中考四边形专题
【知识要点】
一 一般四边形
1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n 边形的内角和等于(n -2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：
2
)
3n (n -. 二 平行四边形的判定与性质
1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3．平行四边形的性质：
因为ABCD 是平行四边形??????
????.
54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；
（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行
（ABCD 54321???
?
?
?
?
??
.
三 矩形的判定与性质
1. 矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2. 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。
4.矩形的性质：
因为ABCD 是矩形????
??.3;
2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 5. 矩形的判定：
??
?
??
+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321?四边形ABCD 是矩形. 四 菱形的判定与性质
1. 菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。
3. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点， 对称轴是对角线所在的直线。 4．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形
A B
C
D 12
34
A
B C
D
A
B
D
O
C
A
B
D
O
C
A D
B
C
A
D B
C
O C
D
A
O
??????.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；
（有通性；）具有平行四边形的所（ 5．菱形的判定：
??
?
??
+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. 五 正方形的判定与性质
1. 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
2. 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
3. 正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
4. 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
5．正方形的性质：
因为ABCD 是正方形
??????.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ （1） （2）（3）
6．正方形的判定：
??
?
??
++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形.
(3)∵ABCD 是矩形 又∵AD =AB
∴四边形ABCD 是正方形
六 梯形的判定与性质
1. 梯形定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
2. 梯形判定1：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
3. 梯形判定2：一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
4. 直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
5. 等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6. 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。 7．等腰梯形的性质：
因为ABCD 是等腰梯形???
?
??.321）对角线相等（；
）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 8．等腰梯形的判定：
???
??+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等
）梯形（321?四边形ABCD 是等腰梯形 (3)∵ABCD 是梯形且AD ∥BC
C
D
B A
O
C
D
A
B
A
B
C D
O
A
B
C
D
O
C D A
B A B
C
D O
∵AC =BD
∴ABCD 四边形是等腰梯形
【历年考卷形势分析及中考预测】
四边形是历年来中考的必考内容，题型分布较为灵活，经常以选择、填空、计算和证明题出现，难度跨度较大，有简单的的送分题，也有作为压轴题出现；就近几年茂名市中考题目来看，分值大约在15分左右。
【考点精析】
考点1.一般多边形角度﹑对角线和面积的相关计算.：
例1．（2010安徽芜湖）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是__________． 例2． 3．（2010 山东莱芜）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的内切圆半径是
A ．2
B ． 3
C ．1
D ．1
2
【举一反三】 1．（2010江苏淮安）若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．（2010湖南常德）四边形的内角和为( )
A ．90°
B ．180°
C ．360°
D ．720°
3．（2010 四川）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）。
A ．10
B ．11
C ．12
D ．以上都有可能
4．（2010广东茂名）下列命题是假命题．．．
的是 A ．三角形的内角和是180o ． B ．多边形的外角和都等于360o ． C ．五边形的内角和是900o ．
D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
考点2. 平行四边形的判定和性质
例4.（2010宁夏回族自治区）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例5. （2010山东泰安）如图2，E 是□ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长 线交于点F ，若∠FCD =∠D ，则下列结论不成立的是（ ） A 、AD =CF B 、BF =CF C 、AF =CD D 、DE =EF
例6. （2010福建宁德）如图3，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____． （图2）
例7. （2010 福建晋江）（8分）如图4，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关 系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④?=∠+∠180C B ． 已知：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是平行四边形．
图3
F
A E B
C
D A
B
C
D
图4
【举一反三】 1.（2010 四川成都）已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②A B C D =；③//BC AD ；④B C A D =．从
这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ） （A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种
2.（2010 河北）如图5，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，
则□ABCD 的周长为
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
3．（2010江苏宿迁）（本题满分8分）如图6，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．
求证：∠EBF =∠FDE ．
4．（2010广东中山）如图8，分别以Rt ΔABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边ΔACD 、等边ΔABE ．已知∠BAC =0
30，
EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ．
（1）试说明AC =EF ；
（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．
考点3.：矩形的判定和性质
例8.（2010山东聊城）如图9，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点， 矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对 角线AC 和BD 的距离之和是（ ）
A ．125
B ．65
C ．24
5
D ．不确定
例9.（2010江西）如图10，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是 BC 上的一点，∠BEG >60°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上 的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
A
B C
D 图5
C
A
B
D
E
F O
图6
B
A
G C
D
H
E 图10
图8
图9
例10.（2010湖北随州）如图11,矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ， CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作
PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交 于Q 点，则PQ 的长是____________cm .
