例2 求函数()ln(1),0.f x x x =-≤的值域 2007.4
解：由0.x ≤可知11x -≥，所以ln(1)0x -≥，故()l n (1),0.f x x x =-≤的值域为[0,)+∞
例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）
A ．f (x )=
1
1
+x [0，1] B ．f (x )=
1
1
+x （-1，0） C ．f (x )=e x (-∞，+∞) D ．f (x )=ln x (0，+∞)
知识点：函数的有界性
注：函数的有界性是指值域的有界性。
解：A 1111+1212+1
x x x ≤≤≤≤?≤≤当0时，
，故f (x )=11
+x 在[0，1]上为有界函数。
B ． -11lim
=+1x x →∞故f (x )=1
1
+x 在（-1，0）上为无界函数。
CD 结合函数图像判断。
例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明：
（1）、()()(),(,)gx
f x f x x a a =+-∈-是偶函数 （2）、()()(),(,)gx
f x f x x a a =--∈-是奇函数
知识点：奇偶性
若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。若对于任何x ，恒有()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称 分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：
（1）()()g x g x -= （2）()()g x g x -=-
只证（1）：()
()(())()()()g f f f f x x x x x g x =+-=+=---- 偶函数。
例5、求函数44log 2log y x =+的反函数. 07.10 知识点：反函数
求反函数的步骤是：先从函数()y f x =中解出1()x f y -=，再置换x 与y ，就得反
函数1()y f x -=。
解：由44411log 2log log 22y x x =+=
+ ，可得41
2()log 2
y x -=，所以214y x -=，上式中x 与y 的记号互换，即得反函数为
214x y -=
例6．1. 设f (x )=x 3-x ，x x 2sin )(=?，则f [)4
(π
-?]=( )
A.-2
B.2
2
-
C.0
D.2 2. 已知f (x +1)=x 2
，则f (x )=________.2009.10 知识点 ：复合函数 解：1. []3()f
x x x ?=sin 2-sin2
3()()()0444f πππ??
?-=--=???
?sin 2-sin2
答案：C
2. 令1,x u += 则1x u =-，故由2(1)f x x +=可得2()(1)f u u =-，即2()(1)f x x =-.
二、 极限与连续 常见考试题型：
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
典型例题
求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等
例7．求22235
lim 31
x x x x →-++．
知识点： 若函数()y f x =在点0x 处连续，0
0lim ()()x x f x f x →=
解 因为
7161lim 3lim )13(lim 2
2
2
≠=+=+=+→→→x x x x x ．
故 2
2
2
22
l i m (235)2357l i m 131l i m (31)7
x x x x x x x x x →→→-+-+===++
例8、221
lim 32
x x x →∞++
解 ： ∞=++=++=++∞→∞→∞→2222222
31
2lim 2312lim 2312lim x x x x x x x x x x x x
知识点：一般地，设000,0,,a b m n N ≠≠∈，则
101101lim n n n m m x m a x a x a b x b x b --→∞?++???+?=?++???+?
?0
0,
0,,a b ∞,
,.m n m n m n =><当当当 例9 =-++∞→2
35
63lim 2n n n n ___________. 2007.7
解： 2
265
3365
3lim
lim 232
33n n n n n n n n
→∞
→∞+
+
++==--
例10 （1）、1
21
c o s 0
l i m (1)x x x -→+ 2008.1 (2) lim 1n
n n n →∞?? ?+??
2009.1
知识点：重要极限：1∞
01(1
)
lim(1),1lim(1),()0,lim(1())x
u x t x x t e u x u x e x
t e →∞→+=+=→+=，
1
0,lim(1)
n
a n n n
a a e →+=
解: (1) 22
1
1221cos 1cos 0
lim(1)lim[(1)]
x x
x x
x x x x --→→+=+
因为 2
120
lim[(1)]x x x e →+=，22
200lim
lim 21cos 2
x x x x x x →→==-。 (2) 求 lim 1n
n n n →∞??
?+??
2009.1 解：(1)
(1)
1111lim lim lim 1lim 11111n
n n n n n n n n n n n n n n n -+-+→∞→∞→∞→∞+-???????
?==-=-
? ? ? ?++++????????
