全国大学生数学建模竞
赛B题
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
“互联网+”时代的出租车资源配置
摘要
随着“互联网+”时代的到来，针对当今社会“打车难”的问题，多家公司建立了打车软件服务平台，并推出了多种补贴方案，这无论是对乘客和司机自身需求还是对出租车行业发展都具有一定的现实意义。本文依靠ISM解释结构、AHP-模糊综合评价、价格需求理论、线性规划等模型依次较好的解决了三个问题。
对于问题一求解不同时空出租车资源“供求匹配”程度的问题，本文先将ISM模型里的层级隶属关系进行改进，将影响出租车供求匹配的12个子因素分为时间、空间、经济、其它共四类组合，然后使用经过改进的AHP-模糊综合评价方法建立模型，提出了出租车空载率这一指标作为评价因子的方案，来分析冬季某节假日哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度。通过代入由1-9标度法确定的各因素相互影响的系数，得出各个影响因素的权重大小，利用无量纲化处理各影响因素，得出最终评判因子为，根据“供求匹配”标准，得出哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态的结论。同理，也得到了哈尔滨市不同区县、不同时间的供求匹配程度，最后作出哈尔滨市出租车“供求匹配”程度图。
对于问题二我们运用价格需求理论建立模型，以补贴前后打车人数比值与空驶率变化分别对滴滴和快的两个公司的不同补贴方案进行求解，依次得到补贴后对应的打车人数及空驶率的变化，再和无补贴时的状态对比，最后得出结论：当各公司补贴金额大于5元时，打车容易，即补贴方案能够缓解“打车难”的状况；当补贴小于5元时，不能缓解“打车难”的状况。
对于问题三，在问题二的模型下，建立了一个寻找最优补贴金额的优化模型，利用lingo软件[1]进行求解算出最佳补贴金额为8元，然后将这个值带入问题二的模型进行验证，经论证合理后将补贴金额按照4种分配方案分配给司机乘客。
关键词：ISM解释结构模型；AHP-模糊综合评价；价格需求理论；线性规划
一问题重述
交通是社会生活众多产业当中的一项基础产业，不但和社会的经济发展关系紧密，与人们的生活也是息息相关。而出租车作为交通工具中的重要组成部分，可以给人们的生活带来更便捷的服务。所以无论是国内还是国外，对于与出租车相关的问题都有较深入的研究。作为居民日常出行的交通工具，出租车在人们生活中发挥着重要的作用。然而由于时间、空间等因素，导致出租车行业面临着巨大的挑战，与此同时，也会出现“打车难”的现象。但这也正促进了依托互联网建立的打车软件的发展以及多种出租车补贴方案的出现。当今，“互联网+”发展迅速，所以研究互联网与出租车有关的问题是很有意义，本文要求搜集相关数据建立数学模型求解下列问题：
问题一：建立合理的指标，分析在不同时间和空间条件下出租车资源的“供求匹配程度”。
问题二：分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有所帮助？
问题三：若要创建一个新的打车软件服务平台，应该设计什么样的补贴方案，并论证方案的合理性。
二模型假设
假设1：城市中不出现大量的人口迁入与迁出。
假设2：城市中出租车的数量短期内不会发生变化。
假设3：城区面积不发生大规模扩展。
假设4：城市道路发展程度不会发生大变化。
假设5：手机打车软件的使用者年龄主要集中在18～35周岁。
假设6：其它交通工具发展水平不变。
假设7：城市人均收入短期内不变。
三符号说明
修正后的影响“供求匹配”程度第二层各因素的权重
用于评价“供求匹配”程度的评价因子
判断矩阵的最大特征值
四问题分析
问题一的分析
对于问题一，要想得到出租车资源的“供求匹配”程度，首要的问题是建立一个合理的评价指标。通过对影响出租车与乘客供求关系的广义因素进行分析，每种大的前
提下又细分为其它的影响因子，也就是构造了两个层次，再将最底层的影响因子利用ISM解释结构模型[2]进行归类。利用层次分析-模糊综合评价模型对得到的归类进行分析和求解，得到综合评判集合，然后考虑结合一种出租车供需合理的标准，例如空载率这一指标对供求匹配程度进行分析。最后结合实际着重研究不同时间和空间前提下城市出租车资源的“供求匹配程度”。
