函数与导数的综合应用
命题动向：函数与导数的解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合进行深入考查，体现了能力立意的命题原则．
这几年，函数与导数的解答题一直作为“把关题”出现，是每年高考的必考内容，虽然是“把关题”，但是同其他解答题一样，一般都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难．从近几年的高考情况看，命题的方向主要集中在导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合应用．
题型1利用导数研究函数性质综合问题 例1 [2016·山东高考]设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R.
(1)令g (x )＝f ′(x ), 求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围．
解题视点 (1)求出g (x )的导数，就a 的不同取值，讨论导数的符号；(2)f ′(x )＝ln x －2a (x －1)，使用数形结合方法确定a 的取值，使得在x <1附近f ′(x )>0，即ln x >2a (x －1)，在x >1附近ln x <2a (x －1)．
解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1
x －2a ＝1－2ax x . 当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x ) 单调递增；
当a >0时，x ∈???
?0，1
2a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈????12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；
当a >0时，g (x )的单调增区间为????0，12a ，单调减区间为???
?1
2a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．
②当0 2a >1，由(1) 知f ′(x )在????0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈????1，1 2a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在??? ?1，1 2a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1 2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， 所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<1 2a <1，当x ∈????12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为????12，＋∞. 冲关策略 函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 题型2利用导数研究方程的根(或函数的零点) 例2 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解题视点 (1)先求函数f (x )的定义域，再求f ′(x )，对参数a 进行分类讨论，由f ′(x )>0(f ′(x )<0)，得函数f (x )的单调递增(减)区间，从而判断f (x )的单调性；(2)利用(1)的结论，并利用函数的零点去分类讨论，即可求出参数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点． (ⅱ)若a ＞0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1 a ＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1 a ＋ln a ＞0，即f (－ln a )＞0，故f (x )没有零点； ③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a ＜0，即f (－ln a )＜0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2＞－2e － 2＋2＞0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0＞ln ???? 3a －1， 则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0＞e n 0－n 0＞2 n 0－n 0＞0. 由于ln ???? 3a －1＞－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)． 冲关策略 研究方程根的情况，可以通过研究函数的单调性、极值、最值等，再结合零点存在性定理进行分析． 题型3利用导数研究与不等式有关的问题 命题角度1 证明不等式 例3 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＜0时，证明f (x )≤－3 4a －2. 解题视点 (1)结合导数，对a 进行分类讨论，来研究函数的单调性；(2)根据(1)的单调性情况，通过作差构造新函数，再利用导数进行求解． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x . 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＜0，则当x ∈????0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈????－1 2a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在????0，－12a 上单调递增，在??? ?－1 2a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ????－12a ＝ln ????－12a －1－14a . 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ????－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ????－12a ＋1 2a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1 x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0， 所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0. 从而当a ＜0时，ln ????－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－3 4a －2. 冲关策略 利用导数证明不等式的基本方法 利用导数法证明不等式f (x )＞g (x )在区间D 上成立的基本方法：可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )＞0. 命题角度2 不等式的恒成立问题 例4 [2016·四川高考]设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数． (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0； (3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立． 解题视点 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，讨论时要注意定义域和参数范围，不重不漏，证明不等式可转化为求函数最值问题，对于(3)中的恒成立问题要想到前后之间的联系． 解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1 x (x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a ＞0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈????0，12a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈ ??? ?12a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x － 1－x ，则s ′(x )＝e x － 1－1.当x ＞1时，s ′(x )＞0，所以s (x )单调递增，且s (1)＝0， 所以e x － 1＞x ，从而g (x )＝1x －1e x －1＝1x －e e x ＞0. (3)由(2)，当x ＞1时，g (x )＞0.当a ≤0，x ＞1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x ＜0. 故当f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a ＞0. 当0＜a ＜12时，12a ＞1.由(1)有f ????12a ＜f (1)＝0，而g ????12a ＞0， 所以此时f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥1 2 时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)． 当x ＞1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x ＞x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2＞x 2－2x ＋1x 2 ＞0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又因为h (1)＝0，所以当x ＞1时，h (x )＝f (x )－g (x )＞0，即f (x )＞g (x )恒成立．综上，a ∈????12，＋∞. 冲关策略 利用导数解决不等式的恒成立问题 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 命题角度3 存在型不等式恒成立问题 例5 设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对于任意的s ，t ∈???? 12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． 解题视点 (1)等价于求使[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M 成立时的最大整数M ；(2)等价于在区间???? 12，2上， f (x )min ≥ g (x )max 恒成立时，求a 的取值范围． 解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M . 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ??? ?x －23. 