⎝内单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0x ϕ'>， 则()x ϕ在区间⎫+∞⎪⎭内单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而2421ln exx x <()2≥x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 从而得到()2121ln 24≥⨯<n n e nn ， 对n 依次取值2，3，…，n ，可得24212122ln ⨯<e ，24312133ln ⨯<e ，22412144ln ⨯<e ……()2121ln 24≥⨯<n n e n n对上述不等式两边依次相加得到：()44442222ln 2ln 3ln 4ln 1111122342234n n n e n ⎛⎫++++<++++≥ ⎪⎝⎭L L ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1.导数与函数的单调性；2.函数恒成立问题；3.导数与不等式的证明.【方法点睛】本题考查了导数的综合应用问题，属于高档题型，对于本题第二问，是本题的一个难点，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是4ln xx ，由条件可得x kx ln 2≥，当12k e ≥时成立，所以可转化为e xx 21ln 2≤根据通项进行整理为24121ln x e x x ⨯<，这样采用累加，放缩法证明不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.如图所示，以直角三角形ABC 的斜边AC 为直径作外接圆O ，D 为圆O 上任一点，连接,BD AD ，过点A 作BD 边上的高AE ，过点A 作圆O 的切线与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）若2,3DE DF BE DE ===，求AC 的长． 【答案】(1)详见解析；（2）54=AC . 【解析】考点：1.三角形相似；2.切割线定理.23.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）分别写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与,x y 轴的两个交点分别为,A B ，点P 在曲线C 上运动，当045PAB ∠=时，求PA 的最大值与最小值．【答案】(1) 直线l 的普通方程为3y x =-，曲线C 的直角坐标方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2) PA 的最大值为3，最小值为2.考点：1.直线的参数方程；2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线与圆的位置关系.24.已知函数()2f x x m x =+-+．（1）如果函数()f x 的最大值为1，求实数m 的值；（2）若()0f x x +≤的解集为A ，且[]1,1A -⊆，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 1m =或3m =；（2）[]1,1-.【解析】试题分析：（1）根据绝对值的三角形不等式222-=--+≤+-+m x m x x m x ，可得绝对值差的最大值，令最大值等于2，解出m ；（2）根据条件[]1,1A -⊆，将问题转化为当[]1,1-∈x 时，不等式恒成立，变形为x x m x +-≤+2，[]1,1-∈x ，根据定义域去掉绝对值，即2x m +≤，当[]1,1-∈x 时不等式恒成立问题，采用参变分离的方法求m 的取值范围.考点：1.含绝对值的三角形不等式；2.不等式恒成立问题.。

安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期试题（三）理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2|1,|0A x x B x x x =<=-≤，则A B =（ ）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|01x x ≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x ≤<【答案】D考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i +=-，则复数z 的模z =（ ）A ．-1B ．1C 2D ．2【答案】B【解析】试题分析：因为()11z i i +=-，所以()21112i i z i i --===-+,所以有1z =,故选B. 考点：1、复数的模；2、复数的运算.3.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【答案】D【解析】试题分析：总体由男生和女生组成，比例为400:6002:3=,所抽取的比例也是2:3,故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法, 故选D.考点：样本估计总体及分层抽样法.4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）A ．2y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．12y x =± 【答案】C考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.5.若()1,2,a b a b a ==-⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°【答案】B【解析】试题分析：设两个向量的夹角为θ,()(),0a b a a b a -⊥∴-=,即20a a b -=,即2cos 0a a b θ-=,[]10,cos 0,,24πθθθπθ∴=∴=∈∴=, 故选B. 考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式.6.已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项．A ．5B ．4C ．4或5D ．5或6【答案】A【解析】 试题分析：1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，369n ∴=+=,第1r +项系数为()191,4rr r T C r +=-=时1r T +最大,故展开式中系数最大的项为第5项. 故选A.考点：1、二项展开式定理；2、二项展开式的通项与系数.7.函数()()()22,20,02x f x x x x -≤<=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．5π- B ．1π+ C ．3π-D ．1π-【答案】A考点：1、定积分的几何意义；2、定积分求曲边形的面积.8.体积为43π的球O 放置在棱长为4正方体1111ABCD A B C D -上，且与上表面1111A B C D 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为（ ）A ．103B ．3310C ．2D ．236【答案】B【解析】 试题分析：球O 的体积为43π, 球O 的半径为1,四棱锥O ABCD -的外接球的半径为R ,则()(22241R R =+-+,解得3310R =, 故选B. 考点：1、球的体积公式；2、几何体外接球的性质.9.函数()()3sin ln 1f x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性和最值.10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+B ．8+C ．2+D ．1224++ 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A BCD -,作出直观图如图所示，其中,,A C D 为正方体的顶点，B 为正方体的棱的中点.11244,244,22ABC BCD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 14,42ACD AC AC CD S ∆=⊥∴=⨯⨯=由勾股定理得AB BD ===，AD =2221cos ,sin 25AB BD AD ABD ABD AB BD +-∴∠==∴∠=,125ABD S ∆∴=⨯=∴几何体的表面积为8+.故答案为A.考点：1、三视图的性质；2、几何体的表面积.【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及空间几何体的表面积，属于中档题. 求以三视图为背景的几何体的表面积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体的表面积的问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题， 即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.11.已知()11,A x y 是抛物线28y x =的一个动点，()22,B x y 是圆()22216x y -+=上的一个动点，定点()2,0N ，若//AB x 轴，且12x x <，则NAB ∆的周长l 的取值范围是（ ）A ．()6,10B ．()10,12C ．()8,12D ．()8,10【答案】C考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单性质及定义.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及抛物线的定义，属于难题.与抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题求三角形周长时就是将,AF BF 转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.12.设等差数列{}n a 满足：()22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差 ()1,0d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A ．74,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前n 项和的最值.【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前n 项和的最值，属于难题.求等差数列前n 项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A=-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.本题根据方法①确定1a 的取值范围的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为____________．（参考数据：001.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈≈≈）【答案】24考点：程序框图及循环结构.14.函数()32sin cos ,0,34f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为__________． 【答案】0【解析】试题分析：()21111cos 22sin cos sin 2sin 22222x f x x x x x x x ⎛⎫-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭370,,2,4336x x ππππ⎛⎤⎡⎤∈∴-∈- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦,sin 23x π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的最小值为()f x 的最小值为0=,故答案为0.考点：1、两角差的正弦、余弦公式；2、二倍角的正弦余弦公式.15.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n n n B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭()*,2n N n ∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则 22014S T +≥的最小正整数n 为_____________．【答案】45考点：1、等比数列与等差数列的前n 项和公式；2、集合的子集与子集个数问题.【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前n 项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列{}n a 的前n 项和S ，然后根据子集个数和化归思想将“n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ”转化为“12n -个212n n -，22n -个1232n n --，....1个34（34为最大元素）的和等于T ”， 最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.16.设函数()2xg x e x a =+-（,a R e ∈为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足： ()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在()()01|12x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，使 ()00g g x x =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围为___________．【答案】12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦考点：1、抽象函数的奇偶性、单调性；2、构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究抽象函数的单调性、构造函数解不等式及方程的根的问题，属于难题.解答本题的关键是求出0x 的范围，也就是化简集合()()1|12x f x f x x ⎧⎫+≥-+⎨⎬⎩⎭，即是求出不等式的()()112f x f x x +≥-+解集，解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（1）若030DAC ∠=，求B ∠；（2）若2BD DC =，且AD =DC ． 【答案】(1)060B ∠=；（2）2DC =.∴sin AC B AB BC ====，在ABD ∆中，2222cos AD AB BD AB BD B =+-，即(222264222x x x x =+-⨯=，得2x =．故2DC =． 考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用. 18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点．（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2,4AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值．【答案】(1)证明见解析；（242.同理可求平面ADC 的一个法向量()m =． 设二面角B AC D --的大小为θ，则7cos 7m n m nθ==，∵0θπ<<，∴sin 7θ==，∴二面角B AC D --的正弦值为7．考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.19.（本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可能选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为321 ,, 432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)316；（2）分布列见解析，9516.（2）X所有可能的取值为0,5,15,35()()()()()3731301,5,4164283121131211115,35423284232216P X P A P X P X P X ⎛⎫==-+===⨯= ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：119505153516881616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望. 20.（本小题满分12分）已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率2e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点10,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,B A 两点，试问：在y 轴上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2212x y +=；（2）存在一个定点()0,1T 满足条件.解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，由2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是()0,1事实上点()0,1T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点()0,1T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆 方程并整理得()2218912160k x x +--=，设点A B 、的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()1122,1,,1TA x y TB x y =-=-，所以有()()()222212121212122416161616321611039189k k k TA TB x x y y y y k x x k x x k ---++=+-++=+-+==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点()0,1T , 综上可知，在坐标平面上存在一个定点()0,1T 满足条件 .考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 21.（本小题满分12分）已知函数()2xf x e ax =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,1上的最大值；（3）证明：当0x >时，()1ln 10xe e x x x +---≥．【答案】(1) 1,2a b e ==-；（2）1e -；（3）证明见解析.（2）法1：由（1）知，()2xf x e x =-，∴()[]21210,0,1xf x e x x x x x '=-≥+-=-≥∈，故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，()()max 11f x f e ==-．故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增．又()()010g g ==，∴()()2210x g x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号．故()21,0x e e x x x x+--≥>． 由（2）知，1xe x ≥+，故()ln 1x x ≥+，∴1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．所以，()21ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即()21ln 1x e e x x x+--≥+．所以，()21ln x e e x x x x +--≥+， 即()1ln 10xe e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立.考点：1、导数的几何意义及不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性及最值.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的证明和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，090B ∠=，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于,E AE 交圆O 于点F ．（1）证明：E 是BC 的中点； （2）证明：AD AC AE AF =．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =， 即E 是BC 的中点．（2）证明：连接BF ，显然BF 是Rt ABE ∆斜边上的高， 可得ABEAFB ∆∆，于是有AB AE AF AB=，即2AB AE AF =， 同理可得2AB AD AC =，所以AD AC AE AF =．考点：1、弦切角定理及等腰三角形性质；2、圆的性质及相似三角形. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设()1,2P ， 直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点． （1）当0α=时，求AB 的长度； （2）求22PA PB +的取值范围．【答案】(1)2；（2）(]6,14.()()()22222121224cos 2sin 820sin 6PA PB t t t t αααϕ+=+-=+-=+-， (]226,14PA PB +∈．考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x x =+-．（1）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （2）若对任意[]0,1α∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）)+∞.所以()222112g a =+++==12a =时等号成立．所以()max g a =⎡⎤⎣⎦，所以b 的取值范围为 )+∞． 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.。