问题二的分析
对于问题二，求各公司的补贴方案对“缓解打车难”是否有帮助，考虑到不同补贴方案归根到底是补贴金额的不同，因此考虑寻找一种补贴金额与打车难的关系，通过逆向思考，补贴金额可以等效看为出租车价格降低的金额，出租车价格变化与打车人数需求之间构成价格需求，于是可利用价格需求理论模型对此进行分析，但是单一的打车人数多少不足以表示打车是否困难，于是考虑增加一个空载率指标与打车人数结合表示打车是否困难，最后评判打车困难时，由于打车难这是一个不可量化指标，因此要想得出打车难是否有缓解只能先建立一个标准，然后将价格需求理论模型的求解结果带入该标准。即可知道各公司的补贴整车对打车难是否有帮助。
问题三的分析
由于问题三是设计补贴方案，而问题二里我们建立了价格需求理论模型，求解了各个公司不同补贴方案对打车难缓解的影响，于是我们在问题三中通过建立一个补贴金额与乘客满意程度的双优化模型来设计一个补贴方案，然后利用问题二的求解结果对设计方案进行论证。
五、模型的建立与求解
问题一模型的建立与求解
5.1.1 利用ISM模型对影响因素分组
由于出租车资源供求匹配关系受到较多因素影响，其中很多因素又相互包含，必须全面考虑各个因素。所以我们采用ISM模型对相应影响因素进行分组、归类，使问题简化，方便求解。ISM模型是..
J N Warfield于1973年为了分析复杂的社会经济问题而提出的解释结构模型，是静态的定性模型,其特点是能够将复杂的系统逐级分解成若干个子系统。
为了分析出租车资源的供求匹配程度，我们考虑影响出租车与乘客供求关系的一些主要因素如表1。
表1 出租车与乘客供求关系主要影响因素
然后分析这些因素互相之间是否有关系，用0表示相互之间无影响，用1表示相互之间有影响，从而得到相互影响关系的邻接矩阵如下：
由于此矩阵中影响因素较多，所以运用Matlab 软件对邻接矩阵进行求解，程序见附录一，得
可达矩阵可说明两个因素之间是否存在链接路径，并能清楚说明两因素之间影响程度。定义集合()P I 为可达矩阵中要素I 一行中值为1的元素所在行元素集合，
()H I 为可达矩阵中I 这列值为1对应的列元素集合，当()()()H I P I H I =时，I 即为该层元素，然后剔除矩阵中的W 元素，进行下一层元素计算,可以得到最终的分组：
{}1168,,U A A A =; {}22310,,U A A A =; {}371112,,U A A A =; {}4459,,U A A A =。
通过分析每组所包含的因素，我们发现分组1U 里面所包影响因素可理解为经济水平对出租车供求关系的影响，2U 里面所包影响因素可以看作为不同空间对出租车供求关系的影响，3U 里面所包影响因素可以看作不同时间对出租车供求关系的影响，结果如表2。
表2 影响因素分组关系表
城市交通发展水平10A
时间因素3u
季节9A 是否是节假日5A 是否是高峰期4A
其它4u
乘客出行的紧急程度11A 旅游吸引能力12A 天气状况7A
5.1.2 问题一模型的建立
我们从出租车空载率角度考虑出租车资源的“供求匹配”程度问题，当出租车空载率过低时，说明打车的人少，出租车量小于乘客的需求；当空载率过高时，表明打车的人较多，出租车量大于乘客需求，出租车空载率能很好地反映出租车与人之间“供求匹配” 程度。所以我们选取空载率这一指标作为模型最终评价因子分析，来分析不同时间和空间出租车资源的“供求匹配”程度问题。
我们利用()AHP —模糊综合评价方法建立模型，首先，利用()AHP 构造出一个层次分析模型，指标评价体系结构图如图1。
图1 层次分析结构图
1）第一、二层权重集的确定
第一层包括4个因素，即1234(,,,)U U U U U ，利用AHP 层次分析法比较几种指标间的关联度如图3。
然后确定第一层指标权重，利用1～9标度法求解判断矩阵，构造第一层的评判矩阵Y 具体形式如下：
其中：12u 表示1u 与2u 之间的关联度。