由g ′(x )＞0得x ＜0或x ＞23 ，又x ∈[0,2]，所以g (x )在????0，23上是单调递减函数，在????23，2上是单调递增函数，所以g (x )min ＝g ????23＝－85 27 ，g (x )max ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝112 27 ≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4. (2)对于任意的s ，t ∈????12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在??? ?1 2，2上，函数f (x )min ≥g (x )max . 由(1)可知在??? ?1 2，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1. 在????12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立． 设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在???? 12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2 时，h ′(x )＜0；当1 2 ＜x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在???? 12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 冲关策略 双参数不等式问题的求解方法 一般采用等价转化法． (1)?x 1∈[a ，b ]，?x 2∈[c ，d ]，使f 1(x 1)>f 2(x 2)?[f 1(x 1)]min >[f 2(x 2)]max . (2)?x 1∈[a ，b ]，?x 2∈[c ，d ]，使f 1(x 1)>f 2(x 2)?[f 1(x 1)]max >[f 2(x 2)]min . (3)?x 1∈[a ，b ]，?x 2∈[c ，d ]，使f 1(x 1)>f 2(x 2)?[f 1(x 1)]min >[f 2(x 2)]min . (4)?x 1∈[a ，b ]，?x 2∈[c ，d ]，使f 1(x 1)>f 2(x 2)?[f 1(x )]max >[f 2(x )]max . (5)?x 1∈[a ，b ]，x 2∈[c ，d ]，使f 1(x 1)＝f 2(x 2)?f 1(x )的值域与f 2(x )的值域交集不为?. 命题角度4 证明正整数不等式 例6 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值； (2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，????1＋12????1＋122·…·??? ?1＋12n ＜m ，求m 的最小值． 解题视点 (1)对a 进行分类讨论，当a ＞0时，通过求函数的导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可； (2)结合(1)的结论，令x ＝1＋1 2 n 进行求解． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ????12＝－1 2 ＋a ln 2＜0，所以不满足题意． ②若a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0.令x ＝1＋12 n ，得ln ????1＋12n ＜12n ， 从而ln ????1＋12＋ln ????1＋122＋…＋ln ????1＋12n ＜12＋122＋…＋12n ＝1－1 2n ＜1. 故????1＋12????1＋122·…·????1＋12n ＜e.而????1＋12????1＋122????1＋123＞2，所以m 的最小值为3. 冲关策略 证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的函数进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，对其求导就是错误的．本例(2)就是利用了(1)问的结论，构造了 函数的不等关系，再对其中的自变量赋值，令x ＝1＋1 2 n ，可得到解题的基本思路． 三角函数的综合问题 命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质． 题型1三角函数图象和性质的综合问题 例1 [2017·山东高考]设函数f (x )＝sin ????ωx －π6＋sin ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ??? ?π 6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 π 4 个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??? ?－π4，3π 4上的最小值． 解题视点 (1)将函数f (x )化简为A sin(ωx ＋φ)的形式后，通过解方程求得ω值； (2)y ＝f (x )变换得到y ＝g (x )，利用三角函数的图象和性质求最值． 解 (1)因为f (x )＝sin ????ωx －π6＋sin ? ???ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3??? ?12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ????ωx －π3. 由题设知f ????π6＝0，所以ωπ6－π 3 ＝k π，k ∈Z.故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ????2x －π3，所以g (x )＝3sin ????x ＋π4－π3＝3sin ??? ?x －π12. 因为x ∈????－π4，3π4，所以x －π12∈????－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32 . 冲关策略 解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 等)的解析 式，然后把ωx ＋φ看成一个整体研究函数的性质． 题型2解三角形与数列的综合问题 例2 [2018·衡中模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解题视点 (1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证；(2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题． 解 (1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1 2 ， 当且仅当a ＝c 时，等号成立．∵0 2. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3 2 ＝ 3.∴△ABC 的面积的最大值为 3. 冲关策略 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化． 题型3三角变换与解三角形的综合 例3 [2017·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2 . (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解题视点 (1)利用三角形中A ＋C ＋B ＝π，将sin(A ＋C )化为sin B ，再利用倍角公式，将8sin 2B 2 化成4(1－cos B )， 即sin B ＝4(1－cos B )等式两边同时平方，再利用cos 2B ＋sin 2B ＝1解出cos B ；(2)利用三角形面积公式S ＝1 2 ac sin B 和 (1)中结论解出ac 的值，再利用余弦定理求解． 解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2 ，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝15 17 . (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝17 2 . 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×17 2×??? ?1＋1517＝4.所以b ＝2. 冲关策略 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键． 题型4平面几何中的三角函数求值 例4 [2018·北京模拟]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝129 2 ，求△ABC 的面积． 解题视点 (1)利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出A ；(2)先根据两角和的正弦公式求出sin C ，然后根据正弦定理得到边长a ，c 的比值关系，再在△ABD 中利用余弦定理求出a ，c 的值，最后由三角形面积公式可求结果． 解 (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ，又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝1 2 .在 △ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝53 14 . 由正弦定理得，a c ＝sin A sin C ＝75.设a ＝7x ，c ＝5x (x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即129 4 ＝ 25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝1 2ac sin B ＝10 3. 冲关策略 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想． 题型5三角函数与平面向量相结合 例5 [2017·江苏高考]已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解题视点 (1)利用向量共线的坐标运算法则求解；(2)利用数量积的坐标运算、辅助角公式，结合三角函数图象求解最值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π 6 . (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ????x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈??? ?π6，7π6，从而－1≤cos ????x ＋π6≤3 2. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π 6 时，f (x )取到最小值－2 3. 冲关策略 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题． (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．