分数指数幂与指数函数
本节主要学习分数指数幂与指数函数．
1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：
（1）a m a n ＝a m ＋
n ；（2）a m ÷a n ＝a m －
n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ；
（4）（ab ）n
＝a n b n
；（5）（b
a ）n ＝n n
b a 若（b ≠0）．
注意：a 0＝1（a ≠0）、a －
n ＝
n
a 1
（n 为正整数，a ≠0）. 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．
从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6
a ＝a 3＝2
6a ，
12
3
a ＝a 4＝3
12a ．于是我们规定：
（1）n
m
a ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）n
m
a
－＝
n
m a
1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）；
（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．
这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋
s ；（2）（a r ）s ＝a rs ；
（3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数．
3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．
（1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝
21、4
3
等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．
4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．
5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指
数函数的有界性解题． 合作讨论
【问题1】下列各式中正确的是（ ）
A ．n n a ＝a （n ∈N*）
B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）
C ．
np
mp
a
＝n m
a
（n ，m ，p ∈N*） D ．n
m
a
－
＝
m
n
a
1
（m ，n ∈N*，a ＞0）
思考：对于根式n m a 在什么条件下有意义？
【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝（5
1）x ；④y ＝（
2
1）x
．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
例题精析
【例1】化简下列各式： （1）4
1)
0081.0(－－［3×（87）0］－1·［81－0.25
＋31)8
33(－］21－－10×31
027.0；
（2）
3
233
23
1
3
4248a
ab b b a a ＋＋－÷（1－23
a
b
）×3ab ．
【例2】设y l ＝a 3x －
1，y 2＝4
2－＋x x a
（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）
y 1＞y 2．
【例3】比较下列各数的大小：
①5
2
)2(－；②21)23(－；③52
)23(－
－；④3)31(－；⑤54
)3
2(－．
【例4】对于函数y ＝1
22)3
1(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．
【例5】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝1
12
－x ； （2）y ＝1
25
－x ； （3）y ＝2
2)
2
1
(x x －；
（4）y ＝x
9＋2×x
3－1．
【例6】若函数y ＝1
212·－－－x x a
a 为奇函数，
（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．
【例7】已知函数y ＝x （
131－x
＋2
1
）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性； （3）证明它在定义域上恒大于0．
【例8】如果函数y ＝122－
＋x
x a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．
【例9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝
2
1
（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h
t
)2
1
(（T 0－T a ）．现有一杯ο
195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο
75F 的房间中，如果咖啡降温到ο
105F 需20分钟，问欲降到ο
95F 需多少时间？
变式训练： 1．等式
2
2
4＋－x x ＝2
24
4＋－x x 成立的充要条件是（ ）
A ．x ≠－2
B ．x ≥2或x ＜－2
C ．x ≥2
D ．x ＜－2 2．若x
2＝7，y
2＝6，则y
x －4等于（ ）
A ．
4936 B ．67 C ．1214 D ．36
49 3．若4
1
a ＞3
2a ，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．
41＜a ＜32 D ．a ＞3
2
4．若x
)5
3(＞x
)7
5(，则x 的范围是（ ）
A ．0＜x ＜1
B ．x ＞1
C ．x ＜－1
D ．x ＜0 5．下列函数是指数函数的是（ ）
A ．y ＝x
)3(－ B ．y ＝x
3－ C ．y ＝1
23＋x D ．y ＝x
－2
6．下列函数值域是（0，＋ ）的是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝1
22
＋x C ．y ＝
1
21＋x
D ．y ＝1
22－x 7．若a ＝1)32(－＋，b ＝1
)32(－－，则（a ＋1）－
2＋（b ＋1）
－2
的值是（ ）
A ．1
B ．
41 C ．22； D ．3
2
8．若函数y ＝x
a ＋m －1的图象在第一，三，四象限，则（ ）
A ．a ＞1且m ＞1
B ．a ＞l 且m ＜0
C ．0＜a ＜1且m ＞0
D ．0＜a ＜1且m ＜1 9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）
A ．5
B ．9
C ．6
D ．8
10．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝x
a ＋
b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．函数y ＝x
a 与y ＝ax －a 的图象大致是下图中的（ ）
12．在下列等式中，函数f （x ）＝x
2不满足的是（ ） A ．f （x ＋1）＝2f （x ） B ．f （xy ）＝f （x ）＋f （y ） C ．f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ） D ．f （－x ）＝
)
(1
x f
13．若a 2x
＝8，则x
x x
x a
a a a －－＋＋33___________． 14．化简2
15658
)·(b a ÷（354a ）÷53b ＝___________．
15．若函数y ＝（a 2－3a ＋3）a x 是指数函数，则a 的值是___________． 16．函数f （x ）的定义域为［1，4］，则函数f （x
－2
）的定义域为___________．
17．若f （x ）＝x x 2121＋－，f －1
（5
3）则___________．
18．若函数y ＝x
a ＋
b 的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y ＝x
a ＋
b 的值域是___________．
19．（1）函数y ＝332
＋－x