之后求解第一层的权重集W ={1W ,2W 3W ,4W }。方法如下：先计算判断矩阵Y 每行元素的乘积i Q ，再对i Q 求五次方根，得到 归一化处理：利用公式 4
1
/
i
i i i W W W ==∑对()1234,,,W W W W W =做归一化处理，得到
1,234(,,)(0.100,0.462,0.305,0.133)W W W W W ==即为所求特征向量。
一致性检验：为了说明以上所求得特征向量是否能够合理的分配权重，需要进行一致性检验，方法如下：通过公式()4
max 14i
i
YW W λ=∑
求得判断矩阵的最大特征值，得到最大
特征值max 5.024λ=。然后利用公式CI
CR RI
=
和max 1n CI n λ-=-，通过代入数据
1.12RI =,4n =，max 5.024λ= ，得到0.0350.1CR =<，这就表明评判矩阵Y 具有很好的一致性，所以()1234,,,W W W W W =中的各项均可以作为U 的权重系数。
同第一层权重的求解过程，对于第二层指标，由于第一层的每一个因素都包含
()123,,i i i i u u u u =3个因素，于是得到第二层级的各项权重集：
2）确定综合评判结果
根据模糊综合评价法可知，综合判别公式12(,)m B W Y b b b =?=，其中
4
1
()(1,2
)j i ij i b w y j m ===∑，将数据代入计算公式4
'1
()i i i B W W ==∑得到所研究问题的
综合评判结果：()0.1160.3040.580B =。
3）综合评判矩阵B 的修正
影响出租车供求匹配的具体因素有些有具体实际数据，各种数据的单位并不统一，不容易量化，而另外一些因素如：旅游吸引能力、乘客出行的紧急程度等影响因素是模糊的量。为了使各项因素具有可比性，我们将这些有实际数据的影响因素进行标准化处理，消除量纲差异。利用如下公式 '
(1,2,;1,2,,)ij j
ij j
i n j m x x x s ==-=
（1）
()
()211,1
111,2,,j j n
n
ij j ij i i n n j m x x s x x =-∑∑==-??=
=????
（2）
将市民人均输入，人口密度，出租车数量，私家车数量数据分别按照上式标准化，但是得到的数据并不全是处于[]0,1之间，所以应用平移-极差变换使得所有的原始数据都在[]01，之间。得出量化结果：人均收入()11A =，人口密度()50.87A =，出租车数量()60.96A =，私家车数量()81A =。
对于模糊的影响因素，我们用 []01，之间的数来描述，例如：对于天气状况来说意味着“差”，而意味着“好”。其他模糊因素同理，得具体情形如表4。
表4 模糊影响因素处理结果
对12个因素利用上表的定量分析，我们可以对第
二层级权重
()123,,(1,2,3,4)i i i i W W W W i ==进行修正，使之与这12个因素联系更加紧密，使结果更准确，第二层权重的修正如下： 4)最终评判标准的确定
对于出租车的资源供求匹配是否合理，我们采用出租车空驶率来进行评判，空驶率与出租车供需关系如下表所示：
表5 城市出租空载与交通供求关系[4]
为了最终得出评判标准，我们将已划分好的空驶率写成一个31?阶的矩阵P ，即 于是我们结合已经求出的评判矩阵B ，可得出最终的评价结果公式:
评价因子M 与空载率是同一量级，我们将M 与空载率标准（表5）进行比较，从而得出出租车资源“供求匹配”的程度。到此，问题一的模型建立完成。 5.1.3 问题一模型的求解
本文以哈尔滨市为例，根据相关数据进行求解哈市出租车资源的“供求匹配”程度问题。我们从哈尔滨统计局获取哈市市区包括下辖区各县相关数据见附件1。为了满足从空间角度考虑问题，首先，我们将哈市分为中心区与边缘区，中心区包括市辖区：南岗区、道里区、道外区、香坊区、平房区、松北区、呼兰区、阿城区。边缘区
包括下瞎县城：宾县、延寿县、通河县等。时间角度我们主要从大的方向考虑，比如：季节，是否是节假日，是否是高峰期等。
我们先以哈市冬季南岗区某节假日为例，求解出租车资源“供求匹配”程度问题。南岗区相关数据见附件1。我们将评价所需的12个南岗区的相关数据代入所建建立的模型中，
