概率论答案_沈恒范版[1]

2 概率的古典定义·概率加法定理

一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．

解：基本事件总数为611011011011011011019109?=C C C C C C C

有利事件总数为45678921

4151617181919?????=C C C C C C C

设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则

0605.010

94

56789)(6

2≈??????=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．

解：基本事件总数为!1010

10=A

指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77

7=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为

!3!8!38!7?=??(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则

067.015

1

!10!3!8)(≈=?=

A P

三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个

队被分在不同组内的概率．

解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数10

20C ；两个最强的

队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数9

1812C C

设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则

526.01910

)(10

20

9

1812≈==C C C A P

四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．

解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多

于 1个”，则 .10A A A ?=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而

0281.09799423

47)(5010050950≈???==C C A P 1529.09799447255)(50

100

49

95151≈????==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P

五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；

C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则

(1) 0855.0198199200193

19418)(3

200

2

19416≈????==C C C A P

(2) 912.0198

199200192

193194)(32003194≈????==C C B P

(3) 00223.0198199200120

19490)(3

200

019436119426≈????=+=C C C C C C P

六、设4

1

)( ,0 ,31)()()(=

=====BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．

解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P

设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ??=，于是有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=

75.04

3

41313131==-++=

3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式

一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即

14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=?--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P

68.074

.05

.036.0)4.01(5.05.0)

()()()

()

()]([)|(≈=--+=

-+=

=

B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P

二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”

（1）2.0101

101)()()(191

11101911011=+=?+=+=C C C C C C A B P A P C P

（2）4.051

51)()()(2

511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P

三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是

0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．

（1）求任意取出的零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合

格品”

（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(3

1

)03.01(32≈-?+-?=

（2）25.002.03

103.03202.031

)

()()()()()()()()(22112222=?+??=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P

四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率． 解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有100

6.0)(1k

A P =

=，得60=k ，从 而有

4.015060150)(2===

k A P ，.3.0200

60200)(3===k A P 设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有 )()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=

832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=?-?-+?-+=

（另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则

168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P

故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P

五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则

2201)(312330==C C A P 22027

)(31219231==C C C A P 220108)(3

12

29132==C C C A P 22084

)(3

12

39033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则

3123

6

312

3731238312393

022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ?+?+?+?==∑=

146.0532400

776161112208444722010855142202755212201≈=?+?+?+?=

4 随机事件的独立性·独立试验序列 一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则

9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P

再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则

321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=

于是有

)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-??+?-?+??-+??=

902.0=．

（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0=??=B P

398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-??+?-?+??-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．

二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、

0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则

3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则

321A A A B +=

于是有

)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=

)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=．

三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为

51、31、4

1

，求能将此密码 译出的概率．

解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则

51)(=

A P 31)(=

B P 4

1

)(=C P 设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ??=，从而有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=

)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.04

1

3151415141513151413151=??+?-?-?-++=． （另解）52

)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有

6.05

3

521)(1)(==-=-=D P D P

四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一 人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则

4.0)(1=A P

5.0)(2=A P 7.0)(3=A P

设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则

09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P

)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=

)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=

)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++=

)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=

14.07.05.04.0)()()()()(3213213=??===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有

0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P

故有

458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(3

=?+?+?+?==∑=i i i B A P B P A P ．

五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在

该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．

解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．

又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则

)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=

+??+??+??=277

936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C

99

91889)7.0()3.0()7.0(?+??+C C

+??+??+??=2

73645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126

918)7.0()3.0()7.0(9+??+

0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．

六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的

概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则

n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次 要p p n ≥--)1(1，即要p p n

-≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p

答：至少需要进行一次试验．

5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不

再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为

即

亦即

二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调

整之间生产的合格品数的概率分布．

解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为

三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．

（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为

)4,3,2,0()(6

20

616

4===-x C C C x X P x

x

从而X 的概率分布为

即

（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为

)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P x

x x

从而X

即

四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时

内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p

168877.0)01.01()01.0()1()4(29644

30029644300≈-=-==C p p C ξP

（2）用泊松分布计算)301.0300(=?==np λ

168031355.0!

43)4(3

4≈==-e ξP

相对误差为.5168877

.0168031355.0168877.0000

≈-=δ

五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进

行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有

)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P

5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=

16308.000243.002835.01323.0≈++≈

（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P

32

2541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=

16308.0≈

六、设随机变量X 的概率分布为

2, 1, ,0 , !

