2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式
204
x
x ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式. 【考查方式】考查分式不等式的解法. 【难易程度】容易 【参考答案】()4,2- 【试题解析】204
x
x ->+
等价于()()240x x -+<,42x ∴-<<. 2.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考查方式】考查共轭复数的概念及复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】62i -
【试题解析】z z z += (12i)(12i)12i 62i -++-=-.
3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 . 【测量目标】抛物线的定义.
【考查方式】利用抛物线定义求解标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】2
8y x =
【试题解析】定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，2p =所以其方程为2
8y x =.
4.行列式ππ
cos
sin 36
ππsin cos 36
的值是 .
【测量目标】行列式.
【考查方式】考查行列式运算法则. 【难易程度】容易 【参考答案】0
【试题解析】ππcos
sin
36
ππsin cos 36
=πππππcos cos sin sin cos 036362-==.
5.22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l :3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】三种距离公式. 【考查方式】考查点到直线距离公式. 【难易程度】容易 【参考答案】3
【试题解析】2222:2440(1)(2)1,C x y y y x y +--+=?-+-=(步骤1)
∴圆心()1,2到直线3440x y ++=距离为
35
4
2413=+?+?.(步骤2)
6.随机变量ξ的概率分布列由下图给出：
则随机变量ξ的均值是 .
【测量目标】离散型随机变量的分布列. 【考查方式】考查期望定义式. 【难易程度】中等 【参考答案】8.2
【试题解析】()70.380.3590.2100.158.2E ξ=?+?+?+?=.
7.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示 上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人 数，则空白的执行框内应填入 .
第7题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出部分程序框图，根据题意将程序框图补充完整. 【难易程度】中等
【参考答案】S S a ←+ 【试题解析】由题意可知S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示 整点报道前1个小时内入园人数，S 随a 的变化而变化，故空白的执行框内应填入
S S a ←+.
8.对任意不等于1的正数a ，函数()()log 3a f x x =+的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 【测量目标】反函数.
【考查方式】给出某一函数解析式，研究其反函数的图象所经过的定点. 【难易程度】中等 【参考答案】()0,2-
【试题解析】()()log 3a f x x =+ 的图象过定点()2,0-，所以其反函数的图象过定点
()0,2-.
9.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽
得为黑桃”，则概率()P A B = (结果用最简分数表示）. 【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】考查随机事件概率公式. 【难易程度】容易 【参考答案】
7
26
【试题解析】 ()1137525226
P A B =
++ .
10.在n 行n 列矩阵12321
234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ?
????
?????????????????????? ? ????---??
中，记位于第i 行第j 列的数 为(,1,2,)ij a i j n =???.当9n =时，11223399a a a a +++???+= . 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【考查方式】利用矩阵基本知识直接求解. 【难易程度】容易 【参考答案】45
【试题解析】1122339913579246845a a a a +++???+=++++++++=. 11.将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n +∈N ，2n …）x 轴、y 轴 围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞
=
.
第11题图
【测量目标】极限及其运算.
【考查方式】给出直线方程，画出图象，根据微积分基本定理直接求定积分. 【难易程度】中等 【参考答案】1
【试题解析】联立直线2l 和直线3l ，得0,,0
1nx y n n
x y x ny n n +-=??==?
+-=+?
(
,)11
n n
B n n ∴++ ，直线2l 过点(1,0)
C ，直线3l 过点(0,1)A ，（步骤1） BO AC ∴⊥
，AC BO ∴==
n S =1
21221+=+?
?n n
n n , lim 1n n S →∞∴=.（步骤2） 12.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ,剪去AOB △,将剩
余部分沿OC 、
OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为
第12题图
【测量目标】平面图形的折叠问题.