得到量化后的指标为： 评判矩阵为：
利用Matlb 求解(程序见附录四)，得到()0.2436 , 0.2639 ,0.4152B =,最后计算出的评价因子0.3062M BP ==。带入表5中进行比较，比较结果：0.300.30620.40<<，得出匹配程度：供需合理。
从而得出结论：哈市冬季南岗区某节假日出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态。
类似的，利用上述方法可以求解出其他区和所辖县的“供求匹配”程度状况。画出哈市出租车资源“供求匹配”程度图如图2。
对于问题二中“打车难”这个问题，经过分析，发现乘客打车的难易程度最终都可以反映在补贴之后打车人数和出租车空载率这两个指标上。因为城市出租车数量短时间内是不会发生大的变化的，而打车的人数却是一个变化的数值，打车的人多了，打车就变得相对困难。出租车的空载率变小，人们打车就变得相对困难，反之亦然。所以我们用补贴方案实施前后，打车的人数和出租车空驶率的变化两个指标来反映乘客打车的难易程度，由此间接评判出各公司的出租车补贴方案对缓解打车难的现象是否有帮助。
虽然补贴的方案不尽相同，但其本质都是补贴一定数额的钱给相应的出租车司机和乘客，我们将不同补贴方式的差异转化为补贴金额的差异，由于补贴金额是直接影响打车难的关键因素，所以我们假设在这个期间不会有其他因素造成打车人数和空驶率的改变，打车人数和空驶率的改变只受补贴金额的影响。 5.2.2问题二模型的建立
我们借鉴价格理论模型[5]进行建模，价格需求理论是用于研究价格与需求人数的关系的方法，所以在这里我们将其应用于出租车价格变化与打车人数的关系研究上，但是本题中并没有价格变动这一指标，不过，因为补贴方案的不同最终影响的是补贴金额的不同，所以我们这里用补贴金额代替价格变动这一指标。价格需求理论指出价格与需求成负指数关系，所以我们建立如下方程
1220.480733( 5.117)
(1)x P P P r e r --=?+?- （3）
其中：1P 为价格补贴之前打车人数，2P 为价格补贴之后打车人数，r 为受出租车价格影响打车的人数占总人数的比例。在这里受出租车价格影响，打车的人数考虑为使用手机软件打车的人数，而这部分人年龄分布大概在18-35之间，我们通过查找哈尔滨统计局的各年龄人口数据（见附件1），估计出哈尔滨地区26.7%r =。
为了更好地体现补贴前后打车人数变化情况，我们采用补贴前后打车人数比值1
2
P P 作为评价打车人数变化的指标，根据公式（3）得方程：
12
0.48073(50117)(1)x P r P re ---=+ （4）
利用Matlab 画出函数图象如图4。（程序见附录二）
图4 打车人数变化率与补贴金额的关系
空载率与出租车价格变化的关系式为：
1i
j
E
n l p p i η?
??=-
（5）
E 为出租车日均载客里程；n 为出租车辆数；η为出租车出勤率；l 为平均每辆车的日行里程。
将式（4）带入（5）得到： 空驶率与出租车价格的关系式为： 0.48073( 5.117)
1[(1)]x E r n l
r e
i η--??+-??=-
（6）
我国汽车协会统计结果得出，当空载率大于40%时，供过于求；当空载率小于25%时，供大于求；当处于25%～40%之间时，处于供求平衡状态。供过于求，车多，可以认为打车容易。供小于求，车少，可以认为打车难。当处于30%～40%之间时，处于供需平衡状态，我们不考虑空载率对打车难的影响，只考虑打车人数变化关系。
最后我们综合考虑补贴前后打车人数比值12
P P 和空载率i 变化情况，建立综合评价
标准如表。
表6 综合评价标准
5.2.3 问题二模型的求解
根据参考资料(见附件1)，我们得到各公司补贴方案，考虑到我们采用的是补贴金额数来进行求解的，所以我们对各种补贴方案数据进行处理得到如下的表格。
表7 各公司补贴方案（单位：元）
将各个阶段的补贴金额数分别带进公式（4）（6）中，利用Matlab 软件求解（程序见附录三）得：
表8滴滴打车补贴方案评价指标表
表9 快的打
车补贴方案评价指标表
5.2.4结论
根据上述求解结果，对不同补贴方案，打车人数比值12
