承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：成都纺织高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. XXX（机电XXX） 2. XXX国贸XXX） 3. XXX（电商XXX） 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 06 月 06 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
目录 一、问题的重述 (1) 1.1 背景资料与条件 (1) 1.2 需要解决的问题 (1) 二、问题的分析 (2) 2.1 问题的重要性分析 (2) 2.2问题的思路分析 (3) 三、模型的假设 (4) 四、符号及变量说明 (4) 五、模型的建立与求解 (4) 5.1建立层次结构模型 (4) 5.2构造成对比较矩阵 (5) 5.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法 (6) 5.4一致性检验 (7) 5.5层次分析模型的求解与分析 (8) 5.5.1 构造成对比较矩阵 (8) 5.5.2计算25优秀大学生的综合得 (9) 六、模型的应用与推广 (11) 七、模型的评价与改进 (12) 7.1模型的优点分析 (12) 7.2模型的缺点分析 (12) 7.3模型的进一步改进 (12) 八、参考文献 (13) 附件一 (14) 附件二 (16)
机器人避障问题 摘要 本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律2 1.0100 e 1)(ρ ρ-+= =v v v 的分析可知，当过弯 半径13ρ=时，机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13ρ>时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着ρ的不断变大，其路线总长不断变大，这时ρ越小O A →所用时间最短；2）当13ρ≤时，统计计算ρ分别为10、11、12、13时，过弯速度v 也不断变化，计算所用时间发现随ρ不断变大，O A →所用时间越短，此时当13ρ=时，时间最短.综合上述可知：当 13ρ=时，时间最短. 关键词： 质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径
1 问题重述 在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物， 物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位. 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为 2100.11 0()(1e ) v v v ρρ--==+，其中ρ是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发 生侧翻，无法完成行走. 下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径. 2 问题分析 2.1问题一： 该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯. 如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二： 由于O→A 过程中，机器人至少要经过一
2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）C 题 基金使用计划某校基金会有一笔数额为M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n 年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。 银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期 0.792半年期 1.664一年期 1.800二年期 1.944 2.55三年期 2.160 2.89五年期 2.304 3.14 、管路敷设技术资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处、电气课件中调试作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调、电气设备调试高中资料试卷技术障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
全国大学生数学建模竞赛的准备方法 全国大学生数学建模竞赛于每年9月上旬（今年是9月7日）举行。但是在此之前，需要做好哪些准备，让各个参赛队员在竞赛中做到有备无患呢？在总结过去多年培训指导各种数学建模竞赛的基础上，仅就个人观点，介绍一些关于如何准备数学建模竞赛的经验和体会，仅供参考。在这里主要向大家介绍竞赛的基本情况，包括如何组队、如何选题以及在竞赛中如何合理分配时间。通过本次学习，希望大家能够了解数学建模竞赛的基本情况，为全国大学生数学建模竞赛以及其他各类数学建模竞赛做好准备。 一、如何组建优秀数学建模队伍 进入大学阶段参加各种科技竞赛，可以体会到一种和中学竞赛不同的感受，这种感受来自团队合作。以前的各项赛事都是以个人为单位参加竞赛，它们都是考查个人的能力。但是在大学中，由于难度和任务量的加重以及对团队合作精神的关注，因此大部分的赛事都是以团队为单位参加的。竞赛在考查个人能力的同时，还考查团队成员的合作精神。在数学建模竞赛中，团队合作精神是能否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要分工合作、相互支持、相互鼓励。从历年的统计数据可以看出，竞赛成绩优秀的队员往往并不是每个人在各个方面都特别擅长的队伍，而是团队相处得最融洽的队伍。从这一点也可以看出团队合作的重要性。 在竞赛的过程中，切勿自己只管自己的那一部分，一定要记住这是一个集体的竞赛。很多时候，往往一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚。因此无论做任何事情，三个人一定要齐心才行，只靠一个人