(1)
(1)
11lim 11n n n n e n -+-+-→∞????=-=?? ?+?????
?
例11. 2
000tan sin 1cos (1)lim
(2)lim
(3)lim (4)lim sin
(2007.10)2x x x n x
kx
x n x
x
x n
π
→→→→∞
-
知识点：重要极限 0()00sin sin sin ()
lim
1,
lim
1,lim 1()n n x u x a n a x
u x x
u x a →→→===
解：0000
tan sin 1sin 1
(1)lim
lim lim 111cos lim cos x x x x x x x x x x x x
→→→→===?=
(2)00,u kx x u =→→令，等价于
000sin sin lim
lim lim 1sin x x u kx kx k k k k
x kx u
u →→→=?=?=?=
22
220002
2sin sin 2(3)1c lim lim lim 2()2os 2x x x x x x x x x →→→==- 2
0sin 2211lim 22
x x x →?? ?== ? ???
(4) sin 2lim(sin
)lim
22
22n n n n n
n
π
π
π
ππ→∞
→∞
=?
=
例12．求极限（1）2
0ln(1)
lim 1cos x x x →+- （2）(
)
2
x 01sin 3lim
(1cos 2)ln(1)
x e x
x x →--+
知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。
,',,'ααββ为无穷小， 且~',~'ααββ， 则'lim lim '
ααββ= 解：(1)因为221x x ~)ln(+, 22
11x x ~
cos - 所以 22
002
ln(1)lim
=lim =211cos 2
x x x x x x →→+- （2）因为2
21~x e x -， sin 3~3x x ，22
121cos2~(2)2x x x
-=，ln(1)~x x + 所以 (
)
2
x 01sin 3lim (1cos 2)ln(1)x e x
x x →--+22x 0(3)3lim (2)2x x x x →?==?．
注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．
记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小
1、sin ~,x x 导出 ()0u x →时，sin ()~()
u x u x
2、tan ~,x x 导出 ()0u x →时，tan ()~()u x u x
3、arcsin ~x x ， 导出 ()0u x →时，arcsin ()~()u x u x
4、1~x e x -， 导出 ()0u x →时，()1~()u x e u x -
5、ln(1)~x x +， 导出 ()0u x →时，()ln 1()~()u x u x +
6、21cos ~2
x x -， 导出 ()0u x →时
，
2
()1cos ()~
2
u x u x -
例13：(1) x
x x x x sin e lim 2
0-→ 09.7 (2) 2sin lim 1x x x x →∞++ 09.4
(3) x 1
lim (1)tan
2
x
x π→- 07.4 （4）11lim 1ln x x
x x →??-
?-?
? 知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式
∞
∞
、00．其它类型的未定式 ∞-∞，0?∞ ，000,,1∞∞ 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则
解：(1) 2
0lim e sin x x x x x →- 0()0
1s i n 22
l i m c o s 2l i m
00
=++=-+=→→x
e xe x e xe x x x x x x x
（2） 2sin lim
1
x x x
x →∞++
∞?? ?∞??
1c o s 1
l i m
l i m (1c o s )
22x x x x x
x →∞→∞+==+= (3) x 1lim (1)tan 2x x π→- 0
(0)0
?∞→
x 1(1)lim
cot 2x x π→-= 2x 1x 12
122
lim lim sin 2csc 22
x x πππππ→→-===-
(4) 1110
1ln 11ln 1lim lim lim 011ln (1)ln ln x x x x
x x x x x x x x x x
x
→→→-++-∞-∞??- ?---??+ 211ln 1
lim
lim 121ln 1
11x x x x x
x x
x →→==+=-+
例14．求极限（1）x x x x cos 12
e e lim 0--+-→. 2009.10 (2) 0ln cos 0,0,lim ln cos x ax a b bx
→≠≠ 2007.1
知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合
解：
（1）0e e 2lim 1cos x x x x -→+-- 0
()0
2000e e 2e e lim lim lim(e e )22
x x x x
x x x x x x x
---→→→+--===+= (2) 001
(sin )
ln cos cos lim lim 1ln cos (sin )cos x x a ax ax
ax
bx b bx bx
→→-=- 0()0
0cos sin lim cos sin x bx a ax ax b bx →=2
20cos lim cos x bx a ax a ax b bx b
→== 例15 .设f (x )是连续函数，且f(0)=1，则=?→2
x lim
x dt )t (tf x
（ ）2007.4 A.0 B.
