函数图像中的面积问题

专题一 函数图像中的面积问题

一、中考要求

1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的面积，并能用函数图象的性质解决相关问题；

2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在函数问题中的应用.

二、基础再现

1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于A 、B 两点，则△ABO 的面积是________．

2.二次函数y=-x 2+2x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为_______.

3.反比例函数x

k y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为______. 4.如图，已知半径为1的⊙A 、⊙B 关于原点O 中心对称，则反比例函数x k y =

的图象与⊙A 、⊙B 相交组成的阴影部分的面积等于_______（结果保留π）．

三、例题解析

例1.如图，直线y=-3x+6交x 轴、y 轴于A 、B 两点，直线y=x+2交x 轴、y 轴于C 、D 两点，两直线交于点E.求四边形ODEA 的面积．

例2．如图，已知点A 在x 轴上，∠OAB=90°，双曲线x k y 与AB 交于点C ，与OB 交于点D.

(1)若点B 的坐标为(6，4)，点D 为OB 中点，求△AOC 的面积.

(2)若OD ：DB=1：2，若△OBA 的面积等于9，求k 的值。

例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 三点.

（1）若D 为抛物线上的一动点(点D 与点C 不重合)，且S △ABD =S △ABC ；求点D 的坐标.

（2）已知点N 为二次函数图象上的一个动点，且点N 在直线BC 的上方（点N 与B 、C 不重合），设点N 的横坐标为m.

①用含m 的代数式表示△NBC 面积;

②求△NBC 面积的最大值.

D C

E

y=x+2

y=-3x+6

四、反馈练习

1.如图，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C ，两直线与y 轴交于A 、B 两点.则S △ABC =_____.

2.如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数x y 6-=和x

y 4= 的图象交于A 、B 两点．若点C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则S △ABC =_______.

3.如图，抛物线22

3212--=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．

一次函数与几何图形的面积专题

八年代数期末复习专题7 一次函数与几何图形的面积 例1、面积公式的应用 （1）已知直线y=k x+2与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则k= ； （1）已知直线y=-4x+b与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则b= 。 小结： 例2、求几何图形的面积或求点坐标 如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 小结：

例3、动点中的面积问题 如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点， 另一直线l2：y2=x+b过点P． （1）求点P坐标和b的值； （2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒． ①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式； ②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

当堂检测： 如图直线l：y=kx+9与x轴，y轴分别交于点B，C，点B的坐标是（﹣12，0），点A的坐标为（﹣9，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点． （1）求k的值； （2）当点P在线段BC上时，试求出△OPA的面积S与x的函数关系式； （3）请直接写出当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27． 能力提升： 1、如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣ 与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB． （1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式； （2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值； （3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB 与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

一次函数面积问题.doc

八年级数学【一次函数面积问题】 一﹑要点回顾 1. 直线 y= －2x － 1 与 x 轴相交于点 ，与 y 轴相交于点 。 2. 直线 y 3x 4与 y 2x 1相交于点 P ，则点 P 的坐标为 。 3. 一次函数的图象经过 (3， 5)， (-4 ，-9) ，则此一次函数的解析式为 。 4、距离问题 （一）两点之间的距离 （ 1）类型 1：A （ x 1，0）， B （ x 2， 0）， AB= ； C （ x 1， y ）， D （ x 2， y ），则 CD= ； （ 2）类型 2：A （ 0， y 1）， B （ 0， y 2）， AB= ； C （ x ， y 1）， D （ x ， y 2），则 CD= ； （ 3）类型 3：A （ x ， 0）， B （ 0， y ）， AB= ； （ 4）类型 4：A （ x 1，y 1）， B （ x 2， y 2）， AB= ； （二）点到坐标轴的距离 A(x,y) 到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 。 二、培优讲解 例 1：已知直线 l ： y 2x 2 ， （ 1）求直线 l 与坐标轴的交点坐标分别为 ； (2)此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积 。 变式 1：已知直线 l ： y 2 x 2 ，且点 T (t , 2 ) 在直线 l 上， 3 (1) 求 OT 所在直线的解析式； (2) 求直线 l 和直线 OT 与 x 轴所围成的图形面积。 y 变式 2：如图，已知直线 l ： y 2x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、 M, ，将变式 1 中的直线 OT 向上平移 1 个单位长度得到直线 PA ，点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，求四边形 PQOB 的面积。 M P Q A O B x