P P 与空载率i 都不相同，且
当补贴金额大于5元时，
12P P 均小于1且i 均大于40%，而当补贴金额小于5元时12
P P 大于1，且空驶率大幅下降。据此根据表6，我们得出结论：各公司的出租车补贴方案在
一定程度上对“缓解打车难”是有帮助的，当补贴方案对应的补贴金额大于5元时，乘客打车变得容易，缓解了“打车难”的状况。当各个公司补贴方案对应的补贴金额小于5元时甚至不补贴时，打车较为困难，对缓解“打车难”没有帮助。 问题三的模型建立及求解 5.3.1线性规划模型的建立
对于补贴方案的合理性，考虑问题二的求解方法，首先我们应用同样的方式，将补贴方案的差异，最终转化为补贴金额的差异。当我们创建一个打车平台并且自己设计补贴方案时，设计的方案要达到的目的是给司机和乘客补贴最少的钱，并使顾客达到最大满意度。于是我们可以将问题三中求解补贴方案合理性的目标转化为求解补贴金额最小以及不满意度最低的优化模型。
对于满意度，我们认为空驶率越高,打车越容易,相应的满意度越高.。在此我们假定乘客满意度就是由空驶率唯一确定, 并且与空驶率成正相关。但是由于我们要求解的优化模型是求解最小值，故而我们把求最大满意度问题转变为求解最低不满意度问题。
我们用0～1之间的数来描述乘客不满意度，最高为1，最低为0。当出租车空载率为30%左右时，打车容易，供需基本处于平衡状态；超过40%时，供过于求，低于25%时，供不应求，打车困难。不满意度与空驶率对应关系如下表：
表10 空驶率与不满意度对应表
通过对上述表中数据进行拟合，得到空驶率与乘客不满意度有如下函数关系：
()1
1.0165328.1908exp(23.973(0.25))
S i i =
++ （7）
综合分析以上数据，并结合式（4）、（6）我们建立优化模型如下：
利用Lingo软件对以上模型进行求解（程序见附录五），得到最佳解8
x 元。
5.3.2设计方案
根据上面的求解结果，我们可知当补贴金额为8元时，乘客满意度最高，出租车供需较为合理，且打车较为容易。所以我们提供的补贴方案为每单返现8元。考虑到司机接单积极性因素的影响，可以将8元进行分配，由于乘客才是打车这个事件的主要影响因素，所以分配返现金额时，乘客所得金额应该大于出租车司机，具体分配方案如下
表11 出租车补贴方案（单位：元）
5.3.3论证其合理性
将我们得出的补贴方案代入问题二的模型求解，首先将补贴金额8元代入公式（4）、（6）得出的人数变化率为，出租车空驶率，此时打车较为容易，且打车人数受价格变化影响较小。当然，我们代入更高的补贴金额也能达到这个目标，但却无法更进一步影响打车容易度，反而会增加打车软件公司的资产消耗。
最终我们得出结论，4种补贴方案较为合理。
六模型评价及推广
模型的评价
6.1.1 模型优点：
1）问题一中的模型合理地将ISM解释结构模型、层次分析法、模糊综合评价模型相结合，较好的解决了相应的问题，与单一模型相比较更具灵活性。
2）问题二中将补贴方案的差异具体化成补贴金额的差异，将打车难易的模糊说法具体为补贴前后打车人口数不同，这样做既可以说明问题的主要因素，又巧妙的简化了问题的分析与求解过程。
6.1.2模型的缺点：
1 ）问题一中各类元素相互之间的相关系数在确定过程中具有一定的主观性。
2）在确定影响出租车“供求匹配”程度因素的过程中，由于时间的原因不能将因素集考虑的更加全面。
模型的推广
问题一中建立的数学模型用于评判不同时空出租车资源的供求匹配程度，联系实际情况，有很多与之类似的情形。比如不同地点的饭店在不同时间段内提供的席位与客人的供求匹配程度的相关问题，还有不同地点的城市图书馆内提供的图书与阅览者的供求匹配程度等。这样类似的实际问题有很多，只要确定好衡量指标，再结合具体问题，都可以用问题一中的模型来解决，这也就说明了模型的普适性和推广的价值。
七、参考文献
[1]刘凤秋，李善强，曹作宝，数学实验，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.
[2]张守建．基于ISM模型的标准信息化影响因素分析[J].哈尔滨工业大学学报，
2010,42(8):1 306-1 310.