)(===k k a

k X P k

λ；

其中λ>0为常数，试确定常数a ．

解：因为∑∞

===01)(k k X P ，即∑∞

==0

1!k k

k λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=

6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度

一、函数2

11

x

+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）． 解：（1）设2

11

)(x

x F +=

，则1)(0<

→x F x ，0)(lim =+∞

→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．

（2）设211

)(x x F +=

，则1)(0<

1(2)('2

2<>+-=x x x

x F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．

二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：

（1）??

????2,0π； （2）[]π,0； （3）???

???23,0π． 解：（1）因为??????∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(20

20=-=?π

π

x dx x f ，所以当??????∈2,0πx

时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．

（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但

12cos )(0

0≠=-=?

π

π

x dx x f ，所以当[]πx ,0∈

时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．

（3）因为?

?

?

???∈23,

0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．

二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不

再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为

于是，??>3,

1x

四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为

+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．

求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．

解：(1) 由0)2()(lim =-?+=-∞→πB A x F x ，12

)(lim =?+=-∞→πB A x F x ，解得.1

,21πB A ==

即)( ,arctan 1

21)(+∞<<-∞+=x x π

x F ．

(2) .2

1

)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P

(3) X 的概率密度为

)

1(1

)()(2x x F x f +=

'=π．

五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为

+∞<<∞-=-x Ae

x f x

,)(．

求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．

解：(1) 由1)(?+∞∞-=dx x f ，得1220??+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae x

x ，解得2

1=A ，即有

).( ,2

1)(+∞<<-∞=-x e x f x

(2) ).11(21)(2121)()10(1

01010e

e dx e dx x

f X P x x -=-===<<--??

(3) 随机变量X 的分布函数为

????

?>-≤===-∞

--∞

-??

2

110

2121)()(x e x e dx e dx x f x F x x

x x

x

．

7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间

不超过3分钟的概率．

解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为

??

??∈=]5,0[,0]

5,0[,1)(x x x f 于是有.6.05

3

)()30(3

===

≤≤?

dx x f X P

二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为

?????≤>=-.0,

0;0,8001)(800x x e x f x

任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．

解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则

287.0800

1)1000()()()(45

10008001000800321≈=-==>===-∞

+-∞

+-?e e dx e X P A P A P A P x

x

)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=??=

638.0287.0287.03287.033

2≈+?-?=

（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则

287.0800

1)1000(4

51000

800

1000800

≈=-==>-

∞+-∞

+-?e

e dx e X P x

x

从而有713.01)1000(1)1000(4

5

≈-=>-=≤-

e

X P X P ，进一步有

638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P

三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有

).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥

这个性质叫做指数分布的无记忆性．

(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．

e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈?，有x e x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数． 设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ?，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有

)

(1)

(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥===

=≥+≥

t

s

t s e e e λλλ--+-=----=]

1[1]1[1)(． 另一方面，我们有

t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．

综上所述，故有

)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．

（２）由题设，知X 的概率密度为

??

?≤>=-．，

；

，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用

5年以上的概率为

6065.01.0)()5()5(5.05

1.05

1.05

≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+?

?

e e dx e dx x

f X P s X s X P x

x ．

答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．

四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2

)

3(2X X Y -=

． 解：X 的分布律为

（1）X Y 211-=的分布律为

（2）2

)

3(2X X Y -=的分布律为

即

五、设随机变量X 的概率密度为

???

??

≤>+=.0,

0;0,)1(2)(2x x x x f π

求随机变量函数X Y ln =的概率密度．

解：因为)()()(ln )()(y X y Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=

所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为

)( )

1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y

y

y

y

y

y

X

Y

Y π，即 )( )

1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y

y

Y π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布

一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示

两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为

Y 的边缘概率分布为

二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数

)3

arctan )(2arctan

(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．

解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得

???

?

?

????

=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =

（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2

(1),(2y

x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为

.)

9)(4(6),(),(2

22"

y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为

x

x x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==???2

arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121x

π+=

y

x y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==???3

arctan 1)9(3),()(2ππ 3

arctan 121y

π+=

X 及Y 的边缘概率密度分别为

???+∞+∞

∞-+∞

∞-++?=++==0222222)9(1

)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ

)

4(2

)3arctan 31()4(1122

022x y x +=+?=∞+ππ ???+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241

)9(12)9)(4(6),()(dx x

y dx y x dx y x f y f Y ππ

)

9(3

)2arctan

2

1()9(122

22y x

y +=

+=

∞

+ππ

三、设),(Y X 的联合概率密度为

??

?>>=+-.,

00;

0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X

落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由

1),(=??