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一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}2|1,|0A x x B x xx =<=-≤，则A B =（）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|01x x ≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x ≤<2。

设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i +=-，则复数z 的模z =（ ） A ．—1 B ．1 C 2 D ．23。

某学校有男学生400名,女学生600名。

为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法4。

已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>6程为（ )A ．2y x =±B ．2y x =±C ．22y x =±D ．12y x =±5。

若()1,2,a b a b a ==-⊥，则a 与b 的夹角为(）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6.已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第( ）项． A ．5 B ．4 C ．4或5 D ．5或6 7。

函数()()()2242,20,02x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ）A ．5π-B ．1π+C ．3π-D ．1π-8。

体积为43π的球O 放置在棱长为4正方体1111ABCD A BC D -上,且与上表面1111A B C D 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为（ ）A ．103B ．3310C ．2D ．2369.函数()()3sin ln 1f x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10.如图,网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A ．88246+B ．88226+C ．2226+D ．1262+11.已知()11,A x y 是抛物线28yx =的一个动点，()22,B x y 是圆()22216x y -+=上的一个动点，定点()2,0N ，若//AB x 轴,且12x x <，则NAB ∆的周长l 的取值范围是（ ）A ．()6,10B ．()10,12C ．()8,12D ．()8,1012。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2|1,|0A x x B x x x =<=-≤，则AB =（ ）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|01x x ≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x ≤< 【答案】D考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i +=-，则复数z 的模z =（ ）A ．-1B ．1CD ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为()11z i i +=-，所以()21112i i z i i --===-+,所以有1z =,故选B.考点：1、复数的模；2、复数的运算.3.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 【答案】D试题分析：总体由男生和女生组成，比例为400:6002:3=,所抽取的比例也是2:3,故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法, 故选D. 考点：样本估计总体及分层抽样法.4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =D ．12y x =±【答案】C考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程. 5.若()1,2,a b a b a ==-⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【答案】B 【解析】试题分析：设两个向量的夹角为θ,()(),0a b a a b a -⊥∴-=,即20a a b -=,即2cos 0a a b θ-=,[]10,cos 0,,4πθθθπθ∴=∴=∈∴=, 故选B. 考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式.6.已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项．A ．5B ．4C ．4或5【答案】A 【解析】 试题分析：1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，369n ∴=+=,第1r +项系数为()191,4rr r T C r +=-=时1r T +最大,故展开式中系数最大的项为第5项. 故选A.考点：1、二项展开式定理；2、二项展开式的通项与系数.7.函数()()()22,20,02x f x x x x -≤<=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．5π- B ．1π+ C ．3π- D ．1π- 【答案】A考点：1、定积分的几何意义；2、定积分求曲边形的面积. 8.体积为43π的球O 放置在棱长为4正方体1111ABCD A BC D -上，且与上表面1111A B C D 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为（ ） A ．103 B ．3310C ．2D ．236【答案】B 【解析】试题分析：球O 的体积为43π, 球O 的半径为1,四棱锥O ABCD -的外接球的半径为R ,则()(22241R R =+-+,解得3310R =, 故选B.考点：1、球的体积公式；2、几何体外接球的性质.9.函数()()3sin ln 1f x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性和最值.10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+．8+．2+D ．12+ 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A BCD -,作出直观图如图所示，其中,,A C D 为正方体的顶点，B 为正方体的棱的中点.11244,244,22ABC BCD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 14,42ACD AC AC CD S ∆=⊥∴=⨯⨯=由勾股定理得AB BD ==AD =2221cos ,sin 25AB BD AD ABD ABD AB BD +-∴∠==∴∠=12ABD S ∆∴=⨯=∴几何体的表面积为8+故答案为A.考点：1、三视图的性质；2、几何体的表面积.【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及空间几何体的表面积，属于中档题. 求以三视图为背景的几何体的表面积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体的表面积的问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题， 即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.11.已知()11,A x y 是抛物线28y x =的一个动点，()22,B x y 是圆()22216x y -+=上的一个动点，定点()2,0N ，若//AB x 轴，且12x x <，则NAB ∆的周长l 的取值范围是（ ） A ．()6,10 B ．()10,12 C ．()8,12 D ．()8,10 【答案】C考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单性质及定义.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及抛物线的定义，属于难题.与抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题求三角形周长时就是将,AF BF 转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.12.设等差数列{}n a 满足：()22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前n 项和的最值.【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前n 项和的最值，属于难题.求等差数列前n 项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2Bn A=-时有最大值（若2Bn A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.本题根据方法①确定1a 的取值范围的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为____________．（参考数据：001.732,sin150.2588,sin7.50.1305≈≈≈）【答案】24考点：程序框图及循环结构. 14.函数()32sin cos ,0,34f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为__________． 【答案】0 【解析】试题分析：()21111cos 22sin cos sin 2sin 22222x f x x x x x x x ⎛⎫-==+= ⎪ ⎪⎝⎭sin 232x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭,370,,2,4336x x ππππ⎛⎤⎡⎤∈∴-∈- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦,sin 23x π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的最小值为()f x 的最小值为0=,故答案为0.考点：1、两角差的正弦、余弦公式；2、二倍角的正弦余弦公式. 15.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n nn B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭()*,2n N n ∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22014S T +≥的最小正整数n 为_____________．【答案】45考点：1、等比数列与等差数列的前n 项和公式；2、集合的子集与子集个数问题.【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前n 项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列{}n a 的前n 项和S ，然后根据子集个数和化归思想将“n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ”转化为“12n -个212nn -，22n -个1232n n --，....1个34（34为最大元素）的和等于T ”，最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.16.设函数()2x g x e x a =+-（,a R e ∈为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在()()01|12x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，使()00g g x x =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围为___________．【答案】12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦考点：1、抽象函数的奇偶性、单调性；2、构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究抽象函数的单调性、构造函数解不等式及方程的根的问题，属于难题.解答本题的关键是求出0x 的范围，也就是化简集合()()1|12x f x f x x ⎧⎫+≥-+⎨⎬⎩⎭，即是求出不等式的()()112f x f x x +≥-+解集，解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（1）若030DAC ∠=，求B ∠；（2）若2BD DC =，且AD =DC ．【答案】(1)060B ∠=；（2）2DC =.∴sin 33AC B AB BC ====， 在ABD ∆中，2222cos AD AB BD AB BD B =+-，即(2222642223x x x x =+-⨯⨯=，得2x =．故2DC =． 考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用. 18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点．（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2,4AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）7.同理可求平面ADC 的一个法向量()m =． 设二面角B AC D --的大小为θ，则7cos 7m n m nθ==，∵0θπ<<，∴sin 7θ==，∴二面角B AC D --．考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.19.（本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可能选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为321 ,, 432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)316；（2）分布列见解析，9516.（2）X 所有可能的取值为 0,5,15,35()()()()()3731301,5,4164283121131211115,35423284232216P X P A P X P X P X ⎛⎫==-+===⨯= ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：19505153516881616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望. 20.（本小题满分12分）已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率2e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点10,3M⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线l交椭圆C于,BA两点，试问：在y轴上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2212xy+=；（2）存在一个定点()0,1T满足条件.解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，由2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是()0,1事实上点()0,1T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点()0,1T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆 方程并整理得()2218912160k x x +--=，设点A B 、的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()1122,1,,1TA x y TB x y =-=-，所以有()()()222212121212122416161616321611039189k k k TA TB x x y y y y k x x k x x k ---++=+-++=+-+==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点()0,1T , 综上可知，在坐标平面上存在一个定点()0,1T 满足条件 .考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 21.（本小题满分12分）已知函数()2xf x e ax =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,1上的最大值；（3）证明：当0x >时，()1ln 10xe e x x x +---≥．【答案】(1) 1,2a b e ==-；（2）1e -；（3）证明见解析.（2）法1：由（1）知，()2x f x e x =-，∴()[]21210,0,1x f x e x x x x x '=-≥+-=-≥∈，故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，()()max 11f x f e ==-．故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 又()()010g g ==，∴()()2210xg x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号．故()21,0x e e x x x x+--≥>． 由（2）知，1xe x ≥+，故()ln 1x x ≥+，∴1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．所以，()21ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即()21ln 1x e e x x x+--≥+．所以，()21ln x e e x x x x +--≥+， 即()1ln 10xe e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立.考点：1、导数的几何意义及不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性及最值.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的证明和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，090B ∠=，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于,E AE 交圆O 于点F ．（1）证明：E 是BC 的中点； （2）证明：AD AC AE AF =．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =，即E 是BC 的中点．（2）证明：连接BF ，显然BF 是Rt ABE ∆斜边上的高，可得ABE AFB ∆∆，于是有AB AE AF AB=，即2AB AE AF =， 同理可得2AB AD AC =，所以AD AC AE AF =．考点：1、弦切角定理及等腰三角形性质；2、圆的性质及相似三角形.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设()1,2P ，直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点．（1）当0α=时，求AB 的长度；（2）求22PA PB +的取值范围．【答案】(1)2；（2）(]6,14.()()()22222121224cos 2sin 820sin 6PA PB t t t t αααϕ+=+-=+-=+-， (]226,14PA PB +∈．考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x x =+--．（1）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （2）若对任意[]0,1α∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）)+∞.所以()222112g a =+≤++==12a =时等号成立．所以()max g a =⎡⎤⎣⎦b 的取值范围为 )+∞． 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.。