的力量，要在3天之内写出一篇高水平的论文几乎是不可能的。让三人一组参赛一方面是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作确实需要多人合作，因为一个人的能力是有限的，知识掌握也往往是不全面的。一个人做题，经常会走向极端，得不到正确的解决方案。而三个人相互讨论、取长补短，可以弥补一个人所带来的不足。 在队伍组建的时候，需要强调“队长”这个名词概念。虽然在全国大学生数学建模竞赛中并没有设立队长，作为队长在获得的证书上也没有特别标注。但是在队内设立“队长”是非常有必要的。因为在比赛中可能会碰到各种突发状况，队长是很重要的，他的作用就相当于计算机中的CPU，是全队的核心。如果一个队的队长不得力，往往影响一个队的正常发挥。竞赛是非常残酷的，在3天3夜（72h）的比赛中，大家睡眠时间都得不到保障，怎样合理安排团队时间就是队长需要做的事情。在比赛过程中，由于睡眠不足，大家脾气都会很急躁。在这种情况，往往会为了一些小事而发生争吵，如果没有适当的处理，有些队伍将会放弃比赛，而队长就应该在这个时候担起责任。 在明确“队长”这个概念后，接下去谈谈怎样科学选择队友。在数学建模竞赛中，题目要求完成的工作量是很大的，因此这项任务是必须分工完成的，各有侧重、相互帮助，这样才能获得好成绩。而科学地选择队友则显得非常重要，也是走向成功的第一步。一般情况下选择队友可以从以下几个方面考虑着手： 1. 在组队的时候需要考虑队伍成员的多元化，尽量和不同专业、不同特长的同学组队。因为同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。因为数学建模题有可能出现在各个领域，这也是数学建模适合各个专业学生参加的原因所在，也是数学建模竞赛赛事的魅力所在。
D题机器人避障问题 摘要 本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。 针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。 针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。 关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型
课题1. 计划生育政策调整对人口数量的影响 人口的数量和结构是影响我国经济和社会发展的重要因素。从20世纪70年代以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。经过30多年的努力，我国有效地控制了人口的增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。 针对我国老龄化比例不断提高等情况，2013年12月，第十二届全国人大常委会第六次会议表决通过了《关于调整完善生育政策的决议》，开放单独二胎政策。2015年10月，十八届五中全会决定，全面放开二胎政策。至此，实施了30多年的独生子女政策正式宣布终结。只要是合法的夫妻就享有生育二胎的权利，不再受“单独二孩”政策或“双独二孩”政策的限制。 收集数据，建立模型，根据已经出台的具体政策、独生子女人数、婚姻情况、生育意愿等分析和预测计划生育政策调整后对我国或某一个省、市、自治区人口数量变化的影响。 课题2. 学生下课时间调整对就餐压力的影响 科技大学现有在校生4万余人，目前能供学生就餐的餐厅只有三个：学者餐厅、学海餐厅、学苑餐厅，想必大家都有过在餐厅排队就餐以及找座难的经历，就餐人员流动情况决定着餐厅的总接纳量。同学们在下课后大都会第一时间奔向餐厅，这就使得本就人满为患的餐厅更加超负荷运转。如果同学们的下课时间不同，就餐时间自然不同，必然加快餐厅的人员流动，进而大大缓解餐厅的运转压力。 下面请你建立数学模型解决以下问题： 1.选择合理的指标，构建评价体系，衡量目前我校餐厅的运转压力。 2.以缓解餐厅运转压力为目标，合理设置不同教学楼的下课时间。 3.试分析在你设置的各教学楼下课时间情况下，我校餐厅运转压力将发生
的变化。（模型所需数据可自行调查也可进行程序仿真） 课题3. 麻疹模型的分析 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家H. E. Soper 试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添的新的成员而不断补充，因此，他假设： ???????+-=+-=)()()()((t)I(t))(t I t S t I dt t dI S dt t dS αβμα 其中α、β和μ都是正的常数。 1. 找出方程的平衡解； 2. 证明方程的初始值足够接近这个平衡解的每一个解(t)S 、I(t)，当t 趋于 无穷大时，都趋近于平衡解； 3. 当t 趋于无穷大时，方程的每一个解(t)S 、I(t)都趋于平衡解。所以，得 到结论：方程组不能解释是重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明。这种疾病最终将趋于稳定状态； 4. 试改进该模型说明该周期现象。找一组相关的数据进行模拟，拟合方程的 参数使疾病爆发的周期与现实一致； 5. 对于麻疹考虑一些控制措施，对于每种控制措施给出相应的数学描述，研 究该系统的基本的动力学性质，最后比较各个措施的优缺点。 课题4. Fibonacci 数列的推广 Fibonacci 数列是一个很早的生态学模型，它的背景是兔子数量的增长。在描述兔子数量变化时有以下假设： ? 第一个月有一对刚出生的兔子； ? 兔子从第三个月后就可以生育；