[3]丁树良，杨淑群，汪文义.可达矩阵在认知诊断测验编制中的重要作用［J］．江西
师范大学学报: 自然科学版，2010，34( 5) : 490-495．
[4]李道勇，戴建军.基于 FCD 的深圳市出租车汽车空驶率特点研究[A].第三届
中国智能交通年会学术委员会. 第三届中国智能交通年会论文集[C].南京:东南大学出版社,2007.
[5]梁小民. 西方经济学导论. 北京: 北京大学出版社, 1993.
八、附录
附录一：
%根据邻接矩阵求解可达矩阵计算代码
A=xlsread('C:\Documents and Settings\Administrator\桌面 \');
I=eye(12);
R=A+I;
K=0;
while 1
Rnew=R * (A+I)>0;
if isequal(R,Rnew)
Rnew
N=N+1
break
end
R=Rnew;
N=N+1;
end
success=xlswrite('E:\',Rnew)
附录二：
%画'打车人数变化率与补贴金额函数图象'程序代码
>>x=linspace(0,20,1000);
N=*exp*)+;
plot(x,N,'r')
>> title('打车人数变化率与补贴金额函数图象');
>> xlabel('补贴金额/元');
>> ylabel('打车人数变化率');
>> hold on
附录三：
%滴滴打车补贴求空载率程序代码
>> x=[10,,16,,4,0];
i=*10000**(exp*)+/(336**16136)
i =
%滴滴打车补贴求人数变化率程序代码
x=[10,,16,,4,0];
>> G=*exp*)+
G =
%快滴打车补贴下求空载率程序代码
>> x=[10,11,13,10,4,0];
>> i=*10000**(exp*)+/(336**16136)
i =
%快滴打车补贴下求人数变化程序代码
>> x=[10,11,13,10,4,0];
>> G=*exp*)+
G =
附录四：
%求解哈市冬季南岗区某节假日出租车资源“供求匹配”程度程序代码>> W1=[,,,];
W2=[,,;,,;,,;,,];
>> W2(1,:)*W1(1)
ans =
>> W2(2,:)*W1(2)
ans =
>> W2(3,:)*W1(3)
ans =
>> U=[,,;,,;,,];
>> B=sum(U)
>> W1=[,,,];
>> W2=[,,;,,;,,0.]
W2 =
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：成都纺织高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. XXX（机电XXX） 2. XXX国贸XXX） 3. XXX（电商XXX） 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 06 月 06 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
目录 一、问题的重述 (1) 1.1 背景资料与条件 (1) 1.2 需要解决的问题 (1) 二、问题的分析 (2) 2.1 问题的重要性分析 (2) 2.2问题的思路分析 (3) 三、模型的假设 (4) 四、符号及变量说明 (4) 五、模型的建立与求解 (4) 5.1建立层次结构模型 (4) 5.2构造成对比较矩阵 (5) 5.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法 (6) 5.4一致性检验 (7) 5.5层次分析模型的求解与分析 (8) 5.5.1 构造成对比较矩阵 (8) 5.5.2计算25优秀大学生的综合得 (9) 六、模型的应用与推广 (11) 七、模型的评价与改进 (12) 7.1模型的优点分析 (12) 7.2模型的缺点分析 (12) 7.3模型的进一步改进 (12) 八、参考文献 (13) 附件一 (14) 附件二 (16)
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线
全国大学生数学建模竞赛的准备方法 全国大学生数学建模竞赛于每年9月上旬（今年是9月7日）举行。但是在此之前，需要做好哪些准备，让各个参赛队员在竞赛中做到有备无患呢？在总结过去多年培训指导各种数学建模竞赛的基础上，仅就个人观点，介绍一些关于如何准备数学建模竞赛的经验和体会，仅供参考。在这里主要向大家介绍竞赛的基本情况，包括如何组队、如何选题以及在竞赛中如何合理分配时间。通过本次学习，希望大家能够了解数学建模竞赛的基本情况，为全国大学生数学建模竞赛以及其他各类数学建模竞赛做好准备。 一、如何组建优秀数学建模队伍 进入大学阶段参加各种科技竞赛，可以体会到一种和中学竞赛不同的感受，这种感受来自团队合作。以前的各项赛事都是以个人为单位参加竞赛，它们都是考查个人的能力。但是在大学中，由于难度和任务量的加重以及对团队合作精神的关注，因此大部分的赛事都是以团队为单位参加的。竞赛在考查个人能力的同时，还考查团队成员的合作精神。在数学建模竞赛中，团队合作精神是能否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要分工合作、相互支持、相互鼓励。从历年的统计数据可以看出，竞赛成绩优秀的队员往往并不是每个人在各个方面都特别擅长的队伍，而是团队相处得最融洽的队伍。从这一点也可以看出团队合作的重要性。 在竞赛的过程中，切勿自己只管自己的那一部分，一定要记住这是一个集体的竞赛。很多时候，往往一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚。因此无论做任何事情，三个人一定要齐心才行，只靠一个人
