二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
2009级研究生《数值分析》试卷 一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x y y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由 统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限 )(u ε和相对误差限)(u r ε. 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f . 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12 1 )]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈?的代数精 度. 四.(12分) 已知函数122)(2 3 -++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间 },,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式. 其中,权函数1)(=x ρ,15 4 ))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ???. 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件: (1) 填写均差计算表(标有*号处不填): (2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.
(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分) (1). 用Romberg 方法计算?3 1 dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填). (2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式?∑-=≈1 1 2 )()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数 k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ?3 1dx x . 七.(14分) (1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5 110||-+<-k k x x ). 八. (12分) 用追赶法求解方程组: ???? ?? ? ??=??????? ????????? ??022112111131124321x x x x 的解. 九. (12分) 设求解初值问题???==0 0)() ,('y x y y x f y 的计算格式为: )],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法 k k x x cos 3 2 41+=+ (1) 证明对R x ∈?0,均有*lim x x k k =∞ →,其中*x 为方程的根. (2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。 ??? ??=++-=++=-+. 022,1, 122321 321321x x x x x x x x x 三、（8分）若矩阵??? ? ? ??=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。（范数用∞?） 四、（ 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据
为 已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 [ ] dx x b ax b a I 2 1 1 2 ),(?--+= 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式： ?? ? ? ???=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(, 1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 ? -+≈1 1 2211)()()(x f A x f A dx x f 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 ?=2 11 dx e I x 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法： ??? ? ??? ++==++=+) ,() ,()2 121(1 21211 hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
太原科技大学 2008级硕士研究生08/09学年第一学期 《数值分析》考试试卷 说明：1、Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式： ?? ?? ???=+-++===-+ ,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 2、Chebyshev 多项式)(x T n 有三项递推关系式： ?? ? ??=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n 一、填空题：（每题4分，共20分） 1、设??? ? ??-=1511A ，则=∞)(A Cond 2、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将 x x sin cos 1-改写为 3、设)5()(2 -+=x a x x ?，要使)(1k k x x ?=+局部收敛到5* = x ，则a 的取值范围为 4、近似数235.0* =x 关于真值229.0=x 有 位有效数字。 5、设,1)(3 -+=x x x f 则差商=]3,2,1,0[f 二、（本题满分10分）用数值积分的方法建立求解初值问题b x a y a y y x f y a ≤≤==',)(),,(的Simpson 公式： )4(3 1111-+-++++=n n n n n f f f h y y 其中1,,1),,(+-==n n n i y x f f i i i ，11-+-=-=n n n n x x x x h . 三、（本题满分15分）设要用Gauss-Seidel 迭代法求解下列线性方程组
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
昆明理工大学2010级硕士研究生考试试卷 （注：考试时间150分钟；所有答案，包括填空题答案一律答在答题纸上，否则不予记分。） 一、 填空（每空2分，共24分） 1．近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。 2．设7 4 ()431f x x x x =+++，则017[2,2,......2]f = ，018 [2,2,......2]f = 。 3．设4()2,[1,1]f x x x =∈-，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为 。 4．1234A ??=??-??，1A = ，A ∞= ，2A = 。 5．210121012A -????=-????-?? ，其条件数2()Cond A = 。 6．2101202A a a ????=?????? ，为使分解T A L L =?成立（L 是对角线元素为正的下三角阵），a 的取 值范围应是 。 7．给定方程组121 122 ,x ax b a ax x b -=?? -+=?为实数。当a 满足 且02ω 时，SOR 迭代法收敛。 8．对于初值问题/ 2 100()2,(0)1y y x x y =--+=，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是 。 二、 推导计算 （15分）
（小数点后至少保留5位）。（15分） 3．确定高斯型求积公式 01 1010 ()()(),(0,1)f x d x A f x A f x x x ≈+ ∈? 的节点01,x x 及积分系数01,A A 。（15分） 三、 证明 1． 在线性方程组AX b =中，111a a A a a a a ?? ??=?????? 。证明当112a - 时高斯-塞德尔法 收敛，而雅可比法只在11 22 a - 时才收敛。 （10分） 2． 给定初值02 0, x a ≠以及迭代公式 1(2) ,(0,1,2...., 0) k k k x x a x k a +=-=≠ 证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分） 3． 试证明线性二步法 212(1)[(3)(31)]4 n n n n n h y b y by b f b f ++++--=+++ 当1b ≠-时，方法是二阶，当1b =-时，方法是三阶的。（14分）
昆明理工大学2012级硕士研究生试卷 科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号： 考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。 一、 填空题（每空2分，共40分） 1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差限 为 。 2．设 133)(47+++=x x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。 3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为 )(2x L = ， 并计 算=)0(2L 。 4．设 32()3245f x x x x =+-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ， 最佳二次平方逼近多项式为 。 5．高斯求积公式 )()()(1101 0x f A x f A dx x f x +≈? 的系数0A = ， 1A = ，节点0x = ， 1x = 。 6．方程组 b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx x k k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵， =Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。 7．0 0100A ??? =? ???，其条件数2()Cond A = 。 8．设?? ? ???=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。