安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期第三次模拟考试试卷理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}01≥-=x x x M ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛==0,21x y y N x，则M N ⋂= （ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}10<≤=x x M ，{}10≤<=y y N ，{}10<<=x x N M I ，故选C. 考点：集合的运算 2.已知复数21iz i-=+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()5,3--内单调递增的为（ ）A ．2223y x x =-- B ．2xy = C ．2x xe e y --= D ．13log y x =【答案】D 【解析】试题分析：A.不是偶函数；B.是偶函数，但在()3-5-，内是单调递减函数；C.奇函数，D.偶函数，并且满足在()3-5-，内单调递增，故选D. 考点：函数的性质 4.若随机变量()2~,Z Nμσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()28P x <<=（ ）A ．0.8185B ．0.6826C ．0.9544D ．0.2718 【答案】A考点：正态分布5.已知双曲线M2，则双曲线M 的标准方程可以是 （ ）A ．22144x y -=B ．22124y x -=C ．22214x y -= D ．22142y x -= 【答案】B 【解析】试题分析：焦点在x 轴时，渐近线方程0=±ay bx ，()0,c F ，焦点到渐近线的距离222==+=b b a bcd ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==22232cb a ac b ，解得4,222==b a ，即方程是14222=-x y ，若焦点在y 轴方程就是14222=-y x ，故选B. 考点：双曲线标准方程6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足数列{}2na 是等比数列，若23201410094=++a a a ，则2017S 的值是 （ ） A ．20172B ．1008C ．2015D ．2016 【答案】A考点：等差数列的性质7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5-，则判断框中可以填入的条件为（ ）A ．10?z >B ．10?z ≤C ．20?z >D ．20?z ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：321,2,1=+===z y x ，满足条件，532,3,2=+===z y x ，满足条件，853,5,3=+===z y x ，满足条件，1385,8,5=+===z y x 满足条件，21138,13,8=+===z y x ，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出5138-=-=-y x ，所以判断框内可填入的条件是20≤z ?,故选D.考点：循环结构8.设2000:,20,:p x R x x m q ∃∈-+->函数()3212413f x x x mx =-++在R 内是增函数，则p ⌝是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：0:>∆p ，04-4>m ，解得：1<m ；()m x x x f q 44:2+-='，01616≤-=∆m ，解得：1≥m ，1:≥⌝m p ，根据两个集合相等，即p ⌝是q 的充要条件，故选C. 考点：命题9.函数()y g x =的图像是由函数()sin 23cos 2f x x x =-的图像向左平移6π个单位而得到的，则函数()y g x =的图像与直线20,,3x x x π==轴围成的封闭图形的面积为 （ ） A ．0 B ．32 C ．2 D ．52【答案】D考点：1.三角函数图像变换；2.定积分.10.某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．162B ．2C ．32D ．64 【答案】B考点：1.三视图；2.斜二测画法.【方法点睛】本题主要考察了几何体的体积以及斜二测画法下的直观图，属于基础题型，根据图形可得该几何体是四棱锥，并且高等于4，所以重点转化为求底面面积，而在斜二测画法下，42=实际直观图S S ，这样根据直观图的面积，可以直接求实际图形的面积. 11.抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上的任意一点，令PAt PF=，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是 （ ） A ．1 B ．1± C ．2± D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P 在第一象限PABPBPA PFPA t ∠===sin 1,当PAB ∠最小时，t 最大，所以当直线AP 与抛物线相切时，PAB ∠最小，设直线AP ：2-=kx y 与抛物线方程联立，01682=+-kx x ，064642=-=∆k ，解得1±=k ，故选B.考点：抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点A 的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令0=∆，求斜率，或者设切点()00,y x P ，根据()0x f k PA '=，求切点，再求切线的斜率.12.已知定义域为R 的函数满足一下条件：①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=；②()()2g x g x =+；③当[]2,3x ∈时，()221218g x x x =-+-.若方程()()a log 1g x x =+在区间()0,+∞内至少有4个不等的实根，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．50,5⎛ ⎝⎭【答案】D25log -=a ，解得55=a ，若要多于4个交点时，550<<a ，故选D.考点：1.函数的性质；2.函数图像的应用.【思路点睛】本题综合的考察了函数的性质与函数图像的应用，属于中档题型，本题的出题意图比较明显，最终转化为熟悉的两个函数的交点问题的题型，条件②③比较好理解，但对于条件①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=的转化，因为()1386-22+--=-+x x x ，关于3=x 对称，所以满足()()x g x g -=+33，即转化为()x g 关于3=x 对称，这样本题的难点就突破了.谨记函数有关对称性的常用公式，若对于R x ∈∀，函数()x f y =满足：①()()x a f x a f -=+或()()x f x a f =-2，说明函数关于a x =对称，②()()x b f x a f -=+说明函数关于2ba x +=对称，③若满足()()x a f x a f --=+或()()x f x a f -=-2，都说明函数关于()0,a 对称.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等腰ABC Rt ∆的斜边2=BC ，则()AB AC BC BC BA +•+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.【答案】1考点：向量的运算14.将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a ，则二项式5313⎪⎭⎫⎝⎛-xax的展开式中含x项的系数为（用数字作答）.【答案】25-考点：1.二项式定理；2.排列组合.15.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+3213,1222xyxyxyx表示的平面区域的面积为 .【答案】π23【解析】试题分析：如图，阴影表示圆心角为π43的扇形，所以扇形面积是ππ232832=⨯⨯=S,故填：π23.考点：不等式组表示的平面区域【方法点睛】本题主要考察了不等式组表示的平面区域，属于基础题型，当0>a时，0>++cbyax表示直线的右侧区域，0<++cbyax表示直线的左侧区域，如果直线给的是斜截形式，b kx y +>表示直线的上方区域，b kx y +<表示直线的上方区域,这样就比较快速方便的找到不等式组表示的平面区域. 16.若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为n S ，不等式n n n t S n 2941+≤-+对任意的N n ∈恒成立，则实数t 的最小值为 . 【答案】161 考点：1.错位相减法求和；2.数列的函数特征.