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完整版)数列典型例题(含答案)

等差数列的前n项和公式为

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得

代入已知条件，得到

解得。因此，前项和为。

⑵由已知条件可得

代入等差数列的前n项和公式，得到化简得

因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，

$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。根据已知条件可列出不等式组：

begin{cases}

S_k=100\\

S_{k+1}>100

end{cases}

将 $S_k$ 代入得：

frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100

整理得：$k^2+kd-400=0$。解得 $k=13$（舍去负根），代入可得前 $k$ 项和为 $819$。

公比为1或-1，所以答案为1或-1.

5.已知等比数列的前项和为，公比为，则数列的首项为（）。

考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的代数运算能力。

答案。

解析：设首项为a，则有a(1-q^n)/(1-q)=s，又q=√(s/a)，代入可得a=s/(1+√s)，所以答案为s/(1+√s)。

⑵若数列的前n项和为，则求的值.

考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式、数列的性质以及运算求解能力.

答案：⑴.⑵

解析：⑴由已知。

得

又

得

所以

由此可得数列的通项公式为

⑵由已知，有

所以

又因为

所以

故

代入得

即为所求.

满足。

⑴设数列为 $a_n$，证明：当 $n\geq 2$ 时，$a_n=a_{n-1}+2^{n-2}$。

考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力。

答案：⑴设数列为 $a_n$，则 $a_1=1$，$a_2=2$。

一般地，当 $n\geq 3$ 时，$a_n=a_{n-1}+2^{n-2}$，所以

数列 $a_n$ 是首项为 1、公差为 $2^{n-2}$ 的等差数列，因此$a_n=1+2^{n-2}(n\geq 2)$，所以数列 $a_n$ 的通项公式为

$a_n=1+2^{n-2}(n\geq 2)$。

⑵略。

解析。

⑴因为$a_1=1$，$a_2=2$，所以$a_3=a_2+2^{3-2}=4$，$a_4=a_3+2^{4-2}=8$，$a_5=a_4+2^{5-2}=16$，

$a_6=a_5+2^{6-2}=32$，$\cdots$，很容易看出 $a_n=1+2^{n-2}(n\geq 2)$。

⑵由⑴知，数列 $a_n$ 的通项公式为 $a_n=1+2^{n-

2}(n\geq 2)$，所以 $a_{10}=1+2^{10-2}=513$。

⑶略。

解析。

⑴在题目中已经求出了数列 $a_n$ 的通项公式，即

$a_n=1+2^{n-2}(n\geq 2)$。

⑵由题意可得。

begin{aligned} &a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \\

=&1+2+3+\cdots+(n-1)+n+2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{n-2} \\

=&\frac{n(n+1)}{2}+2^{n-1}-1.\end{aligned}$

又因为 $a_1=1$，$a_2=2$，所以 $a_1+a_2=3$，

$a_1+a_2+a_3=7$，$a_1+a_2+a_3+a_4=15$，$\cdots$，很容易看出数列 $b_n$ 的通项公式为 $b_n=\frac{n(n+1)}{2}+2^{n-1}-1(n\geq 2)$。

⑶ (法一)

because$ $a_n=1+2^{n-2}(n\geq 2)$，

$\therefore$ $a_2=2=1+2^{2-2}$。

假设当 $n=k(k\geq 2)$ 时，$a_k=1+2^{k-2}$，则

begin{aligned} a_{k+1}=&a_k+2^{k-1} \\ =&1+2^{k-

2}+2^{k-1} \\ =&1+2^{k-2}(1+2) \\ =&1+2^{k-1}。

\end{aligned}$

所以对一切正整数，有 $a_n=1+2^{n-2}$。

法二)

because$ $a_n=1+2^{n-2}(n\geq 2)$，

$\therefore$ $a_2=2=1+2^{2-2}$。

because$ $2^{n-2}>1(n\geq 3)$，$\therefore$ $a_n=1+2^{n-2}<1+2^{n-2}+(n-2)2^{n-2}=(n-1)2^{n-2}(n\geq 3)$。