2020二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ． 〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1

一次函数与面积专题

一次函数与面积专题 一、知识点睛 1.思考策略：数形结合和化不规则为规则图形； 2.处理面积问题的几种思路： ①割补法（分割求和、补形作差）； ②等积转换（例：同底等高）； ③面积比转化为线段比（等高不等底） 二、精讲精练（1）割补法 1.如图，直线 5 3 y kx =+经过点A（-2，m），B（1，3）． 2.（1）求k，m的值； 3.（2）求△AOB的面积． （有一边在坐标轴上的三角形） } 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)， C(8，2)，求四边形OABC的面积．（四边形面积常转化为可求图形面积之和或差） (

巩固练习： 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数； （2）若四边形PQOB 的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°． … （1）求△ABC的面积； （2）如果在第二象限内有一点P（m ，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值； C O A B x y 6.如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．（转化为平行于坐标轴的三角形）

中考复习专题--反比例函数与图形面积

中考复习专题 反比例函数与图形面积 反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。 一、反比例函数与矩形面积。 例1、如图，P 是反比例函数)0(≠=k x k y 的图象 上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得 到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函 数的解析式为（ ） A. x y 6- = B. x y 6= C. x y 3-= D. x y 3= 例2、如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数x k y = （k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （n m ,）是函数x k y =（k ＞0，x ＞0）的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1）求B 点坐标和k 的值； （2）当2 9=S 时，求点P 的坐标。写出S 与m 的函数关系式 变式议练：如图，在反比例函数x y 2=（x ＞0）的图象上， 有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4。 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分 的面积从左到右依次为S1，S2，S3， 则S1+S2+S3= 。 P S F E O C B A y x

二、反比例函数与三角形面积。 1、反比例函数与直角三角形面积 例3、如图，点A在反比例函数)0 (≠ =k x k y的图象上， AB垂直于x轴，若S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为。 变式议练1、如图，过反比例函数 x y 1 =（x＞0）的图形上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，比较它们的大小，可得（） A. S1＞S2 B. S1=S2 C. S1＜S2 D. 大小关系不能确定 变式议练2、如图，A、B是函数 x y 1 =的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（） A. S=1 B. 1＜S＜2 C. S=2 D. S＞2 2、反比例函数与斜三角形面积 例4、如图，函数kx y- =（0 ≠ k）与 x y 4 - =的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y 轴，垂足为点C，则△BOC的面积为。 变式议练、如图，正比例函数kx y=（k＞0）与反比例函数 x y 1 =的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，△ABC面积S= 例3 变式议练1 变式议练2 例4

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ，

一次函数面积问题专题

一次函數面積問題 1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。 2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。

3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的 图像， （1）用m、n表示A、B、P的坐标 （2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标 4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB 面积二等分，若D（m，0），求m的值 5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。

6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△A BC 面积相等，求a的值. 7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P

（1）求点P的坐标 （2）求△PAB的面积 8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求 （1）这两条直线的函数关系式 （2）它们与x轴围成的三角形面积 9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x （1）求出它们的交点A的坐标

（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积 10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。 11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B （1）求两直线交点C的坐标

一次函数与几何图形的面积计算专题训练

一次函数与几何图形的面积 例1、面积公式的应用 （1）已知直线y=k x+2与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则k= ； （1）已知直线y=-4x+b与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则b= 。 小结： 例2、求几何图形的面积或求点坐标 如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

小结： 例3、动点中的面积问题 如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P （m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P． （1）求点P坐标和b的值； （2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式； ②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

