第三编 导数及其应用
§3.1 导数的概念及运算
1.在曲线y =x 2
+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则x
y
??为 . 答案 Δx +2
2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则f ′(x )= . 答案 cos2x +cos x
3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式xf ′(x )＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）. ①af (b )＞bf (a ) ②af (a )＞bf (b ) ③af (a )＜bf (b )
④af (b )＜bf (a )
答案 ①③④
4.（20082辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是??????4,0π，
则点P 横坐标的取值范围为 .
答案 ?????
?
--21,1
5.(20082全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a = . 答案 2
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例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.
解 ∵Δy =11)(2
020+-+?+x x x
=1
1)(1
1)(2
2
02
020++
+?+--+?+x x x x x x
基础自测
=
1
1)()(220
2
020++
+?+?+?x x x x x x ，
∴
x y
??=1
1)(22
0200+++?+?+x x x x x . 例2 求下列各函数的导数： （1）y =
2
5sin x x
x x ++；
（2）y =（x +1）（x +2）（x +3）； （3）y =-sin 2x (1-2cos 24
x
)； （4）y =
x
-11+
x
+11.
解 （1）∵y =
2
52
1sin x x x x ++=x
2
3-
+x 3
+
2
sin x x ，
∴y ′=（x
2
3-
）′+(x 3
)′+(x -2
sin x )′
=-23x 25
-+3x 2-2x -3sin x +x -2
cos x . (2)方法一 y =（x 2
+3x +2）（x +3） =x 3
+6x 2
+11x +6， ∴y ′=3x 2
+12x +11. 方法二
y ′=［（x +1）（x +2）］′（x +3）+（x +1）（x +2）（x +3）′ =［（x +1）′（x +2）+（x +1）（x +2）′］（x +3）+（x +1）（x +2） =（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2） =（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2） =3x 2
+12x +11. （3）∵y =-sin 2x (-cos 2x )=2
1
sin x ， ∴y ′=(21sin x ) ′= 21（sin x ）′=2
1
cos x . （4）y =
x
-11+
x
+11=
)1)(1(11x x x
x +--++=
x
-12
，
∴y ′=(
x -12)′=2)
1()1(2x x -'--=2)1(2x -.
例3 求下列函数的导数： （1）y =
4
)31(1x -;
(2)y =sin 2
(2x +
3
π
); (3)y =x 21x +.
解 （1）设u =1-3x ,y =u -4
. 则y x ′=y u ′2u x ′=-4u -5
2（-3）=5
)31(12x -.
(2)设y =u 2
,u =sin v ,v =2x +
3
π
, 则y x ′=y u ′2u v ′2v x ′=2u 2cos v 22
=4sin ??? ??+32πx 2cos ??? ?
?
+32πx
=2sin ??? ??
+324πx .
(3)y ′=(x 21x +)′
=x ′221x ++x 2（21x +)′
=2
1x ++
2
21x
x +=
2
2121x
x ++.
例4 （14分）已知曲线y =
31x 3+3
4
. (1)求曲线在x =2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y ′=x 2
,
∴在点P （2，4）处的切线的斜率k =y ′|x =2=4. 3分 ∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),
即4x -y -4=0.
6分
（2）设曲线y =31x 3+3
4
与过点P （2，4）的切线相切于点 A (x 0，
31x 03+3
4
)，则切线的斜率 k =y ′|0x x ==x 02
. 8分
∴切线方程为y -(31x 03+3
4)=x 02
(x -x 0), 即y =x 02
2x -32x 03+3
4
.
10分
∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02
-3
2x 03+34
,
即x 03
-3x 02
+4=0,∴x 03
+x 02
-4x 02
+4=0, ∴x 02 (x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,
∴(x 0+1)(x 0-2)2
=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.
14分
1.求y =x 在x =x 0处的导数.
解
x
y ??=x
x x x ?-?+0
=
)
()
)((000000x x x x x x x x x x +?+?+?+-?+
=
01x x x +?+，
当Δx 无限趋近于0时，
01x x x +?+无限趋近于0
21x ,
∴f ′(x 0)=
21x .
2.求y =tan x 的导数.
解 y ′='
??? ??x x cos sin =
x x x x x 2cos )(cos sin cos )(sin '
-' =
x
x
x 2
22cos sin cos +=
x
cos 1.