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国评奖时，每个 组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规 范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字， 左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重 要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机源程序（若 有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方 式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加 其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。 ●[注] 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各 赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。 全国大学生数学建模竞赛组委会 2017年修订
机器人避 障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形，寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物，我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成，因此我们建立了切线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下，圆弧的半径越小，路径应该越短，因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解，把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径；利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法，其涉及的理论并不高深，只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算，计算简易，便于实现，能搞提高运行效率。 问题一 O→A 最短路径为：OA L =471.0372 O→B 最短路径为：=1OB L 853.8014 O→C 最短路径为：4OC L =1054.0 O→A→B→C→O 最短路径为： 问题二机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径： 最短时间是94.5649，圆弧的半径是11.5035,路径长4078 .472=OA L 关键词最短路径；避障路径；最优化模型；解析几何；数学工具 一、问题重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍
2007年全国大学生数学建模竞赛题目 [日期：2009-11-05] 阅读：307 次 A 题：中国人口增长预测 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；别要指出你们模型中的优点与不足之处。 B题：乘公交，看奥运 我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。
为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。 (1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485 (4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S3676 2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。 3、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。
为什么要参加大学生数学建模竞赛 大学生数学建模竞赛是培养学生创新能力和竞争能力的极好的、具体的载体。 1.对于学校的领导(校长、教务处长等)来说，全心全意把学校搞好(高质量的教学、高百分比的就业率、高水平的教师队伍以及提高知名度等)肯定是他们追求的办学目标而且会采取各种措施。但是就选派学生参加大学生数学建模竞赛来说，不少领导(甚至数学教师)会非常犹豫：我们数学课时少，教学任务重，即使参加了，拿不到奖的话，不但不能提高学校的知名度，甚至会招致一些负面的议论等等。实际上，领导们有三个问题考虑不够，它们是： ⑴对数学的极端重要性要有充分的认识。学生将来的发展和成就是和他们坚实的数学基础密切相关的。但是现在的数学教学确实有许多不足之处有待改革，特别是怎么做到不仅教知识，而且要教知识是怎样用来解决实际问题的能力是有待加强的。让部分师生参加到数学建模活动，特别是大学生数学建模竞赛肯定是有利于推动教学改革的。 ⑵ 办好学校的关键之一是提高教师的教学水平。怎样提高呢？鼓励教师组织学生参加大学生数学建模竞赛等数学建模活动，既可以帮助教师进一步了解怎样用数学来解决实际问题，更有助于数学教师到其他专业系科了解他们要用什么样的数学以及怎样用这些数学，互相学习，进行切磋，从而对怎样提高自己的教学水平，数学教学怎样更好为其他专业后继课，甚至对专业课题研究服务产生具体的想法，提出切实可行的措施，最终能够提高教师的专业水平和教学水平，从而也就提高了学校的水平。 ⑶ 学生要求参加大学生数学建模竞赛的积极性是很高的，关键是怎样组织好，培训好。实际上，即使是高职高专院校，也一定有一部分学生的数学基础是相当坚实的，他们之间又有一部分对数学，特别是用数学来解决实际问题有强烈的兴趣。为什么不组织他们参赛呢？培养一些数学基础好对应用又有能力的高职高专院校的学生，今后他们在工作中做出好成绩的可能性肯定会比较大。毕业生事业有成者多也标志了学校办得好、有水平。此外，对于怎样贯彻因材施教也会产生一些很好的想法。 2.对于数学教师来说，组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛对自己也会有极大的好处。
