2.1 可分离变量型方程的解法
[教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法.
[教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标]
1. 会熟记、记准导数公式和积分公式;
2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分;
3. 知道齐次方程的形式
)x
y
f(dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为
变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数
方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解.
1. 导数公式和积分表的意义
小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表）
练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式.
（2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2
e e ch x x
x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表
示). 证明：1x sh x ch ch x ,(sh x )' sh x ,(ch x )'2
2
=-==.
2. 求导法则和积分法则
碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的，
(x)' f dx
dy
=(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分
法则. 设g(x) v f(x),
u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有
（2）
???+=?dv u du v v)d(u ;
(x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx
d
=，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))
==；于是相应地有
（3）
???==(x)dx g' (g(x))' f dv (v)' f d(f(g(x)))（从左往右，从右往左，不同思路,
都要会）
例18. 求下列积分 (a) ?
+++=6)
5x (x 3)dx (2x I 21; (b) ?-++=221))(x 1(x 3)dx
(2x I ; (3) 教材P32例3.
解：(1) (a) 记=
f(x)3)
2)(x (x 3)
(2x 6)5x (x 3)(2x 2
+++=+++，将f(x)分解为简单分式的和: 3x B 2x A f(x)+++=
, 其中,13x 32x A 2x -=++=-= 32
x 3
2x B 3x =++=-=，
于是， C |2x |ln |3x |3ln dx 3x 3
dx 2x 1I 1++-+=+++-=??.
(b) 记=
g(x)21))(x 1(x 3)(2x -++，2
32
11)
(x A 1x A 1x A g(x )-+-++=，其中 ,4/11)(x 3
2x A 1x 21=-+=
-= ,2/51)
(x 32x A 1
x 3=++=
= 系数2A 确定如下，取x=0(不同于-1,1)，
则1
5/2
1A 11/43g(0)2+-+==，解得1/4A 2-=. 因此，C 1)
(x 125|1x |ln 41|1x |ln 41I 2+----+=
. 例19. 求下列积分(a) ?=dt ln t t I 3; (b) ?=dt sin t t I 4
; (c) ?=dt e
t I t
a 5
.
(2)解：(a)C 4
t -ln t 2t dt t 12t -ln t 2t ln t) d(2t -ln t 2t /2)d(t ln t I 2
222222
3+=?===
???
.
(b) ??
=-==
...d(sin t)2
t sin t 2t )2t d(sin t I 2
224 此路不通！
???++=+-=--==C sin t t cos -t tdt cos t cos t t)d(t)(-cos t)cos t( t)d(-cos t I 4.
(c) 作为练习.
例20. 求下列积分(a) ?
+++=
3/2
266)
3x (x 3)dx
(2x I ; (b) ?-=dx x 1I 27. 解：(a) 令 3)dx ,2x (dv 6,3x x v 2
+=++=于是有 C 2v C v 1
3/21dv v v v d I 1/213/23/2
3/26+-=++-===
-+--??
. (从右往左) (b) 令dt t cos dx sin t,x ==， 于是有
C 4
2t
sin 2t 4d(2t)2t cos dt 21dt 22t cos 1 tdt cos t cos I 7++=+=+==???
?. 作业18. 求下列方程的通解.
(1) 21)2)(x (x 1)(x dx dy -++=; (2) 22x
11)
x(y dx dy -+=; (3) 2x 2e 1x x dx dy -++=; 3. 可分离变量型方程形式、齐次方程形式及其求解方法 （1）可分离变量型方程形式：
(y)f(x)dx
dy
?=，其中(y) f(x),?连续. 求解方法：(1) 求出0(y)=?的根0y y =，常函数 0y y =也是方程的解； (2) 0(y)≠?, 分离变量
f(x )dx (y)dy
f(x )dx ,(y)dy ?
?==??. 例21. 求解下列方程：(a)
2y 1dx dy -=; (b) y ln y dx dy =; (c) cot x
y
tan dx dy =. 解：(a) 令2
y 1-=0，得到1y ±=； 当0y 12≠-时，原方程改写为
,dx y
1dy dx,y
1dy 2
2
??