1
2
C.1
D.2
知识点： 变上限函数求导求极限
解： 0
2
x 0
x 0
()()lim
lim
2x
tf t dt xf x x x
→→=?x 0()(0)1
lim 222f x f →==== 例16．设函数f (x )=??
?
??≥+-<02302sin 2 x k x x x x x
在x =0点连续，则k =（ ）2009.4
知识点：函数连续 若0
0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 处连续。
分段函数在分段点点0x 处连续?()y f x =在点0x 处既左连续又右连续。 解：因为()y f x =在点0处连续，
所以k f x
x
x x x f x x x =====-
-
-→→→)0(22lim 2sin lim )(lim 00
例17．函数21
()(23)
x x f x e x x -=
-- 的间断点的个数为 【 】
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 知识点： 判断初等函数的间断点
如果()f x 在点0x 不连续，则称0x 是()f x 的间断点．
● 若下列三种情况之一成立，则0x 是()f x 的间断点：
i ．0()f x 无定义 (0x 是无定义的孤立点) ii ．0
lim ()x x f x →不存在
iii ．0()f x 有定义，0
lim ()x x f x →存在，但0
0lim ()()x x f x f x →≠．
● 若()f x 是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点．
● 若()f x 是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点．
解：将函数的分母做因式分解，则有1
()(1)(2)
x
x f x e x x -=
--．分母的零 点就是函数的间断点．可以看到分母的零点为1,2x =，应选择C ．
注： 对函数做因式分解是判断函数零点的常用方法．
例18．求曲线x x y )2ln(+=的水平渐近线和竖直渐近线.2009.10 2
1
()1x y f x x +==-知识点：如果lim ()lim ()lim ()x x x f x b f x b f x b →∞
→+∞
→-∞
===或或，， 则直线y b =为曲线()y f x =的水平渐近线． 如果lim ()lim ()lim ()x a
x a x a f x f x f x -
+
→→→=∞=∞=∞
或或，
则直线x a =为曲线()y f x =的竖直渐近线．
201lim 1x x x →+-=∞21lim 11x x x →∞+-=-y
解： 因为 1ln(2)2lim lim 01x x x x x →∞→∞++==，0ln(2)lim
x x x →+=∞ 所以0y =为曲线x x y )2ln(+=的水平渐近线， 0x =为曲线x
x y )2ln(+=的水平竖直渐近线。
2
1()1x
y f x x
+==-x x x f x b f x b f x b →∞→+∞→-∞
===或或，=y f x
=x a x a x a
f x f x f x -
+
→→→=∞=∞=∞或或=y f x
=201lim 1x x x →+-=∞
21lim 11x x x →∞+-=-
注意：竖直渐近线一般在间断点处存在。
例19 求级数1
025n n +∞
=??
?
??
∑的和S
华夏大地教育网 http//:https://www.doczj.com/doc/4713597563.html, 自学考试：高数（一）串讲讲义 18 求级数 1
025n n +∞=?? ???
∑的和 知识点：等比级数（几何级数）1211
n n n aq a aq aq aq ∞
--==+++++∑
当1q <时,等比级数收敛 ; 且12111n n n aq a aq aq a a q
q ∞
--==+++++=
-∑ 当1q ≥时，等比级数发散 ．
解：因为 1
231
022********n n n ++∞
=??
??????=+++++ ?
? ? ???
??????
∑
所以 1
2
225253
15
n n +∞
=??
=
=
?
??
-
∑ 注意：收敛的必要条件：若0
n n u ∞
=∑收敛， 则 lim 0n n u →∞
=级数
三、闭区间上连续函数的性质：
例20．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使
f(ξ)=1-ξ.2008.7
知识点 零点定理 若)(x f 在闭区间[]b a ,连续，且0)()(
证明：.令()()1F x f x x =-+，则()F x 在闭区间[]0,1连续，(0)(0)110F f =-=-<，
(1)(1)1110F f =-+=>，则由零点定理至少有一点(0,1)ξ∈，使()0,F ξ=即()1f ξξ=-。
第二部分 导数微分及其应用 常见考试题型：
1、导数的几何意义；
2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；
4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；
5、求闭区间上连续函数的最值；
6、实际问题求最值。
一、有关定义的题型 例21设f ′(0)=1，求0
(3)()
lim
2x f t f t t
→-- 2008.10
知识点：导数的定义
000000000()()()()()lim
lim lim .x x x x x x x f x f x f x f x y
f x x x
y x x =?→→?→-+-?''