【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题，属于中档题型，对于错位相减法求和是一个易错点，方法就是多练，再有整理后转化为max226⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥n n n t ，*N n ∈，除了本题所给的方法外，也可以求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，同样需要带特殊值得到函数的最大值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +==ϖϖ且n m ϖϖ//.（1）求角A 的值.（2）若ABC ∆的面积2，试判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3π=A ;(2)等边三角形.考点：1.正余弦定理；2.判断三角形的形状.18.2016年，我国诸多省市将使用新课标全国卷作为高考用卷.（以下简称A 校）为了调查该校师生对这一举措的看法，随机抽取了30名教师，70名学生进行调查，得到以下的22⨯列联表：（1）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？（2）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X . ①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】(1) 没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关；（2）14552=P ;(3)详见解析.所以X 的分布列为（10分） ②();512534=⨯==np X E （11分）()().2524525341-⨯⨯=-=p np X D （12分）考点：1.独立性检验；2.古典概型；3.二项分布.19.三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1A O ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA 上，且3,2AD AB ==.（1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值.【答案】(1)详见解析；（2）1313-.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴Θ,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴==Θ又O O A AO O A BC =⋂⊥11,Θ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD Θ平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1，⊥∴OD 平面C C BB 11.（6分）设平面C B A 11的法向量()z y x n ,,=，由11100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r g u u u rg 得⎩⎨⎧=+=+-,03,03x y y x 令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，cos ,13OD n OD n OD n•∴==u u u r u u u u u u r u u u r易知所求的二面角为钝二面角 ，∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-（12分） 考点：1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.20.设点P 是圆224x y +=上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满足2MD =u u r u u u u r.过定点()0,2Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点()0,E t ，使EA EB =？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 13422=+y x ；（2）存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，当E 与原点重合，即0=t 时，满足EB EA =. （6分)考点：1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系. 21.已知函数()3221cos 32h x x x a =++，()ln g x a x =，其中a 为正实数. （1）设函数()()f x h x x '=-，若不等式()()g x f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：333444ln 2ln 3ln 2+23n n e++<…（其中e 为自然对数的底数）.【答案】(1) (]0,4e ;(2)详见解析. 【解析】试题分析：(1)首先求()x h '，再求()x f ，令()()()x g x f x u -=，()0>x ，根据导数求函数在定义域内的最小值，令最小值大于等于0，即求得a 的取值范围；（2）根据第一问当(]e a 4,0∈时，x a x ln 22≥，观察所证明的不等式，令e a 3=，化简为2432ln exx x ≤，令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，最后采用放缩法，利用裂项相消法求和，即证明不等式.因此()2min2ln 0u x u a ==-≥⎝⎭⎝⎭，即1ln2≤，所以4a e ≤.（5分） 故实数a 的取值范围为(]0,4e .（6分）考点：1.导数与不等式的证明；2.导数与不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考察了导数与证明不等式问题以及根据不等式恒成立，求参数的取值范围，对于第一问恒成立的问题，除了本题所选择的方法外，也可以根据0ln 22≥-x a x 恒成立，转化为参变分离的问题，但需要分()∞+，1和()1,0两种情况下的参变分离，对于本题第二问，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是43ln x x ，而第一问得到x a x ln 22>，0>a 时，整理为a xx 12ln 2<，根据通项进行整理为24316ln x a x x ⨯<，这样就可设e a 3=，采用累加，放缩法证明不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且180ADB ADC ∠+∠=o，CT 切圆O 于点C且交AB 的延长线于点T .（1）求证：AB AC =；（2）若4CT =，8AT =，135ADC ∠=o，试求圆O 的半径的长. 【答案】(1)详见解析；（2）32R =考点：1.圆内接四边形的性质；2.切割线定理.23.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程是12x ty t=-⎧⎨=+⎩（t是参数），曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为()1,2，直线l与曲线C的交点为A，B，试求AB及PA PB•的值.【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y+-=；所以曲线C的直角坐标系方程为()()22228x y-+-=;(2)30=AB;7=PBPA.（2）直线l的参数方程化为标准型为12,22xy⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩（t'为参数）把l 的参数方程代入22440x y x y +--=，得270t ''+-=设,A B 对应参数分别为12,t t ''，则12,t t ''为方程的两个根.所以12127t t t t ''''+==-，（7分）点()1,2P 显然在l 上，由直线l 中参数t '的几何意义，知12AB t t ''=-==（9分）127PA PB t t ''==.（10分）考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线参数方程t 的几何意义.【方法点睛】主要考察了参数方程与极坐标方程，属于基础题型，当直线方程的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，()00,y x P ，当其与曲线的直角坐标方程联立后得到关于t 的一元二次方程，那么21t t AB -=，21t t PB PA =，但如果所给方程不是直线的标准参数方程形式，则可采用化为标准形式，αtan 0=--x x y y ，根据αtan 分别求αsin 和αcos ，得到直线的参数方程的标准形式.24.已知函数()11f x x x =-++，记()f x 的最小值为m . （1）解不等式()6f x ≤； （2）已知正数a ，b 满足11m a b+=，且()233a b a b -≥，试求ab 的值. 【答案】（1）[]3,3-；（2）2=ab .考点：1.含绝对值不等式的解法；2.基本不等式.。