当堂检测： 如图直线l：y=kx+9与x轴，y轴分别交于点B，C，点B的坐标是（﹣12，0），点A的坐标为（﹣9，0），点P（x，y）是直线l 上的一个动点． （1）求k的值；

（2）当点P在线段BC上时，试求出△OPA的面积S与x的函数关系式； （3）请直接写出当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27． 能力提升： 1、如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB． （1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式； （2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值； （3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反

一次函数之面积问题专题

一次函数之面积问题 班级 姓名 一、知识点睛 坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）： 1()2APB B A S PM x x =??-△ ②转化求面积： l 1 l 2 如图，满足S △ABP=S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ` 二、精讲精练 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则△AOB 的面积为___________．

。 2、如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为 (-2，2)，则S△PAB=___________． 3、如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=，则k=__________． 4、如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)， 求△ABC的面积． 5、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)， C(8，2)，求四边形OABC的面积． 6、如图，直线 1 1 2 y x =-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为 (1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ?

7、已知直线 1 1 2 y x =-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以A为直角顶点， 线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等． （1）求△ABC的面积； （2）求点P的坐标． ￥ 8、如图，点A在直线l1：y=2x上，过A作AB⊥x轴，交直线l2： 1 2 y x =于 点B．若AB=3，求A点的坐标。）

九年级数学：二次函数与图形面积

二次函数与图形面积 练习题 基础题 知识点 二次函数与平面面积 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A ．60 m 2 B ．63 m 2 C ．64 m 2 D ．66 m 2 2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( ) A ．20 B ．40 C ．100 D ．120 3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A.6425 m 2 B.43 m 2 C.83 m 2 D ．4 m 2 4．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( ) 5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大值为________． 6．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间t 为________s.

7．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2. 8．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 9．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)

二次函数的最大面积问题

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求A 、B 、C 的坐标； （2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标； （3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．

一次函数面积知识点

教师: 陈晓静 学生: 年级 日期: 星期: 时段: 学情分析 基础 ，对于知识不能灵活运用 课 题 一次函数关于面积问题 学习目标与 考点分析 学习目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式 2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决 考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合 学习重点 重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用 2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握 学习方法 讲练结合 练习巩固 学习内容与过程 一、本节内容导入 一次函数相关的面积问题 画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。 规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法） 不含参数问题 含参数问题 （用参数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的非负性。 求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。 二、典例精讲 一、利用面积求解析式 1、直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =________. （分类讨论） 由于b 值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。 1922b S b ?= ?-=

21 36 2S b ?=-= 2、 已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线经过原点，与线段AB 交于点C ，把, △AOB 的面积分为2：l 两部分，求直线名的解析式． 由于题目中的哪一部分的面积大，没有交代，引出分类讨论。 A( -3 , 0) B(0 , 3 ) Saob= 9/2 设L: y= kx 11113 232BOC AOB S OB C D S ??=??== 所以1C D =1， C1(-1 , y ) ,代入y=x+3 ， y = 2 所以C1(-1 , 2 ) 同理：C2(-2 , 1) 3、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线 x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示) (2)若AB=2,且S 四边形PQOB= 6 5 ,求两个函数的解析式. 主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。 两点间的距离公式： AB= A B x x -或 AB=A B y y - AB=A B x x -=() 2m n --=2 再根据四边形面积公式建立等式。求解m ，n 4、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线 b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ?分成两部分 （1）若AOB ?被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值 （2）若AOB ?被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值 答案：（1）2,2=-=b k （2）①3 2 ,32=-=b k ②2,2-==b k 5、已知一次函数3 32 y x =- +的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果AOB DOC S S ??=，求直线y kx b =+的解析式． E D O C2 C1 B A