【考查方式】考查了平面图形的折叠问题及三棱锥的体积公式. 【难易程度】中等
【参考答案】
3
【试题解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，
高为
3
6
2所以该四面体的体积为32836223162131=
????. 13.如图所示，直线2x =与双曲线2
2:
14
y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，
记11OE e = ，22OE e =
，任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+ 、)b ∈R ，
则a 、b 满足的一个等式是
第13题图
【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用直线与双曲线之间的位置关系及平面向量的坐标运算直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】41ab =
【试题解析】)1,2(),1,2(21-E E 12OP ae be =+=
),22(b a b a -+，点P 在双曲线上，
1)(4
)22(22=--+∴b a b a ，化简得41ab =.
14.从集合{},,,U a b c d =的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a 、b 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ?或B A ?，那么共有 种不同的选法. 【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用列举法直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】36
【试题解析】列举法，共有36种
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“()π
2π4
x k k =+
∈Z ”是“tan 1x =”成立的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.
【考查方式】给出两个等式，判断它们之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】ππ
tan(2π)tan 144
k +
==，所以充分； 但反之不成立，如5π
tan 14
=，所以不必要. 16.直线l 的参数方程是()122x t
t y t =+?∈?=-?
R ，则l 的方向向量d 可以是 （ ）
A.()1,2
B.()2,1
C.()2,1-
D.()1,2- 【测量目标】参数方程.
【考查方式】参数方程与直角坐标方程之间的互化. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】直线l 的一般方程是052=-+y x ，2
1
-
=k ，所以C 正确. 17.若0x 是方程1
31()2
x
x =的解，则0x 属于区间 （ ）
A. 2,13??
??? B. 12,23??
??? C. 11,32??
??? D. 10,3?? ???
【测量目标】函数的定义域.
【考查方式】给出方程的一个解0x ，求其取值范围. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】3
12
1313
12121,3121??
? ??
? ????? ??>??
?
?? ，∴0x 属于区间(13,12
). 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
111,,13115
，则此人能 （ ） A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 【测量目标】利用余弦定理判断三角形的形状.
【考查方式】给出三角形的三条高的长度，利用面积相等及余弦定理判断三角形的形状. 【难易程度】中等 【参考答案】D
【试题解析】设三边分别为,,a b c ，利用面积相等可知
11113115
a b c ==， ::13:11:5a b c ∴=由余弦定理得011
5213115cos 2
22
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）
已知π02
x <<
，化简：2πlg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+ .
【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角.
【考查方式】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角对函数进行化简. 【难易程度】容易
【试题解析】π02x <<
，
2π
lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24
x x x x x ∴+-+--+
()()()lg sin cos lg cos sin lg 12sin cos x x x x x x =+++-+
()()2
2lg sin cos lg sin cos x x x x =+-+
()()2lg sin cos 2lg sin cos x x x x =+-+
0=
20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分. 已知数列{}n a 的前
n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N .
（1）证明：{}1n a -是等比数列；
（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前
n 项和n S 的关系.
【考查方式】给出数列的通项公式n a 与前
n 项和n S 之间的关系，求证{}1n a -是等比数列
及求数列{}n S 的通项公式，并通过判断其单调性来求最值. 【难易程度】中等
【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n …时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，
()15
116
n n a a -∴-=
-，
（步骤1） 又11150a -=-≠ ，∴数列{}1n a -是等比数列；
（步骤2） （2）由(1)知：1
51156n n a -??-=- ?
?? ，得1
51156n n a -??
=- ?
??
，（步骤3）
从而()1
575906n n S n n -+??
=+-∈ ?
??
N ；
（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得1
52
65n -??
< ?
??，5
62log 114.925
n >+≈，（步骤5） ∴当15n …时，数列{}n S 单调递增；
（步骤6） 同理可得，当15n …时，数列{}n S 单调递减；
故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7）
21.（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m 铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用2
m S 塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到2
0.01m ）； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3m 时， 求图中两根直线13A B 与35A B 所在异面直线所成角的大小.（结果用反三角函数表示）
第21题图
【测量目标】利用函数的单调性求最值，异面直线所成的角.