=?==-?=?
解: 00(3)()(3)(0)(()(0))
lim
lim 22x x f t f t f t f f t f t t →→------=
003(3)(0)1(()(0))lim
lim 232x x f t f f t f t t →→---=+-31
(0)(0)2(0)222
f f f '''=+== 例22．设()f x =21,0133,12x x x x ?-≤≤?-<≤?, 讨论该函数在1x =处的连续性与可导性
知识点：
1、函数()f x 在点0x 处连续?()f x 在点0x 处连续既左连续又右连续.
2、函数()f x 在点0x 处可导?左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在且相等
3、分段函数在分段点的左右导数可用导数的左右极限来得到。
解：因为 ++-+
2
1
1
1
1
lim ()lim 330(1),lim ()lim 10(1)x x x x f x x f f x x f →→→→=-===-== 所以 ()f x 在1x =处连续
因为1
1
1
(1)lim ()lim(33)lim 3=3x x x f f x x +++
+→→→'''==-= 2
1
1
1
(1)lim ()lim(1)lim 22x x x f f x x x ---
-→→→'''==-== (1)(1)f f +-''≠，()f x 在1x =处不可导 总之，()f x 在1x =处连续不可导
例23 .设???????=≠-=-00012
x ,
x ,x
e )x (
f x ，则)(f 0'=。2007.4
解：2
0010
()(0)
(0)lim lim 00
x
x x e f x f x f x x -→→---'==--
2
2
22
0011lim lim 1x x
x x e e x x --→→--=== 例24．求曲线x y x e =+上点（0，1）处的切线是.
知识点：导数的几何意义，0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点000(,())M x f x 处的切线的斜率．
解：因为1x y e '=+所以曲线x y x e =+在点（0，1）处的切线方程的斜率为0'2x y ==, 则曲线x y x e =+在点（0，1）处的切线方程为12(0)y x -=?-, 即21y x =+ 例25设函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处（C.）2005年4月 A.极限不一定存在 B.不一定连续
C.可微
D.不一定可微
知识点：()f x 可导?()f x 可微
()f x 可导?()f x 连续
例26、若函数()f x 在点0x 处自变量增量x ?=0.25，对应函数增量y ?的线性主部为2，求函数在该点的导数值0()f x ' 2006年1月 知识点：微分
00()()()()y f x x f x y A x A o x dy f x dx x ??'?=+?-?=+?=??= 解： 因为 00()()20.25f x d x x A x f =??=''=
所以 0()8f x '=
二、有关导数计算的题型
基本求导公式
222()0
(sin )cos (tan )sec (sec )sec ()ln 1
(log )ln 1
(arcsin )11
(arctan )1x x a C x x x x x xtgx
a a a
x x a
x x x x '='='='='='=
'=
-'=
+
1
22
2
()(cos )sin (cot )csc (csc )csc ()1
(ln )1(arccos )11(cot )1x x
x x x x x x x xctgx e e x x x x x x μμμ-'='=-'=-'=-'='=
'=--'=-
+
导数的四则运算
若函数()u u x =，()v v x =都在点x 处可导，则有 (ⅰ)(()())()()u x v x u x v x '''±=±； (ⅱ)[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；
(ⅲ)2
()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x '
''??-= ???
， ()0v x ≠．
复合函数的导数
设函数()y f u =及()u g x =可以复合成函数(())y f g x =，若()u g x = 在点x 可导，且()y f u =在相应的点()u g x =可导，则复合函数(())y f x ?=在点x 处可导， 且((()))d x g y x x f d g '='，或 dy du dy dx du dx =?，
初等函数的求导问题全部解决
例27、求下列函数的导数。
1) y=x ln 12
+ .2009.1 arctan 32)
3)sin sin sin x
n nx x
x
+
导数的四则运算 , 复合函数的导数
复合函数求导：逐层求导， 外层求导，内层不动。
解：22
2
2
12ln ln 1)(1ln )(ln )21ln 21ln 1ln x x y x x x
x
x x
'''=
+=
=
+++
2）arctan arctan arctan 23()sin 3sin s si i (n )3n x x x x x x x ''??'