数学（文）试题第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，1每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知全集U R =，集合{}{}222,log 1A x x x B x x =>+=>，则下列关系正确的是 （ ) A ．AB R =B ．AB A =C ．()UA CB R = D ．()UC A B R =2。

已知复数(2a i z a i+=-是实数)的实部为1,则z 的虚部为（ ）A ．32B ．12C ．52D ．13. 下列命题中，真命题是（ ) A ．0xR ∃∈，使得00x e≤ B ．()1sin 2,sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．2,2xx R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件4。

执行如图的程序框图，则输出S 的值为( )A ．2016B ．2C ．12D ．1-5. 设x R ∈，对于使22xx M -+≤成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界，若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为( ） A ．5- B ．4- C ．92-D ．926。

已知等比数列{}na 满足()13541,414aa a a ==-，则2a =（ ） A ．2 B ．14 C ．12D ．1 7。

已知变量,x y 满足约束条件112x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩,则221z x y =+-的最大值（)A ．2B ．1C ．13D ．238。

设函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+≠>-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称,若函数最小正周期是π，则 （ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心是点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D ．()f x 的最大值为A9。

安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期第三次模拟考试试卷文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x n A =<<∈==∈，则A B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}|13x x <<C ．{}2,3D ．{|1x x << 【答案】C 【解析】试题分析：{},98765432，，，，，，，=A {}3,22,7,6,52,3,2，=B ,所以{}32，=B A ,故选C.考点：集合的运算2.若()212i i a bi ++=+（,,a b R i ∈为虚数单位），则直线1by x a=+的斜率为（ ）A ．-1B ．1CD ．3【答案】B考点：1.复数；2.直线的斜率.3.已知正项等比数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若32,262==a a ，则100S =（ ） A ．9921- B ．10021+ C ．10121- D ．10021-【答案】D 【解析】试题分析：根据条件16426==q a a ，解得2=q ，11=a ，()12111001001100-=--=qq a S ，故选D.考点：等比数列4.若命题“0x R ∃∈，使不等式220010x mx m ++-≤成立”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．23,,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．33⎛- ⎝⎭C ．23,,33⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ D ．33⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：原命题的否命题“R x ∈∀,使不等式0122>-++m mx x ”为真命题，即()01422<--=∆m m ，解得332-<m 或332>m ，故选A. 考点：特称命题的否定5.已知双曲线的顶点为椭圆22154x y +=的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．．．32D ．2 【答案】B考点：双曲线和椭圆的几何性质6.如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AO 的中点为E ，若DE AB AD λμ=+（,λμ为实数），则22λμ+=（ ）A ．1B ．14 C ．58 D ．516【答案】C 【解析】 试题分析：()43414141-=-+=-=-=,43,41-==μλ,所以8522=+μλ，故选C. 考点：平面向量基本定理 7.已知函数()sin 42f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x =，则为了得到函数()sin 4g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象可将函数()sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移1个长度单位 B ．向右平移1个长度单位 C ．向左平移4π个长度单位 D ．向右平移4π个长度单位 【答案】A考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的图像变换. 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B考点：循环结构9.如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点,,P M N 分别在线段11,,AB A D BC 上运动，当三棱锥1B PMN -的俯视图如图2时，三棱锥1B PMN -的左视图面积为（ ）A ．22a B ．2a C ．212a D ．214a【答案】C 【解析】试题分析：根据俯视图可得点P 是AB 的中点，点N 与1C 重合，点M 在D A 1的中点，那么这四点所构成的几何体的左视图如图阴影表示，为正方形面积的一半，所以左视图的面积221a S =，故选C.考点：三视图10.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()⎩⎨⎧+=x g x x f 1log 300<≥x x ，则()8g f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2 【答案】A考点：1.奇函数；2.分段函数求值.【一题多解】本题主要考察了奇函数的性质，属于基础题型，除了象本题根据奇函数的性质，求函数()x g ，也可以根据奇函数的性质不求函数，而直接求值，()()288-=-=-f f ，那么()[]()()()12228-=-=-=-=-f f g f g ，这样直接根据奇函数的性质求值，就比较快速，准确.11.已知lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，且4a b c ++=，则b 的取值范围是（ ）A ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．()()0,11,2 D ．()40,11,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】试题分析：b c a lg 2lg lg =+，即ac b =2，b b ac c b a 32=+≥++，所以430≤<b ，解得340≤<b ，故选A. 考点：1.等差数列的性质；2.基本不等式.【方法点睛】本题主要考察了基本不等式，属于基础题型，根据条件求b 的取值范围，所以涉及消掉另外两个量，所以根据条件b ac c a 22=≥+，这样就消掉另外两个量了，常用的基本不等式和重要不等式包括ab b a 222≥+，ab b a 2≥+，22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab .12.已知实数,,a b m 满足关系：22102220m ab m m a b ab m ⎧-+-=⎨++-+-=⎩，记满足上述关系的m 的集合为M ，则函数()()1x e f x x M x-=∈的最小值为（ ）A ．()221e- B ．()221e + C ．21112e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．21112e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D考点：1.导数的应用；2.基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考察了导数与基本不等式的综合应用，属于中档题型，第一个要解决的是函数的定义域，所以根据基本不等式，()ab b a 42≥+得到函数的定义域，根据导数求函数的最值，涉及了二次求导的问题，一次求导后，不易得到函数的单调性，所以需要二次求导，得到一次导的最小值，再判断函数的单调性,最后求最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，若不等式()0f x x '+>的解集为()1,1-，则cb a+的值为___________． 【答案】27-考点：一元二次方程与韦达定理14.若实数,x y 满足310203640x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2x y +的取值范围是__________．【答案】134,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：如图，画出可行域，设y x z +=2写成z x y +-=2表示斜率为-2的一组平行线，当直线过⎪⎭⎫⎝⎛-53,,152D 时，目标函数取得最小值31-，当直线过点⎪⎭⎫⎝⎛92,916B 时目标函数取得最大值934，所以y x +2的取值范围是134,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故填：134,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：线性规划15.如图所示，椭圆22194x y +=的左，右顶点分别为,A A '，线段CD 是垂直于椭圆长轴的弦，连接,AC DA '相交于点P ，则点P 的轨迹方程为____________．【答案】22194x y -=故填：22194x y -=.考点：1.轨迹方程；2.椭圆方程.【方法点睛】本题考查了交轨法求轨迹方程，属于中档题型，首先根据C 和D 两点的坐标，表示直线AC 和D A ',然后两个方程消参后就是交点P 的轨迹方程，消参多选择的方法多采用代入消参，或四则消参，比如两个式子相加，相减，或相除，相乘，再根据点在抛物线上，得到轨迹方程. 16.数列{}n a满足111n a a +==，数列{}2n a 的前n 项和记为n S ，若有2120n n t S S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为_________． 【答案】11考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数性.