3.设函数f （x ）=cos （3x +?）（0＜?＜π）.若f (x )+f ′(x )是奇函数,则?= . 答案
6
π 4.若直线y =k x 与曲线y =x 3
-3x 2
+2x 相切，则k = . 答案 2或-4
1
一、填空题
1.若f ′（x 0）=2，则当k 无限趋近于0时k
k 2)
()(00x f x f --= .
答案 -1
2.（20082全国Ⅰ理，7）设曲线y =1
1
-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = . 答案 -2
3.若点P 在曲线y =x 3-3x 2
+(3-3)x +
4
3
上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 .
答案 ??????2,0π ??
?
???ππ,32
4.曲线y =x 3
-2x 2
-4x +2在点（1,-3）处的切线方程是 . 答案 5x +y -2=0
5.（20092徐州六县一区联考）若曲线f (x )=x 4
-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为 . 答案 （1，0）
6.已知曲线S :y =3x -x 3
及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线共有 条. 答案 3 7.曲线y =
x 1和y =x 2
在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 答案
4
3 8.若函数f (x )的导函数为f ′(x )=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 .
答案 ???
???a 1,1
二、解答题
9.求下列函数在x =x 0处的导数. （1）f （x ）=cos x 2sin 2
x +cos 3
x ，x 0=3
π； （2）f （x ）=
x
x
x x ++
-1e 1e ，x 0=2；
（3）f （x ）=
2
23ln x x
x x x +-，x 0=1.
解 （1）∵f ′(x )=［cos x (sin 2
x +cos 2
x )］′ =(cos x )′=-sin x , ∴f ′（
3π）=-2
3.
(2)∵f ′(x )='
????
??-x x 1e 2 =
2
)1()1(e 2)1()e 2(x x x x x -'
---'
=
2
)1(e )2(2x x x --,∴f ′(2)=0.
(3)∵f ′(x )=(x 2
3
-)′-x ′+(ln x )′=-2
3x 25
--1+x 1
,
∴f ′(1)=-
2
3
. 10.求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.
解 设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2，则y ′|0x x ==0
)12(121x x x x =???
???'-?-
=
122-x |0x x ==1
22
0-x =2.
解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0）， 点P 到直线2x -y +3=0的距离为
5)
1(2|302|2
2
=-++-,
∴曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（20082海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f (x )=ax +b
x +1
（a ,b ∈Z ），曲线y =f (x )在点（2，f （2））处的切线方程为y =3. （1）求f （x ）的解析式；
（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. (1)解 f ′(x )=a -2
)
(1b x +,
于是???????
=+-=++.0)2(1
,32122b a b a
解得???-==11b a 或???????
-==38
,49b a
因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +
1
1
-x . (2)证明 在曲线上任取一点（x 0,x 0+1
1
0-x ）, 由f ′(x 0)=1-
2
0)1(1-x 知,过此点的切线方程为
y -110020-+-x x x =???
?????--20)1(11x (x -x 0). 令x =1,得y =
1
1
00-+x x , 切线与直线x =1的交点为???
?
??-+11,100x x ;
令y =x ,得y =2x 0-1,
切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1); 直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为
2111100--+x x |2x 0-1-1|=21
1
20-x |2x 0-2|=2.
所以,所围三角形的面积为定值2.
12.偶函数f （x ）=ax 4
+bx 3
+cx 2
+dx +e 的图象过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x -2，求y =f （x ）的解析式.
解 ∵f （x ）的图象过点P （0，1），∴e =1.
①
又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）.
故ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =ax 4-bx 3+cx 2
-dx +e . ∴b =0，d =0.
②
∴f （x ）=ax 4
+cx 2
+1.
∵函数f （x ）在x =1处的切线方程为y =x -2， ∴可得切点为（1，-1）. ∴a +c +1=-1.
③ ∵f ′（1）=（4ax 3
+2cx ）|x =1=4a +2c ， ∴4a +2c =1.
④
由③④得a =
25，c =-2
9. ∴函数y =f （x ）的解析式为f （x ）=25x 4-2
9x 2
+1.
§3.2 导数的应用
1.函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数g =f ′(x )的图象是如图所示的一条直线， 则y =f (x )图象的顶点在第 象限. 答案 一
2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，f ′(x )＞0,g ′(x )＞0，则x ＜0时，f ′(x ) 0,g ′(x ) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空) 答案 ＞ ＜
3.（20082广东理，7）设a ∈R ,若函数y =e ax +3x ,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围是 . 答案 a ＜-3
4.函数y =3x 2
-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 ???? ??+∞,33 ???