-=
???
arctan arct n 2a 3ln 3(arctan )sin 3sin cos x x x x x x -='?arct 2
2an 3ln co s s )
i 3n (sin 1x x x x x -?+=
3)(sin sin )(s )s ()i n n i n n nx nx x x '''+=+1sin cos ()(sin )n nx nx x n x -''
=+
1sin o cos c s n x n n nx x
-=+
例28、 求下列函数的微分 (1)ln tan 2
x
y = (2)(ln )y f x = 知识点:求微分()dy f x dx '= 解：（1）因为
2ta 1tan 1(l 2n tan )(n s )()2tan 2
ec 222x dy x x x dx x
x '''===???
221
1
111
()2sin tan cos tan cos 22222
x x x x x x '=
?
??==
?? 所以 1sin dy dx x = （2）设：ln u x =，则; ()y f u =，故
x x f x x f y 1)(ln ')')(ln (ln ''==
所以 1
(ln )dy f x dx x
'=
例29、求下列函数的导数 （1）设1
,(1).x
y x y '=求 2005.1
（2）
()2
2x 1112x-1ln arctan ,1,6133
y x x x +=+≠--+ 2007. 知识点：当幂指函数求导，或当函数是多个因式相乘时，采用对数求导法
解 1
(1)x
y x =， 两边取对数：1
ln y x x
=l
n
两边关于x 求导：
2221111
ln (ln )1ln x x x x x x y y x
'=-+=-'+ 1
22221111
(ln )(ln )x y y x x x x x x x
'=?-+=-+ (1)1y '=
(2)因为
()()2
22x 1112x-11112x-1
ln arctan ln 1ln(1)arctan ,61363333
y x x x x x +=+=+--++-+
2211111
12
(2-1)(2-1)31613
313
y x x x x x '=
-++-++
22
12-12
3(1)6(1)3(2-1)x x x x x =
-++-++
例30、设sin 2y x =, 求()n y 2004.10
知识点： 高阶导数 ，熟记下列高阶导数公式
()(sin )sin().2n n x x π=+ ()(cos )cos().2
n n x x π
=+ ()()ln .x n x n a a a =
()()x n x e e = ()()(1)21!n x n n n =?-?=
解：(sin 2)sin(2)(2)2sin(2).22
y x x x x ππ
'''==+=+,
2(2sin(2))2sin(2)(2)2sin(22)22222
y x x x x πππππ
''''=+=+++=+
所以 ()2sin(2)2n n y x n π
=+
例31 求223z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数。 知识点：偏导数计算
0000000
(,)(,)
(,)lim
.
x x f x x y f x y f x y x
?→+?-=?
0000000
(,)(,)
(,)lim
.y y f x y y f x y f x y y
?→+?-=?
解法：
23z x y x ??=+, 32z x y y
??=+
则
(1,2)
8z x
??= ,
(1,2)
7z y
??=
例32、求函数22ln(1)z x y =++)当1,2x y ==时的全微分. 2005年1月 知识点：全微分0
0000(,)(,)x y p dz f x y dx f x y dy ''=?+?
解：
222,1z x x x y ?=?++
22
2,1z y y x y ?=?++ 22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y
??=
+=+??++++ 221,21,2
21,13
x y x y z x
x x y ====?=
=?++22
1,2
1,2
2213
x y x y z y y
x y ====?=
=
?++ 所以 1,2
1,2
1,2
12y
33x y x y x y z z dz
dx dy dx dy x
======??=
?+
?=+??
注意：如果求非具体点的全微分，只需求出偏导函数，带入全微分公式即可：
例33、xy z xe
=y
, 求2z x y
??? 2009.7
解：xy xy
z e xye x ?=+?，22xy xy xy z xe xe x ye x y
?=++??
