高中数学专题讲义：导数及其应用

高中数学专题讲义:导数及其应用

第1讲变化率与导数、导数的计算

最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数),y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝

1

x,y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

知识梳理

1.导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地,函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是

lim

x?→

Δy

Δx＝0

lim

x?→

f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx,我们称它为

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x＝x0,即f′(x0)＝

lim

x?→

f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx.

(2)函数f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个

函数f′(x)＝

lim

x?→

f（x＋Δx）－f（x）

Δx为f(x)的导函数.

2.导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x

f(x)＝e x f′(x)＝e x

f(x)＝a x(a>0,a≠1)f′(x)＝a x ln a

f (x )＝ln x f ′(x )＝1

x f (x )＝log a x (a >0,且a ≠1)

f ′(x )＝1

x ln a

4.导数的运算法则 若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)????

??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）

[g （x ）]2(g (x )≠0).

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示

(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0),再求f ′(x 0).( )

(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2,则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )

解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值,而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数,其意义不同,(1)错.

(2)求f ′(x 0)时,应先求f ′(x ),再代入求值,(2)错.

(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3,∴f ′(x )＝2x ＋2a ,(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2.(选修1－1P75例1改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3

t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194

B.174

C.154

D.134

解析 由题意知,机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3

t 2,故当t ＝2时,机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝13

4.

答案 D

3.(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为________. 解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ,

所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x , 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 3

4.(2017·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0,－2)处的切线方程为________.

解析 ∵y ′＝－5e x ,∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5,∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0),即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝0

5.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a ＝________.

解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1,则f ′(1)＝3a ＋1, 又f (1)＝a ＋2,

∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1). ∵切线过点(2,7),

∴7－(a ＋2)＝3a ＋1,解得a ＝1. 答案 1

考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ? ????x 2＋1x ＋1x 3；

(3)y ＝x －sin x 2cos x

2； (4)y ＝cos x e x .

解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?

???ln x ＋1x e x .

(2)因为y ＝x 3＋1＋1

x 2,

所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ????

1x 2′＝3x 2－2x 3.

(3)因为y ＝x －1

2sin x ,

所以y ′＝? ????x －12sin x ′＝x ′－? ????

12sin x ′＝1－12cos x .

(4)y ′＝? ????cos x e x ′＝（cos x ）′e x

－cos x （e x

）′

（e x ）2

＝－sin x ＋cos x e x

.

规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错.

(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.

【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 018,则x 0等于( ) A.e 2

B.1

C.ln 2

D.e

(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3,则a 的值为________.

解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x . 由f ′(x 0)＝2 018,得ln x 0＝0,则x 0＝1. (2)f ′(x )＝a ? ?

?

??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ). 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3,所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3

考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程

【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )＝e －x －1－x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________.

(2)(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ,若直线l 过点(0,－1),并且与曲线y ＝f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0

D.x －y ＋1＝0

解析 (1)设x >0,则－x <0,f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数,f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x , 所以当x >0时,f (x )＝e x －1＋x .

因此,当x >0时,f ′(x )＝e x －1＋1,f ′(1)＝e 0＋1＝2.

则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2,所以切线方程为y －2＝2(x －1),即2x －y ＝0. (2)∵点(0,－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0).

又∵f ′(x )＝1＋ln x ,∴???y 0＝x 0ln x 0，

y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，

解得x 0＝1,y 0＝0.

∴切点为(1,0),∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1,即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二 求切点坐标

【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1

x (x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.

解析 由y ′＝e x ,知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ,n ),又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2, 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1

m 2. 依题意k 1k 2＝－1,所以m ＝1,从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1). 答案 (1,1)

命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)

【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1

2x ＋ln x 相切,则b 的值为( ) A.2

B.－1

C.－12

D.1

解析 设切点坐标为P (x 0,y 0), 由y ＝－12x ＋ln x ,得y ′＝－12＋1

x .

∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1

x 0

,

依题意,－12＋1x 0＝12,∴x 0＝1,则P ? ????1，－12, 又切点P ? ?

???1，－12在直线y ＝12x ＋b 上,

故－12＝1

2＋b ,得b ＝－1. 答案 B

规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.

(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点,“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点,此时应先设出切点坐标.