? ??33,0 5.（20082江苏，14）f (x )=ax 3
-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案 4
例1 已知f (x )=e x -ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；
（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；
（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 f ′(x )= e x -a .
(1)若a ≤0，f ′(x )= e x -a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a ,x ≥ln a . ∴f (x )的递增区间为（ln a ，+∞）.
（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立. ∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.
（3）方法一 由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数
.
基础自测
∴x =0时，e x 最大为1.∴a ≥1.
同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤1，∴a =1.
方法二 由题意知，x =0为f (x )的极小值点. ∴f ′(0)=0,即e 0
-a =0,∴a =1.
例2 已知函数f (x )=x 3
+ax 2
+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =3
2
时，y =f (x ）有极值. （1）求a ,b ,c 的值；
（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f （x )=x 3
+ax 2
+bx +c , 得f ′(x )=3x 2
+2ax +b ,
当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0
①
当x =
32时，y =f (x )有极值，则f ′（3
2
）=0, 可得4a +3b +4=0
②
由①②解得a =2,b =-4.
由于切点的横坐标为x =1,∴f (1)=4. ∴1+a +b +c =4.∴c =5.
（2）由（1）可得f (x )=x 3
+2x 2
-4x +5, ∴f ′(x )=3x 2
+4x -4, 令f ′(x )=0,得x =-2,x =
3
2
. 当x 变化时，y ,y ′的取值及变化如下表：
∴ y =f (x )在[-3，1]上的最大值为13，最小值为
27
95 例3 （14分）已知函数f (x )=x 2e -
ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 解 ∵f （x ）=x 2
e -
ax （a ＞0）,
∴f ′(x )=2x e -ax +x 2
2（-a )e -ax =e -ax (-ax 2
+2x ).
3分
令f ′(x )＞0,即e -ax (-ax 2
+2x )＞0,得0＜x ＜
a
2
. ∴f (x )在（-∞,0),??
?
??+∞,2a 上是减函数，
在???
??a 2,0上是增函数. ①当0＜
a
2
＜1,即a ＞2时,f (x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -
a .
8分
②当1≤
a
2
≤2,即1≤a ≤2时， f (x )在（1, a 2）上是增函数，在（a 2
,2）上是减函数， ∴f (x )max =f （a
2）=4a -2e -2
. 12分
③当
a
2
＞2时，即0＜a ＜1时，f (x )在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2
a .
综上所述，当0＜a ＜1时，f (x )的最大值为4e -2
a , 当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a -2e -2
, 当a ＞2时，f (x )的最大值为e -a .
14分
例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2
万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L =(x -3-a )(12-x )2
,x ∈［9,11］. (2)L ′(x )=(12-x )2
-2(x -3-a )(12-x ) =(12-x )(18+2a -3x ). 令L ′=0得x =6+
3
2
a 或x =12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+3
2a ≤328.
在x =6+
3
2
a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+
32a ＜9即3≤a ＜2
9
时， L max =L (9)=(9-3-a )(12-9)2
=9(6-a ). ②当9≤6+32a ≤328即2
9≤a ≤5时，
L max =L (6+32a )=(6+32a -3-a )［12-(6+3
2a )］2
=4(3-
3
1a )3. 所以Q (a )=????
??
?
≤≤-<
≤-.52
9
,)313(4,2
9
3),6(93a a a a
答 若3≤a ＜
2
9
，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=4（3-31a ）3
(万元).
1.已知函数f (x )=x 3
-ax -1.
(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图象不可能总在直线y =a 的上方. （1）解 由已知f ′(x )=3x 2
-a , ∵f (x )在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f ′(x )=3x 2
-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立， 即a ≤3x 2
对x ∈R 恒成立. ∵3x 2
≥0,∴只需a ≤0, 又a =0时，f ′(x )=3x 2
≥0,
故f (x )=x 3
-1在R 上是增函数，则a ≤0.
（2）解 由f ′(x )=3x 2
-a ≤0在(-1,1)上恒成立， 得a ≥3x 2
,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1＜x ＜1,∴3x 2
＜3,∴只需a ≥3. 当a =3时，f ′(x )=3(x 2
-1), 在x ∈(-1,1)上，f ′(x )＜0,
即f (x )在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f (x )在（-1，1）上单调递减. （3）证明 ∵f (-1)=a -2＜a ,
∴f (x )的图象不可能总在直线y =a 的上方.
