【经典例题】
【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A ．1-
2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π
【答案】A
【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=
π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12
为扇形面积减去三角形OAC 面积和
S 22
， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4
，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )
A. 126125
B. 65
C. 168125
D. 75 【答案】B
【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×
27
125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
，选B.
【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. 14
B. 12
C. 34
D. 78
【答案】C
【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意?
????0≤x≤4，
0≤y≤4，满足条件的关系式
为－2≤x－y≤2.
根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝34
.
【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为，，，，，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差的概率为 . 【答案】
【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差的事件数为2，分别是：和，和，所求概率为 【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．
【答案】20
63
【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为20
63
.
【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 【答案】13
【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13
.
【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 【答案】213；12
13
；3月5日
【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1，2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝1
13
，且Ai∩Aj＝
(i≠j)．
（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2
13.
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 P(X ＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11) ＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4
13，
P(X ＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4
13，
P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝5
13.
所以X 的分布列为
X 0 1 2 P
513
413
413
故X 的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝12
13
.
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2
3
，中奖可以
获得2分；方案乙的中奖率为2
5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中
奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】11
15
；方案甲．
【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影响．记“这2
人的累计得分X≤3”的事件为A ，
则事件A 的对立事件为“X＝5”，
因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝11
15，
即这两人的累计得分X≤3的概率为11
15
.
（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B ? ????2，23，X2～B ? ??
??2，25， 所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝4
5，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝12
5
.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2
5，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，
则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X ＝0)＝? ????1－23×? ????1－25＝15，P(X ＝2)＝23×? ????1－25＝25，P(X ＝3)＝? ????1－23×25＝2
15，
所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝11
15，
即这两人的累计得分X≤3的概率为11
15
.
（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝8
3，
E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝12
5
.
因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； （2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝5
9，求
a∶b∶c.
【答案】3∶2∶1 【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.
P(ξ＝2)＝3×36×6＝1
4，
P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝1
3，
P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝5
18.
P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝1
9，
P(ξ＝6)＝1×16×6＝1
36，
所以ξ的分布列为
（2）由题意知η
所以Eη＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝5
3
，
Dη＝1－532·a a ＋b ＋c ＋2－532·b a ＋b ＋c ＋3－532·c a ＋b ＋c ＝5
9
，
化简得????
?2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c
＝0，
解得a ＝3c ，b ＝2c ，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 【答案】
427；38
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为. （2）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），
∴，
【课堂练习】
1.（2013广东）已知离散型随机变量则X 的数学期望E(X)＝( )
A. 32 B ．2 C. 5
2
D ．3 2.（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域
ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．
信号的概率是( )
A ．1－π4
B ．π2－1 B ．2－π2 D ．π4
3．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为( )
A ．47
B ．37
C ．27
D ．314
4．（2009安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ． B ． C ． D ．
?A
???
??B C D E F
5.（2009江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． .
6.（2009辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为
A ．
B ．
C ．
D ． 7.（2009上海理）若事件与相互独立，且，则的值等于
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（2013广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y
2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小
于
3
2的椭圆的概率为( ) A ．12 B ．1532 C ．1732 D ．3132
9．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋n －1(n≥2，n∈N )，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a ，b ，c}＝{a 1，a 2，a 3}(1≤a i ≤6，i ＝1，2，3)的概率是( )
A ．172
B ．136
C ．124
D ．112
10.（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是、、，则三人都达标的概率是 ，
三人中至少有一人达标的概率是 。
11.（2013新课标全国Ⅱ）从n 个正整数1，2，3，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概
率为1
14
，则n ＝________．
12.（2013福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．
13.（2013辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
14．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2
之间的概率为________．
15.（2013全国）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1
2，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；.
（2）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．
16.（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是3
5，答对每道乙类题的概
率都是4
5
，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．
17.（2013江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图1－5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． （1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．
图1－5
18.（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）． （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
19.（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E(X)．
20.（2013安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使P(X ＝m)取得最大值的整数m.