本例中，易忽略x ∈[]0，π导致错解． 数列的综合问题 命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n 项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解． 题型1等差、等比数列的综合运算 例1 [2017·全国卷Ⅰ]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解题视点 (1)熟练应用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式；(2)在证明a ，b ，c 成等差、等比数列时， 可以利用等差中项：a ＋c 2＝b 或等比中项：ac ＝b 2来证明． 解 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得????? a 1(1＋q )＝2， a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋2 3＝2????－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 冲关策略 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的. 题型2数列的通项与求和 例2 [2018·临汾模拟]数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的正整数n 都有a n >0,4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式； (2)设b n ＝a n 3 n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解题视点 (1)运用a n ＝? ???? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2得到{a n }为等差数列，进而求解；(2)解题的关键是错位相减法的运算， 对考生的运算求解能力要求较高． 解 (1)证明：令n ＝1,4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1，由4S n ＝(a n ＋1)2，得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2， 两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2， 整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，因为a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝2n －13n ，T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 13T n ＝132＋333＋5 34＋…＋2n －13 n ＋1，② ①－②得23T n ＝1 3＋2????132＋133＋ (13) －2n －13n ＋1＝13＋2×19?? ?? 1－13n －11－13 －2n －13 n ＋1＝23－2n ＋23n ＋1， 所以T n ＝1－n ＋1 3 n . 冲关策略 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息． (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等. 题型3数列与其他知识的交汇 命题角度1 数列与函数的交汇 例3 [2018·河南开封模拟]已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n } 满足1 a n ＋1＝f ′????1a n ，且a 1＝4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记 b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解题视点 (1)叠加法求数列的通项公式；(2)裂项相消法求数列的前n 项和． 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n,16n 2a －4nb ＝0，∴a ＝1 2 ， 则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.数列{a n }满足1 a n ＋1 ＝f ′????1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ， ∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n ，由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ， 化简可得a n ＝4(2n －1)2 (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合，∴a n ＝4(2n －1) 2(n ∈N * )． (2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4 (2n －1)(2n ＋1)＝2? ???12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2????????1－13＋????13－1 5＋…＋????12n －1－12n ＋1 ＝2????1－12n ＋1＝ 4n 2n ＋1. 冲关策略 (1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景，给出数列所满足的条件．解决这类问题的关键是利用函数知识，将条件进行准确转化． (2)此类问题多考查函数思想及性质(多为单调性)，注意题中的限制条件，如定义域. 命题角度2 数列与不等式的交汇 例4 [2018·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －2 3 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <7 4 . 解题视点 (1)利用a n 与S n 的关系求得{a n }的通项公式；(2)利用放缩法巧妙证明不等式． 解 (1)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－2 3 (n －1)， 两式相减并整理得a n ＋1n ＋1 －a n n ＝1，又a 22－a 11＝1，所以a n n ＝1＋(n －1)×1＝n ，得a n ＝n 2. 当n ＝1时，上式显然成立，∴a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)证明：当n ＝1时，1a 1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<7 4 ； 当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1 n ，此时 1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋????12－13＋????13－14＋…＋????1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74，故1a 1＋1a 2 ＋…＋1a n <74. 冲关策略 数列中不等式的处理方法 (1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式． (2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．本题第(2)问中用到“放缩”．一般地，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列、可裂项相消求和的数列等． (3)比较方法：作差比较或作商比较. 命题角度3 数列与解析几何的交汇 例5 [2017·山东高考]已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面 积T n . 解题视点 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，以几何图形为背景确定{b n }的通项公式是关键． 解 (1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q >0. 由题意得????? x 1＋x 1q ＝3， x 1q 2－x 1q ＝2， 所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n － 1. (2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n － 1.记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ， 由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2 ×2n －1＝(2n ＋1)×2n － 2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n － 2，① 2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n － 1.② ①－②得 －T n ＝3×2－1＋(2＋22 ＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n － 1)1－2 －(2n ＋1)×2n －1.所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12. 冲关策略 数列与解析几何的综合问题，往往以考查数列知识为主，只需将含有解析几何知识的已知条件进行转化，就变成了一个纯数列问题. 命题角度4 数列与应用问题的交汇 例6 [2018·北京东城模拟]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少1 5 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元， 由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加1 4 . (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解题视点 (1)根据题意，构建等比数列模型；(2)构建不等关系，解不等式求解． 解 (1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×????1－15万元，…，第n 年投入为800×??? ?1－1 5n －1万元，所以，n 年内的总投入为 a n ＝800＋800×????1－15＋…＋800×????1－15n －1＝800×????1＋45＋??? ?452＋…＋????45n －1＝4000×????1－????45n . 