2.求函数y =x 4
-2x 2
+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值. 解 先求导数,得y ′=4x 3
-4x 令y ′=0,即4x 3
-4x =0. 解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.
导数y ′的正负以及f (-2),f (2)如下表:
从上表知,当x =±2时,函数有最大值13, 当x =±1时,函数有最小值4. 3.（20082山东理，21）已知函数f (x )=n
x )1(1-+a ln(x -1),其中n ∈N *
,a 为常数.
(1)当n =2时,求函数f (x )的极值;
(2)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1. (1)解 由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}, 当n =2时,f (x )=
2
)1(1x -+a ln(x -1),
所以f ′(x )=
3
2)1()1(2x x a ---.
①当a ＞0时,由f ′(x )=0,得 x 1=1+
a 2＞1,x 2=1-a
2＜1,
此时f ′(x )=
3
21)1()
)((x x x x x a ----.
当x ∈(1,x 1)时,f ′(x )＜0,f (x )单调递减; 当x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增. ②当a ≤0时,f ′(x )＜0恒成立,所以f (x )无极值. 综上所述,n =2时, 当a ＞0时,f (x )在x =1+a
2
处取得极小值, 极小值为f （1+
a
2
）=2a （1+ln a 2）.
当a ≤0时,f (x )无极值. (2)证明 方法一 因为a =1, 所以f (x )=
n
x )1(1-+ln(x -1).
当n 为偶数时, 令g (x )=x -1-n
x )1(1
--ln(x -1), 则g ′(x )=1+1
)1(1
+-n x -1
1
-x =
12--x x +1
)1(+-n x n
＞0 (x ≥2). 所以,当x ∈［2,+∞)时,g (x )单调递增,又g (2)=0, 因此,g (x )=x -1-
n
x )1(1--ln(x -1)≥g (2)=0恒成立,
所以f (x )≤x -1成立.
当n 为奇数时,要证f (x )≤x -1,由于n
x )
1(1-＜0,
所以只需证ln(x -1)≤x -1, 令h (x )=x -1-ln(x -1), 则h ′(x )=1-11-x =1
2
--x x ≥0(x ≥2), 所以,当x ∈［2,+∞)时,h (x )=x -1-ln(x -1)单调递增, 又h (2)=1＞0,所以当x ≥2时,恒有h (x )＞0, 即ln(x -1)＜x -1命题成立. 综上所述,结论成立. 方法二 当a =1时,f (x )=
n
x )1(1-+ln(x -1).
当x ≥2时,对任意的正整数n ,恒有
n
x )
1(1-≤1,
故只需证明1+ln(x -1)≤x -1. 令h (x )=x -1-(1+ln(x -1)) =x -2-ln(x -1),x ∈［2,+∞). 则h ′(x )=1-11-x =1
2
--x x , 当x ≥2时,h ′(x )≥0,故h (x )在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h (x )≥h (2)=0, 即1+ln(x -1)≤x -1成立. 故当x ≥2时,有n
x )1(1-+ln(x -1)≤x -1.
即f (x )≤x -1.
4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R （x ）=3 700x +45x 2
-10x 3
（单位：万元），成本函数为C （x ）=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f （x ）的边际函数Mf （x ）定义为Mf （x ）=f （x +1）-f （x ）.
（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP （x ）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解 （1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=-10x 3
+45x 2
+3 240x -5 000（x ∈N *
，且1≤x ≤20）; MP (x )=P (x +1)-P (x )=-30x 2
+60x +3 275 (x ∈N *
,且1≤x ≤19). （2）P ′(x )=-30x 2
+90x +3 240=-30(x -12)(x +9), ∵x ＞0,∴P ′(x )=0时,x =12，
∴当0＜x ＜12时，P ′(x )＞0,当x ＞12时，P ′(x )＜0, ∴x =12时，P (x )有最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. （3）MP （x ）=-30x 2
+60x +3 275=-30（x -1）2
+3 305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *
.
MP （x ）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.
一、填空题
1.已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列说法中错误的有 （填序号）.