【课后作业】
1.（2009江西文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A ． B ． C ． D ．
2.（2009广东文）广州2010年亚运会火炬传递在A 、B 、C 、D 、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A ．20.6 B ．21 C ．22 D ．23 3．（2009安徽文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A ．1
B ．
C ．
D ． 0 .
4．在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是
A ．
14 B ．.13 C ．12 D ．2
3
5．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 A ．
12π B ．112π- C ．6
π
D ．16
π
-
6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
? A
? ? ? ?
?
B
C
D E
F
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁
7.（2008山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．
51
1
B ．
68
1
C ．
306
1
D ．
408
1 8.（2008江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ） A ．
1180 B ．1288 C ．1360 D ．1480
9.（2009山东理）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，的值介于0到之间的概率为( ). A ． B ． C ． D ． 10.（2010湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ） A
512 B 12 C 712 D 3
4
11.（2009安徽）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
12．如图，,A B 两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，2，3，
4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 ． 13、（2009广东）某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中 抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编 号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200 号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ，若 用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
14．某校高三级要从3名男生c b a 、、和2名女生e d 、中任选3名代表参加学校的演讲比赛. （1）求男生a 被选中的概率；
（2）求男生a 和女生d 至少有一人被选中的概率.
15.（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：（这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米）.
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
16．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，
3人．
中等以上的概率为
25
． （1）试确定a 、b 的值；
（2）从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率．
17.（2013新课标全国卷Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4.再从这批产品中任取1件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1
2，且各件产品是否为优质品相互
独立．
（1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．
18.（2013山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3
.假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．
19.（2013陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在 3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． 20.（2013新课标全国卷Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （1）将T 表示为X 的函数；T ＝
（2）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．
【参考答案】
【课堂练习】 1-9、AABDD BBBD 10、； 11、8 12、23
13、10 14、15
15、14；98
16、5
6；X 的分布列为：
E(X)＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36
125＝2.
17、2
7
；X 的分布列为
EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－3
14.
18、6
7
；随机变量X 的分布列是
X 的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝17
5.
19、18
35；X 的分布列
为
从而有E(X)＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1
105＝4(元)
20、2kn －k 2
n 2
； 2k －（k ＋1）
2
n ＋2 【课后作业】
1-10、DBABB CBCAD 11、 12、
13 13、37；20 14、
35；10
9 15、2
9
；分布列为
所求的数学期望为E(Y)＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋42
5＝46.
16、6a =，6b
=；
1340
17、3
64
；X 的分布列为
E(X)＝400×1116＋500×116＋800×1
4
＝.
18、甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为4
27
E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝7
9.
19、4
15；
∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝28
15
.
20、?
????800X －39 000，100≤X<130，
65 000，130≤X≤150.；；59 400
概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C．
【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2.
全国各地高考及模拟试卷试题分类----------概率 选择题 1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ B ） A ． 12 1 B ． 2 1 C ． 6 1 D ． 3 1 2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概 率是 （ D ） A ． 45 2 B. 15 2 C. 3 1 D. 15 7 3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 21,p p ,那么至少有1人解对的概率 是 （ D ） A. 21p p + B. 21p p ? C. 211p p ?- D.)1()1(121p p -?-- 4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率 是 ( B ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 5 4 5．有2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和 为偶数的概率是 （ C ） A 、 12 B 、12n C 、121n n -- D 、121 n n ++ 6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名 女生的概率是 （ C ） A ． 45 2 B ． 15 2 C ． 15 7 D ． 3 1 7．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色 外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的 （ B ） A ． 5 1 B ． 1009 C ．100 1 D ． 5 3 8．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A 中任取一个元素 用a i (i=1，2，3，4，5)表示，在B 中任取一个元素用b j (j=1，2，3，4，5)表示，则 所取两数满足a i >b I 的概率为（ B ）
统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的
统计、概率练习试题 1、【2012高考】 (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88， 88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D 2、【2012高考】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ） A 、101 B 、808 C 、1212 D 、2012 【答案】B 3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。 4、【2012高考】对某商店一个月每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ） A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，53 【答案】A. 5、【2012高考】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表 则样本数据落在区间[10,40]的频率为 A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2【答案】B 6、【2012高考】由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准
差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列） 【答案】1,1,3,3 7、【2012高考】右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率 分布直方图，其中平均气温的围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿. 【答案】9 8、【2012高考】图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员 在这五场比赛中得分的方差为_________.089 10352 图 (注：方差 2222121()()()n s x x x x x x n ??=-+-++-??L ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[来 【答案】6.8 9、【2012高考】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从 该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 【答案】15。 10、【2012高考】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A ） 15 （B ）25 （C ）35 （D ）45 【答案】B 【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为112123,,,,,a b b c c c ，
统计、概率练习试题 1、【2012高考山东】 (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D 2、【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ） A 、101 B 、808 C 、1212 D 、2012 【答案】B 3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。 4、【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ） A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，53 【答案】A. 5、【2012高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表 则样本数据落在区间[10,40]的频率为 A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2【答案】B 6、【2012高考广东】由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列） 【答案】1,1,3,3 7、【2012高考山东】右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)， [21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.