【考查方式】先利用函数的单调性求最值，再通过利用平面向量的数量积运算解决平面向量的夹角问题. 【难易程度】中等
【试题解析】 (1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则()1.2200.6l r r =-<<，
()2
3π0.40.48πS r =--+，（步骤1）
∴当0.4r =时，S 取得最大值约为21.51m ；
（步骤2） (2) 当0.3r =时，0.6l =，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-
，
()350.3,0.3,0.6A B =--
，
（步骤3） 设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3A B A B A B A B θ==
，
（步骤4） ∴13A B 、35A B 所在异面直线所成角的大小为2
arccos 3
．（步骤5）
第21题图
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.
若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22
a b ab +远离2；
（3）已知函数()f x 的定义域k ππ,,24D x x k x ??
=≠
+∈∈????
Z R .任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要
求证明）.
【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式.
【考查方式】考查对三角函数的基本性质的了解程度以及利用基本不等式证明绝对值不等式的能力.
【难易程度】较难
【试题解析】（1）211x -> ，211x ∴->或2
11x -<-（舍去）（步骤1）
()
,x ∴∈-∞+∞
；（步骤2）
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，有3
3
2a b +>2
2
2a b ab +>， （步骤3）
()()2
3322220a b a b ab a b a b +--+-=+-> ，
332222a b a b ab ∴+->+-，即33a b +比22a b ab +远离2；
（步骤4）
（3）π3πsin ,k π,π44()ππcos ,π,π44x x k f x x x k k ???∈++ ????
?=???
?∈-+ ?????
，（步骤5）
性质：1? ()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称；2? ()f x 是周期函数，最小正周期π
2
T =； 3?函数()f x 在区间ππππ,2422k k ??++?
???（k ∈Z ）单调递增，在区间ππππ,2424k k ??
-+????
（k ∈Z ）单调递减；
4?函数()f x
的值域为?
???
．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知椭圆Γ的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，点P 的坐标为(),a b -.
（1）若直角坐标平面上的点()(),0,,,0M A b B a -满足()
12
PM PA PB =+uuu r uu r uu r
,求点M 的坐标；
（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若
2
122b k k a
?=-，证明：E 为CD 的中点；
（3）对于椭圆Γ上的点()()cos ,sin 0πQ a b θθθ<<，如果椭圆Γ上存在不同的两个交
点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=
,写出求作点1P
、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.
【测量目标】向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的范围问题.
【考查方式】给出直线与椭圆的方程，联立方程组，用消元法解方程组，求证E 为CD 的中点并求出θ的取值范围. 【难易程度】较难
【试题解析】 (1)设点M 的坐标为(),x y ，由题意可知(),PM x a y b =+-
， (),2PA a b =- ，()2,PB a b =-
，
（步骤1）
()
12PM PA PB =+uuu r uu r uu r Q 32
32
x a a y b b
?+=??∴??-=-??，（步骤2）
22
a x
b y ?
=??∴??=-??，,22a b M ??∴- ???；（步骤3）
(2)由方程组122221y k x p
x y a b
=+???+=??，消y 得方程()()22222222
1120a k b x a k px a p b +++-=，
（步骤4）
直线11:l y k x b =+交椭圆Γ于C 、D 两点，
∴0?>，即222210a k b p +->，
（步骤5） 设()11,C x y 、()22,D x y ，CD 中点坐标为()00,x y ，
则2121022212
01022212x x a k p
x a k b b p y k x p a k b ?+==-?+?
??=+=?+?
，（步骤6） 由方程组12y k x p
y k x
=+??
=?，消y 得方程()21k k x p -=，（步骤7）
又2
221
b k a k =- ，210222211
2
20
2221p a k p
x x k k a k b b p y k x y
a k
b ?==-=?-+?∴??===?+?
，（步骤8） 故E 为CD 的中点；（步骤9）
(3) 求作点1P 、2P 的步骤：1?求出PQ 的中点()()1cos 1sin ,22a b E θθ--??
-
???