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×????1＋14万元，…，第n 年旅游业收入为400×??? ?1＋14n －1 万元，所以，n 年内的旅游业总收入为 b n ＝400＋400×????1＋14＋…＋400×????1＋14n －1＝400×????1＋54＋??? ?542＋…＋????54n －1＝1600×????????54n －1. (2)设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入，由此得b n －a n >0，即 1600×????????54n －1－4000×????1－????45n >0，令x ＝????45n ，代入上式得5x 2－7x ＋2>0，解此不等式，得x <25或x >1(舍去)，即????45n <2 5，由此得n ≥5.所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 冲关策略 (1)此类问题的解题思路：仔细阅读所给材料，认真理解题意，将已知条件翻译成数学语言并转化为数学问题，分清是等差数列还是等比数列，是求通项问题还是求项数问题，或是求和问题等，并建立相应数学模型求解． (2)一般涉及递增率，要用等比数列，涉及依次增加或者减少，要用等差数列，有的问题是通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要向这些方向思考. 立体几何的综合问题 命题动向：从近五年的高考试题来看，立体几何是历年高考的重点，约占整个试卷的13%，通常以一大一小的模式命题，以中、低档难度为主．三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间向量与空间角(特别是二面角)的计算是考查的重点内容，前者多以客观题的形式命题，后者主要以解答题的形式加以考查．着重考查推理论证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势．转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终． 题型1空间点、线、面的位置关系 例1 [2017·北京高考]如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． (1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ； (3)当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． 解题视点 (1)根据线面垂直的判定定理即可证明；(2)由等腰三角形性质和(1)问结论证线面垂直，再由面面垂直判定定理即可证明；(3)关键是先由直线与平面平行的性质定理证线线平行，再由线面垂直的结论证三棱锥的高． 解 (1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC .又因为BD ?平面ABC ，所以PA ⊥BD . (2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知，PA ⊥BD ， 所以BD ⊥平面PAC ，又BD ?平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC . (3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE ＝1 2 PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2. 由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝1 3 . 冲关策略 立体几何中证明线线垂直往往是通过线面垂直来实现的，即一条直线垂直于另一条直线所在的平面，根据直线和平面垂直的定义，从而得到这两条直线垂直．解决这类问题要运用转化策略，特别要注意面面垂直的性质定理“如果两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”，这是立体几何中“作一个平面的垂线”的主要依据． 题型2平面图形的翻折问题 例2 [2016·全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在 AD ，CD 上，AE ＝CF ＝5 4 ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置， OD ′＝10. (1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值． 解题视点 (1)利用线面垂直的判定定理进行证明；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 解 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CF CD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝1 4 . 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2， 故D ′H ⊥OH .又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD ′→ 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz . 则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5，0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB → ＝(3， －4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→ ＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量， 则????? m ·AB → ＝0，m ·AD ′→＝0，即????? 3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0， 所以可取m ＝(4,3，－5)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量， 则????? n ·AC → ＝0，n ·AD ′→＝0， 即? ???? 6x 2＝0， 3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10 ＝－7525，所以sin 〈m ，n 〉＝295 25. 因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是295 25 . 冲关策略 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． 题型3向量法解决探索性问题 命题角度1 探索性问题与平行相结合 例3 [2016·北京高考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5. (1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； (3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不 存在，说明理由． 解题视点 (1)欲证PD ⊥平面PAB ，只需在平面PAB 内找两条相交直线与PD 垂直；(2)建立空间直角坐标系，求出直线PB 的方向向量与平面PCD 的法向量，即可求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)假设在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，利用直线BM 的方向向量与平面PCD 的法向量垂直，得参数所满足的方程，若能求出参数的值，则说明存在，否则，不存在． 解 (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ?平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面PAB . (2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD . 又因为PO ?平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为CO ?平面ABCD ，所以PO ⊥CO .因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD . 如图建立空间直角坐标系Oxyz . 由题意，得A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)， PD →＝(0，－1，－1)，PC → ＝(2,0，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·PD → ＝0，n ·PC →＝0， 即???? ? －y －z ＝0，2x －z ＝0. 令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2,2)． 又PB → ＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB → 〉＝ n ·PB → |n ||PB →|＝－3 3 . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为3 3. (3)设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM → ＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM → ＝(－1，－λ，λ)． 因为BM ?平面PCD ，所以BM ∥平面PCD 当且仅当BM → ·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝1 4 .所 以在棱PA 上存在一点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝1 4 . 冲关策略 利用向量法探究线面平行，只须将这条直线的方向向量用平面内两个不共线的向量来线性表示或转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直来处理，再说明这条直线不在已知平面内． 命题角度2 探索性问题与垂直相结合 例4 [2018·湖北宜昌]如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点． (1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值； (2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由． 解题视点 (1)由公式cos θ＝|a ·b | |a ||b | ，求得异面直线所成角的余弦值；(2)设出空间点的坐标， 利用向量垂直的坐标表示． 解 (1)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz . 依题意得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)， B (1,1,0)，N (1,1,1)，E ????12，1，0，所以NE →＝????