2009年高考数学试题分类汇编——概率与统计 一、选择题 1.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n , 则300.036=n ,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于 104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 120×0.75=90.故选A. 答案:A 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有 关的数据. 2.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π 2 C.21 D.32 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到2 1之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232 =.故选A. 答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图
【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，
《概率与统计》专项练习（解答题） １.(2016全国Ⅰ卷,文19,1２分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件,每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了10０台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ)若n =19,求y 与x 的函数解析式； (Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于０.5,求n 的最小值； (Ⅲ）假设这1０0台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易 损零件，分别计算这１00台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买1９个还是20个易损零件？ 解：(Ⅰ)当x ≤1９时,y =3800 当ｘ>1９时，y =３800+500(x -19)＝500x －5700 ∴y 与ｘ的函数解析式为y ={3800， x ≤19 500x ?5700，x ＞19 (ｘ∈N ) (Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于１9的频率为０．7 ∴n 的最小值为１9 (Ⅲ)①若同时购买１9个易损零件 则这1０0台机器中,有7０台的费用为3800,2０台的费用为4３00，10台的费用为480０ ∴平均数为1 100 (3800×70＋4300×２0+4800×10）＝4000 ②若同时购买20个易损零件 则这100台机器中，有９０台的费用为4000，10台的费用为450０ ∴平均数为1 100（4０00×90＋４500×10０)=4０５0 ∵4000<405０ ∴同时应购买19个易损零件 2.（2０1６全国Ⅱ卷,文1８，1２分)某险种的基本保费为a (单位：元），继续购买该险种的投保 频数 10162024
1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 -.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶 6 该 饮 料 (I) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (U)求中奖人数E 的分布列及数学期望E E (U) ?的可能取值为0, 1, 2, 3 2如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1, T 2, T 3, T 4,电流能通过「，T 2, T 3的 概率都是P ,电流能通过T 4的概率是0.9 .电流能否通过各元件相互独立.已知 T 1, T 2, T 3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 . (U)求电流能在M 与N 之间通过的概率; (川)即示T i , T 2, T 3, T 4中能通过电流的元件个数，求圈的期望. )解： 记A i 表示事件，电流能通过T V I =123,4. A 表示事件：T 1 ,T 2,T 3中至少有一个能通过电流, B 表示事件：电流能在 M 与N 之间通过。 (I )入」瓦瓦瓦,人,人,人相互独立， 又 P(A) =1 -P() =1 -0.999 = 0.001, 故(1 -p)2 =0.001, p =09 (III )由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能通过各元件相互独立 故'~ B(4,0.9) 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 A 、 B 、 C ,那么 25 216 (])求 P ；
3设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购 买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立. (I)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (U)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (川)设?是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求?的分布列及期望. 解：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了. (l)P =0.5 (1—0.6) (1—0.5) 0.6 =0.2 0.3-0.5 (H) P =1 一(1 一0.5)(1 一0.6) =0.8 (m) ?可取0, 1，2, 3. ■的分布列为 4为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司 3 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中4是省外游客，其余是省内游客。 1 2 在省外游客中有3持金卡，在省内游客中有3持银卡。 (I)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； 产产 (II)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E ?。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：(I)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。 设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 36 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是85。 (H) 的可能取值为0，1，2, 3
1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16 ．甲、乙、丙三位 同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么 . 216 25 )65(61)()()()(,6 1 )()()(2=?==??= ==C P B P A P C B A P C P B P A P 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 216 25 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3。 的分布列为 所以中奖人数ξξ. 3,2,1,0,)6 5 ()61()(343===-k C k P k k ξ 0 1 2 3 P 216 125 7225 72 5 216 1 . 21 216137252722512161250=?+?+?+?=ξE 2如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过 T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ； （Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率； （Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望． ）解：
记A 1表示事件，电流能通过.4,3,2,1,1=I T A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过。 （I ）321321,,,A A A A A A A ??=相互独立， .)1()()()()()(3321321p A P A P A P A A A P A P -==??= 又,001.0999.01()1)(=-=-=P A P 故.9.0,001.0)1(2==-p p （III ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。 故)9.0,4(~B ξ .6.39.04=?=ξE 3 设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望． 解：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =?-+-?0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3． 033(0)(10.8)0.008P C ξ==?-= 1 23(1)(10.8)0.80.096P C ξ==?-?= 223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==?-?= 3 33(3)0.80.512P C ξ==?= ξ的分布列为