【易错点睛】本题考查了由数列的递推公式求数列的通项公式，属于中档题型，易错点在141......321121......122221212++++++=+++=-++++n n n a a a S S n n n n n ，如何根据这个式子计算数列{}n n S S -+12的单调性，()()()0141541341212322221123212132<+-+++=-+=---=---+++++++++n n n a a a S S S S S S S S n n n n n n n n n n n ，判断函数的单调性，这样问题就迎刃而解了.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin cos sin sin cos cos B A B C B C =-，（1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC ∆的面积记为S ，当S 取最大值时，求cos 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】(1) 6B π=;(2)21-.（2）由（1）及余弦定理，可知2222cos b a c ac B =+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分即222222cos6b ac ac a c π=+-=+，所以2222b a c ac =+≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分从而有2ac ≤=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 因此(1111sin sin 222644S ac B ac ac π===≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当且仅当a c =时，取等号，此时S 取得最大值，即512A C π==，因此521cos cos cos 412432A ππππ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.基本不等式.【方法点睛】本题主要考察了解三角形以及三角函数的问题，属于基础题型，重点说第二问，根据条件知道一组角和边，就是B 和b ，涉及三角形面积的问题时，一定选择余弦定理，B ac c a b cos 2222-+=,再根据基本不等式ac c a 222≥+，这样就可以解出ac 的最大值，以及最值取得的条件，问题就迎刃而解了.18.如图所示的多面体EF ABCD -中，AF ⊥底面,//ABCD AF CE ，四边形ABCD 为正方形，22AF AB CE ==．（1）求证：EF ⊥平面BED ；（2）当三棱锥E BDF -的体积为4时，求多面体EF ABCD -的表面积．【答案】(1)详见解析；（2）16+试题解析：（1）连接,AC BD 相交于点O ．（2）由题可知，E BFD F BED V V --=，设AB a =，则BE BD ED ===，所以)222BED S BD ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由（1）的证明，可知FE 即为顶点F 到底面BED 的距离，所以23111332E BFDF BED BED V V S FE a --∆==⨯==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令3142a =，得2a =，所以几何体的表面积为 (221112222416222S a a a a a a =+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+=+所以多面体的表面积为16+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.线面垂直的判定定理；2.几何体的体积和表面积.19.某人事部门为使招聘的面试工作做得更公平，公正，从相关行业内抽调男，女各15名专家进行面试考官培训，培训结束后进行了一次模拟演练，所有培训的专家对面试过程进行评分，共有10项指标，每项指标占有一定的分值（满分100分），每位专家给出的评分的茎叶图如下所示:（1）分别求出男，女专家组评分的中位数；（2）假设每位专家的评分与相应组评分的中位数之差在[]5,5-之内称为最优区域，否则为待查区域，根据茎叶图填写下面的22⨯列联表，并判断评分的合理性与性别是否有关？（3）若从待查区域内的评分进行原因复查，合议.①试从概率的角度说明任意抽取一份分数是男专家的，还是女专家的机率更大一些？通过数据说明；②现从中抽出两个分数，求至少有一名男专家的分数需要复查的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1) 男专家评分的中位数为81分，女专家评分的中位数为81分;(2)详见解析；（3）①任意抽取一份分数是男专家的机率更大一些；②76=P . 【解析】试题分析：(1)将15个数据按从小到大的顺序排列，正中间的数就是中位数；（2）由条件每位专家的评分与相应组评分的中位数之差在[]5,5-之内称为最优区域，得到最优区域[]7686，，分别得到男和女中最优区域的人数与待查区域的人数，完成22⨯列联表，并计算2K与072.2比较大小；（3）①根据22⨯列联表计算抽取一人的概率，比较大小；②共7人，男专家给出的分数有4个，分别记为1234,,,a a a a ，女专家给出的分数有3个，分别记为123,,b b b ，采用列举的方法，计算其概率.（3）①从22⨯列联表可知，待查区域内共有7个分数，而其中男专家分数有4个，女专家分数有3个，所以在待查区域内任意抽取一个分数为男专家分数的概率为47，为女专家分数的概率为37．因为4377>．因此任意抽取一份分数是男专家的机率更大一些．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分②由22⨯列联表可知，待查分数共有7个，其中男专家给出的分数有4个，分别记为1234,,,a a a a ，女专家给出的分数有3个，分别记为123,,b b b ，则从中任意抽出两个分数的所有情况有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111213212223313233414243121314232434121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a b b b b b b共21种 情况，其中至少有一名男专家的分数为18种情况，故所求概率186217P ==．．．．．．．．12分考点：1.古典概型；2.独立性检验；3.样本数字特征.20.已知抛物线24y x =与圆225x y +=分别相交于,A B 两点（O 为坐标原点）．（1）设分别过,A B 两点的圆的切线相交于点P ，求四边形OAPB 的面积； （2）当点Q 在x 轴上运动时，求满足AQB ∠为钝角时，点Q 横坐标的取值范围． 【答案】(1)10=OAPB S ;(2) ()()1,11,3-.（2）设(),0Q x ，所以()()1,2,1,2QA x QB x =-=--， 所以()()()32412,12,122--=--=---=⋅x x x x x QB QA ，因为AQB ∠为钝角，所以0<⋅，且,,A B Q 三点不共线，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令2230x x --<，解得13x -<<，且1x ≠．所在点Q 的横坐标的取值范围为()()1,11,3-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.抛物线与圆的几何性质；2.向量数量积的坐标表示. 21.已知函数()()()2,ln f x kx k R g x x =∈=．（1）设()()()x f x g x ϕ=-，试讨论函数()x ϕ的单调区间；（2）若不等式()()f x g x ≥在区间()0,+∞内恒成立，求出k 的取值范围，并证明不等式()*4444ln 2ln 3ln 4ln 12,2342n n n N n e++++<≥∈． 【答案】详见解析当x ⎛∈ ⎝时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在区间⎛ ⎝内单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0x ϕ'>， 则()x ϕ在区间⎫+∞⎪⎭内单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而2421ln exx x <()2≥x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 从而得到()2121ln 24≥⨯<n n e nn ， 对n 依次取值2，3，…，n ，可得24212122ln ⨯<e ，24312133ln ⨯<e ，22412144ln ⨯<e ……()2121ln 24≥⨯<n n e n n对上述不等式两边依次相加得到：()44442222ln 2ln 3ln 4ln 1111122342234n n n e n ⎛⎫++++<++++≥ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1.导数与函数的单调性；2.函数恒成立问题；3.导数与不等式的证明.【方法点睛】本题考查了导数的综合应用问题，属于高档题型，对于本题第二问，是本题的一个难点，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是4ln xx ，由条件可得x kx ln 2≥，当12k e ≥时成立，所以可转化为e xx 21ln 2≤根据通项进行整理为24121ln x e x x ⨯<，这样采用累加，放缩法证明不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.如图所示，以直角三角形ABC 的斜边AC 为直径作外接圆O ，D 为圆O 上任一点，连接,BD AD ，过点A 作BD 边上的高AE ，过点A 作圆O 的切线与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）若2,3DE DF BE DE ===，求AC 的长． 【答案】(1)详见解析；（2）54=AC . 【解析】考点：1.三角形相似；2.切割线定理.23.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）分别写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与,x y 轴的两个交点分别为,A B ，点P 在曲线C 上运动，当045PAB ∠=时，求PA 的最大值与最小值．【答案】(1) 直线l 的普通方程为3y x =-，曲线C 的直角坐标方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2) PA 的最大值为3，最小值为2.考点：1.直线的参数方程；2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线与圆的位置关系.24.已知函数()2f x x m x =+-+．（1）如果函数()f x 的最大值为1，求实数m 的值；（2）若()0f x x +≤的解集为A ，且[]1,1A -⊆，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 1m =或3m =；（2）[]1,1-.【解析】试题分析：（1）根据绝对值的三角形不等式222-=--+≤+-+m x m x x m x ，可得绝对值差的最大值，令最大值等于2，解出m ；（2）根据条件[]1,1A -⊆，将问题转化为当[]1,1-∈x 时，不等式恒成立，变形为x x m x +-≤+2，[]1,1-∈x ，根据定义域去掉绝对值，即2x m +≤，当[]1,1-∈x 时不等式恒成立问题，采用参变分离的方法求m 的取值范围.考点：1.含绝对值的三角形不等式；2.不等式恒成立问题.。