例11.（2010江苏泰州）如图12，四边形ABCD 是矩形，∠EDC =∠CAB ， ∠DEC =90°．
(1)求证：AC ∥DE ；
(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连结EF ，试判断四边形BCEF 的 形状，并说明理由．
【举一反三】 1．（2010黑龙江哈尔滨）如图13，将矩形纸片ABC （D ）折叠，使点（D ）与 点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若
20=∠ABE ，那么C EF '∠ 的度数为 度。
2．（2010江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边
上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ▲ ．
3．（2010吉林）如图，在矩形ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，点E 、F 分别在AB 、 CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A ’， D ’处，则整个阴影部分图形的周长．．
为（ ） A ．18cm B ．36cm C ．40cm D ．72cm
4．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，
矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．
考点4. 菱形的判定和性质：
A B C D A B C D E F ① ② A B C D
E
G
M
N ③ 图11
图12
图13
B C
A E
D
F
例12.（2010甘肃兰州）如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，
3
sin 5
A =
，则下列结论正确的个数有 ①cm DE 3= ②cm BE 1=
③菱形的面积为2
15cm ④cm BD 102= A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
例13.（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线
AC ＝6，BD ＝8，则此菱形的边长为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
例14.（2010陕西西安）若一个菱形的边长为2
，则这个菱形两条对角线长的平方和为 A ．16 B ．
8 C ．4 D ．1 例15.（2010 四川成都）已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点． （1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；
（2）如图乙，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠
，求AS 和OR 的长．
【举一反三】 1．（2010安徽省中中考）如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC ⑴求证：四边形BCEF 是菱形
⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE 2．（10湖南益阳）如图7，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．
(1) 求∠ABD 的度数；
(2)求线段BE 的长．
A
B C D
（第13题）
D A
B
C
O E
60
D
C
B
A
O
E
3．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3
cos 5
A =，BE =2， 则tan ∠DBE 的值是 A ．
1
2
B ．2
C ．52
D ．55
4．（2010四川眉山）如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．
（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．
考点5. 正方形的判定和性质：
例17.（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到
4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个 小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方 形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根 据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) . A . 669 B . 670 C .671 D . 672
例18.（2010 四川泸州）如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一 点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30° 例19.（2010 四川自贡）边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到 正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个 风筝的面积是（ ）。
A ．2－33
B ．
3
3
2 C ．2－
4
3
D ．2
例20.（2010广西柳州）如图6，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片， 将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且
C B '=3，则AM 的长是
A ．1.5
B ．2
C ．2.25
D ．2.5
A B
C
D
M
N A '
B '
图6
【举一反三】
1.（2010 湖南湘潭）下列说法中,你认为正确的是
A ．四边形具有稳定性
B ．等边三角形是中心对称图形
C ．任意多边形的外角和是360o
D ．矩形的对角线一定互相垂直
3．（2010广东茂名）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针 旋转45度后得到正方形'''D C AB ，边''C B 与DC 交于点O ，则四 边形OD AB '的周长．．
是 A ．22 B ．3 C ．2 D ．21
4．（2010广西柳州）如图4，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ， 则∠AEB 的度数为
A ．10°
B ．12.5°
C ．15°
D ．20°
6．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．
（1）求证：BE = DF ；
（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四
边形？并证明你的结论．
(第3题图)
O
C 'B '
D '
D
C
B
A
考点6. 梯形的判定和性质：
例23.（2010山东日照）已知等腰梯形的底角为45o，高为2，上底为2，则其面积为
（A）2 （B）6 （C）8 （D）12
例24.（2010山东烟台）如图，小区的一角有一块形状为等梯
形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四
边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则
水池的形状一定是
A、等腰梯形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
例25.（2010江苏盐城）（本题满分8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；
（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．
例26.（2010年上海）已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.
（1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.