，
2?求出直线OE 的斜率()
()
21sin 1cos b k a θθ+=
-，
3?由12PP PP PQ +=
知
E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率
()()
2
1221cos 1sin b b k a k a θθ-=-=
+， 4?从而得直线CD 的方程：()()()()1sin 1cos 1cos 21sin 2b b a y x a θθθθ+--??
-
=+ ?+??
，
5?将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点1P 、2P 的坐标．
（步骤10） 欲使1P 、2P 存在，必须点
E 在椭圆内， ()()2
2
1cos 1sin 14
4
θθ-+∴
+
<
，化简得1πsin cos ,sin 244θθθ?
?-<-<
???
，（步骤11） 又0πθ<<，即ππ3π444θ-
<-<
，ππarcsin 444
θ∴-<-<，（步骤12） 故θ
的取值范围是π0,arcsin 44?+ ??
．（步骤13）
上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3 ) 4lg(--=x x y 的定义域是 ． 2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1 )(-= x x x f 的反函数=-)(1 x f ． 4．方程 96370x x -?-=的解是 ． 5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ． 6．函数??? ? ? +??? ? ?+ =2πsin 3 πsin x x y 的最小正周期=T ． 7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 8．以双曲线15 42 2=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01 ≠+ a a ； ② 2222)( b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2 ，则b a =． 那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个
相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是 直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ． 11．已知P 为圆1)1(2 2 =-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a b ∈R ，，且i , i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 02 =++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==， Ｄ．43p q ==， 13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．2 2 b a < Ｂ．b a ab 2 2 < Ｃ． b a a b 2 211< Ｄ．b a a b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i j i +=+=3, 2，则k 的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2 )1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立
2015年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为． 2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=． 4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=． 5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=． 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为． 10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是． 14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．
2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份） 一.填空题 1．函数f（x）=lnx+的定义域为． 2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为． 4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为． 6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为． 7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为． 8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是． 9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则?的值为．
11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ． 12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是． 二.选择题 13．直线（t为参数）的倾角是（） A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．“x＞0，y＞0”是“”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（） A．B．C．2+D．1+ 16．对数列{a n}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣ 2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________ )()(1=-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 8、在n x x ??? ? ?-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11 ax y x by +=??+=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值 为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ?? -sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组 ()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P
2010上海高考数学错题汇总 一、集合与简易逻辑部分 1．已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。则实数P 的取值范围为 。 2．已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1｝，若A ∪B=A ，则函数m 的取值范围是_________。 A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4 D ． m ≤4 3．命题“若△ABC 有一内角为3 π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异 C ．与原命题的逆否命题的真值不同 D ．与原命题真值相同 二、函数部分 4．函数y=3 472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是_____________ 5．判断函数f(x)=(x －1)x x -+11的奇偶性为____________________ 6．设函数f(x)=1 32-+x x ,函数y=g(x)的图象与函数y=f －1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，则g （3）=__________ 7. 方程log 2(9 x －1－5)－log 2(3 x －1－2)－2=0的解集为___________________- 三、数列部分 8．x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 9．已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n －1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n ｝_______________ A.一定是A 2P B.一定是G 2P C.或者是A 2P 或者是G 2P D.既非等差数列又非等比数列 10．A 2P ｛a n ｝中, a 1=25, S 17=S 9,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。 四、三角函数部分 11．设θ θsin 1sin 1+-=tan θθsec -成立，则θ的取值范围是_______________ 12.函数y=sin 4x+cos 4x － 43的相位________，初相为_______ 。周期为_______，单调递增区间为_______。 13．函数f(x)= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为______________。 14．若2sin 2α βααβ222sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是______________ 15.已知函数 f (x) =2cos(3 24+x k )－5的最小正周期不．大于2，则正整数k 的最小值是