安徽省六安市第一中学高三下学期高考模拟考试（三）数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“”是“复数（其中是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ）A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 3.等差数列{}n a 中，2nn a a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭4. 西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ） A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.32π B.3π C.92π D.916π1m=±2(1)(1)m m i -++i7. 设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，00132016xx +=；命题:,(0,)q a b ∀∈+∞，11,a b b a++中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8. 已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ．2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？ 9. 已知1A ，2A ，3A 为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足11213()AM A A A A λ=+（λ是实数），且123MA MA MA ++是单位向量，则这样的点M 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 10.已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．2 B ．3π C．3D．2π 11. 双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F ,离心率e ，过点F 斜率为1的直线交双曲线的渐近线于B A 、两点，AB 中点为M ,若FM 等于半焦距，则2e 等于 （ ） A.3 B. 2 C. 3或 2 D. 33-12. 如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为030，则顶点1C 到平面α的距离的最大值是 （ ）A.(22B.2C.)21D.)21二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为_______.14. 已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为 .（附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=,(3P μσ-3)0.9974X μσ<≤+=)15. 已知α为第二象限角，πsin()4α+=tan 2α的值为 ] 16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）如图，在中，已知点在边上，且，，.（1）求长；（2）求.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==．ABC ∆D BC 0AD AC ⋅=sin 3BAC ∠=AB =BD =AD cos C（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为30，求锐二面角1A A C B --的大小．19. 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．分别记录其10天内的销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表乙厂家销售件数频数表（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求一天销售量大于40而另一天销售量小于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：①记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．20．（本题满分12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>倍，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上动点，且横坐标大于2，点B ，C 在y 轴上，1)1(22=+-y x 内切于PBC ∆，试判断点P 的横坐标为何值时PBC ∆的面积S 最小。