=-=-
于是，C)sin(x y C,x y arcsin +=+=为所求的通解，此外，1y ±=也是方程的解. (b) y ln y 的定义域为0}{y >，令y ln y =0，得到1y =. 当0y ln y ≠时，
C x |y ln |ln ,dx y
ln y dy dx ,y ln y dy +===??即为所求通积分，另外1y =也是方程的一个解.
(c) 令0y tan =，解得Z k ,k πy ∈=. 当0y tan ≠时，
??=== x
cos sin x dx
y sin ydy cos , x cos sin x dx y sin ydy cos ,cot x dx y tan dy ， 于是得到 C e C ~
, x
cos 1
C ~
y sin C,| x cos |ln |y sin |ln =±=+-=为所求的通积分，另外， Z k ,k πy ∈=也是方程的解.
作业19. 求解如下方程：)y x(1dx
dy
y
2-=. (2) 齐次方程的形式及其解法 称形如
??
?
??=x y f dx dy 为齐次方程，解法如下：令dx du x u dx dy ux,y ,x y u +===，于是新方
程为x
u
f(u)dx du
-=
，这是可分离变量型方程. 例22. 求解方程(a)x y tan x y dx dy +=;(b) 0 x y,xy 2dx dy
x <=+.
解：（a) 令 u tan u dx
du x u dx dy ux,y ,x y u +=+===，于是u tan dx du
x =.
令0u tan =，解得Z k ,k πu ∈=.
当0y tan ≠时，
??===x
dx
u sin udu cos ,x dx u sin udu cos ,x dx u tan du ， 于是C |x |ln |u sin |ln +=. 返回原变量得到，C |x |ln |x
y
sin |ln +=.
另外Z k x,k πy ∈=也是方程的解.
(b) 改写原方程为x
y x y 2dx dy =-，这是个齐次方程. 令 u 2u dx
du x u dx dy ux,y ,x y u +=+===
，即u 2dx du
x =.
当0u ≠时，
x dx u 2du =，C |x |ln u ,x dx
u
2du +==??，返回原变量得到， C |x |ln x
y
+=为所求的通积分. 另外， u=0对应的 y=0也是方程的一个解. 例23. 求解方程(a)
y x y x dx dy +-=; (b) 3
-y x 1y x dx dy ++-=. 解：(a) 这是改写为齐次方程
y/x 1y/x 1dx dy +-=，令 u
1u
1dx du x u dx dy ux,y ,x y u +-=+===，即u
1u -2u 1dx du x 2+-=. (i) 令0u -2u 12
=-，解得212442u =-+±-=
. (ii) 当0u -2u 12
≠-时，??=-+=-+x dx
u -2u 1u)du 2(2-21- ,x dx u -2u 1u)du (12
2， 于是-2C |x |2ln |u -2u 1|ln C,|x |ln |u -2u 1|ln 2
1
- 22=+-+=-， 得到 2C
2
2
e
)u -2u 1(x ±=-，
返回原变量得到，原方程的通积分为2C
22e C ~
,C ~ y 2x y x =±=--为任意正实数.
另外，21u =对应两条直线)x 21(y =也是方程的解.
(b) 通过线性变换可以将原方程化为(a)的情形. 具体做法(参见教材P38例7. )
作业20. 教材P42 习题1（6）、（9）； 教材P43习题2 (3)、(7). （3）常见可经变量替换化为可分离变量型方程
例25. 求解下列方程：
(a) y
x e x y dx dy =+; (b) 2y x 5y x dx dy --+-=; (c) 2
522336y
3y y 3x x 012xy 2x dx dy --+-=. 解：(a) 令dx dy x y dx dv y,x v +==，改写原方程为y x e x y dx dy x =+，于是，v e x dx
dv
=.