①f (x )在x =1处取得极小值
②f （x ）在x =1处取得极大值 ③f （x ）是R 上的增函数
④f （x ）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数 答案 ①②④
2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数
f (x )在开区间(a ,b )内极小值点有 个. 答案 1
3.函数f (x )=x 2
-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=x
x f )
(在区间（1，+∞）上一定是 函数.（用“增”、“减”填空） 答案 增
4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm. 答案 8
5.已知f (x )=2x 3
-6x 2
+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是 . 答案 -37 6.已知函数f (x )=2
1x 4-2x 3
+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 . 答案 m ≥
2
3 7.已知函数f (x )=x 3
-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m = . 答案 32
8.已知函数f (x )的导数f ′(x )=a (x +1)2(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，0） 二、解答题 9.设a ＞0,函数f (x )=
1
2++x b ax ,b 为常数.
（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个； （2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 f ′(x )=
2
22)1(2++--x a bx ax ,
令f ′(x )=0,得ax 2
+2bx -a =0
(*)
∵Δ=4b 2
+4a 2
＞0,
∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1＜x 2), 则f ′(x )=
2
221)1()
)((+---x x x x x a ,
当x 变化时，f ′(x ）与f (x ）的变化情况如下表：
可见，f (x )的极大值点和极小值点各有一个.
（2）解 由（1）得???
?
???
=++=-=++=11)(11)(22222
111x b ax x f x b ax x f
即????
?+=+--=+②
1
①1
2
22211x b ax x b ax
两式相加，得a (x 1+x 2)+2b =x 22-x 21.
∵x 1+x 2=-
a
b 2,∴x 22-x 2
1=0, 即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,
又x 1＜x 2,∴x 1+x 2=0,从而b =0, ∴a （x 2
-1）=0，得x 1=-1,x 2=1, 由②得a =2.
10.（20092徐州模拟）已知函数f (x )=3
342+x x ,x ∈［0，2］.
（1）求f (x )的值域； （2）设a ≠0,函数g (x )=3
1ax 3-a 2
x ,x ∈［0，2］.若对任意x 1∈［0，2］，总存在x 2∈［0，2］，使f (x 1)-g (x 2)=0.求实数a 的取值范围.
解 （1）方法一 对函数f (x )求导，f ′(x )=34
22
22)1(1+-x x .
令f ′(x )=0,得x =1或x =-1.
当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0,f (x )在(0,1）上单调递增；
当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0,f (x )在（1，2）上单调递减.又f (0)=0,f (1)=
32,f (2)=15
8, ∴当x ∈［0，2］时，f (x )的值域是???
???32,0.
方法二 当x =0时，f (x )=0; 当x ∈(0，2］时，f (x )＞0且 f (x )=
3
42x
x 11+
≤
3
42x
x 121?
=
3
2， 当且仅当x =
x
1
,即x =1时，“=”成立. ∴当x ∈［0，2］时，f (x )的值域是???
???32,0.
(2)设函数g (x )在［0，2］上的值域是A . ∵对任意x 1∈［0，2］，总存在x 0∈［0，2］，
使f (x 1)-g (x 0)=0,∴????
???32,0A .
对函数g (x )求导，g ′(x )=ax 2
-a 2
. ①当x ∈(0,2),a ＜0时，g ′(x )＜0,
∴函数g (x )在（0，2）上单调递减. ∵g (0)=0,g (2)=
3
8a -2a 2
＜0, ∴当x ∈［0，2］时，不满足????
???32,0A ；
②当a ＞0时，g ′(x )=a (x -a )(x +a ). 令g ′(x )=0，得x =a 或x =-a （舍去）. （ⅰ)当x ∈［0，2］，0＜a ＜2时，列表：
∵g (0)=0,g (a )＜0,
又∵???
?
???32,0A ，∴g （2）=2238a a -≥32.
解得
3
1
≤a ≤1. (ⅱ)当x ∈(0,2),a ≥2时，g ′(x )＜0, ∴函数在（0，2）上单调递减， ∵g （0）=0，g （2）=223
8
a a -＜0,
∴当x ∈［0，2］时，不满足???
?
???32,0A .
综上，实数a 的取值范围是???
???1,31.
11.已知函数f （x ）=x 3
-ax 2
-3x .
（1）若f （x ）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x =-3
1
是f （x ）的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由. 解 （1）f ′(x )=3x 2
-2ax -3 ∵f (x )在［1，+∞）上是增函数,
∴f ′(x )在［1，+∞）上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2
-2ax -3≥0在［1，+∞）上恒成立 则必有
3
a
≤1且f ′(1)=-2a ≥0,∴a ≤0.