x a （以a ＞0且a ≠1），当x ∈［1，3］时有最小值为8，则a 的值为___________； （2）函数y ＝x
x a 22－（a ＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域
___________．
20．（1）已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|x |的实根个数为___________． （2）关于x 的方程x
)2
1
(＝a
－11
有正根，则a 的取值范围是___________． 21．解下列关于x 的方程： （1）81×x
23＝2
)9
1(＋x ；（2）2
22
＋x ＋3×x
2－1＝0．
22．设f （x ）是定义域为x ∈R 且x ≠0上的奇函数，则当x ＞0时，f （x ）＝x
x
21－．（1）写出x ＜0时f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x ）＜－3
x ．
23．已知函数f （x ）＝1
1
＋－x x a a （a ＞1）。
（1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求出函数的值域；
（3）证明函数f （x ）是（－∞，＋∞）上的增函数．
24．已知函数f （x ）＝
5
3
13
1－
－x x ，g （x ）＝
5
3
13
1－
＋x x ，
（1）证明：f （x ）是奇函数，并求f （x ）的单调区间；
（2）分别计算f （4）－5f （2）g （2），f （9）－5f （3）g （3）的值，由此概括出涉及函数
f （x ）和
g （x ）的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．
答案
问题1：我们知道，如果x n ＝a ，则称x 是a 的n 次方根．若a ＝0时，则x ＝0，即n 0＝0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x ＝n a ，其符号与x 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x ＝士n a ，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A 、C 中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号．如：44
)2(－≠－2和454
3)
2(??－≠
5
3)2(－，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A ，C 不一定成立．一
般地，根式有如下性质： （1）n
n
a ＝)
0()0(||＜＝－a a a
a a
≥??
?（n ∈N*）；（2）（n a ）n ＝a （n ∈N*）．
对于分数指数幂n
m
a 不能理解为有n
m
个a 相乘，我们规定n m
a ＝n m a （a ＞0，m ，n
N*）．
应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D 不成立．因此选B ．
问题2：指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a ）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，
51）、（1，2
1）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y 轴对称．
结论：（1）一般地，指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）与y ＝a －
x （a ＞0且a ≠1）的图
象关于y 轴对称．
（2）在y 轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y 轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）． （3）（有界性）若a ＞1，当x ＞0时，y ＞1当x ＜0时，0＜y ＜1．若0＜a ＜1，当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1．
例1：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如b a
3
2
，
2
－b
a 都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：
①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）； ②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2；
③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．
答案：（1）原式＝0.3－1
－3－1
·（3－1
＋32）21
－－10×0.3＝310－3
1－3＝0；
（2）原式＝
2
313
13
12
313
1)
(2)2()8(a b b b b a a ＋＋－×
3
13
13
12b
a a
－×3
131b a ＝)
8()
8(3
1b a b a a －－×31a ×3
1
31b a ＝a 3b ．
例2：显然需对a 进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a 3x －
1＝4
2－＋x x a
，则3x －1＝x 2＋x －4，解得x ＝3或x ＝－1．
（2）当a ＞1时，a 3x －
1＞4
2－＋x x a
，则3x －1＞x 2＋x －4，解得－1＜x ＜3；
当0＜a ＜1时，4
2－＋x x a
＜a 3x －
1，则3x －1＜x 2＋x －4，解得x ＜－1或x ＞3．
例3：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，
①52
)2(－＝5
22；②21)23(－＝21)23(；③52
)23(－
－＝52
)3
2(；
④3)31(－＝－271；⑤54)32(－＝54
)3
2
(
显然，以0、1为界将五个数分成三类：①5
2
)2(－＞1，④3
)3
1(－＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y ＝x
)3
2(在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．
答案：5
2)2(－＞52
)23(－－＞21)23(－＞54
)3
2
(－＞3)31(－．
点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．
（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y 轴的右侧“右侧底大图高”；在y 轴的左侧“左侧底大图低”．
（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的． 例3：函数y ＝1
22)
3
1
(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u
)3
1
(“复合”而成．
（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x ∈R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u
)3
1
(总有意义，∴定义域为R ；
又由u ≥－2，∴0＜u
)3
1(≤9，∴原函数的值域为（0，9］． （2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，
∴1
)3
1(u ＞2
)
3
1(u ，即y 1＞y 2． ∴函数y ＝1
22)3
1(－－x x 在［1，＋∞］上递减．
同理可得函数y ＝1
22)3
1(－－x x 在（－∞，1）上递增．
点评：形如y ＝)
(x f a
（a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：
（1）定义域与函数定义域相同；
（2）先确定函数u ＝f （x ）的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝u
a （a ＞0，a ≠1）的定义域求得函数y ＝)