例34 设方程222z x y z ye ++=确定隐函数(,)z z x y =,求,x y z z '' 2005.10 知识点：隐含数求导
二元方程(,)0F x y =确定一个一元的隐函数()y f x =,且
x y F dy
dx F '=-'
F (x , y , z ) = 0确定二元函数z =z (x , y )，且：x z F z
x F ??'=-'，y z F z y F ??'=-'
解：令222(,,)z F x y z x y z ye =++- 原方程即为 (,,)0F x y z =
微积分笔记
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1 ) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时, 若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 奇函数：f(-x)=-f(x) 偶函数：f(-x)=f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: A y n n =∞ →lim 称数列{}n y 以常数A 为极限；或称数列{}n y 收敛于A. 定理: 若{}n y 的极限存在 ?{}n y 必定有界.
自考 高等数学(工本)公式大全
《高等数学（工本）》公式 第一章 空间解析几何与向量代数 1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-= 2. 向量的投影 3. 数量积与向量积： 向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1?z z y y x x b a b a b a b a ++=? .2?b a ⊥的充要条件是：0=?b a .3 ?b a =∧ )cos(向量的数量积公式： .1?k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a x y y x z x x z y z z y z y x z y x )()()(-+-+-==? .2 ?= ?sin .3?b a //的充要条件是0=?b a 4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线 平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A = 点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A 直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M 点向式：n z z m y y l x x o o o -=-=- 5. 二次曲面 第二章 多元函数微分学 6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分 偏导数公式：
.1?),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?=== x v v z x u u z x z ????+ ????=?? y v v z y u u z y z ????+????=?? .2?设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?=== dx dv v z dx du u z dx dz ??+ ??= .3?设0),,(=z y x F Fz Fy y z Fz Fx x z -=??-=?? 全微分公式：设),,(y x f z =dy y z dx x z dz ??+??= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数 第三章 重积分 10. 二重积分计算公式：. 1???=D kA kd σ（A 为D 的面积） . 2?? ??? ? ?==) () () () (1212),(),(),(y y c d D x x b a dx y x f dy dy y x f dx d y x f ????σ . 3??? ? ?=D rdr r r f d d y x f ) () (12)sin ,cos (),(θ?θ?β α ???σ 11. 三重积分计算公式： .1?利用直角坐标系计算，Ω为?? ? ??≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z ) ()() ,(),(2121 ? ? ????=Ω ) ,() ,() () (2121),,(),,(y x z y x z x y x y b a dz z y x f dy dx d z y x f σ .2?利用柱面坐标计算：Ω为?? ? ??===z y r y r x ??sin cos ? ? ????=Ω ) ,() ,() () (21212 1 ),sin ,cos (),,(?????? ??r z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
最新自考高等数学(工本)00023试题及答案解析
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本) 试卷 (课程代码 00023) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效。试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知向量a={-1，3，2)，b={-3，0，1)，则a×b= A. {3，5，9} B. {-3，5，9) C．(3，-5，9) D. {-3，-5，-9) 2．已知函数，则全微分dz= 4. 微分方程是 A．可分离变量的微分方程 B．齐次微分方程 C．一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 无穷级数的敛散性为 A．条件收敛 B. 绝对收敛 C．发散 D. 敛散性无法确定 第二部分非选择题
二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在答题卡上作答。 6．已知点，则向量的模= _______. 7·已知函数=_______. 8．设积分区域，且二重积分，则常数a= _______．9．微分方程的特解y*=_______. 10. 已知无穷级数=_______. 三、计算题 (本大题共l2小题，每小题5分，共60分) 请在答题卡上作答。 11．求过点A(2，10，4)，并且与直线平行的直线方 12．求曲线的点处的法平面方程·13．已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x，y)，求． 14．求函数的梯度 15．计算二重积分，其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域． 16. 计算三重积分，其中积分区域． 17. 计算对弧长的曲线积分，其中C是从点A(3，0)到点B(3，1)的 直线段· 18．计算对坐标的曲线积分，其中N抛物线y=x2上从点A(一1，1)到