(以下略)
(b) 令v
7v 7v 1dx dy 1dx dv
2,y x v -=
+-=-=--=，新方程为.v 7
dx dv -=. (以下略) (c) 改写方程为2
y x 5y x 2xdx dy 3y 32322--+-=，令2
3x v ,y u ==，新方程为2v u 5v u dv du --+-=
. 注解：更多通过变换化为可分离变量型方程的例子（参见教材P38第一段，P43习题3.）
4. 应用题
例26. 探照灯反射镜面的形状设计问题（参见教材P41 例9） 思路：（1） 将三维空间曲面约化为平面曲线；（2）建立坐标系，将曲线放在坐标系内，讨论曲线的方程；（3）根据设计要求建立曲线的微分方程；（4）方程求解参见例24.
例27. 物体在空气中下落与特技跳伞
假设质量为m 的物体在空气中下落，空气阻力物体速度的平方成正比，比例系数为k>0. 以铅直向下直线为正向，建立坐标轴x 轴，记x(t)表示时刻t 时2物体的位置，则由牛顿第
二定律有2
x k g m x m
-=，引入速度x v =，则v 满足的方程为2 v m
k
g dt dv -=. 先考虑特技跳伞问题，假设跳伞员开伞前阻尼系数为1k ，开伞后阻尼系数为12k k >>，在给定高度1T 0
0T ,f(t)dt H 1
?
=
为落地时间，如何掌握开伞时间T 使得降落时间1T 最小且有安
全的降落速度1v 这是一个有趣的数学问题.
（参见 丁同仁、李承治《常微分方程教程》 P27例3）
例24. 求解方程
2
2y x x y
dx dy ++=
. 解：(1) 当x>0时，改写为
2y/x)
(11y/x
dx dy ++=
.
令 2u 11u dx du x u dx dy ux ,y ,x y u ++=+===，即2
2
u 11u 1u dx du x +++-=
. (i) 当u 0>时，
??-=+++-=+++x dx
u
1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12222. )1u 1u 1-ln(u ln 1u
1
)
u 1
d(-u ln 1u
1u du u ln u 1u du u du 222
22+++=++=++=++?
???+C
于是，C ln x )u 1ln(-12-=+++，返回原变量得到C )y x ln(-x 22-=++，
-C 22e C ~
x,C ~y x =+=+，化简得到 x .C ~2C ~y 22+=
(ii) 当u 0<时，
??-=+++-=+++x dx
u
1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12222. )
1u 1u 1ln(u) ln(-1u 1
)
u 1
d(u) ln(-1
u 1u du -u ln u 1u du u du 22
2
22+++=++=++=++?
???+C ， 于是，C ln x )u 1ln(-12-=+++，返回原变量同样得到 x .C ~
2C ~
y 2
2+=
(iii) 当u=0时，y=0也是方程的一个解. (2) 当x<0时，改写为
2
y/x)(11y/x
dx dy +-=
. 令 2u 11u dx du x u dx dy ux ,y ,x y u +-=+===，即22
u
11u 1u dx du x +-+=
. (i) 当u 0>时，
??=++-=++-x dx
u 1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12
222. )
1u 1u 1ln(u ln 1u 1
)
u 1
d(-u ln 1
u
1u du u ln u 1u du u du 22
222++--=++-=++-=++-????
+C, 于是，C x)ln(-)u 1ln(1-2-=-++，返回原变量得到C )y x ln(-x 2
2
=++，
C 22e C ~
x,C ~y x =+=+，化简得到 x .C ~2C ~y 22+=
(ii) 当u 0<时，
??=++-=++-x dx u 1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12
222. )
1u 1u 1ln(u) ln(-1u 1
)
u 1
d(u) ln(-1
u
1u du u) ln(-u 1u du u du 22
222++--=+--=++-=++-????
+C ， 于是，C ln x )u 1ln(-12=+++，返回原变量同样得到 x .C ~
2C ~
y 2
2+=
(iii) 当u=0时，y=0也是方程的一个解.
综上知，原方程的通解为 x C ~2C ~y 2
2+=，其中C ~
为任意正实数，此外y=0也是一个解.
作业21. 教材P43 习题6.
作业22. 跟踪问题：设某人A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进，同时某人B 从(0, b)开始跟踪A ，且B 与A 永远保持等距b, 试求B 的光滑运动轨迹. (参见百度搜素： 曳物线(tractrix))