(x f a （a ＞0，a ≠1）的值域；
（3）函数y ＝)
(x f a
（a ＞0，a ≠1）的单调性，可以由函数u ＝f （x ）与y ＝u
a （a ＞0，
a ≠1）按照“同增异减”的原则来确定．
从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用．
例4这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法． （1）要使函数有意义，则x －1≠0， ∴x ≠1．∴函数定义域为{x |x ≠1}； ∵x ≠1，1
1
－x ≠0， ∴1
12
－x ≠1，∴函数值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．
（2）∵2x －1≥0，∴函数定义域为{x |x ≥2
1}； ∵2x －1≥0，∴12－x ≥0，∴y ＝1
25－x ≥1．∴函数值域为{y |y ≥1}．
（3）函数定义域为R ； ∵2x －x 2＝－（x －1）2＋1≤1，
∴y ＝22)2
1(x x －≥21
．∴函数值域为{y |y ≥21}．
（4）函数定义域为R ；
令t ＝x
3，则t ＞0，y ＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2，其对称轴为t ＝－1． ∵t ＞0，函数y ＝（t ＋1）2－2单调递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2＞1－2＝－1． ∴函数值域为{y |y ＞－1}．
点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x 复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x R 得t ＞0（即得到内函数的值域B ），然后由t ＞0得到函数值域为{y |y ＞－1}．若（4）中的x ≥1，你还能求出它的值域吗？
例5：先将函数1212·－－－x x a a 化简为y ＝1
21
－－x
a ． （1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即
121－－－x a ＋1
21
－－x a ＝0，∴2a ＋x
x 2121－－＝0，∴a ＝－21． （2）∵y ＝－
21－121－x ，∴x
2－1≠0． ∴函数y ＝－21－1
21
－x 定义域为{x |x ≠0}．
（3）法一：（逐步求解法）∵x ≠0，∴x
2－1＞－1． ∵x
2－1≠0，∴0＞x
2－1＞－1或x
2－1＞0．
∴－
21－121－x ＞21，－21－121－x ＜－2
1
， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－2
1
}．
法二：（利用有界性）由y ＝－21－121－x ≠－2
1，可得x 2＝
2
121
＋
－
y y ．
∵x 2＞0，∴
2121
＋
－
y y ＞0．可得y ＞21或y ＜－21， 即函数的值域{y |y ＞21或y ＜－2
1
}．
（4）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝1211－x －1
21
1－x ＝
)
12)(12(221
22
1－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x
．
∴12x
－22x
＜0，12x －1＜0，22x
－1＜0．
∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－
21－121
－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－1
21
－x 在（－∞，0）上递减．
点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x ＞0时，∵x
2为增函数，∴x
2－1为增函数，121－x 递减，一1
21
－x
为增函数，∴y ＝－
21－1
21
－x 在（0，＋∞）上递增．一般地，函数y ＝f （u ）和函数u ＝g （x ），设函数y ＝f ［g （x ）］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y ＝f （u ）（称外函数）与u ＝g （x ）（称内函数）单调性相同，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y ＝f ［g （x ）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝－f （x ）递减（增）；②若函数y ＝f （x ）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y ＝
)
(1
x f 递减（增）；③若函数y ＝f （x ）递增（减），则y ＝f （x ）＋k 递增（减）． 例6（1）定义域为{x |x ≠0}．
（2）f （x ）－f （－x ）＝x （131－x ＋1
31
－－x ＋1）＝x （1331－－x x ＋1）＝0，
∴f （x ）＝f （－x ）．∴f （x ）是偶函数． （3）当x ＞0时，x
3＞1，∴x
3－1＞0．∴
131－x
＋21＞2
1．
∴x （
131－x ＋2
1）＞21
x ＞0，即当x ＞0时，y ＞0；
当x ＜0时，1＞x 3＞0．∴0＞x
3－1＞－1．∴131－x ＋2
1＜－1．
∴x （131－x ＋2
1
）＞－x ＞0，即当x ＜0时，y ＞0．
综上，f （x ）在定义域上恒大于0．
点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f （x ）－f （－x ）＝0，则f （x ）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋∞），这里运用分类讨论来逐步求解．
例7设t ＝x
a ，则原函数可化为y ＝（t ＋1）2－2，对称轴为t ＝－1． （1）若a ＞1，∵x ∈［－1，1］，∴－1＜a
1
≤t ≤a ． ∵t ＝x a 在［－1，1］上递增， ∴y ＝（t ＋1）2－2当t ∈［
a
1
，a ］时也递增， ∴原函数在［－1，1］上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．
由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5（舍，∵a ＞1）．
（2）若1＞a ＞0，可得当x ＝－1时，y max ＝a －
2＋2a －
1－1＝14，解得a ＝
31或a ＝－5
1
（舍）．综上，a ＝
3
1
或3． 点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．
例8由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即
T ＝h t
)2
1
(（T 0－T a ）＋T a ，
将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t )21(＝75＋120×h t
)21
(．
再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h 20
)2
1
(，解得h ＝10．
∴T ＝75＋120×10)2
1
(t
，
欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．
点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题． 变式练习：
1.若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C ．
2.要熟练逆用幂的运算公式，选D ．
3.利用函数的单调性，选B ．
4.在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题．选D ．
5.符合指数函数定义的是D ，y ＝x
－2
＝x
)2
1
(．
6.利用求值域的逐步求解法，选A ．
7.D 8.B 9.每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B ． 10.A 11.D 12.B 13.将分子分解因式，然后代入可得值为8
57． 14.