(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线垂直于x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x ＝x 0.

【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0,则点P 的坐标是________.

(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线,则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·

1

x ＝1＋ln x ,直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ,n ),则1＋ln m ＝2,解得m ＝e, 所以n ＝eln e ＝e,即点P 的坐标为(e,e).

(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线,即f ′(x )＝2在(0,＋∞)上有解,而f ′(x )＝1x ＋a ,即1x ＋a 在(0,＋∞)上有解,a ＝2－1x ,因为a ＞0,所以2－1

x ＜2,所以a 的取值范围是(－∞,2).

答案 (1)(e,e) (2)(－∞,2)

[思想方法]

1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数,而函数值f (x 0)是一个常数,其导数一定为0,即(f (x 0))′＝0.

2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,必须注意交换的等价性.

3.曲线的切线与二次曲线的切线的区别:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

[易错防范]

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.

2.曲线y＝f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.

3.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.

基础巩固题组

(建议用时:40分钟)

一、选择题

1.设y＝x2e x,则y′＝()

A.x2e x＋2x

B.2x e x

C.(2x＋x2)e x

D.(x＋x2)e x

解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.

答案 C

2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x,则f′(1)等于()

A.－e

B.－1

C.1

D.e

解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x,得f′(x)＝2f′(1)＋1 x,

∴f′(1)＝2f′(1)＋1,则f′(1)＝－1.

答案 B

3.曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()

A.x－3y＋3＝0

B.x－2y＋2＝0

C.2x－y＋1＝0

D.3x－y＋1＝0

解析y′＝cos x＋e x,故切线斜率为k＝2,切线方程为y＝2x＋1,即2x－y＋1＝0. 答案 C

4.(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点,则此切线的斜率为()

A.e

B.－e

C.1

e D.－

1

e

解析y＝ln x的定义域为(0,＋∞),且y′＝1

x,设切点为(x0,ln x0),则y′|x＝x0＝

1

x0,切线方程为y－ln x0

＝1

x0(x－x0),因为切线过点(0,0),所以－ln x0＝－1,解得x0＝e,故此切线的斜率为

1

e.

答案 C

5.(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x

sin x在点?

?

?

?

?

π

2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行,则实数a等

于()

A.－1

B.1

2 C.－2 D.2

解析∵y′＝－1－cos x

sin2x,∴y′|x＝

π

2＝－1.由条件知

1

a＝－1,∴a＝－1.

答案 A

二、填空题

6.若曲线y＝ax2－ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a＝________.

解析因为y′＝2ax－1

x,所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴,故其斜率为

0,故2a－1＝0,解得a＝1 2.

答案1 2

7.(2017·长沙一中月考)如图,y＝f(x)是可导函数,直线l:y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线,令g(x)＝xf(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)＝________.

解析由图形可知:f(3)＝1,f′(3)＝－1

3,∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x),

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.

答案0

8.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切,则a ＝________.

解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋1

x,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程

为y－1＝2(x－1),即y＝2x－1.

又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切, 消去y,得ax2＋ax＋2＝0,

∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 答案 8 三、解答题

9.已知点M 是曲线y ＝1

3x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点,曲线在M 处的切线为l ,求: (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1, 所以当x ＝2时,y ′＝－1,y ＝5

3, 所以斜率最小的切线过点? ?

?

??2，53,

斜率k ＝－1,所以切线方程为x ＋y －11

3＝0. (2)由(1)得k ≥－1,

所以tan α≥－1,所以α∈???

???0，π2∪????

??3π4，π.

10.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；

(2)若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2,得y ′＝3x 2＋1, 由已知令3x 2＋1＝4,解之得x ＝±1. 当x ＝1时,y ＝0；当x ＝－1时,y ＝－4.

又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为(－1,－4).

(2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,∴直线l 的斜率为－1

4.∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为(－1,－4),∴直线l 的方程为y ＋4＝－1

4(x ＋1),即x ＋4y ＋17＝0.

能力提升题组 (建议用时:20分钟)

11.(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y ＝f (x )具有T 性质,下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x

B.y ＝ln x

C.y ＝e x

D.y ＝x 3

解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2)),

使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.

