上海市2001-2012年中考数学试题分类
专题8：平面几何基础和向量
一、选择题
1．(上海市2002年3分)下列命题中，正确的是【】
（A）正多边形都是轴对称图形；
（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算3a-2a的结果是【】
A．a B．a C．-a D．-a
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD中，
如果AB=a，AD=b，那么a+b等于【】
A．BD B．AC C．DB D．CA
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【】A．正六边形B．正五边形C．正四边形C．正三边形
5.（上海市2009年4分）如图，已知AB∥C D∥EF，那么下列结论正确的是【】
A．C．AD BC
=
DF CE
CD BC
=
EF BE
B．
D．
BC DF
=
CE AD
CD AD
=
EF AF
6.（上海市2012年4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【】
A．等腰梯形等腰三角形B．平行四边形C．正五边形D．
二、填空题
1.（上海市2002年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝．
2.（上海市2004年2分）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴。
分）在ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，3.（上海市2005年3△
如果AD＝2，
DB＝4，AE＝3，那么EC＝
4.（上海市2006年3分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。
5.（上海市2007年3分）图是4?4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
6.（上海市2008年4分）如图，已知a∥b，∠1=40，那么∠2的度数等于
7.（上海市2009年4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量AB=a，BC=b，如果用向量a，b表示向量AD，那么AD=．
延长 BA 到点 D ，使 AD = AB ，点 E 、F 分别为 BC 、AC 的中点。
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8.（上海市 2010 年 4 分）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O 设
向量 AD = a ，
AB = b ，则向量 AO =
.（结果用 a 、 b 表示）
9.（上海市 2011 年 4 分）如图，AM 是△ABC 的中线，设向量 AB = a ， BC = b ，
那么向量 AM =
（结果用 a 、 b 表示）．
10.（上海市 2011 年 4 分） 如图， 点 B 、C 、D 在同一条直线上，∠ACB
＝90°，如果∠ECD＝36°， 那么∠A＝
．
11.（2012 上海市 4 分）如图，已知梯形 ABCD ，AD∥BC，BC=2AD ，
如果 AD=a ，AB=b 那么 AC =
（用 a ，b 表示）．
三、解答题
1.（上海市 2004 年 10 △分）如图所示，在 ABC 中，∠BAC = 90° ，
1
2
（1）求证：DF=BE ；
（2）过点 A 作 AG//BC ，交 DF 于点 G ，求证：AG=DG 。
2.（上海市 2005 年 8 分）（1）在图所示编号为①、②、③、④的四个三
角形中，关于 y 轴对称的两
个三角形的编号为
；关于坐标原点 O 对称的两个三角形的编号
为
；
（2）在图 4 中，画出与△ABC 关于 x 轴对称的△A B C 1 1
1
(2)
y 5 4
3 2 1
(1)
y 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1 2 3 4 5 x
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1 2 3 4 5 x
A
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3.（上海市2008年10分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计
图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图1所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对
称图形，A是OD与圆O的交点．
O
A C
D E H
图2
图1
（1）请你帮助小王在图2中把图形补画完整（3分）；
（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值（7分）．
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题35：平面几何基础 一、选择题 1. （2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于【】 A．38?B．104?C．142?D．144? 【答案】C。 【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。 【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。 由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。 2. （2012重庆市4分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【】 A．60°B．50°C．40°D．30° 【答案】B。 【考点】平行线的性质，角平分线的定义。 【分析】∵EF∥AB，∠CEF=100°，∴∠ABC=∠CEF=100°。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1 2 ∠ABC= 1 2 ×100°=50°。故选B。 3. （2012山西省2分）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于【】
A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50° 【答案】B 。 【考点】平行线的性质，平角定义。 【分析】∵∠CEF =140°，∴∠FED =180°﹣∠CEF =180°﹣140°=40°。 ∵直线AB ∥CD ，∴∠A =∠FED =40°。故选B 。 4. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是【 】 A ．3cm B ．4cm C ．7cm D ．11cm 【答案】C 。 【考点】三角形的构成条件。 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，此三角形的第三边的长应在7－3=4cm 和7＋3=10cm 之间。要此之间的选项只有7cm 。故选C 。 5. （2012海南省3分）小明同学把一个含有450 角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n ，上，测得0120α∠=，则β∠的度数是【 】 A ．450 B ．550 C ．650 D ．750 【答案】D 。 【考点】平行线的性质，平角定义，对顶角的性质，三角形内角和定理。 【分析】∵m n ∥，∴∠ABn =0120α∠=。∴∠ABC =600 。 又∵∠ACB =β∠，∠A =450， ∴根据三角形内角和定理，得β∠=1800－600－450=750。故选D 。 6. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A ． 5 B ． 6 C ． 11 D ． 16 【答案】C 。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为x ，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C 。
初中几何综合复习学校姓名 一、典型例题 例1如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝ ∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。 例2如图2-4-1，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长． 例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. (1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试 一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内. (2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和 BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程0 1 )1 ( 2= + + - -m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积. A B C D E E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2
二、强化训练练习一：填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2 ，第三边长为奇数，则第三边长为 . 2.已知∠a=60°,∠ AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC = ___ ． 3.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 4.等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米． 5.已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________． 6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面积 为8cm，则△AOB的面积为 . 7.如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_________ . 8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为 . 9. △ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长 是10，则△A′B′C′的面积是 . 10.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于 . 练习二：选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75° 2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将① 展开后得到的平面图形是 [ ] A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 3.下列图形中，不是中心对称图形的是 [ ] A. B. C. D. 4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段 5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 6.如果两个圆的半径分别为4cm和5cm,圆心距为1cm，那么这两个圆的位置关系是[ ] A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为[ ] 8.A.B.C三点在⊙O上的位置如图所示， 若∠AOB＝80°，则∠ACB等于 [ ] A．160° B．80°
数学精品复习资料 安徽省中考数学试题分类解析汇编（12专题） 专题8：平面几何基础 一、选择题 1. （2001安徽省4分）如图，长方体中，与棱AA′平行的面是▲ 。 【答案】面BC′和面CD′。 【考点】认识立体图形。 【分析】在长方体中，面与棱之间的关系有平行和垂直两种，且与棱平行的面有两个：面BC′和面CD′。 2. （2001安徽省4分）如图所示，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是 ▲ 度。 【答案】60。 【考点】角的计算，平角的定义。 【分析】因为在截取之前的角是平角180°，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是120°，所以缺口角等于180°﹣120°=60°。 3. （2002安徽省4分）如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE．若∠DOE＝60°，则∠AOC 的度数是▲ ．