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共150分.考试时长120分钟. 一、填空题：本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分. 1.已知集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5}B =，那么A B =I . 2.若排列数6654m P =??，则m = . 3.不等式1 1x x -＞的解集为 . 4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 . 5.已知复数z 满足3 0z z +=的定义域为 . 6.设双曲线2221(0)9x y b b -=＞的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF = . 7.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuuu r 的坐标为(4,3,2)，则1AC uuuu r 的坐标是 . 8.定义在(0,)+∞上的函数()y f x =反函数为1 ()y f x -=，若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-=??≤＞为奇函 数，则1()2f x -=的解为 . 9.已知四个函数：①y x =-，②1 y x =-，③3y x =，④1 2y x =，从中任选2个，则事件 “所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 10.已知数列 {}n a 和{}n b ，其中2 n a n =，n ∈* N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对 于任意n ∈*N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 14916 1234lg() lg() b b b b b b b b == . 11.设1a 、2a ∈R ，且1211 22sin 2sin(2) a a +=++，则12|10π|a a --的最小值等 于 . 12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合1234{P ,P ,P ,P }Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧．用1D （P l ）和2D （P l ）分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和．若过P 的直线P l 中有且只有一条满足1D （P l ）2D =（P l ） ，则Ω中所有这样的P 为 . 二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.关于x 、y 的二元一次方程组50 234x y x y +=??+=? 的系数行列式D 为 （ ） A .0543 B .1024 C .1523 D . 60 54 14.在数列{}n a 中，12n n a ?? =- ??? ，n ∈*N ，则lim n n a →∞ （ ） A .等于12- B .等于0 C .等于1 2 D .不存在 15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n ∈*N ，则“存在k ∈*N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是 （ ） A .0a ≥ B .0b ≤ C .0c = D .20a b c -+= 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364 x y C +=和22 2:19y C x + =．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ u u u r u u u r g 的最大值．记{(,)}P Q Ω=，P 在1C 上，Q 在2C 上，且OP OQ w =u u u r u u u r g ，则Ω中元素个数为 （ ） A .2个 B .4个 C .8个 D .无穷个 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无--------------------效--- -------------
2000年上海高考数学理科卷
2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。 2．函数，x x y --=312log 2 的定义域为 。 3．圆锥曲线 ?? ?=+=θ θtg y x 31 sec 4的焦点坐标是 。 4．计算：lim()2 n n n n →∞ += 。 5．已知b x f x +=2 )(的反函数为) (),(1 1 x f y x f --=若的图象经过点 ) 2,5(Q ，则b = 。 6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300） 7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。 9．在二项式11 )1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数 为 ，（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。 11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。 12．在等差数列{} n a 中，若 =z a ，则有等式 ) ,19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++πΛΛ成立，类比上述性质，相就 夺：在等此数列{} n b 中，若1 0=b ，则有等式 成立。 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题
2010年高考数学（理科）上海试题 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式 204 x x ->+的解集是_______________． 2．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ?+=_______________． 3．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________． 4．行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是_______________． 5．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 6．随机变量ξ的概率分布由下表给出： 7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 8．对于不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标为_______________． 9 ．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率 ()P A B = ______________(结果用最简分数表示)． 10．在n 行n 列矩阵12321 2341 134********n n n n n n n n n n --?? ? - ? ? ? ? ?---?? 中， 记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时， a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．
2015年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则 Α∩?UΒ=． 2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣ c2=． 4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=． 5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程 为． 10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，
2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷 一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B= ．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为． 4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a= ． 5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= ． 6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种． 7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3． 8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）= ． 9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为． 10．有以下命题：
①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}； ②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）； ③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数； ④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f （x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上； 其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号） 11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm． 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．“x＜2”是“x2＜4”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（） A．S n单调递增B．S n单调递减 C．S n有最小值 D．S n有最大值
2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4) 【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 2. 设32i i z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3- 【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =- 3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________ 【解析】d == 4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76 5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x - 【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+ ∴2log (1)x y =- ∴12()log (1)f x x -=- 6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3 ， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】 【解析】BD =, 123 DD BD =?= 7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________