对于A:y ′＝cos x ,若有cos x 1·cos x 2＝－1,则当x 1＝2k π,x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时,结论成立； 对于B:y ′＝1x ,若有1x 1

·

1x 2

＝－1,即x 1x 2＝－1,∵x 1＞0,x 2>0,∴不存在x 1,x 2,使得x 1x 2＝－1；

对于C:y ′＝e x ,若有e x 1·e x 2＝－1,即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1,x 2；

对于D:y ′＝3x 2,若有3x 21·3x 22＝－1,即9x 21x 22＝－1,显然不存在这样的x 1,x 2.

答案 A

12.(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A.1

B.3

2

C.52

D. 2

解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点,当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时,点P 到直线y ＝x －2的距离最小,

直线y ＝x －2的斜率为1,令y ＝x 2－ln x , 得y ′＝2x －1x ＝1,解得x ＝1或x ＝－1

2(舍去),

故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1), 点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2, ∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2. 答案 D

13.若函数f (x )＝1

2x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f (x )＝1

2x 2－ax ＋ln x , ∴f ′(x )＝x －a ＋1

x (x >0).

∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )存在零点,

即x ＋1x －a ＝0有解,∴a ＝x ＋1

x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号). 答案 [2,＋∞)

14.已知函数f(x)＝x－2

x,g(x)＝a(2－ln x)(a>0).若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜

率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.

解根据题意有f′(x)＝1＋2

x2,g′(x)＝－

a

x.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3,

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a,

所以f′(1)＝g′(1),即a＝－3.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1).

所以y＋1＝3(x－1),即切线方程为3x－y－4＝0.

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1),

所以y＋6＝3(x－1),即切线方程为3x－y－9＝0,

所以,两条切线不是同一条直线.

第2讲导数在研究函数中的应用

最新考纲 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导,则:

(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数的关系

(1)函数的极小值与极小值点

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. (2)函数的极大值与极大值点

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点

x＝b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.

3.函数的最值与导数的关系

(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件

如果在区间[a,b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a,b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示

(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0.()

(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()

(3)对可导函数f(x),f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.()

(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()

解析(1)函数f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上有f′(x)≥0,故(1)错.

(2)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件,(2)错.

(3)如f(x)＝x3,当x＝0时,f′(x)＝0,而函数f(x)在R上为增函数,所以x＝0不是极值点,故(3)错.

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.(选修1－1P94探究改编)函数f(x)的定义域为区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.

答案 A

3.(2017·郑州调研)函数y＝1

2x

2－ln x的单调递减区间为()

A.(－1,1]

B.(0,1]

C.[1,＋∞)

D.(0,＋∞)

解析 函数y ＝1

2x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞), y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）

x ,令y ′≤0,则可得0

答案 B

4.(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点,则a ＝( ) A.－4

B.－2

C.4

D.2

解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12,令f ′(x )＝0得x ＝±2,当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增,当x ∈(－2,2)时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,当x ∈(2, ＋∞)时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. 故f (x )在x ＝2处取得极小值,∴a ＝2. 答案 D

5.(2014·全国Ⅱ卷改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是________.

解析 依题意得f ′(x )＝k －1

x ≥0在(1,＋∞)上恒成立, 即k ≥1x 在(1,＋∞)上恒成立,∵x >1,∴0<1

x <1,∴k ≥1. 答案 [1,＋∞)

第1课时 导数与函数的单调性

考点一 利用导数研究函数的单调性

【例1】 (2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2

－a －ln x ,g (x )＝1x －e

e x ,其中a ∈R ,e ＝2.718…为自然

对数的底数.

(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明:当x >1时,g (x )>0.

(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1

x (x >0). 当a ≤0时,f ′(x )<0,f (x )在(0,＋∞)内单调递减. 当a >0时,由f ′(x )＝0有x ＝

12a

,

当x ∈? ?

???0，

12a 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减； 当x ∈? ????

12a ，＋∞时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ,则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时,s ′(x )>0,所以e x －1>x , 从而g (x )＝1x －1

e

x －1>0.