【举一反三】
1．（2010湖南娄底）下列说法中错误的是（）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直平分
D. 等腰梯形的对角线相等
2．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75o，以CD 为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30o．
求DF
FC的值．
B
A D
C
图
7
B
A
C
D
考点7. 四边形的综合题目：
例27.（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点
D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－1
2
x ＋b 交折线OAB 于点E ． 记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；
例28.（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止，连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG 。 设AE =x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
C D
B
A
E O
x
y
中考：四边形精华试题附参考答案 一、选择题 1.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 答案：B 2.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的 面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A 3.（嘉兴市秀洲区模拟）把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=?， 则∠1= （ ） A.50° B.55° C.60° D.65° 答案 A 4.（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16）如图， 直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ??=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ） A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 答：D 5.（2010年武汉市中考模拟数学试题（26））已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ G F E D C B A 答：D 6.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直 Ａ Ｂ Ｅ Ｏ Ｄ Ｃ 第4题图 （第3题图） 1 A B D C E F 14 ABCD S
2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案 一、平行四边形 1．问题发现： （1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长． 问题探究： （2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形 ABCD 截得线段的长度． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点 (1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ． 【解析】 试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分． （2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分． （3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． 试题解析：（1）作图如下：
特殊四边形综合题 1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y （3）在平移变换过程中，设y=S △OPB 的最大值． 2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD） （1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由． 3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由． 4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：=； （2）求证：AF⊥FM； （3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明． 5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°． （1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当BE=2EC时，求的值； （3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． 【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）． （2）S的最大值为，此时x=2． （3）x=，或x=，或x=． 【解析】 试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求； ②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值． ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值． 试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q， 有题意可得：PQ∥AB，
平行四边形中考专题 A. 53 B. 35 C. 37 D. 45 【答案】B ． 【解析】 试题解析：∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置， ∴AE =AB ，∠E =∠B =90°， 又∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB =CD ， ∴AE =DC ， 而∠AFE =∠DFC ， ∵在△AEF 与△CDF 中， ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ）， ∴EF =DF ；
∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC=FA， 设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=13 3， 则FD=6﹣x=5 3． 故选B． 考点：1.矩形的性质；2.折叠问题. 14.（2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（） A．3 B．24 5 C．5 D． 89 16 【答案】C. 【解析】
试题解析：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2， 解得：x=3（负值舍去）， 则DE=8﹣3=5， 故选C. 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质． 38.（2017湖南株洲第9题）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（） A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形
2019中考数学压轴题 1.(眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣9 4x 2 +bx+c 经过点A （﹣5，0）和点B （1，0）. （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G.过点G 作GF ⊥x 轴于点F.当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标； （3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN ＝∠DBA , MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由. O
2.(甘肃)如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴 交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
3.(广安)如图，抛物线与x轴交于A、B两点在B的左侧，与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，，P点为抛物线上一动点不与A、D重合．求抛物线和直线l的解析式； 当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l 于点F，求的最大值； 设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由 见解析. 【解析】 试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题； （3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB ． 理由如下：如图1中， 在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，
∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB． （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB． （3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE． 又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，
四边形中考真题精选试题及答案 一、选择题 1、（2007福建福州）下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2、（2007山东日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 3、（2007山东东营）如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠， 使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８ 4、（2007浙江义鸟）在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5、（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 6、（2007浙江绍兴）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的 A B C D O E A B C D E F 图 2
