分枝定界法的步骤
分枝定界法是一种求解组合优化问题的方法，其步骤如下：
1. 确定问题的目标函数以及约束条件：首先需要明确问题的目标函数是什么，以及有哪些约束条件需要满足。
2. 构造初始问题：根据问题的要求，构造一个初始问题，并计算初始问题的目标函数值。
3. 分枝：在初始问题的基础上，对其中的某个变量（或几个变量）进行分枝操作。将问题划分为多个子问题，每个子问题代表了某个变量取值的一个分支。
4. 计算下界：对于每个子问题，计算出一个下界值。下界值是一个目标函数值的估计，它不会高于目标函数的最小值。
5. 判断分支：根据计算出的下界值，选择一个最有希望的子问题进行分支，即选择一个下界值最小的子问题。
6. 回溯：从步骤5选择的分支开始，回溯到父问题，跳过部分分支。
7. 重复：重复步骤3到步骤6，直到找到一个满足问题要求的解，或者找到一个可行解的上界值。
8. 定解：通过进一步确定上界值，并进行剪枝操作，选择最优解。
9. 输出：输出最优解及其对应的目标函数值。
需要注意的是，分枝定界法的关键在于如何计算下界值和进行剪枝操作，以减少问题的搜索空间。常用的技巧有线性规划松弛、最小生成树、割集等。
python 分支定界法 分支定界法是一种在计算机科学中常用的问题求解方法，特别适用于解决搜索问题。它通过将问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行进一步的划分和求解，以最终找到问题的解。 在分支定界法中，首先需要定义问题的状态空间和目标函数。状态空间是指问题的所有可能解的集合，而目标函数是用来评估每个解的优劣程度的函数。然后，通过将问题划分为子问题，对每个子问题进行求解，找到一个可行解。在求解过程中，通过比较每个可行解的目标函数值，筛选出优质的解，并记录下来。 在分支定界法的求解过程中，需要通过剪枝操作来减少搜索空间，提高算法的效率。剪枝操作可以通过对问题的约束条件进行判断，排除掉不满足约束条件的解。通过剪枝操作，可以大大减少搜索的时间和空间复杂度，提高算法的求解效率。 除了剪枝操作，分支定界法还可以通过选择合适的搜索策略来提高算法的效率。常用的搜索策略包括深度优先搜索、广度优先搜索、最佳优先搜索等。选择合适的搜索策略可以根据问题的特点和求解的要求来确定，以提高算法的求解效率。 分支定界法在实际应用中有着广泛的应用。例如，在旅行商问题中，可以通过分支定界法来求解旅行商的最优路径；在背包问题中，可以通过分支定界法来求解能够放入背包的最大价值；在图着色问题
中，可以通过分支定界法来求解图的最小着色数等。 分支定界法是一种高效的问题求解方法，通过将问题划分为多个子问题，并利用剪枝操作和合适的搜索策略来求解问题的最优解。在实际应用中，可以根据问题的特点和求解的要求来选择合适的分支定界法算法，以提高算法的求解效率。同时，分支定界法也是计算机科学中的重要概念和技术，对于学习和理解算法和数据结构有着重要的作用。
1、概念： 分支定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着一颗搜索树进行的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这里出发，分支的含义就是将大的问题分割成小的问题。大问题可以看成是搜索树的父节点，那么从大问题分割出来的小问题就是父节点的子节点了。分支的过程就是不断给树增加子节点的过程。而定界就是在分支的过程中检查子问题的上下界，如果子问题不能产生一比当前最优解还要优的解，那么砍掉这一支。直到所有子问题都不能产生一个更优的解时，算法结束。 2、例子： 用BB算法求解下面的整数规划模型 因为求解的是最大化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表示负无穷。 1.
首先从主问题分出两支子问题： 通过线性松弛求得两个子问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。由于Z_LP1 和Z_LP2都大于BestV=-INF，说明这两支有搞头，继续往下。 2. 3.
从节点1和节点2两个子问题再次分支，得到如下结果： 子问题3已经不可行，无需再理。子问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该支找到一个可行解，更新BestV = 10。 子问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此子问题5还有戏，待下一次分支。而子问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该支下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！ 4.
对节点5进行分支，得到： 子问题7不可行，无需再理。子问题8得到一个满足原问题0所有约束的解，但是目标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该支下去也不能得到更好的解了。 6.