规律方法 用导数讨论(证明)函数f (x )在(a ,b )内的单调性的步骤: (1)求f ′(x )；

(2)确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；

(3)作出结论:f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数. 【训练1】 设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)(a ＞0),试讨论f (x )的单调性. 解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1) ＝e x [ax 2＋(2a ＋1)x ＋2] ＝e x (ax ＋1)(x ＋2) ＝a e x ? ??

??

x ＋1a (x ＋2)

①当a ＝12时,f ′(x )＝1

2e x (x ＋2)2≥0恒成立, ∴函数f (x )在R 上单调递增； ②当0＜a ＜12时,有1

a ＞2, 令f ′(x )＝a e

x ? ?

?

??x ＋1a (x ＋2)＞0, 有x ＞－2或x ＜－1

a ,

令f ′(x )＝a e x ? ????

x ＋1a (x ＋2)＜0,有－1a ＜x ＜－2,

∴函数f (x )在? ?

???－∞，－1a 和(－2,＋∞)上单调递增, 在? ????

－1a ，－2上单调递减； ③当a ＞12时,有1a ＜2,

令f ′(x )＝a e x ? ????

x ＋1a (x ＋2)＞0时,

有x ＞－1

a 或x ＜－2,

令f ′(x )＝a e x ? ????

x ＋1a (x ＋2)＜0时,

有－2＜x ＜－1

a ,

∴函数f (x )在(－∞,－2)和? ????－1a ，＋∞上单调递增；在? ?

???－2，－1a 上单调递减.

考点二 求函数的单调区间(易错警示)

【例2】 (2015·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4

3处取得极值. (1)确定a 的值；

(2)若g (x )＝f (x )e x ,求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ,

因为f (x )在x ＝－43处取得极值,所以f ′? ????

－43＝0,

即3a ·169＋2·? ????－43＝16a 3－8

3＝0,解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝? ????12x 3＋x 2e x

故g ′(x )＝? ????32x 2＋2x e x ＋? ????

12x 3＋x 2e x

＝? ????

12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0,得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1

所以g (x )的单调减区间为(－1,0),(－∞,－4). 规律方法 求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；

(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0,得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式f ′(x )<0,得单调递减区间.

易错警示 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f (x )＝x 3,f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0

时,f ′(x )＝0),但f (x )＝x 3在R 上是增函数.

【训练2】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －3

2,其中a ∈R ,且曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y ＝1

2x . (1)求a 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间.

解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1

x ,

由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2,解得a ＝5

4. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3

2,(x >0).

则f ′(x )＝x 2－4x －5

4x 2.令f ′(x )＝0,解得x ＝－1或x ＝5. 但－1?(0,＋∞),舍去.

当x ∈(0,5)时,f ′(x )<0；当x ∈(5,＋∞)时,f ′(x )>0. ∴f (x )的增区间为(5,＋∞),减区间为(0,5). 考点三 已知函数的单调性求参数(易错警示)

【例3】 (2017·西安模拟)已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2

＋2x (a ≠0). (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －1

2ax 2－2x ,x >0. ∴h ′(x )＝1

x －ax －2.

若函数h (x )在(0,＋∞)上存在单调减区间, 则当x >0时,1x －ax －2<0有解,即a >1x 2－2

x 有解. 设G (x )＝1x 2－2

x ,所以只要a >G (x )min .(*) 又G (x )＝? ????1x －12

－1,所以G (x )min ＝－1.

所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1,＋∞).

(2)由h (x )在[1,4]上单调递减,

∴当x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1

x －ax －2≤0恒成立,(**) 则a ≥1x 2－2

x 恒成立,所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝? ????1x －12

－1,x ∈[1,4]

因为x ∈[1,4],所以1x ∈????

??

14，1,

所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－7

16.

当a ＝－7

16时,

h ′(x )＝1x ＋7

16x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝（7x －4）（x －4）16x ,

∵x ∈[1,4],

∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）

16x ≤0,

当且仅当x ＝4时等号成立.(***) ∴h (x )在[1,4]上为减函数.

故实数a 的取值范围是????

??

－716，＋∞.

易错警示 (1)特称命题理解不清,不能将第(1)问转化为1

x －ax －2<0有解,难以得到不等式(*).错求a 的取值范围.(2)错误理解“f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0,且在(a ,b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.”导致在第(2)问中(**)处易错求h ′(x )<0恒成立,另外在(***)处容易忽视a ＝－7

16进行检验. 【训练3】 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.