机器人避障问题 【摘要】 本文主要是对机器人在一个平面区域内通过不同障碍物到指定目标点进行研究，通过建立机器人与障碍物的最小安全距离的禁区模型，进而建立从区域一点到另一点的最短距离、最短时间的数学模型。在最优转弯顶点为障碍物，最优转弯半径为安全距离10的基础上，把路径概括为基本的三种数学模型。利用穷举的算法找出最短路径和最短时间。 针对区域中从一点到另一点避障的最优路径问题，把障碍物划分为有顶点和无顶点两大类。首先本文证明对于有顶点障碍物，机器人以障碍物顶点为圆心且转弯的圆弧半径为10时路径最优，我们还注意到在某些路径中适当增加圆的半径可以把曲线路线转换为直线路径，进一步优化行进路径；对于无顶点障碍物通过论证找出以障碍物圆心为转弯圆心，以障碍物半径与安全距离的和为转弯半径的最优转弯圆弧。其次本文将寻找最短路径的的问题转换为最短路径的优选问题。本文巧妙的将优化模型转变为研究不与障碍物边界相交、不与圆弧相交的路线中的最优解的问题。在这个数学模型的基础上进行相应的改善并且使用穷举的算法找出最优路径。 针对不同的目标点，我们将机器人的行进分为单目标点和多目标点两种情况针对多目标点问题，由于机器人不能直线转向，所以在经过目标点时，应该提前转向，且中间目标点应该在转弯弧上。因此先建立优化模型（模型三）对行进时中间目标点处转弯圆弧圆心搜索求解。求出中间目标点转弯圆心后，用把中间目标点的圆心看做“障碍物”的办法把问题转化为单目标点问题。然后根据模型二和模型一利用MATLAB软件编程求得了O→A、O→B、O→C、O→A→B→A→C的最短路径，最短路径长分别为 471.0372、857.6778、1094.5、2799.0121,其中O-->A的最短路径对应圆弧的圆心坐标为(80,210)；O→B的最短路径对应圆弧的圆心坐标：(60,300)、(150,435)、（220、470）、(220,530)、(150,600)；O→C经过的圆心：(230，60)、(410,100)、(500,200)、(720,520)， （720,600）；对于多目标点问题利用模型三进行分割求解得到O→A→B→C→O最短路径对应圆心坐标（80,210）、（307.7715）、（306.2932）、（220,530）、（150,600）、（109.8478,701.7379）、（270,680）、（370,680）、（430,680）、（540,730）、（670,730）、（709.7933）、（642.0227）、（720,600）、（720,520）（500,200），（410,100），（230,60）。对于最短时间路径问题，根据转弯半径和速度的关系，在问题一求出的最短路径的模型的基础上，进行路线优化，建立以最短时间为目标的非线性规划模型，利用lingo 求解最短时间获得了机器人从O点出发，到达A的最短时间路径，求得最短时间路径下转弯半径为12.9885 ，同时最短时间路径时间长为94.2283个单位，路径长为471.129个单位。相应圆弧的圆心坐标为（82.1414，207.9153）。 关键词：机器人避障覆盖法穷举法非线性规划
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 问题分析： 本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。 运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现； 第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从1207 10 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。 对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。 调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。 这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。 合理的假设主要有： 1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即 可，不进行排时讨论； 3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。 符号：x ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的石料运量 单位 吨； c ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的距离 公里； T ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上运行一个周期平均所需时间 分； A ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； B ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数 次； p i ~ i 号铲位的矿石铁含量。 % p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) q j ~ j 号卸点任务需求 吨 q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