Python 分支定界法 1. 介绍 分支定界法是一种在计算机科学中常用的算法解决方法，用于在搜索问题中确定解的范围。在这种方法中，问题被划分为多个子问题，通过评估每个子问题的边界条件来确定是否需要进一步搜索。这种方法通常用于解决优化问题、搜索问题和决策问题。 在Python中，我们可以使用分支定界法来解决各种问题，包括图搜索、最短路径、最小生成树等。本文将介绍分支定界法的基本原理和在Python中的应用。 2. 基本原理 分支定界法的基本原理是将问题划分为多个子问题，并通过对每个子问题进行评估来确定解的范围。在每个子问题中，我们可以使用一些启发式方法来估计解的上界和下界，从而确定是否需要进一步搜索。通过逐步缩小解的范围，我们可以提高算法的效率并找到最优解。 3. 分支定界法的应用 3.1 图搜索 分支定界法在图搜索中的应用非常广泛。在图搜索问题中，我们需要找到从一个节点到另一个节点的最短路径或最小代价路径。通过使用分支定界法，我们可以根据当前路径的代价和启发式方法来估计剩余路径的代价，并根据这些估计值来选择下一个节点进行搜索。这种方法可以大大减少搜索的空间，并找到最优解。 3.2 最短路径 最短路径问题是图搜索问题的一个特例，它要求找到从一个节点到另一个节点的最短路径。在分支定界法中，我们可以使用启发式方法来估计剩余路径的代价，并根据这些估计值来选择下一个节点进行搜索。通过不断更新路径的代价和选择最优节点，我们可以找到最短路径。 3.3 最小生成树 最小生成树问题是在一个连通图中找到一棵包含所有节点的子图，并使得子图的边的权重之和最小。分支定界法可以用于解决最小生成树问题。通过选择边的权重最小的节点进行搜索，并使用启发式方法来估计剩余节点的权重和，我们可以找到最小生成树。
分支定界法的步骤包含一下 下面是分支定界法的主要步骤： 1.问题建模：将原始问题转化为数学模型。定义问题的目标函数和约 束条件，明确问题的优化目标和可行解空间。 2.创建树：将问题空间表示为一棵树。根节点表示问题的初始状态， 每个子节点表示一次决策。根据问题的性质和约束条件，确定树的分支方式。 3.定义目标函数上界：问题的目标函数上界是指在问题的可行解空间内，一个节点的任何子节点的目标函数值不会超过上界。目标函数上界可 以通过问题的性质进行估计，或者通过启发式信息进行估计，以便在过程 中及时剪枝。 4.定义目标函数下界：问题的目标函数下界是指在问题的可行解空间内，一个节点的任何子节点的目标函数值都不会低于下界。目标函数下界 可以通过问题的性质、启发式信息或剩余问题的优化程度进行估计。 5.选择分支变量：根据树的结构和上下界的估计，选择一个最有希望 的分支变量。分支变量的选择一般按照某种启发规则进行，以期能够尽快 找到最优解。 6.分支处理：对于选择的分支变量，根据其取值的可能性进行分支处理。创建该分支的子节点，并更新子节点的上下界。 7.剪枝处理：根据子节点的上下界信息，对树中的节点进行剪枝处理。如果一个节点的目标函数上界小于当前找到的最优解，或者一个节点的目 标函数下界大于当前找到的最优解，可以放弃该节点的子树。
8.更新最优解：在过程中，及时更新当前找到的最优解。如果一个节 点的子节点的目标函数值小于当前最优解，则将最优解更新为子节点的值。 9.结束：当树中没有可扩展的节点或所有可扩展节点都被剪枝时，结束。此时，当前最优解即为问题的最优解。 分支定界法通过使用上下界信息来指导过程，能够有效地减小空间， 提高问题求解效率。但需要注意的是，分支定界法对问题的求解结果依赖 于上下界的估计准确性和分支变量的选择策略，因此在实践中需要根据具 体问题进行合理的建模和启发规则的设计。
分支定界法 分支定界法是一种基于数学理论的模型，它可以帮助我们做出最优的决策。其基本概念是，首先通过给定一个目标函数，对其进行最优化，然后根据这个函数的极值，将其分割成不同的子区域，并依次在每个子区域内选择最优的结果。在分支定界法的实践中，每个子区域内，我们都可以计算出最优的结果。从此，如果我们需要做出一个明智的决定，就可以从这些子区域中选择最优的结果。 分支定界法的应用非常广泛，可以用于求解某些领域的优化问题，比如机器学习和运筹学等。在机器学习领域，它可以用于求解某些非线性优化问题；在运筹学领域，它可以用于求解复杂的线性规划和非线性规划问题。 分支定界法的基本原理如下，首先建立一个数学模型，确定其中的目标函数以及约束条件；然后，利用最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法将最优解正确地确定在子空间中，即定界子空间，从而减少最优问题的搜索空间。 分支定界法的实现过程是：首先，根据求解问题，建立目标函数及约束条件；然后，通过最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法来确定最优解在子空间中的正确位置，从而减少搜索空间。 分支定界法具有很多优势，最主要的优势就在于可以大大减少求解最优解的搜索空间，这样可以大大提高求解最优解的效率，也可以有效避免解决问题时出现“陷入局部最优”的情况。另外，分支定界法还可以更好地提高算法的可靠性，可以有效避免过拟合或欠拟合问
题，也可以有效地减少数据的噪声影响。 分支定界法目前已经得到了广泛的应用，比如无约束优化问题、有约束优化问题、最短路径问题、线性规划问题、非线性规划问题等都可以使用分支定界法来求解。另外，分支定界法还可以用于多目标优化问题，如多目标规划、多约束优化问题、多目标贝叶斯优化问题等。 总之，分支定界法是一种模型，它可以帮助我们做出最优的决策，并可以应用在求解复杂的优化问题中。它的优势在于可以帮助我们更好地求解最优解，也可以避免出现陷入局部最优的情况，且可以更好地提高算法的可靠性，可以有效的减少计算的噪声影响，因此受到广泛的应用。