2015年上海市春季高考模拟试卷六 一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、不等式304 x x -≤+的解集是___________. 2、在ABC ?中，角,,C A B 满足sin :sin :sin 1:2:7A B C =，则最大的角等于________. 3、若复数z 满足()2z i z =-（i 是虚数单位），则=z ____________. 4、已知全集U R =,集合{}{}0,,13,A x x a x R B x x x R =+≥∈=-≤∈，若()[]2,4 U C A B =-,则实数a 的取值范围是___________. 5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 6、设直线1:20l ax y +=的方向向量是1d ，直线()2:140l x a y +++=的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则a =_________. 7、若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式101x x a >-+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________. 9、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p =_________. 10、设函数()()[)() 36log 1,6,3,,6x x x f x x -?-+∈+∞?=?∈-∞??的反函数为()1f x -，若119f a -??= ???，则()4f a +=__________. 11、设()8,a R x a ∈-的二项展开式中含5x 项的系数为7，则()2l i m n n a a a →∞+++=_________. 12、已知定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ?≠?-=??=? ，若关于x 的方程()()20 f x bf x c ++=有3个不同的实数根123,,x x x ，则222123x x x ++=____________. 二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z=． 2．抛物线y2=2x的准线方程是． 3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=． 4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=． 5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是． 6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是． 7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为． 8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=． 9．在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n ，且 +1 =，则a1的值为． 10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有． 11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P， 若，则实数λ的值为． 12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考
生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若x ∈R ，则“x ＞1”是“ ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 14．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥α，α∩β=m ，则l ∥m B ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m C ．若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α 15．在直角坐标平面内，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB?tan ∠PBA=m （m 为非零常数）的点P 的轨迹方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 16．若函数y=f （x ）在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数， 则称函数f （x ）是区间I 上的“H 函数”．对于命题：①函数是（0， 1）上的“H 函数”；②函数是（0，1）上的“H 函数”．下列判断正确 的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①为真命题，②为假命题 C ．①为假命题，②为真命题 D ．①和②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．在三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 是边长为6的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且 PB 与底面ABC 所成的角为 ． （1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积； （2）若M 是BC 的中点，求异面直线PM 与AB 所成角的大小（结果用反三角函
2016年上海市高考数学试卷（理科） 一．选择题（共4小题） 1．（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 2．（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（） A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程． 【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列 条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（） A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．
2016年高考上海数学试卷（文史类） 考生注意： 1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32i i z += ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=： ，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）. 5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1 ()f x -=______. 7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥?? ≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 9．在32 ()n x x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA ×uu u r uu r 的取值范 围是 .
2017年上海市高考数学试卷 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = 2. 若排列数6654m P =??，则m = 3. 不等式 1 1x x ->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足3 0z z + =，则||z = 6. 设双曲线 22 2 19x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF = 7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1 ()y f x -=，若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-≤?=?>??为 奇函数，则1()2f x -=的解为 9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x =-；③ 3 y x =；④ 1 2y x =. 从中任选2个，则 事 件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg() lg() b b b b b b b b = 11. 设1a 、2a ∈R ，且1211 22sin 2sin(2) αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于 12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点 P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点 分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为
2013年上海市秋季高考理科数学 一、填空题 1．计算：20 lim ______313 n n n →∞+=+ 【解答】根据极限运算法则，201 lim 3133 n n n →∞+=+． 2．设m R ∈，2 2 2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 【解答】22 20 210m m m m ?+-=?=-?-≠?． 3．若22 11 x x x y y y = --，则______x y += 【解答】2 2 20x y xy x y +=-?+=． 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若2 2 2 32330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【 解 答 】 2222222 323303 a a b b c c a b ab ++-=?=++，故 11 cos ,arccos 33 C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若5 2a x x ??+ ?? ?的二项展开式中7 x 项的系数为10-，则______a = 【解答】2515()(),2(5)71r r r r a T C x r r r x -+=--=?=，故1 5 102C a a =-?=-． 6．方程 1 313313 x x -+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233 238034log 4x x x x -?-=?=?=． 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=?= ，又0ρ≥ ，故所求为12 +． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913 118 C C -=．