9．求方程 ()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 10．对矩阵??? ? ? ??=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。 二、计算题（每题10分，共50分） 1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p ,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分 dx e x ? 1 ，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过 5102 1 -?? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。 3. 线性方程组b Ax =，其中???? ??????=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ? 4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并 计算最小二乘法的误差。 5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022=+=y y x dx ，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位） 。 三、证明题（共10分） 1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角 阵。
1 I(a,b) 2 ax 2 b x dx 2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： ________ 学号： ________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15分）设求方程12 3x 2cosx 0根的迭代法 / 2 X ki 4 cosx k 3 （1） 证明对X o R ,均有lim X k x *,其中X *为方程的根. k （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论. 二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。 x 1 2x 2 2x 3 1, X 1 X 2 X 3 1, 2x 1 2x 2 x 3 0. 0 0a 非病态的。（范数用HI ） 求f （X ）的Hermite 插值多项式H 3（x ），并给出截断误差R （x ） f （x ） H 3（x ） 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （T ）的试验数据为 已知经验公式的形式为 y ax bx 2，试用最小二乘法求出 a ， b 、（8分）若矩阵A 2a a 0 0 a 0，说明对任意实数a 0，方程组AX b 都是 四、（15六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
、（15分）设求方程 12 3x 2cosx 0根的迭代法 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre 勒让德）正交多项式L n （x ）有递推关系式: L o (x) 1, L i (x) x (n 1, 2,) 试确定两点的咼斯一勒让德（G — L ）求积公式 1 1 f （x ）dx 入仁花）A 2f （x 2） 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 1 2 一 e x dx 1 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值冋题 dx f （x,y ）的单步法: y （x 。） y 。 1 1 y n 1 y n h(?k 1 - k 2) k 1 f(X n ,y n ) k 2 f(X n h, y n hkj （1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。 2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。 X 1 2x 2 2x 3 1, X 1 X 2 X 3 1, 2x 1 2x 2 x 3 0. L n 1(X ) 2n 1 n 1 xL n (x) L n 1（X ）
一、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 . 2.设一阶差商 ()()()21122114 ,321f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332 615 ,422f x f x f x x x x --= = =-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x =11/6 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。p49 4. 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01 x =， 那么 1______x =。 1.5 5．解初始值问题 00 '(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 ()()[]11,,2 ++++k k k k k y x f y x f h y 6、 1151A ??= ? -??，则A 的谱半径 ＝ 6 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则 []12,,n n n f x x x ++= —————— ————3 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= _______________0_____ 。 8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ） ___。
数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
3 97 3 97 3 97 * * 1 x 合肥工业大学研究生考试试卷(A) 课程名称 数值分析 考试日期 学院 2014 级研究生 姓名 年级 班级 学号 得分 一、填空题 (每空 2 分，满分 20 分) 1. 设 f ( x ) = 6 x 2014 - 5x 2012 + 7 ，则差商 f [1, 2, , 2015] = 6 . ≤ 1 2a 1 ?10-l +1 = 1 2 ? 4 ?10-l +1 ≤ 0.01% = 10-4 , 6 分 2. 设函数 f (0.9) = -1.2178, f (1) = -1, f (1.1) = -0.6018 , 用三点数值微分公式计算 f '(1) 的近似值为 3.08 , f ' (1) 的近似值为 18.04 . 解得l ≥ 5 - lg8 ≈ 5 - 0.903 = 4.097 . 故取l = 5 ，即 x * 至少应具有 5 位有效 T ?-2 3 ? 3. 设 x = (2, 5, - 7, 3) ， A = ? ? ，则 2 ， Cond( A )1 = 36 . 数字。 8 分 ? 4 -5? ?-10 x - 4 x + x = -1, ? 1 2 3 4. 函数 f ( x ) 以 0, 1, 2 为节点的二次 Lagrange 插值多项式 p ( x ) = 三、(本题满分 12 分) 已知线性方程组?2 x 1 + 10 x 2 - 7 x 3 = 2, (x -1)(x - 2) (x - 0)(x - 2) (x - 0)(x -1) . ??3x + 2 x + 10 x = 3. f (0) + f (1) + f (2) 1 2 3 (0 - 1)(0 - 2) (1 - 0)(1 - 2) (2 - 0)(2 - 1) 5. 设 S 是函数 f 在区间[0, 2] 上的三次样条： (1) 写出求解上述方程组的 Gauss –Seidel 迭代格式。 (2) 写出求解上述方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵 B J . ?1 + 2 x - x 3 , 0 ≤ x ≤ 1, S ( x ) = ? (3) 计算范数 B J ∞ ，判断上述 Jacobi 迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到 ?2 + b ( x - 1) + c ( x - 1) 2 + ( x - 1)3 , 1 ≤ x ≤ 2, 精度 = 10 ，Jacobi 迭代法所需的迭代步数；取初值 x 0 = (0, 0, 0)T . 则 b = -1 ， c = -3 . 6. 四阶 Runge-Kutta 方法的局部截断误差是 O (h 4 ) ，其整体截断误差是 O (h 5 ) . 解 (1) 求解上述方程组的 Gauss –Seidel 迭代格式为 ?x (k +1) = 1 (-4x (k ) + x (k ) - 1) , ? 1 10 2 3 ?x (k +1) = 1 -2x (k +1) + 7x (k ) + 2 , 4 分 二、(本题满分 8 分) 要使 的近似值 x 的相对误差的绝对值不超过 0.01% ，求 x 至 ? 2 10 ( 1 3 ) ? ?x (k +1) = 1 ( -3x (k +1) - 2x (k +1) + 3) . 少应具有几位有效数字？ 解 设 x * 至少应具有 l 位有效数字. 因为 4 < < 5 , 所以 的第一个 ? 3 10 1 2 (2) 因为原方程组的系数矩阵 非零数字是 4，即 x * 的第一位有效数字a = 4 ， 2 分 ?-10 -4 1 ? ?0 0 0? ?-10 0 0 ? ?0 -4 1 ? 根据题意及定理 1.2.1 知， A = ? 2 10 -7? = ?2 0 0? + ? 0 10 0 ? + ?0 0 -7? = L + D + U ， ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 2 10 ?? ??3 2 0?? ?? 0 0 10?? ??0 0 0 ?? - 4 2 87 3 97 - x x * * 装订线 =