一次函数面积问题

专题复习:一次函数的面积问题教案教学时间：2016年5月25日许发明 一、教学目标 依据课标的要求和学生的认知特点，我制定如下三维教学目标： 1．知识与技能：能利用表达式求三角形或四边形的面积，能利用面积求点坐标或直线表达式。 2．过程与方法：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与表达式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想 3．情感、态度与价值观：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣. 二、教学重点与难点： 1、重点：根据函数表达式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点坐标或函数表达式。 难点：不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标 三、教学方法 高效6+1教学模式，让学生在自主、合作、探究中学习 四、教学过程 一、导：（创设情景，导入新课） 1、直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是-----------。 2、点A（-1,2）到x轴的距离是------，到y轴的距离是--------。 3、y=2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，则A的坐标为 ---------， B 点的坐标为---------。则该图像与两坐标轴围成的面积是--------。 师生活动：学生先独立完成，学生口答结果后教师直接导入新课。 设计意图：练习求直线与x轴y轴交点坐标，两直线交点坐标， 为学习本节内容铺垫。 （出示本节学习目标） 设计意图:学生根椐学习目标使学习更有针对性。 二、思：（利用表达式求面积） 自学例1，独立完成下面两个题 例1：已知直线l： 24 y x =-+ ，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形 的面积。

专题复习：一次函数与图形面积

一次函数小结与复习（一次函数图形与面积） 教学目标： 1. 通过求图形面积问题，深入理解掌握一次函数图象及与坐标轴交点、坐标的几何意义. 2. 掌握由已知图形面积列出方程(组)，用待定系数法求直线解析式及相关未知量. 3. 通过对已知图形面积问题的探究，丰富认知情感，体会数形结合思想. 教材分析: 重点：利用一次函数的知识求图形面积. 难点：根据图形面积求一次函数的表达式. 课型方法： 复习课 电教手段：投影机 前置作业： 利用一次函数的有关知识，解决下列问题： 问题1：如图所示，直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B. 问题2：如图所示，直线y=-2x+6与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D. 问题3：如图所示，直线:1l y=x+3与:2l y=-2x+6交于点P ，与x 轴分别交于点A 和点C. 思考：如何求出四边形PBOC 的面积呢？你能想到几种方法？说说思路！ A X O y=x+3 B ①A 点坐标为 ，B 点坐标为 ， ②=?AOB S . Y X O C D ①C 点坐标为 ，D 点坐标为 ， ②=?COD S . y=-2x+6 A Y X O C P :1l y=x+3 :2l y=-2x+6 B D 求：①P 点坐标；②PAC S ?.

教学过程 一．展示交流： 二．合作探究： 如果已知图形的面积，反过来求函数解析式，你是否也能应对自如？ 问题4：已知一次函数y=kx+3与两坐标轴围成的直角三角形面积为 92，试确定此一次函数的解析式. 问题5：如图所示，直线1:3l y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,直线()0:2≠=k kx y l 交直线1l 于点C ，且3=?AOC S .求：①C 点坐标；②直线2l 的解析式. 1:3l y x =+ 总结： （1）请根据“问题1”到“问题3”的解题方法，总结出“已知函数解析式，如何求出相关图形的面积？” （2）请根据“问题4”到“问题5”到的解题方法，总结出“已知相关图形的面积，如何求出函数解析式？” 变式练习： 如图所示，直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.直线()0:≠=k kx y l 经过原点， 与线段AB 交于点C,且把△AOB 的面积分为2:1的两部分. 求：直线l 的解析式.（提示：可先画出直线l 的大致位置） 三、质疑反馈： A y x O B A y X O B y=x+3