3
1
15.2 16.［－2，0］ 17.－2 18.由a ＝2，b ＝1求得y ＝x
2＋1．答案：（1，＋∞） 19.（1）16 （2）{x |x ≥2，或x ≤0} （2，＋∞） {y |y ≥1} 20.利用图象解题．答案：（1）2个 （2）（－∞，0）
21.（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法．令t ＝x
2，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，先解出t 再去解x ，但要注意t ＞0．所以x ＝－2．答案：（1）－2；（2）－2．
22.（1）x ＜0时，f （x ）＝x ·1
22－x x ；
（2）x ＞0时，由f （x ）＝
x
x 21－＜一3x
，解得0＜x ＜2；
x ＜0时，由f （x ）＝x ·122－x x ＜一3x
，解得x ＜－2．
答案：（1）x ·1
22－x x
；（2）0＜x ＜2；（3）x ＜－2．
23.（1）奇函数；
（2）f （x ）＝11＋－x x a a ＝1－1
2
＋x a ，逐步求解得值域（－1，1）；
（3）用增函数定义证明，过程略．
24.（1）函数f （x ）的定义域为（－∞，0）Y （0，＋∞）关于原点对称，由奇函数的定
义可得f （－x ）＝
5
)
()(3
13
1－
－－－x x ＝
5
3
13
1－
－x x ＝－f （x ），
∴f （x ）是奇函数．
当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝51
（311x －312x ）（1＋3
123111x x ）＜0，∴
f （x ）在（0，＋∞）上递增．
∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）在（－∞，0）上也递增．
（2）计算得f （4）－5f （2）g （2）＝0，f （9）－5f （3）g （3）＝0． 由此可以概括出对所有不为零的实数x 都有f （x 2）－5f （x ）g （x ）＝0． （证明略）
答案：（1）略；（2）f （x 2）－5f （x ）f （x ）＝0，证明略． 规律总结
1．对指数幂的运算规律是：由括号的要先算括号内的，没有括号的按照先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；负指数幂要先化为正指数幂的倒数；底数如果是负数，要先定符号，底数是小数要先化成分数，底数是带分数，要化成假分数；根式尽可能化成分数指数幂，便于指数幂运算性质的运用．
2．求由指数函数和其他的函数构成的复合函数的定义域、值域、单调区间时，要注意换元法的使用．
3．判断复合函数单调性时，要注意前面我们总结过的结论的运用．
指数函数与对数函数测试题 一、选择题: 1、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）. A 、m m n n a a a ÷= B 、m n m n a a a ??= C 、()n m m n a a += D 、n n a a -=- 答案：选A 试题解析： 根据同底数指数幂的计算公式. 2、已知(10)x f x =，则(5)f = （ ）. A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 答案：选D 试题解析：令10x t =，由(10),x f x =则()lg f t t =，所以(5)lg5f =. 3、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ）. ① 若12 a <则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =；③若 22log log a a M N =则M N =；④若M N =则22log log a a M N =. A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 答案：B 试题解析：①：如果M=N<0，则log ,log a a M N 无意义，错误. ②：正确. ③：由22log log a a M N =，有可能M=-N ，错误. ④：正确. 4、如果log 5log 50a b >>，那么a 、b 间的关系是 （ ）. A 、01a b <<< B 、1a b << C 、 01b a <<< D 、1b a << 答案：选B 试题解析：因为log 5log 10b b >=,所以函数log b y x =是增函数，即1b > 由 lg 5 log 5lg log 1log ,1,1lg 5log 5 lg a a a b a b a a b a b ==>=>∴>>Q . 5、函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ）. A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞
指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51 ）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 11.已知三个实数a,b=a a ,c=a a a ,其中0.9 4.1实数指数幂习题 练习4.1.1 1、填空题 （1）64的3次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （3）38的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 2、将根式转化为分数指数幂的形式，分数指数幂转化为根式 （1）将根式写成分数指数幂的形式 （2）将分数指数幂写成根式的形式 （3）将根式写成分数指数幂的形式 参考答案： 1、（1）4,3,64（2），4,12（3），2,8 2、(1) (2) (3) 练习4.1.2 1计算: 2、化简： 3、计算： 参考答案： 1、 2、 3、 练习4.1.3 1、指出幂函数y=x4和y=x的定义域，并在同一个坐标系中作出它们的图像 2、用描点法作出幂函数y=x的图像并指出图像具有怎样的对称性 3、用描点法作出幂函数y=x4的图像并指出图像具有怎样的对称性 参考答案： 2、略，关于原点对称 3、略，关于y轴对称 4．2指数函数习题 练习4.2.1 1、判断函数y=4x的单调性． 2、判断函数y=0.5x的单调性 3、已知指数函数f(x)=a x满足条件f(-2)=0.25，求a的值 参考答案： 1、增 2、减 3、2 练习4.2.2 1．某企业原来每月消耗某种原料1000，现进行技术革新，陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量与所经过月份数的函数关系。 2．安徽省2012年粮食总产量为200亿kg．现按每年平均增长10．2%的增长速度．求该省2022年的年粮食总产量(精确到0.01亿kg)． 3．一台价值10万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元 参考答案： 1、y=1000(1-10%)x 2、y=200(1+10．