数值分析（研究生，2008-12-15） （ 分）求函数???≤≤++<≤-+=1 0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间?? ， 上的最佳平方逼近式 x e a x a a x 210)(++=φ。 ．（ 分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量 ???? ??????----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的 条件数和谱条件数。
（ 分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。用????????插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
（ 分）用??????迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（ ，2 π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
?（ 分）用??◆????????●迭代法解方程组 ?????? ????-=????????????????????---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T x =，估计达到 位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
? （ 分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ?????=-+=-+. 12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210 -=ε。 （ 分） 求解矛盾方程组 ???????=++=++=++=++2 32328 .12221 321321321321x x x x x x x x x x x x
++中的待定系数 A f (1)(0)
武汉理工大学研究生课程考试标准答案 用纸 课程名称：数值计算（A）任课教师： 一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 3.14159265358979的近似值 绝对误差和相对误差分别是多少？ 3分）
2分） 2.已知()8532f x x x =+-，求01 83,3, ,3f ????，019 3,3,,3f ????. (5分） 3.确定求积公式 1 0120 ()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++? 中的待定系数，使其代 数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。 解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,, , m f x x x =使积分公式对尽可能 大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。 由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A = 解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分） 此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求
积公式的最高代数精度为2次。 (2分） 4.求矩阵101010202A -?? ??=?? ??-?? 的谱半径。 解 ()()1 01 01 0132 2 I A λλλλλλλ--= -=--- 矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分） 5. 设10099,9998A ?? = ??? 计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞. 解：** 1 9899-98999910099-100A A A A --????=?== ? ?-?? ?? 矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则 1222 ()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=?==(2分） 1 ()199******** cond A A A -∞∞ ∞ = ?=?= (3分） 二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）
数值分析（研究生，2008-12-15） 1.（10分）求函数???≤≤++<≤-+=1 0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式 x e a x a a x 210)(++=φ。 2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量 ???? ??????----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,3 4.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2 π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组 ?????? ????-=????????????????????---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T x =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ?????=-+=-+. 12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。 7.（10分） 求解矛盾方程组 ???????=++=++=++=++2 32328.12221321321 321321x x x x x x x x x x x x
2012数值分析试卷答案
昆明理工大学2012级硕士研究生试卷 科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。 一、 填空题（每空2分，共40分） 1．设* 0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差 限为 。 2．设133)(4 7 +++=x x x x f ，则=]2,,2,2[7 1 Λf ，=]2,,2,2[8 1 Λf 。 3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为)(2x L = ， 并计 算=)0(2L 。 4．设3 2 ()3245f x x x x =+-+在 []1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ， 最佳二次平方逼近多项式为 。 5．高斯求积公式 )()()(1101 0x f A x f A dx x f x +≈? 的系数0A = ， 1A = ，节点0x = ，1x = 。 6．方程组 b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx x k k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，=Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。
7．0 22010 02 2A ??? =? ???，其条件数2()Cond A = 。 8．设?? ? ???=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。 9．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 10．对矩阵??? ? ? ??=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。 二、计算题（每题10分，共50分） 1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满 足:1)1(,0)0(,0)0(' ===p p p ,1)1(,' =p ,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分 dx e x ? 1 ，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过 5102 1 -?? 若改用复合辛普森公式， 要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。 x 0 0.25 0.5 0.75 1 x e 1 1.28 1.64 2.11 2.71 3. 线性方程组b Ax =，其中???? ??????=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=， （1）建立雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ? 4. 已知如下实验数据4,,1,0),,(Λ=i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并计算最小二乘法的误差。