安徽省六安市第一中学2016届高三数学下学期第三次模拟考试试卷理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}01≥-=x x x M ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛==0,21x y y N x，则M N ⋂= （ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}10<≤=x x M ，{}10≤<=y y N ，{}10<<=x x N M ，故选C. 考点：集合的运算 2.已知复数21iz i-=+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()5,3--内单调递增的为（ ）A ．2223y x x =-- B ．2xy = C ．2x xe e y --= D ．13log y x =【答案】D 【解析】试题分析：A.不是偶函数；B.是偶函数，但在()3-5-，内是单调递减函数；C.奇函数，D.偶函数，并且满足在()3-5-，内单调递增，故选D. 考点：函数的性质 4.若随机变量()2~,Z Nμσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()28P x <<=（ ）A ．0.8185B ．0.6826C ．0.9544D ．0.2718 【答案】A考点：正态分布5.已知双曲线M2，则双曲线M 的标准方程可以是 （ ）A ．22144x y -=B ．22124y x -=C ．22214x y -= D ．22142y x -= 【答案】B 【解析】试题分析：焦点在x 轴时，渐近线方程0=±ay bx ，()0,c F ，焦点到渐近线的距离222==+=b b a bcd ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==22232cb a ac b ，解得4,222==b a ，即方程是14222=-x y ，若焦点在y 轴方程就是14222=-y x ，故选B. 考点：双曲线标准方程6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足数列{}2na 是等比数列，若23201410094=++a a a ，则2017S 的值是 （ ） A ．20172B ．1008C ．2015D ．2016 【答案】A考点：等差数列的性质7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5-，则判断框中可以填入的条件为（ ）A ．10?z >B ．10?z ≤C ．20?z >D ．20?z ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：321,2,1=+===z y x ，满足条件，532,3,2=+===z y x ，满足条件，853,5,3=+===z y x ，满足条件，1385,8,5=+===z y x 满足条件，21138,13,8=+===z y x ，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出5138-=-=-y x ，所以判断框内可填入的条件是20≤z ?,故选D.考点：循环结构8.设2000:,20,:p x R x x m q ∃∈-+->函数()3212413f x x x mx =-++在R 内是增函数，则p ⌝是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：0:>∆p ，04-4>m ，解得：1<m ；()m x x x f q 44:2+-='，01616≤-=∆m ，解得：1≥m ，1:≥⌝m p ，根据两个集合相等，即p ⌝是q 的充要条件，故选C. 考点：命题9.函数()y g x =的图像是由函数()sin 22f x x x =的图像向左平移6π个单位而得到的，则函数()y g x =的图像与直线20,,3x x x π==轴围成的封闭图形的面积为 （ ） A ．0 B ．32 C ．2 D ．52【答案】D考点：1.三角函数图像变换；2.定积分.10.某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．B ．C ．32D ．64 【答案】B考点：1.三视图；2.斜二测画法.【方法点睛】本题主要考察了几何体的体积以及斜二测画法下的直观图，属于基础题型，根据图形可得该几何体是四棱锥，并且高等于4，所以重点转化为求底面面积，而在斜二测画法下，42=实际直观图S S ，这样根据直观图的面积，可以直接求实际图形的面积. 11.抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上的任意一点，令PAt PF=，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是 （ ） A ．1 B ．1± C ．2± D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P 在第一象限PABPBPA PFPA t ∠===sin 1,当PAB ∠最小时，t 最大，所以当直线AP 与抛物线相切时，PAB ∠最小，设直线AP ：2-=kx y 与抛物线方程联立，01682=+-kx x ，064642=-=∆k ，解得1±=k ，故选B.考点：抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点A 的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令0=∆，求斜率，或者设切点()00,y x P ，根据()0x f k PA '=，求切点，再求切线的斜率.12.已知定义域为R 的函数满足一下条件：①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=；②()()2g x g x =+；③当[]2,3x ∈时，()221218g x x x =-+-.若方程()()a log 1g x x =+在区间()0,+∞内至少有4个不等的实根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．0,5⎛ ⎝⎭【答案】D25log -=a ，解得55=a ，若要多于4个交点时，550<<a ，故选D.考点：1.函数的性质；2.函数图像的应用.【思路点睛】本题综合的考察了函数的性质与函数图像的应用，属于中档题型，本题的出题意图比较明显，最终转化为熟悉的两个函数的交点问题的题型，条件②③比较好理解，但对于条件①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=的转化，因为()1386-22+--=-+x x x ，关于3=x 对称，所以满足()()x g x g -=+33，即转化为()x g 关于3=x 对称，这样本题的难点就突破了.谨记函数有关对称性的常用公式，若对于R x ∈∀，函数()x f y =满足：①()()x a f x a f -=+或()()x f x a f =-2，说明函数关于a x =对称，②()()x b f x a f -=+说明函数关于2ba x +=对称，③若满足()()x a f x a f --=+或()()x f x a f -=-2，都说明函数关于()0,a 对称.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知等腰ABC Rt ∆的斜边2=BC ，则()AB AC BC BC BA +∙+-= .【答案】1考点：向量的运算14.将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a ，则二项式5313⎪⎭⎫⎝⎛-x ax 的展开式中含x 项的系数为 （用数字作答）.【答案】25-考点：1.二项式定理；2.排列组合.15.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+3213,1222x y x y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】π23 【解析】试题分析：如图，阴影表示圆心角为π43的扇形，所以扇形面积是ππ232832=⨯⨯=S ,故填：π23.考点：不等式组表示的平面区域【方法点睛】本题主要考察了不等式组表示的平面区域，属于基础题型，当0>a 时，0>++c by ax 表示直线的右侧区域，0<++c by ax 表示直线的左侧区域，如果直线给的是斜截形式，b kx y +>表示直线的上方区域，b kx y +<表示直线的上方区域,这样就比较快速方便的找到不等式组表示的平面区域. 16.若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为n S ，不等式n n n t S n 2941+≤-+对任意的N n ∈恒成立，则实数t 的最小值为 . 【答案】161考点：1.错位相减法求和；2.数列的函数特征.【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题，属于中档题型，对于错位相减法求和是一个易错点，方法就是多练，再有整理后转化为max226⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥n n n t ，*N n ∈，除了本题所给的方法外，也可以求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，同样需要带特殊值得到函数的最大值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +== 且n m//.（1）求角A 的值.（2）若ABC ∆的面积2S=a 4，试判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3π=A ;(2)等边三角形.考点：1.正余弦定理；2.判断三角形的形状.18.2016年，我国诸多省市将使用新课标全国卷作为高考用卷.（以下简称A 校）为了调查该校师生对这一举措的看法，随机抽取了30名教师，70名学生进行调查，得到以下的22⨯列联表：（1）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？（2）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X . ①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】(1) 没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关；（2）14552=P ;(3)详见解析.所以X 的分布列为（10分） ②();512534=⨯==np X E （11分）()().2524525341-⨯⨯=-=p np X D （12分）考点：1.独立性检验；2.古典概型；3.二项分布.19.三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1A O ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA 上，且22AD AB ==.（1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值.【答案】(1)详见解析；（2）1313-.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴==又O O A AO O A BC =⋂⊥11, ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD 平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1，⊥∴OD 平面C C BB 11.（6分）设平面C B A 11的法向量()z y x n ,,=，由11100n A B n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得⎩⎨⎧=+=+-,03,03x y y x 令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，cos ,13OD n OD n OD n∙∴==易知所求的二面角为钝二面角 ，∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-（12分） 考点：1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.20.设点P 是圆224x y +=上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满足2MD =.过定点()0,2Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点()0,E t ，使E A E B =？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 13422=+y x ；（2）存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，当E 与原点重合，即0=t 时，满足EB EA =. （6分)考点：1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系. 21.已知函数()3221cos 32h x x x a =++，()ln g x a x =，其中a 为正实数. （1）设函数()()f x h x x '=-，若不等式()()g x f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：333444ln 2ln 3ln 2+23n n e++<…（其中e 为自然对数的底数）.【答案】(1) (]0,4e ;(2)详见解析. 【解析】试题分析：(1)首先求()x h '，再求()x f ，令()()()x g x f x u -=，()0>x ，根据导数求函数在定义域内的最小值，令最小值大于等于0，即求得a 的取值范围；（2）根据第一问当(]e a 4,0∈时，x a x ln 22≥，观察所证明的不等式，令e a 3=，化简为2432ln ex x x ≤，令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，最后采用放缩法，利用裂项相消法求和，即证明不等式.因此()2min2ln 0u x u a ==-≥⎝⎭⎝⎭，即1ln2≤，所以4a e ≤.（5分） 故实数a 的取值范围为(]0,4e .（6分）考点：1.导数与不等式的证明；2.导数与不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考察了导数与证明不等式问题以及根据不等式恒成立，求参数的取值范围，对于第一问恒成立的问题，除了本题所选择的方法外，也可以根据0ln 22≥-x a x 恒成立，转化为参变分离的问题，但需要分()∞+，1和()1,0两种情况下的参变分离，对于本题第二问，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是43ln x x ，而第一问得到x a x ln 22>，0>a 时，整理为a xx 12ln 2<，根据通项进行整理为24316ln x a x x ⨯<，这样就可设e a 3=，采用累加，放缩法证明不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且180ADB ADC ∠+∠=，CT 切圆O 于点C且交AB 的延长线于点T .（1）求证：AB AC =；（2）若4CT =，8AT =，135ADC ∠=，试求圆O 的半径的长.【答案】(1)详见解析；（2）R =考点：1.圆内接四边形的性质；2.切割线定理.23.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程是12x ty t=-⎧⎨=+⎩（t是参数），曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为()1,2，直线l与曲线C的交点为A，B，试求AB及PA PB∙的值.【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y+-=；所以曲线C的直角坐标系方程为()()22228x y-+-=;(2)30=AB;7=PBPA.（2）直线l的参数方程化为标准型为12,22xy⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩（t'为参数）把l 的参数方程代入22440x y x y +--=，得270t ''+-=设,A B 对应参数分别为12,t t ''，则12,t t ''为方程的两个根.所以12127t t t t ''''+==-，（7分） 点()1,2P 显然在l 上，由直线l 中参数t '的几何意义，知12AB t t ''=-==（9分）127PA PB t t ''==.（10分）考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线参数方程t 的几何意义.【方法点睛】主要考察了参数方程与极坐标方程，属于基础题型，当直线方程的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，()00,y x P ，当其与曲线的直角坐标方程联立后得到关于t 的一元二次方程，那么21t t AB -=，21t t PB PA =，但如果所给方程不是直线的标准参数方程形式，则可采用化为标准形式，αtan 00=--x x y y ，根据αtan 分别求αsin 和αcos ，得到直线的参数方程的标准形式. 24.已知函数()11f x x x =-++，记()f x 的最小值为m .（1）解不等式()6f x ≤；（2）已知正数a ，b 满足11m a b+=，且()233a b a b -≥，试求ab 的值. 【答案】（1）[]3,3-；（2）2=ab .考点：1.含绝对值不等式的解法；2.基本不等式.。