2%)10 3、10(1-8%)20 4.3 对数习题 练习4.3.1 1、2的多少次幂等于8？ 2、3的多少次幂等于81？ 3、将对数式写成指数式 参考答案： 1、3 2、4 ！ 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x . （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 2 1- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21 ）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） ) 分数指数幂 课时目标 1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化； 2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算； 知识精要 1. 分数指数幂 把指数的取值范围扩大到分数，规定： (0)m n a a =≥m n a - =(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >. m n a 和m n a -叫做分数指数幂，a 是底数. 注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质 设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a = （3）(),()p p p p p p a a ab a a b b == 4. 分数指数幂的运算 （1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算. （2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根. 热身练习 1. 把下列方根化为幂的形式 （1 （2） （3 解：原式132= 解：原式1310=- 解：原式14 5=± （4） （5 （6 解：原式13(7)=-- 解：原式=31a - 解：原式12 ()a =- 说明：根据1 n a =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算 （1）131()27- （2）2 3 8()27 （3）121()16- 解：原式13=- 解：原式49= 解：原式1 4=- （4）0.57 (1)9 （5）1 2(32) （6）31 21)64( 解：原式4 3= 解：原式= 解：原式=2 3. 计算 （1）1 38()27 （2）21331010? （3）11 2228? 解：原式=3 2 解：原式=10 解：原式=4 1．给出下列结论： ②n a n＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)； ④若2x＝16,3y＝1 27，则x＋y＝7. 其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．②④答案 B 解析 ∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝1 27，∴y＝－3. ∴x＋y＝4＋(－3)＝1，故④错． 2．函数y＝16－4x的值域是() A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 答案 C 3．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是() A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对 答案 C 解析f(x)＝(1 3) x－1， ∵(13)x >0，∴f (x )>－1. 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 答案 D 解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5， ∵y ＝2x 在定义域内为增函数，∴y 1>y 3>y 2. 5．函数f (x )＝a x －b 的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．00，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(1，＋∞) D ．R 答案 B 8．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112 B ．0 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 分数指数幂的运算 2.1.1.2 分数指数幂的运算 一、内容及其解析 （一）内容：分数指数幂的运算。 （二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。 二、目标及其解析 （一）教学目标 1．理解分数指数幂的概念； 2．掌握有理指数幂的运算性质； （二）解析 1．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整 数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念； 2．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。 四、教学过程设计 1、导入新课 同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 （1）整数指数幂的运算性质是什么？ （2）观察以下式子，并总结出规律： ①； ②； ③； ④ . 2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数 （含答案） 学校： __________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．若函数f(x)=21 2 log ,0,log (),0x x x x >?? ?-f(-a),则实数a 的取值范围是（ ） （A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）（2010天津理8） 2．若点(),a b 在lg y x =图象上，1a ≠，则下列点也在此图象上的是（ ） （A ）1,b a ?? ??? （B ）()10,1a b - （C ）10,1b a ?? + ??? （D ）)2,(2b a （2011安徽文5） 3．对实数a 与b ，定义新运算“?”：,1, , 1.a a b a b b a b -≤??=? ->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则 实数c 的取值范围是（ ）(2011年高考天津卷理科8) A ．