00020 高等数学(一)自考历年真题
2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。
高等数学笔记
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后： 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a0)，则称实数集{x|a?δa称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源：https://www.doczj.com/doc/4713597563.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。 文章来源：https://www.doczj.com/doc/4713597563.html,/ 注意： （1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源：https://www.doczj.com/doc/4713597563.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。
最新10月全国自学考试高等数学(工本)试题及答案解析.docx
??????????????????????精品自学考料推荐?????????????????? 全国 2018 年 10 月自学考试高等数学（工本）试题 课程代码： 00023 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 1.向量a={-1，-3，4}与x轴正向的夹角满足（） A. 0<1<< B.= 22 C.<< D.= 2 2.设函数 f(x, y)=x+y,则点（ 0， 0）是 f(x,y)的（） A.极值点 B. 连续点 C.间断点 D. 驻点 3.设积分区域 D： x2+y2≤ 1, x≥ 0,则二重积分ydxdy 的值（） D A.小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 不是常数 4. 微分方程 xy′ +y=x+3 是（） A.可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5.设无穷级数n p收敛，则在下列数值中p 的取值为（） n 1 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共10 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.已知向量 a={3 ， 0， -1} 和 b={1 ， -2， 1} 则 a-3b=___________. 7.设函数 z=2x2+y2，则全微分 dz=___________. 8.设积分区域 D 由 y=x, x=1 及 y=0 所围成，将二重积分 f ( x, y)dxdy 化为直角坐标下的二次积分为 D ___________. 9.微分方程 y″ +3y=6x 的一个特解 y* =___________.
大学微积分知识点总结
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8）
①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分
高等数学学习笔记
第一章 代数运算与自然数 主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则： （1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。 （2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。 只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立
7全国自考高等数学(一)试题及答案解析
1 全国2018年7月自学考试高等数学(一)试题 课程代码：00020 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.若f (x )为奇函数,且对任意实数x 恒有f (x +3)-f (x -1)=0,则f (2)=（ ） A. -1 B.0 C.1 D.2 2.极限x x x )3 1(lim -∞→=（ ） A.e -3 B.e -2 C.e -1 D.e 3 3.若曲线y =f (x )在x =x 0处有切线,则导数f ＇(x 0)（ ） A.等于0 B.存在 C.不存在 D.不一定存在 4.设函数y =(sin x 4)2,则导数x y d d =（ ） A.4x 3cos(2x 4) B.4x 3sin(2x 4) C.2x 3cos(2x 4) D.2x 3sin(2x 4) 5.若f ＇(x 2)=x 1 (x >0),则f (x )=（ ） A.2x +C B. x 1 +C C.2x +C D.x 2+C 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.若f (x +1)=x 2-3x +2,则f (x )=_________.
2 7.无穷级数ΛΛ+?? ? ??-++-+-n 218141211的和为_________. 8.已知函数f (x )= x +11 ,f (x 0)=1,则导数f ＇(x 0)=_________. 9.若导数f ＇(x 0)=10,则极限=--→)()2(lim 000x f h x f h h _________. 10.函数f (x )=52)1(-x 的单调减少区间为_________. 11.函数f (x )=x 4-4x +3在区间[0,2]上的最小值为_________. 12.微分方程y 〃+x (y ＇)3+sin y=0的阶数为_________. 13.定积分 =? -x x x d sin ||2 2 _________. 14.导数 ? =+2 1 4 1d d d x t t x _________. 15.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题(一)（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设y =y (x )是由方程e x -e y =sin(xy )所确定的隐函数,求微分d y . 17.求极限x x x x x x ----→tan 2e e lim 0. 18.求曲线y =x 2ln x 的凹凸区间及拐点. 19.计算无穷限反常积分? +∞∞-++=x x x I d 1 1 2. 20.设函数z=x y cot arc ,求二阶偏导数22x z ??,y x z ???2. 四、计算题(二)（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.设f (x )的一个原函数为2 e x -,求不定积分? x f ＇(x )d x . 22.求曲线y =ln x 及其在点(e,1)的切线与x 轴所围成的平面图形的面积A .