+∞∞-+∞

∞

-dy dx y x f ，有16

1

32==

??∞

+∞

+--A dy e dx e

A y x

，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为

?????>>==????--∞-∞

-其它0

,06),(),(00

32y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y

y x x

y

??

?>>--=--其它0

,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为

???≤>=?????≤>==-+∞--∞+∞-??000200

06),()(2032x x e

x x dy e e dy y x f x f x y x X

???≤>=?????≤>==-+∞--∞+∞-??000300

06),()(3032y y e

x x dx e e dx y x f y f y y x Y

（4）?

???

---==

∈x y x

R dy e dx e

dxdy y x f R Y X P 32

20

33

26),(}),{(

630

6271)(2---?-=-=e dx e e x

四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：

(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为

??

??∈=.

),(, 0;

),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(2132212

2212==-+=-+==--+-?????C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R

解得9

2

=C ．故有

??????∈=.

),(, 0;

),(,92

),(R y x R y x y x f

(2) ??????

++-≥++=

=

≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22122102

29

292),()2( ??-++=21

2

10)2(92292dx x x xdx

９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布

一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为

???

??≤>=-.0,

0;0,21)(2y y e y f y

Y

求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．

解: (1)X 的概率密度为?

???∈=)1,0(,0)

1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）

???

??><<==-其它,

00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y

Y X

（2）dx e

dx e

dy e dx dxdy y x f X Y P x x

y

x

y

x

y ???

???-

∞+-

∞

+-

≥=-===

≥10

2

1

022

10

2)(2

1

),()(

7869.0)1(222

11

22

≈-=-=--

e e

x

二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：

.

,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(2122

11

n j q

p C j p n i q p C i p j

n j

j

n Y i n i i

n X ====--

证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布． 证明: 设j i k +=, 则

i

k n i k i k n k

i i n i i n k

i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22

110

)()()()( ∑=-+=k

i k

n n k i n i

n q p C C

2121)( 由

k

n

m k

i i k n k m C C C +=-=∑

, 有

k

n n k i i

n i n C C C

2

12

10

+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(21212

1n n k q p C k P k

n n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.

三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：

??

?

??><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或

求随机变量Y X Z +=的概率密度．

解: X 的概率密度为 ??

??∈=]

1,0[,0]

1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为

??

?

??≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10

,),(其它当当y x y y x y y x f

Y X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.

故有 ?????

?

???≤<+-≤<-+-≤≤><=3229

32

12123

31023,00

)(222

z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为

????

??

?≤<-≤<+-≤≤><=323

2132103,00

)(z z z z z z z z z f Z

三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部

件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．

解: 由题设，知ij X 的分布函数为

?

??≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ

先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联

组才停止工作,所以有

)3,2,1(),max(21==i Y i i i ξξ

从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为

???≤>-==-0

,

00

,)1()(221y y e F F y F y X X Y i

i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.

从而有Z 的分布函数为

??

?≤>---=???≤>----=-0,

00

,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为

??

?≤>--=---0,

00

,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ

481.027

13

)322(92922132102≈=-+

+=x x x x ． 10 随机变量的数学期望与方差

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放

回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为

即

110

3322013220924491430=?+?+?+?

=EX 即

3.000

4.03041.0220

5.0175.00≈?+?+?+?=EX

2X 的分布为

即

于是有

22

9220192209444914302=?+?+?+?

=EX 即

4091.0004.09041.04205.0175.002≈?+?+?+?=EX

从而有

3191.013310042471

)11033(229)(222≈=-=

-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX X

σ

二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为

p q p q q p q p iq

p ipq

EX i i i i i i 1

)1()1()(2

1

1

1

1

1

=-='-='===∑∑∑∞

=∞

=-∞

=- 2X

p p

p p q q p q p q q p pq

i EX i i i i

i i 1

22)1()1()(])([2

231

1

1

1

2

2

-=-=-+=

'=''==∑∑∑∞

=∞

=∞

=- 进一步有

p p

p p p EX EX DX 11)1(12)(2

2222-=--=

-=

三、设离散型随机变量X 的概率函数为

,,2,1,2

1

]2)1([ ==-=k k X P k k k

问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．

解：因为∑∑∑∑∞

=∞=∞

=∞

=-=?-=-=-==1

111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k k

i i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．

四、设随机变量X 的概率密度为??

???

≥<-=.

1, 0;1,11)(2x x x

x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．

解：011

)()(1

1

2

=-?

==

??

-+∞

∞

-dx x

x dx x xf X E π

dx x

x dx x

x dx x f x X D ???-=

-?