的力量，要在3天之内写出一篇高水平的论文几乎是不可能的。让三人一组参赛一方面是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作确实需要多人合作，因为一个人的能力是有限的，知识掌握也往往是不全面的。一个人做题，经常会走向极端，得不到正确的解决方案。而三个人相互讨论、取长补短，可以弥补一个人所带来的不足。 在队伍组建的时候，需要强调“队长”这个名词概念。虽然在全国大学生数学建模竞赛中并没有设立队长，作为队长在获得的证书上也没有特别标注。但是在队内设立“队长”是非常有必要的。因为在比赛中可能会碰到各种突发状况，队长是很重要的，他的作用就相当于计算机中的CPU，是全队的核心。如果一个队的队长不得力，往往影响一个队的正常发挥。竞赛是非常残酷的，在3天3夜（72h）的比赛中，大家睡眠时间都得不到保障，怎样合理安排团队时间就是队长需要做的事情。在比赛过程中，由于睡眠不足，大家脾气都会很急躁。在这种情况，往往会为了一些小事而发生争吵，如果没有适当的处理，有些队伍将会放弃比赛，而队长就应该在这个时候担起责任。 在明确“队长”这个概念后，接下去谈谈怎样科学选择队友。在数学建模竞赛中，题目要求完成的工作量是很大的，因此这项任务是必须分工完成的，各有侧重、相互帮助，这样才能获得好成绩。而科学地选择队友则显得非常重要，也是走向成功的第一步。一般情况下选择队友可以从以下几个方面考虑着手： 1. 在组队的时候需要考虑队伍成员的多元化，尽量和不同专业、不同特长的同学组队。因为同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。因为数学建模题有可能出现在各个领域，这也是数学建模适合各个专业学生参加的原因所在，也是数学建模竞赛赛事的魅力所在。
2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：
lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 为什么要参加大学生数学建模竞赛 大学生数学建模竞赛是培养学生创新能力和竞争能力的极好的、具体的载体。 1.对于学校的领导(校长、教务处长等)来说，全心全意把学校搞好(高质量的教学、高百分比的就业率、高水平的教师队伍以及提高知名度等)肯定是他们追求的办学目标而且会采取各种措施。但是就选派学生参加大学生数学建模竞赛来说，不少领导(甚至数学教师)会非常犹豫：我们数学课时少，教学任务重，即使参加了，拿不到奖的话，不但不能提高学校的知名度，甚至会招致一些负面的议论等等。实际上，领导们有三个问题考虑不够，它们是： ⑴对数学的极端重要性要有充分的认识。学生将来的发展和成就是和他们坚实的数学基础密切相关的。但是现在的数学教学确实有许多不足之处有待改革，特别是怎么做到不仅教知识，而且要教知识是怎样用来解决实际问题的能力是有待加强的。让部分师生参加到数学建模活动，特别是大学生数学建模竞赛肯定是有利于推动教学改革的。 ⑵ 办好学校的关键之一是提高教师的教学水平。怎样提高呢？鼓励教师组织学生参加大学生数学建模竞赛等数学建模活动，既可以帮助教师进一步了解怎样用数学来解决实际问题，更有助于数学教师到其他专业系科了解他们要用什么样的数学以及怎样用这些数学，互相学习，进行切磋，从而对怎样提高自己的教学水平，数学教学怎样更好为其他专业后继课，甚至对专业课题研究服务产生具体的想法，提出切实可行的措施，最终能够提高教师的专业水平和教学水平，从而也就提高了学校的水平。 ⑶ 学生要求参加大学生数学建模竞赛的积极性是很高的，关键是怎样组织好，培训好。实际上，即使是高职高专院校，也一定有一部分学生的数学基础是相当坚实的，他们之间又有一部分对数学，特别是用数学来解决实际问题有强烈的兴趣。为什么不组织他们参赛呢？培养一些数学基础好对应用又有能力的高职高专院校的学生，今后他们在工作中做出好成绩的可能性肯定会比较大。毕业生事业有成者多也标志了学校办得好、有水平。此外，对于怎样贯彻因材施教也会产生一些很好的想法。 2.对于数学教师来说，组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛对自己也会有极大的好处。 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab 高数竞赛预赛试题（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 一、 问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！ 应为：在仔细理解了问题的基础上，用自己的语言重新将问题描述一篇。应尽量简短，没有必要像原题一样面面俱到。 二、 模型假设 作假设时需要注意的问题： ①为问题有帮助的所有假设都应该在此出现，包括题目中给出的假设！ ②重述不能代替假设！ 也就是说，虽然你可能在你的问题重述中已经叙述了某个假设，但在这里仍然要再次叙述！ ③与题目无关的假设，就不必在此写出了。 