微积分知识点小结
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；
⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．
自考高等数学(一)考试重点
《高等数学(一)》考试重点 第一章 函数及其图形（选择题1、填空题1） 1.函数的定义域 2.函数的有界性 3.函数的奇偶性奇偶性：奇函数x y eg x f x f =→??? ?? ?-=-点对称奇函数的定义域关于原为奇函数 )()( 偶函数2)()(x y eg y x f x f =→? ?? ?? ?=-轴对称偶函数的定义域关于为偶函数 4.函数的反函数 5.求函数表达式 第二章 极限和连续（选择题、填空题、计算题） 6.记住重要结论：等比级数?? ???≥<-=∑-1 111 q q q a aq n 发散， 调和级数n 1∑ 发散；21 n ∑收敛。（注意级数的敛散性） 7.无穷小量及其性质，无穷大量 8.两个重要极限 1sin lim =→x x x ，e n n n =+∞ →)1 1(lim 9.无穷小量的比较 ??? ?? ? ?∞≠≠→的低阶无穷小量是的等价无穷小量是同阶无穷小量 是的高阶无穷小量 是)()()()(1 )()()1()()(00)()()(lim ()x p x a x p x a x p x a c c x p x a x x p x a x ρ 10.函数的连续性和函数的运算（1）了解函数极限定义以及有极限函数基本性质（唯一性、有界性、 保号性）； （2）分段函数分段点处极限的求法 11.函数的间断点 12.闭区间上连续函数的性质（零点存在定理） 第三章 一元函数的导数和微分（选择题、填空题、计算题） 13.导数的定义及其几何意义，记住求导数的常用公式0 0) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→，这个式子再求分 段函数，含有绝对值的函数的导数的应用。
(完整版)高等数学(下)知识点总结
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高等数学微积分公式精髓
总论 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。
《高等数学》读书笔记
类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质
>区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则
基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用
1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂
自考高等数学一试题及答案
自考高等数学一试题及答案
10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(一) 试卷 (课程代码 00020) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共l0小题。每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。1．方程x2-3x+2=0的根为
3. 极限 A．-2 B．0 C．2 D. ∞ 4．函数的所有间断点是 A．x=0 B. x=-1 C． z=0，z=1 D．x=-1，z=1 6．曲线y=sinx在点(0，O)处的切线方程是 A，y=x B．y=-X C．y=1/2 x D．y=-1/2 x )=0，则f(x) 7．设函数f(x)可导，且f’(x 在x=x 处 A．一定有极大值 B．一 定有极小值 C．不～定有极值 D．一 定没有极值 8．曲线y=x3—3x2+2的拐点为 A．(0，1) B．(1，O) C．(0， 2) D．(2，O) 9．不定积分
A.see x+x B．sec x+x+C A．
23．求不定积分 24．计算二重积分，，其中D是由直线x=1、y=1及x轴、y轴所围成的平面区域．
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
自学考试 《高等数学(工本)》历年真题全套试题
自考00023《高等数学（工本）》历年真题集电子书
目录 1. 目录 (2) 2. 历年真题 (5) 2.1 00023高等数学（工本）200404 (5) 2.2 00023高等数学（工本）200410 (7) 2.3 00023高等数学（工本）200504 (9) 2.4 00023高等数学（工本）200507 (11) 2.5 00023高等数学（工本）200510 (14) 2.6 00023高等数学（工本）200604 (15) 2.7 00023高等数学（工本）200607 (18) 2.8 00023高等数学（工本）200610 (21) 2.9 00023高等数学（工本）200701 (24) 2.10 00023高等数学（工本）200704 (26) 2.11 00023高等数学（工本）200707 (28) 2.12 00023高等数学（工本）200710 (29) 2.13 00023高等数学（工本）200801 (34) 2.14 00023高等数学（工本）200804 (35) 2.15 00023高等数学（工本）200807 (36) 2.16 00023高等数学（工本）200810 (38) 2.17 00023高等数学（工本）200901 (39) 2.18 00023高等数学（工本）200904 (40) 2.19 00023高等数学（工本）200907 (42) 2.20 00023高等数学（工本）200910 (43) 2.21 00023高等数学（工本）201001 (45) 2.22 00023高等数学（工本）201004 (46) 2.23 00023高等数学（工本）201007 (47) 2.24 00023高等数学（工本）201010 (49) 2.25 00023高等数学（工本）201101 (50) 2.26 00023高等数学（工本）201104 (52) 2.27 00023高等数学（工本）201107 (54) 2.28 00023高等数学（工本）201110 (55) 2.29 00023高等数学（工本）201204 (57) 3. 相关课程 (59)