(2）依题意，f ′(-31)=0,即31+3
2
a -3=0 ∴a =4,∴f （x ）=x 3
-4x 2
-3x 令f ′（x ）=3x 2
-8x -3=0， 得x 1=-3
1
，x 2=3.则 当x 变化时，f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：
∴f （x ）在［1，4］上的最大值是f （1）=-6.
（3）函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，即方程x 3
-4x 2
-3x =bx 恰有3个不等实根 ∴x 3
-4x 2
-3x -bx =0， ∴x =0是其中一个根，
∴方程x 2
-4x -3-b =0有两个非零不等实根，
∴?
??≠-->++=?030)3(416b b ,∴b ＞-7且b ≠-3.
∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b ＞-7且b ≠- 3. 12.(20082安徽理，20)设函数f （x ）=x
x ln 1
（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）已知2x
1
＞x a 对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围. 解 （1）f ′(x )=-x
x x 22ln 1ln +，若f ′(x )=0,则x =
e
1. 列表如下：
所以f (x )的单调增区间为（0, e
1）， 单调减区间为（
e
1
,1）和（1，+∞）.
（2）在2x
1＞x a 两边取对数，得x
1
ln2＞a ln x . 由于x ∈(0,1)，所以2ln a ＞x
x ln 1. ①
由（1）的结果知， 当x ∈(0,1)时，f (x )≤f （
e
1
）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2
ln a
＞-e, 即a ＞-eln2.
§3.3 定积分
1.当n 无限趋近于+∞时，n 1(sin n π+sin n π2+…+sin n
n π)1(-)写成定积分的形式，可记为 . 答案
π1π
?sin x d x 2.10?1d x = . 答案 1
3.由曲线y =e x
,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为 （用定积分表示）.
答案 21?ln y d y 或2
ln 0?(2-e x )d x
4.已知f (x )为偶函数且60?f （x ）d x =8，则66-?f （x ）d x = .
答案 16
5.已知-1≤a ≤1，f （a ）=10?（2ax 2
-a 2
x ）d x ，求f （a ）的值域.
解 f (a )= 10?(2ax 2
-a 2
x )d x
=(332x a -222
x a )|1
=-2
2a +32a =-21(a -32)2+92.
∵-1≤a ≤1，∴-
67≤f （a ）≤9
2
， 故f (a )的值域为???
???-92,67
例1 计算下列定积分
（1）2
0?x (x +1)d x ;
(2) 21?(e 2
x +
x
1
)d x ; (3) π0?sin 2
x d x .
解 （1）∵x （x +1）=x 2
+x 且(
31x 3)′=x 2
,(2
1x 2)′=x , ∴20?x (x +1)d x =20?(x 2
+x )d x
基础自测
=20?x 2
d x +20?x d x =
31x 3|20+2
1x 2|2
0 =(
31323-0)+(21322
-0)=3
14. (2)∵(ln x )′=x
1,(e 2x )′=e 2x 2(2x )′=2e 2
x , 得e 2
x =(
2
1e 2x
)′ 所以2
1?（e 2
x +
x 1)d x =21?e 2x d x +21?x 1d x =2
1e 2x |21+ln x |2
1 =
21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-2
1e 2
+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x 2(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（
2
1
sin2x ）′, 所以π0?sin 2
x d x =π
0?（
21-2
1
cos2x ）d x =π0?21d x -2
1
π0?cos2x d x =
21x |π0-21（2
1sin2x ）|π0 =（
2π-0）-21（21sin2π -2
1sin0）=2π
. 例2 计算下列定积分
（1）π20?|sin x |d x ;(2)20?|x 2
-1|d x .
解 （1）∵（-cos x ）′=sin x ，
∴π20?|sin x |d x =π0?|sin x |d x +ππ2?|sin x |d x =π0?sin x d x -ππ2?sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2
=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.
（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2
-1|=?????≤≤-≤<-)
10(1)21(122x x x x
∴20?|x 2
-1|d x =10?(1-x 2
)d x +2
1?(x 2
-1)d x
=??? ??-331x x |10+（31x 3-x ）|21
=（1-
31）+（31323
-2）-（3
1-1）=2. 例3 求函数f (x )=???
?
???∈∈∈]
3,2(2]2,1(]
1,0[2
3
x x x x x x 在区间［0，3］上的积分.