分支定界法和割平面法的基本原理 分支定界法和割平面法是一种在数学和计算机科学领域中常用的问题求解方法。本文将分别介绍这两种方法的基本原理。 一、分支定界法的基本原理 分支定界法是一种通过将问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解来解决复杂问题的方法。其基本思想是通过对问题的解空间进行划分，每次选择一个子问题进行求解，并根据已知的信息对该子问题的解空间进行进一步的缩小。这样，不断缩小解空间，最终找到问题的最优解或最优解的近似解。 具体来说，分支定界法包括以下几个步骤： 1. 初始划分：将问题的解空间划分为多个子问题，并选择一个子问题进行求解。 2. 求解子问题：对选定的子问题进行求解，得到一个解或一个解的集合。 3. 解空间缩减：根据已知的信息，对选定的子问题的解空间进行缩减，即排除一些不可能的解或不优的解。 4. 判断终止条件：判断是否满足终止条件，如果满足，则停止求解；否则，返回第2步，选择一个新的子问题进行求解。 分支定界法的优点是可以找到问题的最优解或最优解的近似解，并且可以通过对解空间的划分和缩减，减少问题的求解空间，提高求解效率。但是，分支定界法的缺点是在问题的解空间较大时，可能
需要遍历大量的子问题，导致求解时间较长。 二、割平面法的基本原理 割平面法是一种通过不断添加约束条件来逼近问题的最优解的方法。其基本思想是通过向问题的线性规划模型中添加额外的约束条件，使得新的线性规划模型的解逐步逼近问题的最优解。 具体来说，割平面法包括以下几个步骤： 1. 初始线性规划模型：根据问题的要求，建立一个初始的线性规划模型。 2. 求解线性规划模型：对初始的线性规划模型进行求解，得到一个解或一个解的集合。 3. 添加割平面：根据已知的信息，找到一个新的约束条件，并将其添加到线性规划模型中。 4. 更新线性规划模型：根据添加的割平面，更新线性规划模型，并返回第2步，求解更新后的线性规划模型。 割平面法的优点是可以逐步逼近问题的最优解，且可以通过添加割平面来减小解空间，提高求解效率。但是，割平面法的缺点是在问题的线性规划模型中添加约束条件可能导致模型复杂化，并且在每次添加割平面后需要重新求解线性规划模型，导致计算量增大。 分支定界法和割平面法是两种常用的问题求解方法。分支定界法通过将问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解来解决复杂
分支定界算法流程 Branch and Bound (B&B) algorithm is an algorithm for solving optimization problems, such as finding the best solution of a function in a given search space. 分支定界算法是一种用于解决优化问题的算法，比如在给定搜索空间中找到函数的最佳解。 The basic idea of the branch and bound algorithm is to divide the search space into smaller subspaces, or "branches," and then bound the solution of each branch to determine if it can be pruned or not. 分支定界算法的基本思想是将搜索空间划分为较小的子空间或“分支”，然后对每个分支的解进行界定，以确定是否可以剪枝。 In order to effectively use the branch and bound algorithm, it is important to have a good understanding of the problem and its search space. 为了有效地使用分支定界算法，重要的是要深入了解问题及其搜索空间。 One key aspect of the branch and bound algorithm is the bounding step, which involves determining an upper and lower bound for each
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。 本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。 一、整数规划分支定界法 1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。 （2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。 （3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。 （4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。 二、整数规划切割平面法 2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。具体步骤包括： （1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。 （2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。 （3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。 （4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法 3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括： （1）初始化种群或解空间。 （2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。 （3）更新种群或解空间，并计算适应度值。 （4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。 四、优化问题的特点及应用 4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。 在实践中，需要重点考虑目标函数、约束条件和决策变量的关系，选择合适的求解方法并进行有效的求解技术。还需要结合具体应用背景和需求，对求解结果进行充分的分析和评价，以确保最终解法的有效性和可行性。 总结 本文主要介绍了Milp优化问题的典型求解方法，包括整数规划分支定