==-∞

+∞

-1

2

21

1

2

2

2

12

11

)()(π

ππ

2

1]arcsin 2112[2102=+--=

x x x π

五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,2

1)(+∞<<-∞=-x e x f x

．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(==

=

??+∞∞

--+∞

∞

-dx xe dx x xf EX x

2!2)3(21)(0222

==Γ====???+∞-+∞∞

--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x

（分部积分亦可）

11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理

一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2

)

3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为

Y 的概率分布为

2Y 的分布为

72.072.0128.00=?+?=EY 72.072.0128.002=?+?=EY

2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY

二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．

解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2

,2[π

π-上的

均匀分布，其概率密度为

??

??

?-?-∈=]

2,2[,0]2,2[,1

)(π

πθππθπθf ． 弦OB 的长为 ]2

,2[cos 2)(π

πθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为

??-∞+∞

-?==22

cos 21

)()()]([π

πθθπ

θθθθd R d L f L E

π

θπ

θθπ

π

π

R

R

d R

4sin 4cos 420

20

==

=

?

．

三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为

??

???≤>=-. 0, 0 ;

0 ,4

1)(4

x x e x f x

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有

??

---∞

--=-===<1

041

1

044

1

14

1)()1(e e dx e dx x f X P x x

进而有 4

1

)1(1)1(-

=<-=≥e X P X P

设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为

从而有

64.33200300100)1(2004

14

14

1≈-?=?+-?-=-

-

-e

e e EY

答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．

四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2

σ．求这些

随机变量的算术平均值∑==n

i i X n X 1

1的数学期望与方差．

解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有

μμ=====∑∑∑∑====n

i n i i n

i i n i i n X E n X E n X n E X E 1

1111)(1)(1)1()(，

n

n X D n X D n X n D X D n

i n

i i

n i i n i i 2

1

2

21

2

1211

)(1

)(1)1()(σσ

=

====∑∑∑∑====．

五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客

下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．

解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中

?

?

?=站有人下车若在第站无人下车

若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为

设∑==

n

i i

X

X 1

, 则X 表示沿途停车次数, 故有

]})10110(1[1)10110(0{10)(20

2010

1

10

1--?+-?===∑∑==i i i i EX X E EX

748.8)9.01(1020

≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.

12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为

()()

. 1

,2

2

2++=

y x

A

y x f

求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．

解: (1) 由

??

+∞∞-+∞

∞

-=1),(dxdy y x f . 有

()

()

????

∞+∞-∞

+∞

-∞

+==+=++11

1

20

2

2

2

2

2

A dr r

r

d A dxdy y x

A

πθπ

解得, π

1

=

A .

(2) ()

01

1

),()(2

2

?

?

??

∞

+∞

-∞

+∞

-∞+∞-∞

+∞

-=++=

=

dx y x

x

dy dxdy y x xf X E π.

由对称性, 知 0)(=Y E .

?

?

+∞∞-+∞

∞

-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(2

2

2()

?

?

∞

+∞

-∞

+∞

-++=

dx y x

x dy 2

2

2

2

1

1

π

()

()

+∞=++

+=+-+=+=

∞

+∞

+∞

+?

?

?

220

2

2220

2

2

3

]11)1ln([1

)1(211

r

r dr r r

r r dr r

r d π

θπ

同理, 有 +∞=)(Y D .

)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=

概率论与数理统计的习地的题目集及答案详解

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一 个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求 （1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02， B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。

概率论大作业讲解

现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院

目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12)

对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论第三版第2章答案详解

两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e

P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以:

概率论课后习题答案

习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

济南大学概率论A大作业答案

第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，

概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题 一、单项选择题 1、设事件 A 与 B 互不相容，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则一定有（ ） （A ） P(A) 1 P(B) ； （B ）P(A|B) P(A) ； （C ） P(A| B) 1； （D ） P(A|B) 1。 2、设事件 A 与 B 相互独立，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则（ ）一定成立 （A ） P(A|B) 1 P(A)； （ B ） （C ） P( A) 1 P(B) ； （ D ） P(A|B) 0； P(A|B) P(B)。 3、设事件 A 与 B 满足 P (A )＞ 0， P ( B )＞ 0，下面条件（ ）成立时，事件 A 与 B 一定独立 （ A ） （ C ） P( AB) P( A)P(B) ； （B ） P( A B) P( A)P(B) ； P(A|B) P(B) ； （D ） P(A|B) P(A)。 4、设事件 A 和 B 有关系 B A ，则下列等式中正确的是（ ） （ A ） （ C ） P( AB) P( A) ； （B ） P(B|A) P(B)； （D ） P(A B) P(A)； P(B A) P(B) P( A) 。 5、设 A 与 B 是两个概率不为 0 的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ） A 与 B 互不相容； （B ） A 与 B 相容； （C ） P(AB) P(A)P(B)； （D ） P(A B) P(A)。 6、设 A 、B 为两个对立事件，且 P (A ) ≠0， P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ） P( A B) P( A) P( B)； （B ） P( A B) P(A) P(B)； （C ） P( AB ) P( A) P( B) ； （D ） P(AB) P(A)P(B)。 7、对于任意两个事件 A 与 B ， P( A B) 等于（ ） （A ） P( A) P( B) （B ） P( A) P(B) P( AB) ； （C ） P( A) P( AB) ； （D ） P(A) P(B) P(AB) 。 二、填空题 1、若 A B ， A C ，P (A )=0.9， P(B C) 0.8，则 P( A BC ) =__________。 2、设 P (A )=0.3，P ( B )=0.4，P (A|B )=0.5，则 P (B|A )=_______ ， P( B | A B ) =_______。 、已知 P( A) 0.7 ， P(A B) 0.3 ，则 P(AB) 。 3 4、已知事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A B) ，且 P( A) p ，则 P( B) = 。 5、一批产品，其中 10 件正品， 2 件次品，任意抽取 2 次，每次抽 1 件，抽出后不再放回，则第 2 次抽出

概率论课程期末论文大作业

《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108

正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

概率统计-习地的题目及答案详解(1)

习题一 1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A 表示：平均得分在80分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A 表示：第一颗掷得5点； 设事件B 表示：三颗骰子点数之和不超过8点。 （3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A 表示：取出的三个球中最小的号码为1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A 表示：至多只要投50次。 （5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a ）AB ； (b) B A +； (c) B ； (d) B A -； (e) BC ； (f) C B + 。 1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用A 、B 、C 表示出来： （1）A 发生； （2）A 不发生，但B 、C 至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，求下列事件： （1）B A ； （2）)(BC A 。 1.5 设A 、B 是随机事件，试证：B A AB A B B A +=-+-)()(。 1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability 的概率。 1.7 电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数字（但第一位不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 1.8 把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。

概率论和数理统计[西安电子科技大学大作业]

学习中心/函授站_ 姓 名 学 号 西安电子科技大学网络与继续教育学院 2018学年上学期 《概率论与数理统计》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留； 2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计； 3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．设A 、B 、C 是随机事件，且AB C ?，则（ ）。 A ．C A B ? B ．A C ?且B C ? C ．C AB ? D ．A C ?或B C ? 2．设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。从盒子中任取2件，则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为（ ）。 A ． 310 B ．510 C ．710 D ．1 5 3．设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（ ）。 A ．()F x 一定连续 B ．()F x 一定右连续 C ．()F x 是单调不增的 D ．()F x 一定左连续 4．设连续型随机变量X 的概率密度为()x ?，且()()x x ??-=，()F x 是X 的分布函数，则对任何的实数a ，有（ ）。

A ．0()1()a F a x dx ?-=-? B ．0 1 ()()2a F a x dx ?-=-? C ．()()F a F a -= D ．()2()1F a F a -=- 5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 22 6 (,), , x y f x y Ae x y +- =-∞<<+∞-∞<<+∞ 则常数A =（ ）。 A ． 12π B ．112π C ．124π D ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则 ()P X Y <=（ ） 。 A. 15 B.13 C.25 D.4 5 7．有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人从中随机地抽取3张，则此人得奖 金额的数学期望为（ ）。 A ．6 B ．12 C ．7.8 D ．9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为 , 01 ()0, a bx x f x +<

概率论习题及答案习题详解

222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑.

223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所

概率论与数理统计课后习题及答案

习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=） 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为： 设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地

《概率论与数理统计》习题一答案详解

《概率论与数理统计》习题及答案 习题一 1． 略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C不发生； （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C至少有一个发生； （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (6) ABC (5) ABC=A B C (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3. 略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2）在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 【解】 p =533213 1313131352C C C C /C 8. 对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17 )5 9. 略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

吉林大学2015概率论与数理统计大作业完整版

吉林大学网络教育 大作业 1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)= )/()(3 1 B B i i i A P P ∑=, P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)= ) ()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573 2．设连续型随机变量X 的分布函数为 0, ,()arcsin ,,(0)1, ,x a x F x A B a x a a a x a ≤-??? =+-<<>?? ≥?? 求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ?? - ??? 内的概率．（3）X 的概率密度函数． 解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π 1 (2)P{-2a

概率论习题答案

第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。