一次函数讲义解析式和面积

一次函数（解析式和面积） 一、函数 １．定义 （１）在变化过程中有两个变量; （２）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化; （３）自变量的每一个确定值,函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。 2。自变量的取值范围 (１)整式时,自变量取全体实数; （2）分式时，自变量使分母不为零； （3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数； （４)实际问题中,要使实际问题有意义； (5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。 二、一次函数(——正比例函数) 1.定义 （1）函数为一次函数?其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数,0k ≠）的形式。 （2)一次函数y kx b =+结构特征：0k ≠；自变量x 次数为1;常数b 可为任意实数。 （３)一般情况下,一次函数中自变量的取值范围是全体实数. (4）若0k =,则y b =(b 为常数),这样的函数叫做常函数,它不是一次函数; 若0b =,则y=kx (ｋ为常数）,这样的函数叫做正比例函数. 2。图像 一次函数的图像是一条直线，确定两点,便能确定其图像。 3.性质 （1)增减性：0k >时，y 随着x 的增大而增大；0k <时，y （2）图像位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k 回忆巩固： 1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围 (1） 1 1 2y x = + （2） y = (3）y = （4)5 21 y x -= - 2. 已知 2 3 (2)3 m y m x -=-+,当m 为何值时,y 是x 的一次函数？ 3. 已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小,且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧,求m 的取值范围. 4. 若正比例函数ｙ=(1—2m ）x 的图象经过点Ａ(x 1，y 1）和点B(ｘ２，y 2)，当 x 1〈x 2时，y １＞ｙ2,则求ｍ的取值范围。 (一） 求一次函数的解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 设：设一般式y=kx+b (k≠０）; 列：根据已知条件，列出关于k 、b 的方程(组); 解:解出ｋ、b ; 1 2

二次函数中的面积问题教案

初中数学 编辑时间：2017.4 x y O C A B x y O A B C x y D O A B C x y F O A B C x y E O A B C 中考复习小专题 前 测 课 题 二次函数中的三角形面积问题 一．课前完成： 在平面直角坐标系中，求下列条件下三角形的面积： （1）如图1，A(-1,1),B(5,1),C(3,5),则ABC S D = ； （2）如图2，A(-1，5),B(-1，-1),C(4，1),则ABC S D = ； （3）如图3，A(-1,1),B(2,6),C(3,5),则求ABC D 的面积。 中 测 二．归纳总结（用点坐标表示下列面积）： 1.在平面直角坐标系中，若ABC D 中AB 边所在的直线与x 轴平行（或重合），则ABC S D = ； 若ABC D 中AB 边所在在直线与y 轴平行（或重合） ，则ABC S D = ； 2. 在平面直角坐标系中 ，任意ABC D 的面积计算方法： 1）如过A 作铅锤线：则ABC S D = + = ； 2）如过B 作铅锤线：则ABC S D = - = ； 3）如过C 作铅锤线：则ABC S D = - = ； 图1 图2 图3

x y A D E B O P 三．典例分析： 例1.二次函数2 246y x x =+-的图象与x 轴的交点为A (?3,0)、B (1,0)两点,与y 轴交于点C (0,?6)，顶点 为D.如图，点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之 间的函数关系式及S 的最大值； 变式跟进：如图,抛物线2 26y x x =-+经过点B(1,4)和点E(3,0,) 两点,平面上有两点A 11(,)22 ，D 13 (,)22- 。 从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P ，使得△PAD 的面积最大?若存在，请求出△PAD 面积。 四．巩固练习： 1.抛物线2 -23y x x =-平面直角坐标系中有两点A(-1，3),B(-4，-1)，点P 为抛物线第四象限的一个动点，则如何作铅垂线更便于求ABP D 的面积最大值？( ) A ．过A 作铅垂线交BP 于点D B.过B 作铅垂线交PA 延长线于点E 中 测

专题：一次函数与坐标轴围成的图形面积问题

专题：一次函数与坐标轴围成的图形面积问题 复习：知识回顾： 复习1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。 复习2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___ 。 复习3.已知：一次函数y ＝(1－2m)x+m －2，问是否存在实数m ，使 （1）经过原点 （2）y 随x 的 增大而减小 （3）该函数图象经过第一、三、四象限 （4）与x 轴交于正半轴 （5）平行于直线y ＝-3x －2 （6）经过点（-4，2） 复习4.已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ） Ａ．20y -<< Ｂ．40y -<< Ｃ．2y <- Ｄ．4y <- 复习5.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 a b + 第5题

例1：已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积 2、作业：直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积？ 3、作业：求直线y=2x－7，直线 11 22 y x =-+与y轴所围成三角形的面积． 例2已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？