分支定界法 《分支定界法》是一种把同类的事物按照一定的原则划分成不同分支定类的方法。该方法的主要原理是，按照一定的规则将同类的事物按照不同的层次划分分类，从而来解决问题。其实，分支定界法本质上是一种层次化的分类方法，这个分类方法可以帮助我们更好地按照一定的规则划分分类，从而更加清晰地观察每个分支的结构，从而建立有效的分支定界。 一般来说，把事物细分并划分分类的过程大致可分为三个步骤：第一步是根据一定的规则，把事物划分为不同的分类；第二步是确定每个分类分之间的界线，以及每个分类的概念；第三步是形成一个有意义的分支定界树，这样被分类的事物就会更加清晰明确。 分支定界法可以应用到不同领域，广泛作为研究分析的工具，有效地实现分支划分的目的。例如，在政治学中，可以用分支定界法来划分政治体系的不同结构；在经济学中，可以用分支定界法来划分社会经济状况；在社会学中，可以用分支定界法来划分社会阶层；在教育学中，可以用分支定界法来划分不同层次的学生；在法律学中，可以用分支定界法来划分不同类别的案件；在医学中，可以用分支定界法来划分不同病症类型；在信息技术领域，可以用分支定界法来划分不同的存储结构；在商业管理中，可以用分支定界法来划分不同市场需求类别；在艺术设计中，可以用分支定界法来划分不同风格的作品；在心理学中，可以用分支定界法来划分不同类型的心理测试。总之，分支定界法能够极大地提升研究和分析的效率，彻底改变现有的解决
问题方法，在社会发展中发挥着重要作用。 分支定界法也有自身的缺点，最主要的是它主观性较大，受到专家个人把握的局限，可能产生一些错误的分类，从而影响正确的分类结果。另外，分支定界法的实现需要花费大量的时间和精力，难以实现快速面临问题的解决效果。 尽管分支定界法的应用还存在一定的局限性，但仍有其重要的研究作用和应用价值，是现代化社会发展和繁荣的重要载体。它为解决问题，更好地分析事物，并建立良好的结构，提供了可靠的工具。未来，分支定界法将得到更广泛的应用，为我们提供更多的研究和分析工具，共同促进社会的发展。
运筹学分支：定界法知识点 运筹学是一门研究优化问题的学科，旨在通过系统地分析和解决现实中的决策问题。在运筹学中，定界法是一种常用的解决复杂问题的方法。本文将介绍定界法的基本概念、步骤和应用。 1. 定界法的基本概念 定界法是一种通过分析问题的上下界来缩小解空间的方法。它通过不断确定上界和下界，逐步缩小可行解的范围，最终找到最优解或者一个接近最优解的解。 在定界法中，上界是指问题的一个可行解的上界限，即找到的某个可行解的最大值。下界是指问题的一个可行解的下界限，即找到的某个可行解的最小值。通过不断更新上下界，定界法可以逐步缩小搜索空间。 2. 定界法的步骤 定界法的步骤可以概括为以下几个关键步骤： 步骤1：建立数学模型 首先，需要将实际问题转化为数学模型。数学模型是问题的数学描述，包括目标函数和约束条件。 步骤2：确定上界 确定上界是通过求解问题的松弛形式来实现的。松弛形式是问题的一种更简单的形式，它放宽了一些约束条件，使问题更容易求解。通过求解松弛形式，可以得到问题的上界。 步骤3：确定下界 确定下界是通过求解问题的一些特殊情况来实现的。通过求解特殊情况，可以得到问题的一个可行解，从而确定问题的下界。 步骤4：更新上界和下界 根据已知的上界和下界，可以进一步缩小搜索空间。通过一些启发式的方法，可以逐步更新上界和下界，从而缩小解空间。 步骤5：重复步骤2至步骤4 定界法是一个迭代的过程，需要不断重复步骤2至步骤4，直到找到最优解或者接近最优解。
3. 定界法的应用 定界法在实际问题中有广泛的应用，特别是在组合优化、排程问题和资源分配 问题等领域。 例如，在生产调度问题中，可以使用定界法来确定最短调度时间。首先，可以 通过求解松弛形式来确定一个上界，即一个较短的调度时间。然后，通过求解特殊情况来确定一个下界，即一个较长的调度时间。通过不断更新上界和下界，可以逐步缩小调度时间的范围，最终找到最优的调度方案。 另一个例子是在资源分配问题中，可以使用定界法来确定最优的资源分配方案。通过建立数学模型，确定上界和下界，不断更新上界和下界，可以逐步缩小资源分配方案的范围，找到最优的资源分配方案。 结论 定界法是运筹学中一种重要的方法，通过分析问题的上下界来缩小解空间。通 过建立数学模型，确定上界和下界，并不断更新这些界限，可以逐步缩小解空间，找到最优解或者接近最优解。定界法在实际问题中有广泛的应用，可以解决组合优化、排程问题和资源分配问题等复杂问题。