－12，0，－1，AM → ＝(－1,0,1)， 因为|cos 〈NE →，AM → 〉|＝|NE →·AM →||NE →||AM →|＝125 2 ×2 ＝10 10. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为 1010 . (2)假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN .连接AE ，ES ，如图所示． 因为AN →＝(0,1,1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)(0≤λ≤1)，又EA → ＝????12，－1，0， 所以ES →＝EA →＋AS → ＝????12，λ－1，λ.由ES ⊥平面AMN ， 得????? ES →·AM → ＝0，ES →·AN →＝0， 即????? －12＋λ＝0，(λ－1)＋λ＝0， 解得λ＝12，此时AS →＝????0，12，12，|AS →|＝2 2 . 经检验，当AS ＝ 22时，ES ⊥平面AMN .故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，此时AS ＝22 . 冲关策略 利用向量法探究垂直问题，其一证明直线与直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，其二证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直，解题的关键是灵活建系，从而将几何证明转化为向量运算． 命题角度 3 探索性问题与空间角相结合 例5 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，PA ＝2. (1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M －AC －D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由． 解题视点 (1)利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明；(2)假设存在点M ，利用二面角M －AC －D 的大小为45°确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角． 解 (1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形， 由AD ＝CD ＝22，BC ＝42，可得△ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ， 因为PA ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又PA ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面PAC ，又PC ?平面PAC ，所以AB ⊥PC . (2)取BC 的中点E ，连结AE ，AE ⊥BC . 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)， B (22，－22，0)，PD →＝(0,22，－2)，A C →＝(22，22，0)． 设PM →＝tPD →(0 ＝(0,22t,2－2t )． 设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则 ????? n ·AC → ＝0，n ·AM →＝0， 得??? 22x ＋22y ＝0，22ty ＋(2－2t )z ＝0， 则可取n ＝? ? ???1，－1，2t 1－t . 又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n | |m ||n | ＝?????? 2t t －12＋? ?? ??2t t －12 ＝cos45°＝2 2， 解得t ＝1 2 ，即点M 是线段PD 的中点． 此时平面MAC 的一个法向量可取n 0＝(1，－1，2)，BM → ＝(－22，32，1)． 设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 0，BM → 〉|＝|n 0·BM → ||n 0||BM →| ＝|－22－32＋2|2×33＝26 9. 冲关策略 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等． 圆锥曲线的综合问题 命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决． 题型1直线与圆锥曲线的位置关系 例1 [2017·北京高考]已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点????0，1 2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点． 解题视点 (1)根据抛物线上一个定点的坐标可得抛物线方程，从而得其焦点坐标与准线方程；(2)先利用点斜式设出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，根据根与系数的关系，得交点坐标间的关系进而证明结论． 解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝1 2 .所以抛物线C 的方程为y 2＝x . 抛物线C 的焦点坐标为????14，0，准线方程为x ＝－14 . (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1 2 (k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由????? y ＝kx ＋12，y 2＝x ， 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝1 4k 2. 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2 x 2 x ，点B 的坐标为????x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1 x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝????kx 1＋12x 2＋????kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1) x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2 x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1 x 2 ＝2x 1，故A 为线段BM 的中点． 冲关策略 涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法． 题型2圆锥曲线中的定点、定值问题 命题角度1 定点问题 例2 [2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3????－1，32，P 4? ???1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程； (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 解题视点 (1)利用待定系数法可求出椭圆C 的方程；(2)把直线l 分斜率是否存在进行分类讨论，当直线l 的斜率不存在时，易得结论；当直线l 的斜率存在时，利用斜截式设出直线l 的方程，并把它与第(1)小问求出的椭圆方程联立，利用根与系数的关系式，以及过两点的斜率公式，即可证出直线l 过定点． 解 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋3 4b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此? ?? 1 b 2＝1，1a 2＋34b 2 ＝1，解得? ???? a 2＝4， b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为? ? ???t ，4－t 22，? ????t ，－4－t 22， 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋2 2t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24 ＋y 2 ＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1 . 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2) x 1x 2 . 由题设k 1＋k 2＝－1， 故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1 ＝0，解得k ＝－m ＋1 2. 当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋1 2(x －2)，所以l 过定点(2，－1)． 命题角度2 定值问题 例3 [2016·北京高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 ，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面 积为1. (1)求椭圆C 的方程； (2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值． 解题视点 (1)利用离心率的定义与三角形的面积公式，得关于参数a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，即可求得椭圆C 的方程；(2)设出点P 的坐标，依题意，可求出点M ，N 的坐标，即可证明|AN |·|BM |为定值． 解 (1)由题意得??? c a ＝32， 1 2 ab ＝1，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4. 当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0 x 0－2 ，从而|BM |＝|1－y M |＝????1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0 y 0－1 ，从而|AN |＝|2－x N |＝????2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝????2＋x 0y 0－1·????1＋2y 0x 0－2＝??????x 20＋4y 2 0＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝???? ??4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |为定值． 