【答案】30°。 【考点】角平分线的定义，对顶角的性质 【分析】∵AB、CD相交于点O，∠DOE=60°，OB平分∠DOE， ∴∠BOD=1 2 ∠DOE= 1 2 ×60°=30°。 又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD=30°。 4. （2003安徽省4分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有【】 A：1个 B：2个 C：3个 D：4个 【答案】C。 【考点】平行线的性质，余角和补角，对顶角的性质，直角三角形两锐角的关系。 【分析】∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD。 设∠ABC的对顶角为∠1（如图），则∠ABC=∠1。 又∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°。 ∴与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1。故选C。 5. （2005安徽省课标4分）下列图中能够说明的是【】 A．B．C． D． 【答案】D。 【考点】对顶角的性质，圆周角定理，直角三角形的内角，三角形的外角性质。 【分析】根据对顶角、圆周角、直角三角形的内角、三角形的外角性质等分析作出判断：
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B
地区：浙江省金华市年份：2011 分值：12.0 难度：难 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长； （2）当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 地区：浙江省湖州市年份：2011 分值：14.0 难度：难 如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）
地区：山东省济宁市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C 的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx ＋3. (1)设点P的纵坐标为p，写出p随K变化的函数关系式. (2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值;若不存在，请说明理由. 地区：湖南省邵阳市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3） 点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C. （1）求角ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最
【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专 题8 平面几何基础和向量 选择题 1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形； （B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。 【考点】正多边形和圆，命题与定理。 故选A ，C 。 2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a - 的结果是【 】 A ．a B ．a C ．a - D ．a - 【答案】B 。 【考点】向量的计算。 【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a - 。故选B 。 3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果 AB a = ，AD b = ，那么a b + 等于【 】 A ．BD B ．AC C ．DB D ．CA 【答案】B 。
【考点】向量的几何意义。 【分析】根据向量的意义，=a b AC + 。故选B 。 4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正四边形 C ．正三边形 【答案】C 。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】正n 边形的内角和可以表示成0 2180n -?（），则它的内角是等于 2180n n -?（），n 边形的中心角等于0 360n ，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：00 2180360n n n -?= （），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。故选C 。 5.（上海市2009年4分）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是【 】 A ．AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ．C D BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 【答案】A 。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】已知AB CD EF ∥∥，根据平行线分线段成比例定理，得 AD BC DF CE =。故选A 。 6.（2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】 A ． 等腰梯形 B ． 平行四边形 C ． 正五边形 D ． 等腰三角形 【答案】B 。 【考点】中心对称图形。
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处
理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的
集合。 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例。
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． B.6 C. D.4 A． 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心， AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE =. 22故选A． 【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E '' ≤-，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立. 【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问
题得解. 【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝1 AB=，OD＝，∴DH的最 1 2 小值为OD－OH 1. 【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决. 【针对训练】 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）. B．1．3 A 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）. B. C. D.4 A．3 3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）.
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?
（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
几何最值 一、选择题 1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1 B ． 2 ＋1 2 C ．2 2 ＋1 D ．2 2 —1 2 {答案} B {解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋1 2 ，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1 2， 有下列结论： ①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋37 2. 其中，正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ {答案} D {解析}设AQ ＝x ，则BP ＝5 2 —x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝53 4，∴DE ＝ 34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而33 2≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 2，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝ 34×32－12?x ?34－1 2 ×3 × D Q P C B A
【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1.同角或等角的余角相等。 2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。 平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平面几何基础专题 一、选择题： 1. （xx?浙江省衢州市,2,2 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，那么∠1的同位角是（） A．∠2B．∠3C．∠4 D．∠5 【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可． 【解答】解：由同位角的定义可知， ∠1的同位角是∠4， 故选：C． 【点评】此题考查同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解． 2.（xx?广东省广州市,5,3 分）如图，直线AD，BE 被直线BF 和AC 所截，则 ∠1的同位角和∠5的内错角分别是（） A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之
间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，故 选：B． 【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 3．（xx?广东省深圳市,8,3 分）如图，直线a，b 被c，d 所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（） A．∠1=∠2B．∠3=∠4 C．∠2+∠4=180°D．∠1+∠4=180° 【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论． 【解答】解：∵直线a，b 被c，d 所截，且a∥b， ∴∠3=∠4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 4．（xx?广东省,8,3 分）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】依据三角形内角和定理，可得∠D=40°，再根据平行线的性质，即可得到 ∠B=∠D=40°． 【解答】解： ∵∠DEC=100°，∠C=40°， ∴∠D=40°， 又∵A B∥CD， ∴∠B=∠D=40°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线性质的应用，运用两直线平行，内错角相等是解题的关键．
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡 不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：