英文回答： Branch boundary algorithms are important as an effective solution to the problem of mixed integer planning （MIP）. The algorithm achieves optimal resolution by dposing problems and using the upper and lower horizons to limit search space. Specific processes include steps such as initialization, determination of branch variables, resolution of sub—issues, updating of the upper and lower boundary. In political work, we need to attach great importance to the application of this algorithm in order to increase the efficiency and scientific nature of decision—making. The establishment of a well—established system of target functions, conditionality and decision—making variables, and strictpliance with top—down standards, will help to guide the country ' s development in the right direction and promote the goal ofprehensive economic and social development. Full recognition and application of branch boundary algorithms are positive for the development and implementation of the right routes, approaches and policies. 分支定界算法作为一种有效的解决混合整数规划（MIP）问题的方法，具有重要意义。该算法通过将问题进行分解，并利用上下界来限制搜 索空间，从而实现最优解的搜索。具体流程包括初始化、确定分支变
分支定界法 分支定界法是一种应用于企业决策分析中的技术方法，也是现代管理决策学的重要内容之一。它不仅对决策分析有重要的理论意义，而且在实践应用方面，它的实用性和有效性也得到了广泛的认可和应用。它通过把复杂的问题分割成若干个相对独立的子问题，逐步解决问题的方法，使得复杂的问题分析更加容易。 分支定界法的基本思想是为了解决复杂的问题，从而可以将复杂的问题分解成一个个简单的子问题，逐一解决。它把复杂的问题分解为一系列线性分支变量，具有相似的结构，依次得出最佳解决方案，从而形成技术分析过程和决策过程。 从技术过程来看，应用分支定界法可以充分利用多种信息，全面考虑分析问题，得出一个最优的解决方案。它利用分支定界单元，把复杂的问题分解为一系列的线性子问题，逐步分析，最终整体得到解决。它通过不断地分支和定界，从而尽量减少分析人员的心理负担，提高整体决策效率，从而实现最优解决方案的有效追求。 分支定界法也有自己特定的过程，主要包括5个步骤：首先是定义问题，提出可能的解决方案，然后进行计算，同时也会建立一些约束条件，也就是变量的限制条件；其次是开展调查，分析变量的关系，建立线性优化问题的数学模型；第三步是采用分支定界法，通过建立分支定界树来实现分析；第四步是进行结果分析，计算最佳解以及最优解；最后一步是完成评价，根据计算结果，给出最终的解决方案。 分支定界法广泛用于现代企业决策分析中，它能够有效解决企业
出现的复杂管理问题，帮助企业制定出最优的管理决策，使企业在竞争市场中脱颖而出。同时，分支定界法也可以应用在其他复杂的决策问题中，如产品营销、投资决策等，都能取得良好的结果。 总之，分支定界法是一种实用的和有效的技术，在现代管理决策中，它的实用性和有效性都得到了广泛的认可和应用。以它为基础，需要得到仔细深入的研究，以期能够更好地发挥它的功能和作用，为企业提供更为全面有效的决策参考和支持。
分支定界法和割平面法 分支定界法和割平面法 在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某 些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。 整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。 一、分支定界法 在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有 可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。所以我们的方法一般是仅检查可行的整 数组合的一部分，就能定出最有的整数解。分支定界法就是其中一个。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在二十世纪六十年代初由Land Doig和Dakin等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。 设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若 其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作z；而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z。分枝定界法就是将B的可 行域分成子区域再求其最大值的方法。逐步减小z和增大z，最终求到z*。现用下例来说明： 例1 求解下述整数规划 Maxz?40x1?90x2 ?9x1?7x2?56? ?7x1?20x2?70 ?x,x?0且为整数?12解（1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B，得最优解为： x1?4.81,x2?1.82,z?356