冲关策略 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离的定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 题型3圆锥曲线中的最值、范围问题 命题角度1 最值问题 例4 [2018·衡中模拟]如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝43， M ? ???3，－132是椭圆上一点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点N (－8,0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，记△ABF 1的面积为S ，求S 的最大值． 解题视点 第(1)问考虑两种方法解决；第(2)问是求三角形的面积问题，先设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，得到关于y 的一元二次方程，结合判别式求出m 的取值范围，再结合条件求出S 的表达式，最后利用基本不等式求出面积的最大值． 解 (1)解法一：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 由椭圆的定义可得2a ＝ (3＋23)2＋??? ?－ 1322 ＋(3－23)2＋????－ 1322 ＝1214＋254＝112＋5 2 ＝8， 解得a ＝4，∴b 2＝16－12＝4，∴椭圆 C 的标准方程为x 216＋y 2 4 ＝1. 解法二：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，椭圆C 的左焦点为F 1(－23，0)，故a 2－b 2＝12， 又点M ????3，－132在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则3b 2＋12＋134b 2＝1，化简得4b 4＋23b 2－156＝0，得b 2＝4，故a 2＝16，∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2 4 ＝1. (2)易知直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 的方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理，得(m 2＋4)y 2－16my ＋48＝0， ∴Δ＝64(m 2－12)>0，得到m >23或m <－2 3. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＋y B ＝16m m 2＋4，y A y B ＝48 m 2＋4 . |y A －y B |＝ (y A ＋y B )2－4y A y B ＝ 8m 2－12m 2＋4 . S ＝S △NBF 1－S △NAF 1 ＝1 2|NF 1|·|y B －y A |＝8(4－3)m 2－12m 2＋4＝8(4－3)m 2－12m 2－12＋16＝ 8(4－3)m 2－12＋ 16m 2－12 ≤8(4－3) 8 ＝4－ 3. 当且仅当m 2－12＝16 m 2－12 ，即m ＝±27(此时Δ>0)时取等号，所以△ABF 1的面积S 的最大值为4－ 3. 冲关策略 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 命题角度2 范围问题 例5 [2018·沈阳调研]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆 上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－3 4 . (1)求椭圆C 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围． 解题视点 将直线与椭圆的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，同时在设直线方程时需讨论斜率存在与不存在两种情况． 解 (1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4 ， k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4 ＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线 PQ 与椭圆方程联立，得????? x 216＋y 212＝1， y ＝kx ＋2， 消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0. 所以x 1＋x 2＝－ 16k 4k 2＋3，x 1x 2 ＝－32 4k 2＋3. 从而OP →·OQ → ＋MP →·MQ → ＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2 －2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－52 4k 2＋3 ＝－20＋ 84k 2 ＋3 .所以－20 ＋MP →·MQ → ≤－52 3. 当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ → 的值为－20.综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ → 的取值范围为????－20，－523. 冲关策略 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型4圆锥曲线中的探索性问题 例6 [2018·四川模拟]在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝1 2 ，且过点(0，3)，椭 圆C 的长轴的两端点为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的动点，定直线x ＝4与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)在x 轴上是否存在定点在以MN 为直径的圆上？若存在，求定点坐标；若不存在，请说明理由． 解题视点 (1)利用题中的条件得到关于a ，c 的方程进而求解；(2)根据题意得到直线PA ，PB 的斜率之积为定值是解题的关键． 解 (1)????? e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，b 2＝3 ?????? a 2＝4， b 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，P (x 0，y 0)．即k 1＝ y 0x 0＋2，k 2＝y 0 x 0－2 ， k 1k 2＝y 20x 20－4＝3????1－x 2 4x 20－4＝3·4－x 2 04 x 20－4 ＝－3 4.由l PA ：y ＝k 1(x ＋2)知M (4,6k 1)，由l PB ：y ＝k 2(x －2)知N (4,2k 2)， ∴MN 的中点G (4,3k 1＋k 2)．∴以MN 为直径的圆的方程为 (x －4)2＋(y －3k 1－k 2)2＝1 4 (6k 1－2k 2)2＝(3k 1－k 2)2. 令y ＝0，∴x 2－8x ＋16＋9k 21＋6k 1k 2＋k 22＝9k 21－6k 1k 2＋k 22，∴x 2 －8x ＋16＋12k 1k 2＝0， ∴x 2－8x ＋16＋12×??? ?－3 4＝0，即x 2－8x ＋7＝0，解得x ＝7或x ＝1. ∴在x 轴上存在定点(1,0)，(7,0)在以MN 为直径的圆上． 冲关策略 探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法． 题型5直线、圆及圆锥曲线的交汇问题 例7 [2017·山东高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的 离心率为2 2 ，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值． 解题视点 (1)由题设给出的条件直接求出椭圆方程；(2)把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系建立函数关系，利用导数解决相关问题． 解 (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)，又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2 －a 2b 2＝2， 所以a 2＝4，b 2 ＝2.因此椭圆方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得???? ? y ＝kx ＋m ， x 24＋y 2 2＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0. 由Δ>0得m 2<4k 2＋2，(*)且 x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m 2k 2＋1 ，所以D ????－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1. 又N (0，－m )，所以|ND |2＝????－2km 2k 2＋12＋????m 2k 2＋1＋m 2，整理得|ND |2 ＝4m 2(1＋3k 2＋k 4)(2k 2＋1)2 . 因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4(k 4＋3k 2＋1) (2k 2＋1)2＝1＋8k 2＋3(2k 2＋1)2 . 令t ＝8k 2 ＋3，t ≥3，故2k 2 ＋1＝t ＋14.所以|ND |2|NF |2＝1＋16t (1＋t )2 ＝1＋16 t ＋1t ＋2. 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2.当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1 t 在[3，＋∞)上单调递增， 因此t ＋1t ≥10 3，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0，所以|ND |2|NF |2 ≤1＋3＝4. 由(*)得－2 2. 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12，所以θ的最小值为π6，从而∠EDF 的最小值为π 3 ，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π 3 . 冲关策略 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、 化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力． 概率与随机变量及其分布的综合问题 命题动向：通过近五年的高考试题分析，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力． 题型1随机变量的分布列与均值 例1 [2016·山东高考]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星 队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是2 3 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果 亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )． 