专题15 概率与统计（解答题） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ ． 【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40 0.8 50 =， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为30 0.6 50 =， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． （2）由题可得 2 2 100(40203010) 4.762 50507030 K ??-? =≈ ??? ． 由于4.762 3.841 >， 故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表． （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） 附：748.602≈． 【答案】（1 ）产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得， 所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为147 0.21100 +=． 产值负增长的企业频率为 2 0.02100 =． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1 (0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100 y = -?+?+?+?+?=， ()52 2 1 1100i i i s n y y ==-∑ 22222 1(0.40)2(0.20)240530.20140.407100 ??= -?+-?+?+?+??? =0.0296， 0.02960.02740.17s ==?≈， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图： 记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．
统计与概率高考真题练习 1.（2014全国1） (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表 示这100件产品中质量指标值为于区间（,）的产品件 数，利用（i ）的结果，求EX . 2.（2014全国2）（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y （Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣． 3.（2015全国1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 x y w 821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑ 563 1469
必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
概率高考试题汇编 课标理数13.K1[2011·福建卷] 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________． 课标理数13.K1[2011·福建卷]【答案】 35 【解析】 从盒中随机取出2个球，有C 25种取法；所取出的2个 球颜色不同，有C 13C 12种取法，则所取出的2个球颜色不同的概率是p ＝C 13C 12C 25 ＝610＝35. 课标文数19.I2，K1[2011·福建卷] 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； (2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所
有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 课标文数19.I2、K1[2011·福建卷]【解答】 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35. 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15. 等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1. 从而a ＝0.35－b －c ＝0.1. 所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1. (2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为： {x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}． 设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为： {x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个． 又基本事件的总数为10， 故所求的概率P (A )＝410＝0.4. 课标数学5.K1[2011·江苏卷] 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________． 课标数学5.K1[2011·江苏卷]13 【解析】 一次随机抽取两个数共
统计与概率高考真题练习 1.（2014全国1） (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . （i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表 示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2） 的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 2.（2014全国2）（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣． 3.（2015全国1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 x r y u r w u r 821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑ 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
【高考真题】 1.【17新课标1，4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π 4 2.【17新课标2，11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回 后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110 B.15 C.3 10 D.25 3.【17天津文】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） . A 45 . B 35 .C 25 . D 15 4.【11新课标6】 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．34 5.【12新课标3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 6.【15新课标1，4】 如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120 7.【16新课标1，3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） （A ）1 3 （B ）1 2 （C ）23 （D ）5 6 8.【15年江苏】 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 9.【16新课标2，8】 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） （A ） 710 （B ）58 （C ）38 （D ）310 10.【17江苏】 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 . 11.【13新课标2，13】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_________． 12.【14新课标1，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 13.【14新课标2，13】甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 14.【16新课标3，5】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一