变形1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式； 变形2：已知一次函数的图像经过点A（2，0），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？ 例3：一次函数图像交于x轴于点A（6，0），与正比例函数图像交于点B，且点B在第一象限，其横坐标是4，若△ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式？ 巩固练习：已知已知直线L1经过点A（-1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点p（m，0）若△APB的面积等于3，求m值和L1、L2的解析式？

一次函数中的面积问题讲义(含答案)

一次函数中的面积问题讲义 一、知识点睛 1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线， 通常有以下三种思路： ①__________________（规则图形）； ②__________________（分割求和、补形作差）； ③__________________（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）： B A h M a P P a M h A B 12△APB S ah = 1 2△APB S ah = ②转化求面积： h h l 1 l 2 A B C 如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． 二、精讲精练 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则 △AOB 的面积为___________． x A y B O

2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △P AB =___________． O B y A P x P D O B y A C x 第2题图 第3题图 3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线 CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________． 4. 如图，直线1 12 y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标 为(2，5)，求△ABC 的面积． C O A B x y

一次函数与图形面积(答案)

一次函数与图形面积 1．已知一次函数的图象经过点P （0，-3），且与两条坐标轴截得的直角的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式。 解：或 2．已知两个一次函数的解析式为311+=x k y ，222-=x k y ，它们的图象为直线l 1、l 2，其中l 1与x 轴的交点为)0,2 3(，l 1与l 2交于点（1，a ），求： （1）l 1与l 2的解析式。 （2）在同一坐标系中画出两函数的图象 （3）l 1、l 2与y 轴所围成的三角形的面积。 提示：（1）由题知???????=-=+=+.2,3, 03232 11a k a k k 解得 ?????==-=.3,1,22 1k a k ∴321+-=x y ，232-=x y （2）略（3）2 5 3．如图，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ， 另一直线y kx b =+()0k ≠经过点C ()1,0，且把△AOB 分成两部分。 （1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； （2）若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值。 解：（1）如上图，过B （0，2），C （1，0）的直线解析式为22+-=x y ； （2）设b kx y +=与OB 交于M （0，h ） OAB OMC S S ??=61，则222 161121???=??h 解得32=h ，所以M （0，32） 经过点M 作直线MN ∥OA 交AB 于N （a 则CAN OMC S S ??=， 因N （a ，32）在直线2+-=x y 上，所以a

∴直线CM ：2233 y x =-+，直线CN ：22-=x y 4．在平面直角坐标系内，一次函数y kx b =+()0,0kb b ><的图象分别与x 轴、y 轴和直线4x =交于点A 、B 、C ，直线4x =与x 轴交于点D ，四边形OBCD （O 是坐标原点）的面积是10， 若点A 的横坐标是12 -，求这个一次函数的解析式 解：由题意得：A （－12 ，0），B （0，b ），C （4，4k ＋b ），D （4，0） 又∵b ＜0，kb ＞0，∴k ＜0 ，4k ＋b ＜0 ∴OB ＝b ＝－b ，CD ＝4k b +＝－（4k ＋b ） ∴S 梯形OBCD ＝()()441022 b k b OB CD OD --+???+? ?== 即522 k b +=- ① 又直线y ＝kx ＋b 经过点A （－12 ，0）， ∴102 k b -+= ② 由①②522102 k b k b ?+=-????-+=??，解得112k b =-???=-?? ∴一次函数解析式为y x =--12 5．如图，直线1l 过A 、B 两点，直线2l 过O 点，且与1l 交于点M ，若MOB AOM S S ??=，求直线 2l 的函数解析式。 提示：求得1l 的解析式为34 3+-=x y ， 设M （m ，n ），则m ＞0，n ＞0， ∵MOB AOM S S ??=，∴||42 1||321n m ??=??，即3m=4n ， 又M （m ，n ）在1l 上，∴n m =+-343，两式联立，求得m=2，2 3=n ， ∵2l 过原点，∴设2l 解析式y=kx ，将)23,2(M 代入，得4 3=k ， ∴2l 的解析式是x y 4 3= 6．如图所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．