解题视点 (1)首先根据题意确定所求事件的性质，将其转化为互斥事件(全部猜对和猜对3个)的概率之和，然后根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；(2)首先确定X 的所有可能取值，确定其对应的事件，分别求出其概率，最后列出分布列，代入数学期望公式求解即可． 解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D ) ＝34×23×34×2 3 ＋2×????14×23×34×23＋34×13×34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为2 3 . (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1 144 ， P (X ＝1)＝2×????34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14 ×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝1 12 ，P (X ＝4)＝2×????34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝1 4. 可得随机变量X 6 错 所以数学期望E (X )＝0× 1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236 . 冲关策略 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应． 题型2分布列、期望的应用 例2 [2017·全国卷Ⅲ]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,4 0) 天数 2 16 36 25 7 4 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 解题视点 (1)由频数分布表，计算相应的频率，即各自的概率；(2)根据温度的变化，求出需求量和利润之间的关系，最后得到期望的表达式，求出最大值． 解 (1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝36 90 ＝ 0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋4 90 ＝0.4. 因此X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n ＜300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元． 冲关策略 概率应用问题，注意解题步骤收集数据、整理数据、分析数据、应用数据，将实际问题转化为数学问题． 题型3概率与统计的综合问题 例3 [2018·河北衡水中学模拟]根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示． (1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值； (2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得的代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望． 解题视点 (1)利用等差数列的性质和频率分布直方图中所含等量关系列方程组，解方程组即可求出a ，b ；(2)利用分层抽样抽取10人，属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人，列出X 的所有可能取值，并分 别求出相应的概率，进而得分布列、期望． 解 (1)由题意可知? ???? 2b ＝a ＋0.015， (0.01＋0.015×2＋b ＋a )×10＝1，解得a ＝0.035，b ＝0.025. (2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6个，属于潜在消费人群的有4人． 从该10人中抽取3人，此3人所获得的代金券的总和为X (单位：元)， 则X 的所有可能取值为150,200,250,300. P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 2 4C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34 C 310＝130 . X 的分布列为 X 150 200 250 300 P 错误错误错误错误E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×1 30 ＝210. 冲关策略 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题． 题型4概率与独立性检验的综合问题 例4 [2018·云南模拟]为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生． (1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把 理科意向 文科意向 合计 男 110 女 50 合计 (2)3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E (ξ)和方差D (ξ)． 参考公式：K 2＝n (ad －bc )2 (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . P (K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解题视点 1名学生为“文科意向”的概率，易知随机变量ξ服从二项分布，即可求出分布列、期望和方差． 解 (1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.0125×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.0075×20×200＝30 理科意向 文科意向 合计 男 80 30 110 女 40 50 90 合计 120 80 200 又K 2＝200×(80×50－30×40)120×80×110×90 ≈16.498>6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关． (2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为P ＝80200＝2 5 . 依题意知ξ～B ????3，25，所以P (ξ＝i )＝C i 3????25i ??? ?1－2 53－i (i ＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为 ξ0 1 2 3 所以期望E (ξ)＝np ＝65，方差D (ξ)＝np (1－p )＝18 25 . 冲关策略 此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深度有限，所以解决此类问题，最主要的是正确掌握概率与统计案例的基本知识，并能对这些知识点进行有效的融合，把统计图表中的量转化为概率及分布列求解中的有用的量是解决此类问题的关键所在． 题型5概率与线性回归的综合 例5 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析． (1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果) (2)如果随机抽取的 7 9 9 ①若规定85分以上 秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； ②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝ ∑n i ＝1 (x i －x －)(y i －y － ) ∑n (x i －x － )2 ，a ＝y －－b x － . 解题视点 解 (1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为7 42 ×24＝4， 18名男同学中应抽取的人数为742 ×18＝3，故不同的样本的个数为C 424C 318. (2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3，∴ξ的取值为0,1,2,3. ∴P (ξ＝0)＝C 34C 37＝435，P (ξ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝2)＝C 14C 2 3C 37＝1235，P (ξ＝3)＝C 33 C 37＝135 . ∴ξ的分布列为 ∴E (ξ)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97 . ②∵b ＝ 526 812 ≈0.65，a ＝y －－b x － ＝83－0.65×76＝33.60. ∴线性回归方程为y ＝0.65x ＋33.60.当x ＝96时，y ＝0.65×96＋33.60＝96.∴可预测该同学的物理成绩为96分． 冲关策略 本题主要考查概率与回归方程等知识，考查学生的数据处理能力和应用意识，注意分析数据，定型求解，正确计算是关键． 2.3（二）导数的综合应用 【课时作业】 A 级 1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2 －1，对于任意的x ∈Z 且x ∈ (－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，4] D ．(－∞，5] 解析： 对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )， 都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2 ＋1恒成立． 令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2 ＋1， 当x <0时，g (x ) 此时g (x )>g (0)＝0， 当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0， 作出函数g (x )和函数y ＝－1 x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数 F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数为1个． 答案： B 3．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x ) 在区间D 上为凹函数． 已知函数f (x )＝x 3 －32 x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________． 