【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．
3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用
3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致
江苏省2015年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a x b ax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ． 2、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。 3、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ 4、（南京市2014届高三第三次模拟）设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对 任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2 a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ 6、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ 7、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11 -x e 的解是 ． 8、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且 ()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ . 9、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）函数12ln y x x =+的单调减区间为__________ 10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在1x =处的切线方程为 ▲ . 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老
2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，.
从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重
导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，
§1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这
样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-
北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：导数及其应用 I 卷 一、选择题 1．曲线y ＝－x 3＋3x 2 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x 【答案】A 2．函数f (x )＝x 3＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 3． 曲线y=x+ln x 在点（2 e ,2 e +2)处的切线在y 轴上的截距为（ ） A ．1 B ．-1 C ． 2 e D ．- 2 e 【答案】A 4．曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( ) A ． 34 π B ． 2 π C ． 4 π D ． 6 π 答案：A 5．若 2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000 --→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ． 2 1 【答案】A 6． 已知 ()(3)2,32,f f ￠==-则323() lim 3 x x f x x ?--的值为 ( ） A ． －4 B ． 0 C ． 8 D ． 不存在 【答案】C 7． 设曲线1 1 x y x += -在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ） A ．2 B ． 2- C ． 12- D ． 1 2 【答案】B 8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．????1，3 2 C ．[1,2) D ．??? ?3 2，2 【答案】B 9．设函数，其中，则导数的取值范围 是（ ） A ． B ． C ． D ．
高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如
在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝ ( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2 【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1 ＝a ＝3.故选C. 【答案】 C 2．若函数f (x )＝－x 2 ＋10的图象上一点? ????32，314及邻近一点? ?? ??32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－3－(Δx )2 D ．－Δx －3 【解析】 ∵Δy ＝f ? ????32＋Δx －f ? ?? ??32＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2 Δx ＝－3－Δx .故选D. 【答案】 D 3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81
【解析】因为Δs Δt＝ 3(3＋Δt)2－3×32 Δt＝ 18Δt＋3(Δt)2 Δt＝18＋3Δt， 所以lim Δt→0Δs Δt＝18. 【答案】 B 4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是() 图3－1－1 A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】Δy Δx＝ f(3)－f(1) 3－1 ＝ 1－3 2＝－1. 【答案】 B 5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为() A．0 B．3 C．3 2 D．6 2 【解析】f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝ lim Δx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20) Δx ＝lim Δx→0－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2 Δx ＝lim Δx→0 (－8＋22x0＋2Δx) ＝－8＋22x0＝4，所以x0＝3 2. 【答案】 C 二、填空题
2019年高中数学单元测试卷 导数及其应用 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．22 (1cos )x dx π π-+?等于（ ） A ．π B . 2 C . π-2 D . π+2(2009福建理) 2．若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为（ ） A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2011江西理4） 3．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2 1x e x x ++ (211) 1 24x x <-+ (C)21cos 12x x -… (D)21 ln(1)8 x x x +-… 4．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()() 00S t S =，则导函数()' y S t =的图像大致为 二、填空题 5．已知3 2 ()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________ 6．已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a 3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实
数a 的取值范围是 ▲ ．(0，－3＋21 2) 7． 若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .[1,5) 8．曲线2 y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为________ 9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ． 10．已知32()33f x x bx cx =++有两个极值点12,x x ，且[][]121,0,1,2x x ∈-∈，则(1)f 的取值范围 ． 11．已知函数ln ()x f x x = ，则()f x 的最大值为 12．函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 . 13．若函数()()02 3 >-=a ax x x f 在区间?? ? ??+∞,320上是单调递增函数，则使方程()1000=x f 有整数解的实数a 的个数是 。 三、解答题 14． 已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； (2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围． .
高中数学 导数及其应用学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数的导函数．．． 在区间上是增函数，则函数在区间上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） ()y f x =[,]a b ()y f x =[,]a b )(/x f 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o o y o y o y
2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有 可能的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线在点处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 21x y x =-()1,1
例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；
2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实 际生活中的应用教案苏教版选修2-2 【教学目标】 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题. 【教学重点、难点】 解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题． 【教学过程】 一、复习引入： 导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 利用导数求函数的最值步骤: （1）求) (x f在(,) a b内的极值； （2）将) (x f的各极值与) (a f、) (b f比较得出函数) (x f在[,] a b上的最值. 二、例题分析： 例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
b 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？ 例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比） 例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ， （1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？