(]3,21, 2? ?-∞-?- ??? B ．(]3,21,4? ?-∞-?-- ??? C ．11,,44???? -∞?+∞ ? ????? D. 4 ． 已 知 0, a a >≠，则 l a a 等于 ( ) A ．2 B ． 1 2 C ． D ．与a 的具体数值有关 5．若函数()|21|x f x =-,当a b c <<时,有()()()f a f c f b >>,则下列各式中正确的是( ) A.22a c > B.22a b > C.222a c +< D.2 2a c -< 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 6．方程lg(42)lg 2lg3x x +=+的解x = . 7．函数x y a log =和)1,0(log 1≠>=a a x y a 的图象关于 对称. 8．3)72.0(-与3)75.0(-的大小关系为_____________ 9．比较下列各组值的大小； （1）3 .02 2,3.0； （2）5 25 2529.1,8.3,1.4- . 10．函数)0(1 21 )(≠+-= x a x f x 是奇函数,则a = . 311,,44???? --?+∞ ?? ????? 课 题 实数的运算与分数指数幂 教学目标 1、掌握分数指数幂的运算公式和性质； 2、同底数幂的运算法则，幂的乘方以及积的乘方； 3、掌握实数的混合运算. 教学内容 一、课前知识检测 1．4的平方根是（ ） Ａ．２ Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．4 2．7-的立方根用符号表示是（ ） Ａ．3 7-± Ｂ．37 Ｃ．37- Ｄ．3 7-- 3．下列说法正确的是（ ） Ａ．()483 2 -=-- Ｂ． 6427 的立方根是4 3 ± Ｃ．125-没有立方根 Ｄ．立方根等于它本身的数是0和1 4．27-的立方根与9的平方根的和是（ ） Ａ．0 Ｂ．6 Ｃ．6- Ｄ．0或6- 5．如果 ( ) 012552 =-x ，那么x 等于（ ） Ａ．5± Ｂ．5 Ｃ．25 Ｄ．25- 6．在实数1.414，23， 3030030003 .0,3 41 ，4π -，3 216，2 131?? ? ??--中，无理数的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 7．下列说法：①无理数包括正无理数、零、负无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限不循环小数； ④有理数、无理数统称实数。其中正确说法得我个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4。 二、填空题 8．16的平方根是 ，算术平方根是 。 9．一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。 10．若53-=x ，则=x ，若，52 =x 则=x 11．满足73 x -的所有整数x 是 。 12．用“ ”“≤”或“＝”连接 1_______3 16, 6______27, 43_____34+。 13．当x 时，x 32-有意义；当x 时，3 52+x 有意义。 14．数轴上的点与 一一对应。 15．将坐标平面上的点( ) 2,5-A 向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度后，A 点的坐标为 。 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 10．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ） 高中数学实数指数幂及其运算测试题（有答案）第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 【目标要求】 1．理解根式的概念。 2．理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。3．掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。 4．掌握用计算器计算有理指数幂的值。 【巩固教材稳扎马步】 1．下列说法中正确的是() A.-2是16的四次方根 B.正数的次方根有两个 C. 的次方根就是 D. 2．下列等式一定成立的是() A． =a B． =0C．（a3）2=a9D. 3. 的值是（） A. B. C. D. 4.将化为分数指数幂的形式为( )[ A． B． C． D. 【重难突破重拳出击】 5.下列各式中，正确的是（） A． B． C ． D． 6.设b 0,化简式子的结果是（） A.a B. C. D. 7.化简［3 ］的结果为 () A．5 B． C．－ D.－5 8.若，则等于 ( ) A．2 －1 B．2－2 C．2 +1 D. +1 9. 成立的充要条件是（） A. 1C.x＜1 D.x2 10.式子经过计算可得到() A. B. C. D. 11.化简 (a＞0，c＜0 的结果为() A. B．－ C．－ D. 12.设x0, 等于（） A． B．2或-2C．2D．-2 【巩固提高登峰揽月】 13.计算0．027 －（－）－2+256 －3－1+（－1）0=__________． 14.化简 =__________． 【课外拓展超越自我】 15.已知求的值． 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10[ 11 12 答案 D D A A D A B A D D B C 13.1914. 15.解：由可得x+x－1=7 =27 =18， 故原式=2 教学设计：《分数指数幂》 一、教学目标 〖知识与技能〗 （1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教学情景设计 1、复习讨论 （1）根式的相关概念 （2）整数指数幂：a a a a n ???= 运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1(t P =，考古学家 根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为 21，2)21(，3 )2 1(，…… 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000 )21(， 573010000 )21(，5730 100000 )2 1 (。 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322?？ 分析：6623626 3332222222=?=?= ?，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单 化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？ 