精心整理 机器人避障问题 摘要 本文研究了在一个800800?平面场景里，机器人通过直线和圆弧转弯，绕过障碍物，到达目标点的问题，解决了到达目标点路径最短，以及到达A 点时间最短的问题。文章将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了在拐点和节点最小转弯半径的形式. O A →O →B O →C O →A →B 10个单位为50=v 对场景图中4(1)(2)1.出发，分别做圆的切线，直到终点。对于经过路径中的目标点的问题，我们采用最小转弯模式，建立优化模型，最终求的最短路径。 2．问题二要求从起始点到达A 点所用的时间最短，从题意以及生活经验可得，拐弯半径越大，所用时间越短，拐弯半径越小，所用时间越大。半径最小不低于10，取最大值时机器人应刚好未碰到4、6三角形，可通过几何解法计算出来，并对时间进行优化处理。 三、模型假设 假设机器人可以抽象成点来处理 假设机器人的能源充足，且在整个行走过程中无故障发生 四,符号说明
】 5（为起点，，OA 圆弧的切点，角度 1OO A ∠=,11OO M ∠=,11AO N ∠=，111M O N θ∠=.设这段路程机器人的总路程为L. 解法如下： 如上图可得有以下关系： 1 AOO ?在中： 在11Rt OO M ?： 222arccos(2b c a bc α+-=
在11Rt AO N 中： 所以： 从而可得： 结果如下： 机器人行走路线 1OM =1N A 弧11M N = 224.7221； b= 237.6973 c= O 同理了解 比较可得， O 从上面绕到到目标点A 的距离最短，最短路径为471.0372。
机器人避障问题的最短路径分析 摘要 本论文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要讨论了在一个区域中存在12个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过若干目标点最终到达出发点的两种情况。采用传统的避障方法——切线图法。建立了线圆结构，这样任何路径，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点再到达目标点的状况，我们采用在转弯点和节点都采用最小转弯半径，以节点为切点的形式。然后建立了最优化模型，利用MATLAB软件对方案进行求解。 问题一：把路径分解成若干个线圆结构来求解，然后把可能的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： A O→最短路径为：471.0 O→最短路径为：869.5 B O→最短路径为：1093.3 C 对于O → → →我们将A、B、C看作切点，同样采用线圆结构 C B A O→ 计算。 O→ → → →最短路径为：2827.1 A O C B 问题二：考虑避障路径和转弯速度，我们建立时间与路径之间的模型，用MATLAB软件求出最优解。当转弯半径为11.5的时候，可以得出最短时间为：T=94.3 关键词最优化模型避障路径线圆结构切线图法
一、问题重述 本文是求一个机器人在800×800的平面场景图中避开障碍物，建立从原点O(0, 0)点处出发达到终点的最短路径和最短时间路径的模型。即求：1、O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。2、O →A 的最短时间路径。 机器人在行走时的要求是：1、它只能在该平面场景范围内活动2、图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物（障碍物的分布如图1）3、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。4、规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。5、为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速 度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。 已知场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)。图中各个点 的坐标见下表。 图1 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330)
基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障的相关问题。在一个已知区域中存在12个障碍物，使用基于弹性绳索拉伸的方法，求解了由出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。我们在禁区顶点以最小转弯半径转向为最优的前提下，对障碍物进行了加工，即将限定区域向外扩展并将顶点圆角化。那么最短路径就由两部分组成：一部分是平面上的直线段，另一部分是限定区域上部分弧构成。由于最短路径一定是由直线线段和圆弧做组成，而弹性绳索紧贴障碍物时，弹性绳索与直线线段和圆弧重合，并且弹性绳索有自然缩短的趋势，弹性绳处于紧绷状态，此时弹性绳长就是最短路径。 问题一，将绳索系与起点和终点，使用拉伸弹性绳索的方法，找到所有符合要求的绳索连结成的路径并计算路径长度，最终最短的绳长即为所求。由于符合要求的路径可能比较多，我们又使用了尺规作图进行简化了以及一般情况下的Dijkstra求解最短路径的方法。 最终求得： O→A最短路径长度为471.037 O→B最短路径长度为 853.13 O→C最短路径长度为1092.82 O→A→B→C→O最短路径长度为2714.31 问题二，由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。而当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。本文通过极限状态的求解，计算出可能的最短时间路径。 关键字：最短路径切线长弧长
一、问题的重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表： 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)，右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧 翻，无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。