(1)若f (x )在R 上为增函数,求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的单调减区间为(－1,1),求a 的值. 解 (1)因为f (x )在R 上是增函数, 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立, 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.

因为3x 2≥0,所以只需a ≤0.

又因为a ＝0时,f ′(x )＝3x 2≥0,当且仅当x ＝0时取等号. ∴f (x )＝x 3－1在R 上是增函数. 所以实数a 的取值范围是(－∞,0]. (2)f ′(x )＝3x 2－a . 当a ≤0时,f ′(x )≥0,

f (x )在(－∞,＋∞)上为增函数, 所以a ≤0不合题意. 当a >0时,令3x 2－a <0, 得－3a 3

∴f (x )的单调递减区间为? ????

－3a 3，

3a 3, 依题意,3a

3＝1,即a ＝3.

[思想方法]

1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求f ′(x )>0,f ′(x )<0的解,并注意函数f (x )的定义域.

2.含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性.

3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决. [易错防范]

1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.

2.注意两种表述“函数f (x )在(a ,b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ,b )”的区别.

3.在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.

4.可导函数f (x )在(a ,b )上是增(减)函数的充要条件是:对?x ∈(a ,b ),都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0),且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒为零.

基础巩固题组 (建议用时:40分钟)

一、选择题

1.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A.(0,1) B.(0,＋∞)

C.(1,＋∞)

D.(－∞,0)∪(1,＋∞)

解析 函数的定义域是(0,＋∞),且f ′(x )＝1－1x ＝x －1

x ,令f ′(x )<0,解得0

2.(2015·陕西卷)设f (x )＝x －sin x ,则f (x )( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数

D.是没有零点的奇函数

解析 因为f ′(x )＝1－cos x ≥0,所以函数为增函数,排除选项A 和C.又因为f (0)＝0－sin 0＝0,所以函数存在零点,排除选项D,故选B. 答案 B

3.已知定义在R 上的函数f (x ),其导函数f ′(x )的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( ) A.f (b )>f (c )>f (d ) B.f (b )>f (a )>f (e ) C.f (c )>f (b )>f (a )

D.f (c )>f (e )>f (d )

解析 依题意得,当x ∈(－∞,c )时,f ′(x )>0,因此,函数f (x )在(－∞,c )上是增函数,由a f (b )>f (a ). 答案 C

4.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2,＋∞)上为增函数,则实数m 的取值范围为( ) A.(－∞,2) B.(－∞,2] C.? ?

?

??－∞，52

D.? ?

?

??－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6, 当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )≥0恒成立,

即x 2－mx ＋1≥0恒成立,∴m ≤x ＋1

x 恒成立. 令g (x )＝x ＋1x ,g ′(x )＝1－1

x 2,

∴当x >2时,g ′(x )>0,即g (x )在(2,＋∞)上单调递增,

∴m ≤2＋12＝5

2. 答案 D

5.(2017·保定第一中学模拟)函数f (x )的定义域为R ,f (－1)＝2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1,1) B.(－1,＋∞) C.(－∞,－1)

D.(－∞,＋∞)

解析 由f (x )>2x ＋4,得f (x )－2x －4>0,设F (x )＝f (x )－2x －4,则F ′(x )＝f ′(x )－2, 因为f ′(x )>2,所以F ′(x )>0在R 上恒成立,所以F (x )在R 上单调递增.

又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0,故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1),所以x >－1. 答案 B 二、填空题

6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x (x ∈R ,e 为自然对数的底数),则函数f (x )的单调递增区间为________.

解析 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x , 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .

令f ′(x )>0,即(－x 2＋2)e x >0,

因为e x >0,所以－x 2＋2>0,解得－2

7.已知函数f (x )＝－1

2x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________. 解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3

x ＝－（x －1）（x －3）x ,由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为

1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t ＋1)内,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上就不单调,由t <1

8.(2017·武汉模拟)已知f (x )＝2ln x ＋x 2－5x ＋c 在区间(m ,m ＋1)上为递减函数,则m 的取值范围为________.