高一必修①指数与指数函数试题归纳精编 沈阳市同泽高级中学 谷凤军 2007年10月15日 （一）指数 1、化简［32)5(-］43 的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．21 2- B ．31 2- C ．2 12 - - D ．65 2- 3、化简 4 21 61 3 2 33 2 ) b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ． a b B ．ab C ． b a D ．a 2 b 4、化简11111321684 2 1212121212-----?????????? +++++ ? ? ? ? ????? ??????，结果是（ ） A 、1 1 32 1122--??- ? ?? B 、1 132 12--??- ? ?? C 、132 12 -- D 、1 32 1122-??- ??? 5、13 256 ) 7 1(027 .01 4 3 2 3 1+-+- ---- =__________． 6、 3 21 1 3 2132 ) ( - ---÷a b b a b a b a =__________． 7、48 373) 27102 (1 .0)9 7 2(0 3 22 21 + -++- -π =__________。 8、)3 1 ()3)((65 61312121 32 b a b a b a ÷-=__________。 9 、4 1 6 0.25 3 2164 8 200549 - +-- --（）（） =__________。 10、已知),0(),( 2 1>>+ = b a a b b a x 求 1 22 -- x x ab 的值。 11、若32 12 1 =+-x x ，求 2 32 2 2 323 -+-+-- x x x x 的值。 （二）指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 3、若21025x =，则10 x -等于 （ ） A 、 15 B 、15 - C 、 150 D 、 1625 4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ） 七年级数学测试卷（第三周 ） 一、选择题（2′×6=12′） 1、在π-，7 1 ，??-401.2，5，3-，0.1010010001…中，负无理数有（ ）。 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个。 2、下列说法中，正确的是（ ） A 、25的平方根是5±； B 、m 的平方根是m ±； C 、 811的四次方根是3 1 ±； D 、59-无意义。 3、下列各式中，正确的是（ ） A 、416±=； B 、283 ±=； C 、 ( ) 42 4 =-； D 、 ( ) 88 5 5 -=-。 、如果()k k -=-3333 ，那么k 的取值范围是（ ） A 、k 为任意实数； B 、3≥k ； C 、3≤k ； D 、30≤≤k 。 5、下列说法中正确的个数有（ ） ①12-与12+互为倒数； ②若0=+b a ，则a 与b 互为相反数； ③若10的小数部分是b ，则310-=b ； ④任何实数的绝对值总是正数。 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个。 6、把25096用四舍五入的方法保留3个有效数字的近似值为（ ） A 、41050.2?； B 、251； C 、25100； D 、41051.2?。 二、填空题（2′×12=24′） 7、0.0016的平方根是 。 8、343-的立方根是 。 9、如果a 的平方根是3±，那么=a 。 10、如果9122 =-x ，则=x 。 11、0.03010精确到 位，有 个有效数字。 12、37-的相反数是 ，绝对值等于7的数是 。 13、比较大小：310 14、点A 在数轴上所表示的数为1-，若3=AB ，则点B 在数轴上所表示的数为 。 数学学科导学案 教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题分数指数幂 学情分析 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重． 教学目标理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂的运算方法. 教学重点分数指数幂的运算 考点分析分数指数幂的化简、求值是常考题型. 教学方法讲授法、训练法 学习内容与过程 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这 时，a的n次方根用符号n a表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－ n a表示．正负两个n次方根可 以合写为±n a(a＞0)． 注：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ③? ????n a n ＝a . ④当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝ |a |＝????? a a ≥0 －a a ＜0 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N * )； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)； ③负整数指数幂：a －p ＝1 a p (a ≠0，p ∈N *)； ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q ) ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 指数幂的化简与求值 【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)． 指数函数与对数函数单元测试（含答案） 一、选择题： 1、已知f (10x ) x ，则 f (5) （） A、105 B、510 C、lg10 D、lg 5 2、对于a 0, a 1 ，下列说法中，正确的是（） ①若 M N 则log a M log a N ；②若 log a M log a N 则M N ； ③若 log a M 2 log a N 2 则 M N ；④若 M N 则log a M2 log a N 2 。 