解析： ∵f (x )＝x 3－32 x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2 －3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即 6x －3>0，解得x >12.∴x 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 答案： ? ?? ? ?12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ ex x ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2 ，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________． 解析： 由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max . 因为g (x )＝－(x －1)2 ＋a 2 ，x >0， 所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2 . 因为f (x )＝ex x ，x >0， 所以f ′(x )＝ex·x－ex x2 ＝ －x2 . 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝e. 第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x . 导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． [基础真题体验] 考查角度[求函数的定义域] 1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1 log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，则?? ? x >0， log 2x －1>0， 解得x >2. 【答案】 C 2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1 x 的定义域为______． 【解析】 要使函数有意义，需????? x ＋1≥0，x ≠0.解得????? x ≥－1， x ≠0. ∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法] 3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 【解析】 设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1) 2. 【答案】 －x (x ＋1) 2 考查角度[分段函数] 4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝??? 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2 ，则f ? ???? f ? ????π4＝________. 【解析】 ∵π4∈??????0，π2，∴f ? ?? ??π4＝－tan π 4＝－1， ∴f ? ?? ?? f ? ????π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －2 [命题规律预测] 第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1 第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式： 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）； 导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。 解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。 解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈， 使()0 f ξ'==，解出2ξ=。 解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a => 高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数， 这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量 考点06 函数与导数的综合应用（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值 范围为________． 【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点． 解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需1 壹 导数及其应用知识点 【知识概要】 一、导数的概念和几何意义 ●1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 ●2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值 00()() f x x f x y x x +?-?= ??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 ●3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率： 00()() f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时， 00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=。 ●4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 ●5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度， ()a v t '=表示瞬时加速度。 函数与导数的综合应用 命题动向：函数与导数的解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合进行深入考查，体现了能力立意的命题原则． 这几年，函数与导数的解答题一直作为“把关题”出现，是每年高考的必考内容，虽然是“把关题”，但是同其他解答题一样，一般都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难．从近几年的高考情况看，命题的方向主要集中在导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合应用． 题型1利用导数研究函数性质综合问题 例1 [2016·山东高考]设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ), 求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 解题视点 (1)求出g (x )的导数，就a 的不同取值，讨论导数的符号；(2)f ′(x )＝ln x －2a (x －1)，使用数形结合方法确定a 的取值，使得在x <1附近f ′(x )>0，即ln x >2a (x －1)，在x >1附近ln x <2a (x －1)． 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1 x －2a ＝1－2ax x . 当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x ) 单调递增； 当a >0时，x ∈??? ?0，1 2a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈????12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为????0，12a ，单调减区间为??? ?1 2a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当01，由(1) 知f ′(x )在????0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈????1，1 2a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在??? ?1，1 2a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1 2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， 所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<1 2a <1，当x ∈????12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为????12，＋∞. 冲关策略 函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 题型2利用导数研究方程的根(或函数的零点) 例2 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解题视点 (1)先求函数f (x )的定义域，再求f ′(x )，对参数a 进行分类讨论，由f ′(x )>0(f ′(x )<0)，得函数f (x )的单调递增(减)区间，从而判断f (x )的单调性；(2)利用(1)的结论，并利用函数的零点去分类讨论，即可求出参数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义 C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算 C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数） B 导数公式表 C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题 B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理 A 高考要求 模块框架 导数及其应用 了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A精选-高考数学大二轮复习专题二函数与导数2-3二导数的综合应用练习
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
导数的综合应用
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)
函数导数及其应用
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
导数及其应用教材分析
(完整版)导数知识点总结及应用
导数的综合应用练习题及答案
高中数学导数及其应用
考点06 函数与导数的综合运用(1)(解析版)
导数及应用知识点
函数与导数的综合应用
导数及其应用.知识框架
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