三、 变量说明 为了使读者能更充分的理解你所做的工作， 对你的模型中所用到的变量，应一一加以说明，变量的输入必须使用公式编辑器。 注意： ①变量说明要全 即是说，在后面模型建立模型求解过程中使用到的所有变量，都应该在此加以说明。 ②要与数学中的习惯相符，不要使用程序中变量的写法 比如： 一般表示圆周率；c b a ,, 一般表示常量、已知量；z y x ,, 一般表示变量、未知量 再比如：变量21,a a 等，就不要写成:a[0],a[1]或a(1),a(2) 四、模型的建立与求解 这一部分是文章的重点，要特别突出你的创造性的工作。在这部分写作需要注意的事项有： ①一定要有分析，而且分析应在所建立模型的前面； ②一定要有明确的模型，不要让别人在你的文章中去找你的模型； ③关系式一定要明确；思路要清晰，易读易懂。 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）） 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 全国大学生数学建模竞赛 b题 Prepared on 22 November 2020 “互联网+”时代的出租车资源配置 摘要 随着“互联网+”时代的到来，针对当今社会“打车难”的问题，多家公司建立了打车软件服务平台，并推出了多种补贴方案，这无论是对乘客和司机自身需求还是对出租车行业发展都具有一定的现实意义。本文依靠ISM解释结构、AHP-模糊综合评价、价格需求理论、线性规划等模型依次较好的解决了三个问题。 对于问题一求解不同时空出租车资源“供求匹配”程度的问题，本文先将ISM模型里的层级隶属关系进行改进，将影响出租车供求匹配的12个子因素分为时间、空间、经济、其它共四类组合，然后使用经过改进的AHP-模糊综合评价方法建立模型，提出了出租车空载率这一指标作为评价因子的方案，来分析冬季某节假日哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度。通过代入由1-9标度法确定的各因素相互影响的系数，得出各个影响因素的权重大小，利用无量纲化处理各影响因素，得出最终评判因子为，根据“供求匹配”标准，得出哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态的结论。同理，也得到了哈尔滨市不同区县、不同时间的供求匹配程度，最后作出哈尔滨市出租车“供求匹配”程度图。 对于问题二我们运用价格需求理论建立模型，以补贴前后打车人数比值与空驶率变化分别对滴滴和快的两个公司的不同补贴方案进行求解，依次得到补贴后对应的打车人数及空驶率的变化，再和无补贴时的状态对比，最后得出结论：当各公司补贴金额大于5元时，打车容易，即补贴方案能够缓解“打车难”的状况；当补贴小于5元时，不能缓解“打车难”的状况。 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以 大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 20分）. )cos 1(cos 1lim 0x x x x --+ →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. ，其中 解： dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 21 -??+dy x y dx x )(1 210 2??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份号： 所在院 校： 级： 业： 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸 上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关 三、（10分）设)](sin[2 x f y =，其中f 具有二阶2dx 解： )],(cos[) (222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(22 2 2 2 2 2 2 2 x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知 3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ，求a 的值 解： )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ?? -- =-?231ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 2 21-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ，-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ，故]1)23([313--?-a =31 ，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分.历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
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