A、①②③④ B、①③ C、②④ D、② 3、设集合S { y | y 3x, x R}, T { y | y x2 1, x R} ，则S I T 是（） A、B、T C、S D、有限集 4、函数y 2 log 2 x( x 1) 的值域为（） A、2, B、,2 C、2, D、3, 5、设y140.9, y280.48, y3 1 2 1.5 ，则（） A、y3 y1 y2 B、y2 y1 y3 C、y1 y3 y2 D、y1 y2 y3 6、在b log (a 2) (5 a)中，实数a的取值范围是（） A、a 5或 a 2 B、2 a 3或 3 a 5 C、2 a 5 D、3 a 4 2 lg5 2 lg5 等于（） 7、计算lg 2 2lg 2 A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 8、已知a log 3 2 ，那么 log 3 8 2log 3 6 用 a 表示是（） A 、 5a 2 B 、 a 2 C 、 3a (1 a) 2 D 、 3a a 2 1 9、若 102 x 25 ，则 10 x 等于（ ） A 、 1 B 、 1 C 、 1 D 、 1 5 5 50 625 10、若函数 y (a 2 5a 5) a x 是指数函数，则有（ ） A 、 a 1 或 a 4 B 、 a 1 C 、 a 4 D 、 a 0，且 a 1 11、当 a 1 时 , 在同一坐标系中 , 函数 y a x 与 y log a x 的图象是图中的（ ） 12、已知 x 1 ，则与 1 1 1 相等的式子是（ ） + log 4 x + log 3 x log 5 x A 、 1 B 、 1 C 1 D 、 12 log 60 x log 5 x 、 log 4 x log 5 x log 3 x log 4 x log x 60 log 3 x 13、若函数 f (x) log a x(0 a 1) 在区间 a,2 a 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值为（ ） A 、 2 B 、 2 C 、 1 D 、 1 4 2 4 2 14、下图是指数函数（ 1） y x ，（ 2） y b x ，（3） y c x x ，（ 4） y d x x 的图象，则 a a 、 b 、 c 、 d 与 1 的大小关系是（ ） A 、 a b 1 c d B 、 b a 1 d c y (1) (2) (3) (4) 1 C 、 1 a b c d D 、 a b 1 d c O x 15、若函数 y ( 1 ) |1 x| m 的图象与 x 轴有公共点， 2 则 m 的取值范围是（ ） 分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ?? ?=为偶数为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1 =- （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 【典型例题】 例1、当0>a 时 ①5102552510)(a a a a ===②3124334312)(a a a a === ③323332 32)(a a a ==④21221)(a a a == 根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式()0>x . (1)721x (2) 416x (3) 93x (4) 126x 例2、求值： 43 32132)8116(,)41(,100 ,8---. 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式： a a a a a a ,,3232?? (式中0>a ) 4、计算：[].01.016)2()87() 064.0(2175.0343031-++-+----- 例5、化简：（1）52932232(9)(10)100- （2）322322+- （3） a a a a 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式（0>a ) 3 2 53 4351 ,,,--a a a a 2、求下列各式的值： (1)2325 （2）3227 （3）23)49 36( （4）23)425(- （5）423 981? （6）63125.132?? 3. 用分数指数幂表示下列各式：（其中各式中的字母均为正数） 指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2 第三章基本初等函数（Ⅰ） 3.1指数与指数函数 3.1.1有理指数幂及其运算 【目标要求】 1． 理解根式的概念。 2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。 3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。 4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。 【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是() A.-2是16的四次方根 B.正数的次方根有两个 C.的次方根就是 D. 2．下列等式一定成立的是() A ．2 33 1a a ?=a B ．2 12 1a a ?-=0C ．（a 3）2=a 9 D.6 13121a a a =÷ 3.4 31681-?? ? ??的值是（） A. 278 B.278- C.23D.2 3- 4.将322-化为分数指数幂的形式为() A ．2 1 2- B ．3 12-C ．212- - D.6 52- 【重难突破——重拳出击】 5.下列各式中，正确的是（） A ．100 =B ．1)1(1 =--C ．7 4 4 71 a a = - D ．5 3 5 31 a a = - 6.设b ≠0,化简式子()()() 6 153 122 2 133 ab b a b a ??--的结果是（） A.a B.()1-ab C.1-ab D.1-a 7.化简［32 )5(-］4 3的结果为() A ．5 B ．5 C ．－5 D.－5 8.若122-=x a ，则x x x x a a a a --++33等于() A ．22－1 B ．2－22C ．22+1 D.2+1 9. 1 2 1 2 --=--x x x x 成立的充要条件是（） A. 1 2 --x x ≥0B.x ≠1C.x ＜1D.x ≥2 10.式子经过计算可得到() A. B. C. D. 11.化简44 2 5168132c b a a c (a ＞0，c ＜0)的结果为() A.±42ab B ．－42ab C ．－2ab D.2ab 12.设x>1,y>0,y y y y x x x x ---=+则,22等于（） A ．6B ．2或-2C ．2D ．-2 【巩固提高——登峰揽月】 13.计算0．0273 1-－（－7 1 ）－2+25643 －3－1+（2－1）0=__________．职高数学第四章指数函数对 数函数习题及答案
指数与指数函数练习题及答案
(精品)数学讲义3分数指数幂(教师)
指数函数练习题(包含详细答案)
(完整版)指数和指数函数练习题及答案
分数指数幂的运算
最新《指数函数和对数函数》单元测试测试题(含参考答案)
初一数学实数运算与分数指数幂
指数与指数函数练习题及答案
高中数学实数指数幂及其运算测试题(有答案)-word文档
《分数指数幂》教学设计
指数与指数函数练习试题精选
分数指数幂测试题
分数指数幂运算
指数函数及对数函数测试卷试题包括答案解析.doc
分数指数幂的运算
高中数学必修一指数与指数函数练习题及答案基础题
高中数学实数指数幂及其运算测试题
相关主题
文本预览