中点，则下列式子中一定成立的是（ ） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OE D ．OB=O E 7、（2007四川眉山）下列命题中的假命题是( )． A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形 C ． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 8、（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（ ） （A ）四边形ABCD 是平行四边形 （B ）AC ⊥BD （C ）△ABD 是等边三角形 （D ）∠CAB ＝∠CAD 9、（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀 丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的 是（ ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 10、（2007四川乐山）如图（1），在平面四边形ABCD 中， CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则BCE =∠（ ） A B C D 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B 第10题 A E B C D 图（1）
精选四边形（菱形、矩形、正方形）压轴题及答案 1．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值． 【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE=DF，∠DAE=∠FDC 即可； （2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求 出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求 出AC=AE=a，根据正方形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可； （3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD=90°，得出点P的路径是以AD 为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可． 【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE=CF， 在△ADE和△DCF中 ， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE=DF，∠DAE=∠FDC， ∵∠ADE=90°， ∴∠ADP+○CDF=90°， ∴∠ADP+∠DAE=90°， ∴∠APD=180°﹣90°=90°， ∴AE⊥DF； （2） （1）中的结论还成立，CE：CD=或2， 理由是：有两种情况： ①如图1，当AC=CE时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE==a， 则CE：CD=a：a=； ②如图2，当AE=AC时，
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F． 探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数． 归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论． 【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：
中考数学平行四边形综合题及答案解析 一、平行四边形 1．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上． 操作示例 当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH． 思考发现 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形． 实践探究 （1）正方形FGCH的面积是；（用含a， b的式子表示） （2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图． 联想拓展 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．
【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析． 【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案； 应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割． 详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2； 剪拼方法如图2-图4； 联想拓展：能， 剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）． ． 点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的． 2．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
《四边形》中考专题 1、（2003 山东）在平面内确定四个点，连结每两点，使任 意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线 段长只有两个数，举例如下（见图）：相等的线段有：AB＝BC ＝CD＝DA，AC＝BD，请你画出满足题目条件的三个图形，并指 出每个图形中相等的线段。 2、（2003 浙江丽水）如图，正方形MNPQ网格中，每 个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点分别在正方 形MNPQ的4条边的小方格顶点上。设正方形MNPQ网格中 每个小方格的边长为1，求： (1) △ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积. (2) 正方形ABCD的面积. 3、（2003 青海）如图，观察下列用纸叠成的图案： 其中，轴对称图形和中心对称图形的个数分别为（） A、4, 1 B、3, 1 C、2, 2 D、1, 3 4、（2004 深圳）下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5、（2004 无锡）下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这
些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） 6、（2004 山西太原）已知如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， 沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的 中点D处，则A的度数等于. 7、（2004 河南）如图1，把一个正方形三次双折后沿虚线剪下，则得到的图 2，展开后图形是（） 图1 A B C D 8、（2004 四川）下列说法，错误的是（） A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、邻边相等的四边形是正方形 9、（2004 南京）用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（） A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 10、（2003 河南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB ＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E＝40°，则∠ACD ＝。 11、（2003 吉林）把边长为4cm、5cm、6cm两个完全重合 的三角形拼成四边形，一共能拼成种不同的四边形，其中 个平行四边形。 12、（2003 黑龙江）矩形的一个角的平分线分矩形的一边长为1cm和3cm 两部分，则这个矩形的面积为cm2.
E C B F A D 1) 若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是___________． 2) 等腰三角形的底角为75°，顶角是 °，顶角的余弦值是 。 3) 如图，EF 是△ABC 的中位线，若BC ＝2 cm ，则EF______cm 。 4) 对角线长分别为6cm 和8cm 的菱形的边长为_____________cm . 5) 已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，那么下底长为______________cm . 6) 已知∠α与∠β互余，且∠α=15°，则∠β的补角为 度. 7) 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=Rt ∠，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE ，BC 的延长线相交于点F ，若AE=10，则S △ADE +S △CEF 的值是 . 8) △ABC 中，∠A ＝∠B ＋∠C ，则∠A ＝＿＿＿＿. 9) 在Rt ⊿ABC 中，?=∠90C ，如果AB = 6，21 sin =A ，那么BC = ________. 10) 在Rt ΔABC 中，∠C=900 ，AB=3，BC=1，以AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是 ； 11) 圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是 所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应是 . 12) 当图中的∠1和∠2满足 时，能使OA ⊥OB.（只需填上一个 条件即可） 13) 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长________ 14) 圆锥的底面圆的直径是6cm ，高为4cm ，那么这个圆锥侧面展开图的面积为 cm 2。（按四舍五入法，结果保留两个有效数字，π取 3.14） 15) 如图，在坡度1：2的山坡一种树。要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米； 16) 如图2，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 ＿元。 17) 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形图形分割成两个全等图形。 18) 在四边形ABCD 中，若分别给出四个条件：①AB ∥CD ，②AD =BC ，③∠A =∠C ，④AB =CD ．现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是________（只填序 号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 19) 不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） 1. AB=CD AD=BC B 、AB=CD AB ∥CD C 、AB=CD AD ∥BC D 、AB ∥CD AD ∥BC 20) 如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（ ）（A ）100°（B ）80°（C ）60°（D ）40° 21) 边长为a 的正六边形的边心距为（ ） 2 1A B O E B A C D