又因为 $\begin{aligned} &\sum_{k=2}^{n}a_k \\

=&\sum_{k=2}^{n}[a_{k-1}+2^{k-2}] \\

=&\sum_{k=2}^{n}a_{k-1}+\sum_{k=2}^{n}2^{k-2} \\

=&\sum_{k=1}^{n-1}a_k+2^{n-2}-1 \\ =&\frac{n(n-

1)}{2}+2^{n-1}-1.\end{aligned}$

therefore$ $\sum_{k=2}^{n}a_k<\frac{(n-1)2^{n-

1}}{2}+\frac{2^{n-1}}{2}=\frac{3}{2}\cdot2^{n-1}(n\geq 3)$。

because$ $\begin{aligned} &\sum_{k=2}^{n}a_k \\

=&a_2+a_3+\cdots+a_n \\ =&n-1+2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{n-2} \\ =&n-1+2^{n-1}-1 \\ =&n+2^{n-1}-2.\end{aligned}$

XXX{n-1}-2<\frac{3}{2}\cdot2^{n-1}(n\geq 3)$，即

$n<2^{n-2}(n\geq 3)$，所以对一切正整数，有 $a_n=1+2^{n-2}$。

数列专题复习之典型例题(含答案)

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n 例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。答案2·3n －1 练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．答案a n ＝错误! 三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设 3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式; 答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,* n ∈N ． (2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．

（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（* n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 1 1,,. 1,111n n q q q a n q -≠=⎧-+ ⎪=-⎨⎪⎩ (3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+* +==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2n n n a n λ=-+2121 2 (1)22(1)(1) n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1 (1)22(1)2 n n n n S +-= +-λ= (4）已知数列{}n a 满足：()2 13,22n n a a a n n N *+=+=+∈

数列例题(含答案)

1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列 {c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0① 再由S4=4S2，得，即d=2a1② 联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，． R n=c1+c2+…+c n=③ ④ ③﹣④得：= 所以；所以数列{c n}的前n项和． 2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，

解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10） =（2+22+...+210）+（1+2+ (10) =+=2101． 3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证． 4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n?b n+2＜b n+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n． b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1 =2n﹣1+2n﹣2+…+2+1 =

数列练习题(附答案)

数列综合题一、填空题 1．各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q= 2．已知等差数列{a n }，公差d ≠0,a 1,a 5,a 17成等比数列，则 18 621751a a a a a a ++++= 3． 3已知数列{a n }满足S n =1+ n a 4 1,则a n = 4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x 2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x 轴上截得的线段长度之和为 5.已知数列{a n }的通项公式为a n =log (n+1)(n+2),则它的前n 项之积为 6.数列{(-1)n-1 n 2 }的前n 项之和为 7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n 层时的物品的个数为 8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为 9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为 11．设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ，若a 5=20－a 16，则S 20=___________． 12．若｛a n ｝是等比数列，a 4· a 7= －512，a 3+ a 8=124，且公比q 为整数，则a 10等于___________． 13．在数列｛a n ｝中，a 1=1，当n ≥2时，a 1 a 2… a n =n 2 恒成立，则a 3+ a 5=___________． 14．设｛a n ｝是首项为1的正项数列，且（n ＋1）2 1+n a －na 2 n ＋a n +1 a n =0（n =1，2，3，…），则它的通项公式是a n =___________．二.解答题 1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n +2n +(2n-1),求前n 项和 2．已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，数列{a bn }是公比为q 的等比数列， b 1=1,b 2=10,b 3=46,，求公比q 及bn 。 3．已知等差数列{a n }的公差与等比数列{b n }的公比相等，且都等于d(d>0,d ≠1),a 1=b 1 ，a 3=3b 3,a 5=5b 5,求a n , 4．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 5.已知等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 4＋a 7 =15，a 2 a 4 a 6=45，求｛a n ｝的通项公式． 6.在等差数列｛a n ｝中，a 1=13，前n 项和为S n ，且S 3= S 11，求S n 的最大值．参考答案 1. 2 51+ 2. 2926 3. n ) 31(3 4- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧ +=+=--1 1411411n n n n a S a S ,相减得

高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ，所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）21 12322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列 {} 1 2n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知 n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

完整版)数列典型例题(含答案)

完整版)数列典型例题(含答案) 等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到

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8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。 1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。 2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$， $a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

高考数学专题训练：数列大题50题(含答案和解析)

1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111 ,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12