8、(2014年重庆市第18题)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为． （2014?安徽省,第14题5分）如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
(2014.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为． (2014年四川省绵阳市第17题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．
12. （2014?黑龙江绥化,第18题3分）如图，在矩形ABCD 中，AD =AB ，∠BAD 的平分 线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论： ①∠AED =∠CED ；②OE =OD ；③BH =HF ；④BC ﹣CF =2HE ；⑤AB =HF ， 其中正确的有（ ） 13．（2014?青岛，第7题3分）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB =6，BC =9，则BF 的长为（ ）
14. （2014?山西，第10题3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 9．（2014?浙江宁波，第11题4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） ．．
中考数学：四边形试题 一、选择题 1.下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 2.如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 3.把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若 115AEF ∠=?，则∠1= （ ） A.50° B.55° C.60° D.65° 4.如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ， 下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ??=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ） A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 5.已知如图，在Y ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ； ④S △BFG= 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ G F E D C B A 6.如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB ＝4-BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AF 、GD 所夹的锐角为45°；③ ；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4.其中正确的结论个数有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 Ａ Ｂ Ｅ Ｏ Ｄ Ｃ 第4题图 （第3题图） 14ABCD S Y
四边形复习 知识点回顾 【性质】 【判定】 ???? ??????? ??? ???????两组对边分别平行的四边形边两组对边分别相等的四边形一组对边平行且相等的四边形 平行四边形对角相等的四边形 角邻角互补的四边形对角线对角线互相平分的四边形 ?? ??? 平行四边形+一组邻边相等菱形平行四边形+对角线相等四边形+四条边相等 ?? ??? 平行四边形+一个直角矩形平行四边形+对角线相等四边形+三个角是直角 +???? ?? ??? +?? ??????一组邻边相等矩形+对角线互相垂直一个直角正方形菱形对角线相等 平行四边形一个菱形特征+一个矩形特征四边形+对角线相等且互相垂直平方 【平行四边形性质】 1．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC +BD =24厘米，△OAB 的周长是20厘米，则EF ＝ 厘米． 2．如图2，在平行四边形ABCD ，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E +∠F 的度数为（ ） A ．110° B ．30° C ．50° D ．70° 3．如图3，已知□ABCD 中，AB =3，AD =2，∠B =150°，则□ABCD 的面积为（ ）
F E O D C B A F E D C B A 图1 图2 图3 4.如图4，在□ABCD 中，AC ⊥BD ，若AB ＝6，则BC ＝_____________. 5.如图5，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△CDE 的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为 ． 图4 图5 图6 6．如图6，在矩形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则AE = ，EF = ． 7．如图7，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A (10，0)、C (0，4)．点 D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是等腰三角形时，点P 的坐标为 ． 8.如图8，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =16cm ，BD =12cm ，则菱形ABCD 的高DH 为______. 9.如图9，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC ＝______ 10.菱形的周长为16cm ，一条对角线长为4cm ，则菱形的面积是（ ）cm 2 . A . B . C . D . 11.菱形ABCD 中，AB =4，高DE 垂直平分边AB ，则BD = ，AC = 12.正方形ABCD 的边长为1cm ，以对角线AC 为一边作等边△ACE ，则BE 的长为 cm 13．如图10，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接 EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD ．其中正确的结论的序号是 ．
2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 2、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． （1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积． 3、如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证： （1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形． 4、如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
5、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号） 6、如图，?ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E． （1）求证：四边形BCED′是菱形； （2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值． 7、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．
72 x = B(0,4) F x y O 二次函数与四边形综合专题 一．二次函数与四边形的形状 例1.如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入2 23 y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为： P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x = 时，PE 的最大值=94 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A
2017中考数学专题训练四边形 一、选择题 1．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（） A．20B．12C．14D．13 2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 3．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（） A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤ 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的
对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（） A．60°B．45°C．30°D．75° 5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（） A．8B．10C．12D．14 6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．2.5B．C．D．2 二、填空题 7．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为． 8．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为．